Εκμάθηση λογαρίθμων από την αρχή. Τι είναι ο λογάριθμος

Άρα, έχουμε δυνάμεις δύο. Εάν πάρετε τον αριθμό από την κάτω γραμμή, μπορείτε εύκολα να βρείτε τη δύναμη στην οποία θα πρέπει να αυξήσετε δύο για να λάβετε αυτόν τον αριθμό. Για παράδειγμα, για να πάρετε 16, πρέπει να αυξήσετε δύο στην τέταρτη δύναμη. Και για να πάρετε 64, πρέπει να αυξήσετε δύο στην έκτη δύναμη. Αυτό φαίνεται από τον πίνακα.

Και τώρα, στην πραγματικότητα, ο ορισμός του λογάριθμου:

Η βάση ενός λογάριθμου του x είναι η ισχύς στην οποία πρέπει να αυξηθεί το a για να ληφθεί x.

Σημείωση: log a x = b, όπου a είναι η βάση, x είναι το όρισμα, b είναι αυτό με το οποίο είναι πραγματικά ίσος ο λογάριθμος.

Για παράδειγμα, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (ο λογάριθμος βάσης 2 του 8 είναι τρεις επειδή 2 3 = 8). Με την ίδια επιτυχία, log 2 64 = 6, αφού 2 6 = 64.

Η πράξη εύρεσης του λογάριθμου ενός αριθμού σε μια δεδομένη βάση ονομάζεται λογάριθμος. Λοιπόν, ας προσθέσουμε μια νέα γραμμή στον πίνακα μας:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
ημερολόγιο 2 2 = 1	ημερολόγιο 2 4 = 2	ημερολόγιο 2 8 = 3	ημερολόγιο 2 16 = 4	ημερολόγιο 2 32 = 5	ημερολόγιο 2 64 = 6

Δυστυχώς, δεν υπολογίζονται όλοι οι λογάριθμοι τόσο εύκολα. Για παράδειγμα, προσπαθήστε να βρείτε το αρχείο καταγραφής 2 5. Ο αριθμός 5 δεν βρίσκεται στον πίνακα, αλλά η λογική υπαγορεύει ότι ο λογάριθμος θα βρίσκεται κάπου στο διάστημα. Επειδή 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Αυτοί οι αριθμοί ονομάζονται παράλογοι: οι αριθμοί μετά την υποδιαστολή μπορούν να γραφτούν επ' άπειρον και δεν επαναλαμβάνονται ποτέ. Εάν ο λογάριθμος αποδειχθεί παράλογος, είναι καλύτερα να τον αφήσετε έτσι: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Είναι σημαντικό να κατανοήσουμε ότι ένας λογάριθμος είναι μια έκφραση με δύο μεταβλητές (τη βάση και το όρισμα). Πολλοί άνθρωποι στην αρχή μπερδεύουν πού είναι η βάση και πού είναι το επιχείρημα. Για να αποφύγετε ενοχλητικές παρεξηγήσεις, απλά δείτε την εικόνα:

Μπροστά μας δεν υπάρχει τίποτα άλλο από τον ορισμό του λογάριθμου. Θυμάμαι: ο λογάριθμος είναι δύναμη, στην οποία πρέπει να ενσωματωθεί η βάση για να ληφθεί ένα όρισμα. Είναι η βάση που ανυψώνεται σε δύναμη - επισημαίνεται με κόκκινο χρώμα στην εικόνα. Αποδεικνύεται ότι η βάση είναι πάντα στο κάτω μέρος! Λέω στους μαθητές μου αυτόν τον υπέροχο κανόνα στο πρώτο μάθημα - και δεν δημιουργείται σύγχυση.

Καταλάβαμε τον ορισμό - το μόνο που μένει είναι να μάθουμε πώς να μετράμε λογάριθμους, δηλ. απαλλαγείτε από το σημάδι "κούτσουρο". Αρχικά, σημειώνουμε ότι δύο σημαντικά στοιχεία προκύπτουν από τον ορισμό:

Το όρισμα και η βάση πρέπει πάντα να είναι μεγαλύτερα από το μηδέν. Αυτό προκύπτει από τον ορισμό του πτυχίου ορθολογικός δείκτης, στο οποίο προκύπτει ο ορισμός του λογάριθμου.
Η βάση πρέπει να είναι διαφορετική από τη μία, αφού η μία σε οποιοδήποτε βαθμό παραμένει μία. Εξαιτίας αυτού, το ερώτημα «σε ποια δύναμη πρέπει να υψωθεί κανείς για να πάρει δύο» είναι άνευ σημασίας. Δεν υπάρχει τέτοιο πτυχίο!

Τέτοιοι περιορισμοί ονομάζονται εύρος αποδεκτών τιμών(ODZ). Αποδεικνύεται ότι το ODZ του λογαρίθμου μοιάζει με αυτό: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Σημειώστε ότι δεν υπάρχουν περιορισμοί στον αριθμό b (την τιμή του λογάριθμου). Για παράδειγμα, ο λογάριθμος μπορεί κάλλιστα να είναι αρνητικός: log 2 0,5 = −1, επειδή 0,5 = 2 −1.

Ωστόσο, τώρα εξετάζουμε μόνο αριθμητικές εκφράσεις όπου δεν απαιτείται να γνωρίζουμε το VA του λογαρίθμου. Όλοι οι περιορισμοί έχουν ήδη ληφθεί υπόψη από τους συντάκτες των εργασιών. Αλλά όταν οι λογαριθμικές εξισώσεις και οι ανισότητες μπουν στο παιχνίδι, οι απαιτήσεις DL θα γίνουν υποχρεωτικές. Άλλωστε, η βάση και το επιχείρημα μπορεί να περιέχουν πολύ ισχυρές κατασκευές που δεν ανταποκρίνονται απαραίτητα στους παραπάνω περιορισμούς.

Τώρα ας αναλογιστούμε γενικό σχέδιουπολογισμός λογαρίθμων. Αποτελείται από τρία βήματα:

Να εκφράσετε τη βάση α και το όρισμα x ως δύναμη με την ελάχιστη δυνατή βάση μεγαλύτερη από το ένα. Στην πορεία, είναι καλύτερα να απαλλαγείτε από τα δεκαδικά.
Λύστε την εξίσωση για τη μεταβλητή b: x = a b ;
Ο αριθμός β που προκύπτει θα είναι η απάντηση.

Αυτό είναι όλο! Εάν ο λογάριθμος αποδειχθεί παράλογος, αυτό θα είναι ορατό ήδη στο πρώτο βήμα. Η απαίτηση να είναι η βάση μεγαλύτερη από μία είναι πολύ σημαντική: αυτό μειώνει την πιθανότητα λάθους και απλοποιεί σημαντικά τους υπολογισμούς. Το ίδιο και με δεκαδικά: αν τα μετατρέψετε αμέσως σε κανονικά, θα υπάρξουν πολύ λιγότερα σφάλματα.

Ας δούμε πώς λειτουργεί αυτό το σχήμα χρησιμοποιώντας συγκεκριμένα παραδείγματα:

Εργο. Υπολογίστε τον λογάριθμο: log 5 25

Ας φανταστούμε τη βάση και το όρισμα ως δύναμη του πέντε: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
Ας δημιουργήσουμε και λύνουμε την εξίσωση:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
Λάβαμε την απάντηση: 2.

Εργο. Υπολογίστε τον λογάριθμο:

Εργο. Υπολογίστε τον λογάριθμο: log 4 64

Ας φανταστούμε τη βάση και το όρισμα ως δύναμη δύο: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
Ας δημιουργήσουμε και λύνουμε την εξίσωση:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
Λάβαμε την απάντηση: 3.

Εργο. Υπολογίστε τον λογάριθμο: log 16 1

Ας φανταστούμε τη βάση και το όρισμα ως δύναμη δύο: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
Ας δημιουργήσουμε και λύνουμε την εξίσωση:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
Λάβαμε την απάντηση: 0.

Εργο. Υπολογίστε τον λογάριθμο: log 7 14

Ας φανταστούμε τη βάση και το όρισμα ως δύναμη του επτά: 7 = 7 1 ; Το 14 δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως δύναμη του επτά, αφού το 7 1< 14 < 7 2 ;
Από την προηγούμενη παράγραφο προκύπτει ότι ο λογάριθμος δεν μετράει.
Η απάντηση είναι καμία αλλαγή: ημερολόγιο 7 14.

Μια μικρή σημείωση για το τελευταίο παράδειγμα. Πώς μπορείτε να είστε σίγουροι ότι ένας αριθμός δεν είναι ακριβής δύναμη ενός άλλου αριθμού; Είναι πολύ απλό - απλώς συνυπολογίστε το σε πρωταρχικούς παράγοντες. Και αν τέτοιοι παράγοντες δεν μπορούν να συγκεντρωθούν σε εξουσίες με τους ίδιους δείκτες, τότε ο αρχικός αριθμός δεν είναι ακριβής ισχύς.

Εργο. Μάθετε αν οι αριθμοί είναι ακριβείς δυνάμεις: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - ακριβής βαθμός, επειδή υπάρχει μόνο ένας πολλαπλασιαστής.
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - δεν είναι ακριβής δύναμη, αφού υπάρχουν δύο παράγοντες: 3 και 2.
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - ακριβής βαθμός.
35 = 7 · 5 - και πάλι δεν είναι ακριβής ισχύς.
14 = 7 · 2 - και πάλι όχι ακριβής βαθμός.

Σημειώστε επίσης ότι οι ίδιοι οι πρώτοι αριθμοί είναι πάντα ακριβείς δυνάμεις του εαυτού τους.

Δεκαδικός λογάριθμος

Μερικοί λογάριθμοι είναι τόσο συνηθισμένοι που έχουν ειδικό όνομα και σύμβολο.

Ο δεκαδικός λογάριθμος του x είναι ο λογάριθμος στη βάση του 10, δηλ. Η ισχύς στην οποία πρέπει να αυξηθεί ο αριθμός 10 για να ληφθεί ο αριθμός x. Ονομασία: lg x.

Για παράδειγμα, log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - κ.λπ.

Από εδώ και στο εξής, όταν εμφανίζεται μια φράση όπως "Find lg 0.01" σε ένα σχολικό βιβλίο, να ξέρετε: αυτό δεν είναι τυπογραφικό λάθος. Αυτός είναι ένας δεκαδικός λογάριθμος. Ωστόσο, εάν δεν είστε εξοικειωμένοι με αυτόν τον συμβολισμό, μπορείτε πάντα να τον ξαναγράψετε:
log x = log 10 x

Ό,τι ισχύει για τους συνηθισμένους λογάριθμους ισχύει και για τους δεκαδικούς λογάριθμους.

Φυσικός λογάριθμος

Υπάρχει ένας άλλος λογάριθμος που έχει τη δική του ονομασία. Κατά κάποιο τρόπο, είναι ακόμη πιο σημαντικό από το δεκαδικό. Μιλάμε για τον φυσικό λογάριθμο.

Ο φυσικός λογάριθμος του x είναι ο λογάριθμος στη βάση του e, δηλ. η δύναμη στην οποία πρέπει να αυξηθεί ο αριθμός e για να ληφθεί ο αριθμός x. Ονομασία: ln x .

Πολλοί θα ρωτήσουν: ποιος είναι ο αριθμός e; Αυτός είναι ένας παράλογος αριθμός που δεν μπορεί να βρεθεί και να καταγραφεί η ακριβής τιμή του. Θα δώσω μόνο τα πρώτα στοιχεία:
e = 2,718281828459...

Δεν θα αναφερθούμε σε λεπτομέρειες σχετικά με το τι είναι αυτός ο αριθμός και γιατί χρειάζεται. Απλώς θυμηθείτε ότι το e είναι η βάση του φυσικού λογάριθμου:
ln x = log e x

Έτσι ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - κ.λπ. Από την άλλη πλευρά, το ln 2 είναι ένας παράλογος αριθμός. Γενικά, ο φυσικός λογάριθμος οποιουδήποτε ρητός αριθμόςπαράλογος. Εκτός, φυσικά, από ένα: ln 1 = 0.

Για τους φυσικούς λογάριθμους, ισχύουν όλοι οι κανόνες που ισχύουν για τους συνηθισμένους λογάριθμους.

Λογάριθμος του αριθμού b (b > 0) στη βάση του a (a > 0, a ≠ 1)– εκθέτης στον οποίο πρέπει να αυξηθεί ο αριθμός a για να ληφθεί b.

Ο λογάριθμος βάσης 10 του b μπορεί να γραφτεί ως ημερολόγιο (β), και ο λογάριθμος στη βάση e (φυσικός λογάριθμος) είναι ln(b).

Συχνά χρησιμοποιείται κατά την επίλυση προβλημάτων με λογάριθμους:

Ιδιότητες λογαρίθμων

Υπάρχουν τέσσερις κύριες ιδιότητες των λογαρίθμων.

Έστω a > 0, a ≠ 1, x > 0 και y > 0.

Ιδιότητα 1. Λογάριθμος του προϊόντος

Λογάριθμος του προϊόντοςίσο με το άθροισμα των λογαρίθμων:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Ιδιότητα 2. Λογάριθμος του πηλίκου

Λογάριθμος του πηλίκουίση με τη διαφορά των λογαρίθμων:

log a (x / y) = log a x – log a y

Ιδιότητα 3. Λογάριθμος ισχύος

Λογάριθμος βαθμούίσο με το γινόμενο της ισχύος και του λογάριθμου:

Εάν η βάση του λογάριθμου είναι στη μοίρα, τότε ισχύει ένας άλλος τύπος:

Ιδιότητα 4. Λογάριθμος ρίζας

Αυτή η ιδιότητα μπορεί να ληφθεί από την ιδιότητα του λογάριθμου μιας δύναμης, καθώς η nη ρίζα της ισχύος είναι ίση με την ισχύ του 1/n:

Τύπος μετατροπής από λογάριθμο σε μια βάση σε λογάριθμο σε άλλη βάση

Αυτός ο τύπος χρησιμοποιείται επίσης συχνά κατά την επίλυση διαφόρων εργασιών σε λογάριθμους:

Ειδική περίπτωση:

Σύγκριση λογαρίθμων (ανισότητες)

Ας έχουμε 2 συναρτήσεις f(x) και g(x) σε λογάριθμους με τις ίδιες βάσεις και μεταξύ τους υπάρχει πρόσημο ανισότητας:

Για να τα συγκρίνετε, πρέπει πρώτα να δείτε τη βάση των λογαρίθμων:

Αν a > 0, τότε f(x) > g(x) > 0
Αν 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Πώς να λύσετε προβλήματα με λογάριθμους: παραδείγματα

Προβλήματα με λογάριθμουςπου περιλαμβάνονται στην Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά για την τάξη 11 στην εργασία 5 και την εργασία 7, μπορείτε να βρείτε εργασίες με λύσεις στον ιστότοπό μας στις κατάλληλες ενότητες. Επίσης, εργασίες με λογάριθμους βρίσκονται στην τράπεζα μαθηματικών εργασιών. Μπορείτε να βρείτε όλα τα παραδείγματα κάνοντας αναζήτηση στον ιστότοπο.

Τι είναι ο λογάριθμος

Οι λογάριθμοι θεωρούνταν πάντα ένα δύσκολο θέμα σχολικό μάθημαμαθηματικά. Υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί ορισμοί του λογάριθμου, αλλά για κάποιο λόγο τα περισσότερα σχολικά βιβλία χρησιμοποιούν τον πιο περίπλοκο και ανεπιτυχή από αυτούς.

Θα ορίσουμε τον λογάριθμο απλά και ξεκάθαρα. Για να το κάνουμε αυτό, ας δημιουργήσουμε έναν πίνακα:

Άρα, έχουμε δυνάμεις δύο.

Λογάριθμοι - ιδιότητες, τύποι, τρόπος επίλυσης

Εάν πάρετε τον αριθμό από την κάτω γραμμή, μπορείτε εύκολα να βρείτε τη δύναμη στην οποία θα πρέπει να αυξήσετε δύο για να λάβετε αυτόν τον αριθμό. Για παράδειγμα, για να πάρετε 16, πρέπει να αυξήσετε δύο στην τέταρτη δύναμη. Και για να πάρετε 64, πρέπει να αυξήσετε δύο στην έκτη δύναμη. Αυτό φαίνεται από τον πίνακα.

Και τώρα - στην πραγματικότητα, ο ορισμός του λογάριθμου:

η βάση a του ορίσματος x είναι η δύναμη στην οποία πρέπει να αυξηθεί ο αριθμός a για να ληφθεί ο αριθμός x.

Ονομασία: log a x = b, όπου a είναι η βάση, x είναι το όρισμα, b είναι αυτό με το οποίο ισούται πραγματικά ο λογάριθμος.

Για παράδειγμα, 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (ο λογάριθμος βάσης 2 του 8 είναι τρεις επειδή 2 3 = 8). Με την ίδια επιτυχία, log 2 64 = 6, αφού 2 6 = 64.

Η πράξη εύρεσης του λογάριθμου ενός αριθμού σε μια δεδομένη βάση ονομάζεται. Λοιπόν, ας προσθέσουμε μια νέα γραμμή στον πίνακα μας:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
ημερολόγιο 2 2 = 1	ημερολόγιο 2 4 = 2	ημερολόγιο 2 8 = 3	ημερολόγιο 2 16 = 4	ημερολόγιο 2 32 = 5	ημερολόγιο 2 64 = 6

Είναι σημαντικό να κατανοήσουμε ότι ένας λογάριθμος είναι μια έκφραση με δύο μεταβλητές (τη βάση και το όρισμα). Στην αρχή, πολλοί άνθρωποι μπερδεύουν πού είναι η βάση και πού είναι το επιχείρημα. Για να αποφύγετε ενοχλητικές παρεξηγήσεις, απλά δείτε την εικόνα:

Πώς να μετρήσετε τους λογάριθμους

Το όρισμα και η βάση πρέπει πάντα να είναι μεγαλύτερα από το μηδέν. Αυτό προκύπτει από τον ορισμό ενός βαθμού από έναν ορθολογικό εκθέτη, στον οποίο ανάγεται ο ορισμός ενός λογάριθμου.
Η βάση πρέπει να είναι διαφορετική από τη μία, αφού η μία σε οποιοδήποτε βαθμό παραμένει μία. Εξαιτίας αυτού, το ερώτημα «σε ποια δύναμη πρέπει να υψωθεί κανείς για να πάρει δύο» είναι άνευ σημασίας. Δεν υπάρχει τέτοιο πτυχίο!

Τώρα ας δούμε το γενικό σχήμα για τον υπολογισμό των λογαρίθμων. Αποτελείται από τρία βήματα:

Να εκφράσετε τη βάση α και το όρισμα x ως δύναμη με την ελάχιστη δυνατή βάση μεγαλύτερη από το ένα. Στην πορεία, είναι καλύτερα να απαλλαγείτε από τα δεκαδικά.
Λύστε την εξίσωση για τη μεταβλητή b: x = a b ;
Ο αριθμός β που προκύπτει θα είναι η απάντηση.

Αυτό είναι όλο! Εάν ο λογάριθμος αποδειχθεί παράλογος, αυτό θα είναι ορατό ήδη στο πρώτο βήμα. Η απαίτηση να είναι η βάση μεγαλύτερη από μία είναι πολύ σημαντική: αυτό μειώνει την πιθανότητα λάθους και απλοποιεί σημαντικά τους υπολογισμούς. Είναι το ίδιο με τα δεκαδικά κλάσματα: αν τα μετατρέψετε αμέσως σε συνηθισμένα, θα υπάρξουν πολύ λιγότερα σφάλματα.

Ας δούμε πώς λειτουργεί αυτό το σχήμα χρησιμοποιώντας συγκεκριμένα παραδείγματα:

Εργο. Υπολογίστε τον λογάριθμο: log 5 25

Ας φανταστούμε τη βάση και το όρισμα ως δύναμη του πέντε: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Ας δημιουργήσουμε και λύνουμε την εξίσωση:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Λάβαμε την απάντηση: 2.

Εργο. Υπολογίστε τον λογάριθμο:

Εργο. Υπολογίστε τον λογάριθμο: log 4 64

Ας φανταστούμε τη βάση και το όρισμα ως δύναμη δύο: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
Ας δημιουργήσουμε και λύνουμε την εξίσωση:
log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
Λάβαμε την απάντηση: 3.

Εργο. Υπολογίστε τον λογάριθμο: log 16 1

Ας φανταστούμε τη βάση και το όρισμα ως δύναμη δύο: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
Ας δημιουργήσουμε και λύνουμε την εξίσωση:
log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
Λάβαμε την απάντηση: 0.

Εργο. Υπολογίστε τον λογάριθμο: log 7 14

Ας φανταστούμε τη βάση και το όρισμα ως δύναμη του επτά: 7 = 7 1 ; Το 14 δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως δύναμη του επτά, αφού το 7 1< 14 < 7 2 ;
Από την προηγούμενη παράγραφο προκύπτει ότι ο λογάριθμος δεν μετράει.
Η απάντηση είναι καμία αλλαγή: ημερολόγιο 7 14.

Μια μικρή σημείωση για το τελευταίο παράδειγμα. Πώς μπορείτε να είστε σίγουροι ότι ένας αριθμός δεν είναι ακριβής δύναμη ενός άλλου αριθμού; Είναι πολύ απλό - απλώς συνυπολογίστε το σε πρωταρχικούς παράγοντες. Αν η επέκταση έχει τουλάχιστον δύο διαφορετικό πολλαπλασιαστή, ο αριθμός δεν είναι ακριβής δύναμη.

Εργο. Μάθετε αν οι αριθμοί είναι ακριβείς δυνάμεις: 8; 48; 81; 35; 14.

Σημειώστε επίσης ότι οι ίδιοι οι πρώτοι αριθμοί είναι πάντα ακριβείς δυνάμεις του εαυτού τους.

Δεκαδικός λογάριθμος

Μερικοί λογάριθμοι είναι τόσο συνηθισμένοι που έχουν ειδικό όνομα και σύμβολο.

του ορίσματος x είναι ο λογάριθμος στη βάση του 10, δηλ. Η ισχύς στην οποία πρέπει να αυξηθεί ο αριθμός 10 για να ληφθεί ο αριθμός x. Ονομασία: lg x.

Για παράδειγμα, log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - κ.λπ.

Ό,τι ισχύει για τους συνηθισμένους λογάριθμους ισχύει και για τους δεκαδικούς λογάριθμους.

Φυσικός λογάριθμος

του ορίσματος x είναι ο λογάριθμος στη βάση του e, δηλ. η δύναμη στην οποία πρέπει να αυξηθεί ο αριθμός e για να ληφθεί ο αριθμός x. Ονομασία: ln x.

Έτσι ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - κ.λπ. Από την άλλη πλευρά, το ln 2 είναι ένας παράλογος αριθμός. Γενικά, ο φυσικός λογάριθμος οποιουδήποτε ρητού αριθμού είναι παράλογος. Εκτός, φυσικά, από την ενότητα: ln 1 = 0.

Για τους φυσικούς λογάριθμους, ισχύουν όλοι οι κανόνες που ισχύουν για τους συνηθισμένους λογάριθμους.

Δείτε επίσης:

Λογάριθμος. Ιδιότητες του λογαρίθμου (ισχύς του λογαρίθμου).

Πώς να αναπαραστήσετε έναν αριθμό ως λογάριθμο;

Χρησιμοποιούμε τον ορισμό του λογάριθμου.

Ένας λογάριθμος είναι ένας εκθέτης στον οποίο πρέπει να αυξηθεί η βάση για να ληφθεί ο αριθμός κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου.

Έτσι, για να αναπαραστήσετε έναν ορισμένο αριθμό c ως λογάριθμο στη βάση a, πρέπει να βάλετε μια δύναμη με την ίδια βάση με τη βάση του λογαρίθμου κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου και να γράψετε αυτόν τον αριθμό c ως εκθέτη:

Απολύτως οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως λογάριθμος - θετικός, αρνητικός, ακέραιος, κλασματικός, ορθολογικός, παράλογος:

Για να μην μπερδεύετε το α και το γ κάτω από αγχωτικές συνθήκες ενός τεστ ή μιας εξέτασης, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον ακόλουθο κανόνα απομνημόνευσης:

ότι είναι κάτω κατεβαίνει, ό,τι είναι πάνω ανεβαίνει.

Για παράδειγμα, πρέπει να αναπαραστήσετε τον αριθμό 2 ως λογάριθμο στη βάση 3.

Έχουμε δύο αριθμούς - 2 και 3. Αυτοί οι αριθμοί είναι η βάση και ο εκθέτης, που θα γράψουμε κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου. Απομένει να καθοριστεί ποιος από αυτούς τους αριθμούς θα πρέπει να γραφεί, στη βάση της ισχύος και ποιος - επάνω, στον εκθέτη.

Η βάση 3 στη σημειογραφία ενός λογάριθμου βρίσκεται στο κάτω μέρος, πράγμα που σημαίνει ότι όταν αντιπροσωπεύουμε δύο ως λογάριθμο στη βάση 3, θα γράψουμε επίσης το 3 στη βάση.

Το 2 είναι υψηλότερο από το τρία. Και σε σημειογραφία του βαθμού δύο γράφουμε πάνω από τα τρία, δηλαδή ως εκθέτη:

Λογάριθμοι. επίπεδο εισόδου.

Λογάριθμοι

Λογάριθμοςθετικός αριθμός σιμε βάση ένα, Πού a > 0, a ≠ 1, ονομάζεται ο εκθέτης στον οποίο πρέπει να αυξηθεί ο αριθμός ένανα πάρει σι.

Ορισμός λογάριθμουμπορεί να γραφτεί εν συντομία ως εξής:

Αυτή η ισότητα ισχύει για b > 0, a > 0, a ≠ 1.Συνήθως λέγεται λογαριθμική ταυτότητα.
Η ενέργεια εύρεσης του λογάριθμου ενός αριθμού ονομάζεται κατά λογάριθμο.

Ιδιότητες λογαρίθμων:

Λογάριθμος του προϊόντος:

Λογάριθμος του πηλίκου:

Αντικατάσταση της λογαριθμικής βάσης:

Λογάριθμος βαθμού:

Λογάριθμος της ρίζας:

Λογάριθμος με βάση ισχύος:

Δεκαδικοί και φυσικοί λογάριθμοι.

Δεκαδικός λογάριθμοςΟι αριθμοί καλούν τον λογάριθμο αυτού του αριθμού στη βάση 10 και γράφουν lg σι
Φυσικός λογάριθμοςαριθμοί ονομάζονται λογάριθμος αυτού του αριθμού προς τη βάση μι, Πού μι- ένας παράλογος αριθμός περίπου ίσος με 2,7. Ταυτόχρονα γράφουν ln σι.

Άλλες σημειώσεις για την άλγεβρα και τη γεωμετρία

Βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων

Οι λογάριθμοι, όπως κάθε αριθμός, μπορούν να προστεθούν, να αφαιρεθούν και να μετασχηματιστούν με κάθε τρόπο. Επειδή όμως οι λογάριθμοι δεν είναι ακριβώς συνηθισμένοι αριθμοί, υπάρχουν κανόνες εδώ, οι οποίοι καλούνται κύριες ιδιότητες.

Πρέπει οπωσδήποτε να γνωρίζετε αυτούς τους κανόνες - κανένα σοβαρό λογαριθμικό πρόβλημα δεν μπορεί να λυθεί χωρίς αυτούς. Επιπλέον, υπάρχουν πολύ λίγα από αυτά - μπορείτε να μάθετε τα πάντα σε μια μέρα. Ας ξεκινήσουμε λοιπόν.

Πρόσθεση και αφαίρεση λογαρίθμων

Θεωρήστε δύο λογάριθμους με τις ίδιες βάσεις: log a x και log a y. Στη συνέχεια μπορούν να προστεθούν και να αφαιρεθούν και:

log a x + log a y = log a (x y);
log a x − log a y = log a (x: y).

Άρα, το άθροισμα των λογαρίθμων είναι ίσο με τον λογάριθμο του γινομένου και η διαφορά είναι ίση με τον λογάριθμο του πηλίκου. Παρακαλώ σημειώστε: το βασικό σημείο εδώ είναι πανομοιότυπους λόγους. Εάν οι λόγοι είναι διαφορετικοί, αυτοί οι κανόνες δεν λειτουργούν!

Αυτοί οι τύποι θα σας βοηθήσουν να υπολογίσετε λογαριθμική έκφρασηακόμη και όταν τα επιμέρους μέρη του δεν υπολογίζονται (δείτε το μάθημα «Τι είναι λογάριθμος»). Ρίξτε μια ματιά στα παραδείγματα και δείτε:

Μητρώο 6 4 + ημερολόγιο 6 9.

Επειδή οι λογάριθμοι έχουν τις ίδιες βάσεις, χρησιμοποιούμε τον τύπο αθροίσματος:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log 2 48 − log 2 3.

Οι βάσεις είναι ίδιες, χρησιμοποιούμε τον τύπο διαφοράς:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log 3 135 − log 3 5.

Και πάλι οι βάσεις είναι ίδιες, οπότε έχουμε:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Όπως μπορείτε να δείτε, οι αρχικές εκφράσεις αποτελούνται από «κακούς» λογάριθμους, οι οποίοι δεν υπολογίζονται χωριστά. Όμως μετά τους μετασχηματισμούς προκύπτουν εντελώς κανονικοί αριθμοί. Πολλοί βασίζονται σε αυτό το γεγονός δοκιμές. Ναι, οι εκφράσεις που μοιάζουν με τεστ προσφέρονται με κάθε σοβαρότητα (μερικές φορές χωρίς σχεδόν καμία αλλαγή) στην Εξέταση Ενιαίου Κράτους.

Εξαγωγή του εκθέτη από τον λογάριθμο

Τώρα ας περιπλέκουμε λίγο το έργο. Τι γίνεται αν η βάση ή το όρισμα ενός λογαρίθμου είναι δύναμη; Τότε ο εκθέτης αυτού του βαθμού μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του λογαρίθμου σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες:

Είναι εύκολο να δει κανείς ότι ο τελευταίος κανόνας ακολουθεί τους δύο πρώτους. Αλλά είναι καλύτερα να το θυμάστε ούτως ή άλλως - σε ορισμένες περιπτώσεις θα μειώσει σημαντικά τον όγκο των υπολογισμών.

Φυσικά, όλοι αυτοί οι κανόνες έχουν νόημα αν παρατηρηθεί το ODZ του λογαρίθμου: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Και κάτι ακόμα: μάθετε να εφαρμόζετε όλους τους τύπους όχι μόνο από αριστερά προς τα δεξιά, αλλά και αντίστροφα , δηλ. Μπορείτε να εισάγετε τους αριθμούς πριν από το σύμβολο του λογάριθμου στον ίδιο τον λογάριθμο.

Πώς να λύσετε λογάριθμους

Αυτό είναι που απαιτείται συχνότερα.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log 7 49 6 .

Ας απαλλαγούμε από το βαθμό στο όρισμα χρησιμοποιώντας τον πρώτο τύπο:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Εργο. Βρείτε το νόημα της έκφρασης:

Σημειώστε ότι ο παρονομαστής περιέχει έναν λογάριθμο, η βάση και το όρισμα του οποίου είναι ακριβείς δυνάμεις: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Έχουμε:

Νομίζω ότι το τελευταίο παράδειγμα απαιτεί κάποια διευκρίνιση. Πού πήγαν οι λογάριθμοι; Μέχρι την τελευταία στιγμή δουλεύουμε μόνο με τον παρονομαστή. Παρουσιάσαμε τη βάση και το όρισμα του λογάριθμου που στέκεται εκεί με τη μορφή δυνάμεων και βγάλαμε τους εκθέτες - πήραμε ένα κλάσμα "τριώροφο".

Τώρα ας δούμε το κύριο κλάσμα. Ο αριθμητής και ο παρονομαστής περιέχουν τον ίδιο αριθμό: log 2 7. Εφόσον το log 2 7 ≠ 0, μπορούμε να μειώσουμε το κλάσμα - τα 2/4 θα παραμείνουν στον παρονομαστή. Σύμφωνα με τους κανόνες της αριθμητικής, τα τέσσερα μπορούν να μεταφερθούν στον αριθμητή, πράγμα που έγινε. Το αποτέλεσμα ήταν η απάντηση: 2.

Μετάβαση σε νέα βάση

Μιλώντας για τους κανόνες πρόσθεσης και αφαίρεσης λογαρίθμων, τόνισα συγκεκριμένα ότι λειτουργούν μόνο με τις ίδιες βάσεις. Κι αν οι λόγοι είναι διαφορετικοί; Τι γίνεται αν δεν είναι ακριβείς δυνάμεις του ίδιου αριθμού;

Οι φόρμουλες για τη μετάβαση σε ένα νέο θεμέλιο έρχονται στη διάσωση. Ας τα διατυπώσουμε με τη μορφή ενός θεωρήματος:

Ας δοθεί το λογάριθμο log a x. Τότε για οποιονδήποτε αριθμό c τέτοιο ώστε c > 0 και c ≠ 1, η ισότητα είναι αληθής:

Συγκεκριμένα, αν θέσουμε c = x, παίρνουμε:

Από τον δεύτερο τύπο προκύπτει ότι η βάση και το όρισμα του λογάριθμου μπορούν να αντικατασταθούν, αλλά σε αυτήν την περίπτωση ολόκληρη η έκφραση "αναποδογυρίζεται", δηλ. ο λογάριθμος εμφανίζεται στον παρονομαστή.

Αυτοί οι τύποι βρίσκονται σπάνια σε συνηθισμένες αριθμητικές εκφράσεις. Είναι δυνατό να αξιολογήσετε πόσο βολικές είναι μόνο αποφασίζοντας λογαριθμικές εξισώσειςκαι ανισότητες.

Ωστόσο, υπάρχουν προβλήματα που δεν μπορούν να λυθούν καθόλου παρά μόνο με τη μετάβαση σε ένα νέο θεμέλιο. Ας δούμε μερικά από αυτά:

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log 5 16 log 2 25.

Σημειώστε ότι τα ορίσματα και των δύο λογαρίθμων περιέχουν ακριβείς δυνάμεις. Ας βγάλουμε τους δείκτες: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Τώρα ας «αντιστρέψουμε» τον δεύτερο λογάριθμο:

Δεδομένου ότι το γινόμενο δεν αλλάζει κατά την αναδιάταξη των παραγόντων, πολλαπλασιάσαμε ήρεμα τέσσερα και δύο και στη συνέχεια ασχοληθήκαμε με τους λογάριθμους.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log 9 100 lg 3.

Η βάση και το όρισμα του πρώτου λογάριθμου είναι ακριβείς δυνάμεις. Ας το γράψουμε αυτό και ας απαλλαγούμε από τους δείκτες:

Τώρα ας απαλλαγούμε από τον δεκαδικό λογάριθμο μεταβαίνοντας σε μια νέα βάση:

Βασική λογαριθμική ταυτότητα

Συχνά στη διαδικασία επίλυσης είναι απαραίτητο να αναπαραστήσουμε έναν αριθμό ως λογάριθμο σε μια δεδομένη βάση.

Σε αυτήν την περίπτωση, οι παρακάτω τύποι θα μας βοηθήσουν:

Στην πρώτη περίπτωση, ο αριθμός n γίνεται ο εκθέτης στο όρισμα. Ο αριθμός n μπορεί να είναι απολύτως οτιδήποτε, γιατί είναι απλώς μια λογαριθμική τιμή.

Ο δεύτερος τύπος είναι στην πραγματικότητα ένας παραφρασμένος ορισμός. Έτσι λέγεται: .

Στην πραγματικότητα, τι συμβαίνει εάν ο αριθμός b αυξηθεί σε τέτοια δύναμη ώστε ο αριθμός b σε αυτή τη δύναμη να δώσει τον αριθμό a; Αυτό είναι σωστό: το αποτέλεσμα είναι ο ίδιος αριθμός α. Διαβάστε ξανά προσεκτικά αυτήν την παράγραφο - πολλοί άνθρωποι κολλάνε σε αυτήν.

Όπως οι τύποι για τη μετάβαση σε μια νέα βάση, η βασική λογαριθμική ταυτότητα είναι μερικές φορές η μόνη δυνατή λύση.

Εργο. Βρείτε το νόημα της έκφρασης:

Σημειώστε ότι το log 25 64 = log 5 8 - απλά πήρε το τετράγωνο από τη βάση και το όρισμα του λογαρίθμου. Λαμβάνοντας υπόψη τους κανόνες για τον πολλαπλασιασμό των δυνάμεων με την ίδια βάση, παίρνουμε:

Αν κάποιος δεν ξέρει, αυτή ήταν μια πραγματική εργασία από την Ενιαία Κρατική Εξέταση :)

Λογαριθμική μονάδα και λογαριθμικό μηδέν

Εν κατακλείδι, θα δώσω δύο ταυτότητες που δύσκολα μπορούν να ονομαστούν ιδιότητες - μάλλον είναι συνέπειες του ορισμού του λογαρίθμου. Εμφανίζονται συνεχώς σε προβλήματα και, παραδόξως, δημιουργούν προβλήματα ακόμη και σε «προχωρημένους» μαθητές.

log a a = 1 είναι. Θυμηθείτε μια για πάντα: ο λογάριθμος σε οποιαδήποτε βάση α αυτής της ίδιας της βάσης είναι ίσος με ένα.
log a 1 = 0 είναι. Η βάση a μπορεί να είναι οτιδήποτε, αλλά αν το όρισμα περιέχει ένα, ο λογάριθμος είναι ίσος με μηδέν! Επειδή το 0 = 1 είναι άμεση συνέπεια του ορισμού.

Αυτά είναι όλα τα ακίνητα. Φροντίστε να εξασκηθείτε στην εφαρμογή τους! Κατεβάστε το cheat sheet στην αρχή του μαθήματος, εκτυπώστε το και λύστε τα προβλήματα.

Εύρος αποδεκτών τιμών (APV) του λογαρίθμου

Τώρα ας μιλήσουμε για περιορισμούς (ODZ - το εύρος των επιτρεπόμενων τιμών των μεταβλητών).

Θυμόμαστε ότι, για παράδειγμα, τετραγωνική ρίζαδεν μπορεί να εξαχθεί από αρνητικούς αριθμούς. ή αν έχουμε κλάσμα, τότε ο παρονομαστής δεν μπορεί να είναι ίσος με μηδέν. Οι λογάριθμοι έχουν παρόμοιους περιορισμούς:

Δηλαδή, τόσο το όρισμα όσο και η βάση πρέπει να είναι μεγαλύτερα από το μηδέν, αλλά η βάση δεν μπορεί ακόμη να είναι ίση.

Γιατί είναι έτσι;

Ας ξεκινήσουμε με ένα απλό πράγμα: ας το πούμε αυτό. Τότε, για παράδειγμα, ο αριθμός δεν υπάρχει, αφού σε όποια δύναμη και αν ανεβάσουμε, πάντα βγαίνει. Επιπλέον, δεν υπάρχει για κανέναν. Αλλά ταυτόχρονα μπορεί να είναι ίσο με οτιδήποτε (για τον ίδιο λόγο - είναι ίσο σε οποιοδήποτε βαθμό). Επομένως, το αντικείμενο δεν παρουσιάζει κανένα ενδιαφέρον και απλώς πετάχτηκε έξω από τα μαθηματικά.

Έχουμε ένα παρόμοιο πρόβλημα στην περίπτωση: σε οποιαδήποτε θετική δύναμη είναι, αλλά δεν μπορεί να ανυψωθεί σε αρνητική ισχύ καθόλου, αφού αυτό θα έχει ως αποτέλεσμα τη διαίρεση με το μηδέν (να σας το θυμίσω αυτό).

Όταν βρισκόμαστε αντιμέτωποι με το πρόβλημα της αύξησης σε μια κλασματική δύναμη (η οποία αναπαρίσταται ως ρίζα: . Για παράδειγμα, (δηλαδή), αλλά δεν υπάρχει.

Ως εκ τούτου, είναι πιο εύκολο να πετάξετε τους αρνητικούς λόγους παρά να τους πειράξετε.

Λοιπόν, δεδομένου ότι η βάση μας α μπορεί να είναι μόνο θετική, τότε όποια δύναμη κι αν την ανεβάζουμε, θα παίρνουμε πάντα έναν αυστηρά θετικό αριθμό. Άρα το επιχείρημα πρέπει να είναι θετικό. Για παράδειγμα, δεν υπάρχει, αφού δεν θα είναι αρνητικός αριθμός σε κανένα βαθμό (ή ακόμα και μηδέν, άρα και δεν υπάρχει).

Σε προβλήματα με λογάριθμους, το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνετε είναι να γράψετε το ODZ. Επιτρέψτε μου να σας δώσω ένα παράδειγμα:

Ας λύσουμε την εξίσωση.

Ας θυμηθούμε τον ορισμό: λογάριθμος είναι η δύναμη στην οποία πρέπει να ανυψωθεί η βάση για να ληφθεί ένα όρισμα. Και σύμφωνα με την προϋπόθεση, ο βαθμός αυτός ισούται με: .

Παίρνουμε τη συνηθισμένη τετραγωνική εξίσωση: . Ας το λύσουμε χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta: το άθροισμα των ριζών είναι ίσο και το γινόμενο. Εύκολο στην παραλαβή, αυτοί είναι αριθμοί και.

Αλλά αν πάρετε αμέσως και γράψετε και τους δύο αυτούς αριθμούς στην απάντηση, μπορείτε να πάρετε 0 βαθμούς για το πρόβλημα. Γιατί; Ας σκεφτούμε τι θα συμβεί αν αντικαταστήσουμε αυτές τις ρίζες στην αρχική εξίσωση;

Αυτό είναι σαφώς λανθασμένο, αφού η βάση δεν μπορεί να είναι αρνητική, δηλαδή η ρίζα είναι "τρίτο μέρος".

Για να αποφύγετε τέτοιες δυσάρεστες παγίδες, πρέπει να γράψετε το ODZ ακόμη και πριν αρχίσετε να λύνετε την εξίσωση:

Στη συνέχεια, έχοντας λάβει τις ρίζες και, πετάμε αμέσως τη ρίζα και γράφουμε τη σωστή απάντηση.

Παράδειγμα 1(προσπάθησε να το λύσεις μόνος σου) :

Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης. Εάν υπάρχουν πολλές ρίζες, υποδείξτε τη μικρότερη από αυτές στην απάντησή σας.

Διάλυμα:

Πρώτα απ 'όλα, ας γράψουμε το ODZ:

Τώρα ας θυμηθούμε τι είναι ο λογάριθμος: σε ποια δύναμη χρειάζεστε για να αυξήσετε τη βάση για να λάβετε το όρισμα; Στο δεύτερο. Ήτοι:

Φαίνεται ότι η μικρότερη ρίζα είναι ίση. Αλλά αυτό δεν είναι έτσι: σύμφωνα με το ODZ, η ρίζα είναι τρίτων, δηλαδή δεν είναι καθόλου ρίζα δεδομένη εξίσωση. Έτσι, η εξίσωση έχει μόνο μία ρίζα: .

Απάντηση: .

Βασική λογαριθμική ταυτότητα

Ας θυμηθούμε τον ορισμό του λογάριθμου σε γενική μορφή:

Ας αντικαταστήσουμε τον λογάριθμο με τη δεύτερη ισότητα:

Αυτή η ισότητα ονομάζεται βασική λογαριθμική ταυτότητα. Αν και στην ουσία αυτό είναι ισότητα - απλώς γράφεται διαφορετικά ορισμός του λογάριθμου:

Αυτή είναι η δύναμη στην οποία πρέπει να αυξήσετε για να φτάσετε.

Για παράδειγμα:

Λύστε τα παρακάτω παραδείγματα:

Παράδειγμα 2.

Βρείτε το νόημα της έκφρασης.

Διάλυμα:

Ας θυμηθούμε τον κανόνα από την ενότητα:, δηλαδή, όταν ανεβάζουμε μια δύναμη σε δύναμη, οι εκθέτες πολλαπλασιάζονται. Ας το εφαρμόσουμε:

Παράδειγμα 3.

Αποδείξτε το.

Διάλυμα:

Ιδιότητες λογαρίθμων

Δυστυχώς, οι εργασίες δεν είναι πάντα τόσο απλές - συχνά πρέπει πρώτα να απλοποιήσετε την έκφραση, να τη φέρετε στη συνηθισμένη της μορφή και μόνο τότε θα είναι δυνατός ο υπολογισμός της τιμής. Αυτό είναι πιο εύκολο να το κάνετε αν γνωρίζετε ιδιότητες των λογαρίθμων. Ας μάθουμε λοιπόν τις βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων. Θα αποδείξω το καθένα από αυτά, γιατί οποιοσδήποτε κανόνας είναι πιο εύκολο να θυμηθείς αν ξέρεις από πού προέρχεται.

Όλες αυτές οι ιδιότητες πρέπει να θυμόμαστε χωρίς αυτές, τα περισσότερα προβλήματα με τους λογάριθμους δεν μπορούν να λυθούν.

Και τώρα για όλες τις ιδιότητες των λογαρίθμων με περισσότερες λεπτομέρειες.

Ιδιοκτησία 1:

Απόδειξη:

Ας είναι τότε.

Έχουμε: , κ.λπ.

Ιδιότητα 2: Άθροισμα λογαρίθμων

Το άθροισμα των λογαρίθμων με τις ίδιες βάσεις είναι ίσο με τον λογάριθμο του γινομένου: .

Απόδειξη:

Ας είναι τότε. Ας είναι τότε.

Παράδειγμα:Βρείτε τη σημασία της έκφρασης: .

Λύση: .

Ο τύπος που μόλις μάθατε βοηθά στην απλοποίηση του αθροίσματος των λογαρίθμων και όχι της διαφοράς, επομένως αυτοί οι λογάριθμοι δεν μπορούν να συνδυαστούν αμέσως. Αλλά μπορείτε να κάνετε το αντίθετο - «διαχωρίστε» τον πρώτο λογάριθμο στα δύο: Και εδώ είναι η υποσχεμένη απλοποίηση:
.
Γιατί είναι απαραίτητο αυτό; Λοιπόν, για παράδειγμα: τι ισούται;

Τώρα είναι φανερό ότι.

Τώρα απλοποιήστε το μόνοι σας:

Καθήκοντα:

Απαντήσεις:

Ιδιότητα 3: Διαφορά λογαρίθμων:

Απόδειξη:

Όλα είναι ακριβώς τα ίδια όπως στο σημείο 2:

Ας είναι τότε.

Ας είναι τότε. Έχουμε:

Το παράδειγμα από την προηγούμενη παράγραφο γίνεται τώρα ακόμα πιο απλό:

Ένα πιο περίπλοκο παράδειγμα: . Μπορείτε να βρείτε πώς να το λύσετε μόνοι σας;

Εδώ πρέπει να σημειωθεί ότι δεν έχουμε έναν ενιαίο τύπο για τους λογάριθμους στο τετράγωνο. Αυτό είναι κάτι παρόμοιο με μια έκφραση - δεν μπορεί να απλοποιηθεί αμέσως.

Επομένως, ας κάνουμε ένα διάλειμμα από τους τύπους για τους λογάριθμους και ας σκεφτούμε τι είδους τύπους χρησιμοποιούμε πιο συχνά στα μαθηματικά; Από την 7η δημοτικού!

Αυτό - . Πρέπει να συνηθίσεις το γεγονός ότι υπάρχουν παντού! Εμφανίζονται σε εκθετικά, τριγωνομετρικά και παράλογα προβλήματα. Επομένως, πρέπει να θυμόμαστε.

Αν κοιτάξετε προσεκτικά τους δύο πρώτους όρους, γίνεται σαφές ότι αυτό διαφορά τετραγώνων:

Απάντηση για έλεγχο:

Απλοποιήστε το μόνοι σας.

Παραδείγματα

Απαντήσεις.

Ιδιότητα 4: Αφαίρεση του εκθέτη από το όρισμα του λογάριθμου:

Απόδειξη:Και εδώ χρησιμοποιούμε επίσης τον ορισμό του λογάριθμου: ας, τότε. Έχουμε: , κ.λπ.

Αυτός ο κανόνας μπορεί να γίνει κατανοητός ως εξής:

Δηλαδή, ο βαθμός του επιχειρήματος μετακινείται μπροστά από τον λογάριθμο ως συντελεστής.

Παράδειγμα:Βρείτε το νόημα της έκφρασης.

Διάλυμα: .

Αποφασίστε μόνοι σας:

Παραδείγματα:

Απαντήσεις:

Ιδιότητα 5: Λαμβάνοντας τον εκθέτη από τη βάση του λογαρίθμου:

Απόδειξη:Ας είναι τότε.

Έχουμε: , κ.λπ.
Θυμηθείτε: από λόγουςο βαθμός εκφράζεται ως το αντίθετονούμερο, σε αντίθεση με την προηγούμενη περίπτωση!

Ιδιότητα 6: Αφαίρεση του εκθέτη από τη βάση και το όρισμα του λογάριθμου:

Ή αν οι βαθμοί είναι ίδιοι: .

Ιδιότητα 7: Μετάβαση σε νέα βάση:

Απόδειξη:Ας είναι τότε.

Έχουμε: , κ.λπ.

Ιδιότητα 8: Αλλάξτε τη βάση και το όρισμα του λογάριθμου:

Απόδειξη:Αυτή είναι μια ειδική περίπτωση του τύπου 7: αν αντικαταστήσουμε, παίρνουμε: , κ.λπ.

Ας δούμε μερικά ακόμη παραδείγματα.

Παράδειγμα 4.

Βρείτε το νόημα της έκφρασης.

Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα των λογαρίθμων Νο. 2 - το άθροισμα των λογαρίθμων με την ίδια βάση είναι ίσο με τον λογάριθμο του γινομένου:

Παράδειγμα 5.

Βρείτε το νόημα της έκφρασης.

Διάλυμα:

Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα των λογαρίθμων Νο. 3 και Νο. 4:

Παράδειγμα 6.

Βρείτε το νόημα της έκφρασης.

Διάλυμα:

Ας χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα Νο. 7 - προχωρήστε στη βάση 2:

Παράδειγμα 7.

Βρείτε το νόημα της έκφρασης.

Διάλυμα:

Πώς σας φαίνεται το άρθρο;

Εάν διαβάζετε αυτές τις γραμμές, τότε έχετε διαβάσει ολόκληρο το άρθρο.

Και αυτό είναι ωραίο!

Τώρα πείτε μας πώς σας αρέσει το άρθρο;

Έχετε μάθει πώς να λύνετε λογάριθμους; Αν όχι, ποιο είναι το πρόβλημα;

Γράψτε μας στα σχόλια παρακάτω.

Και, ναι, καλή επιτυχία στις εξετάσεις σας.

Στην Ενιαία Κρατική Εξέταση και στην Ενιαία Κρατική Εξέταση και στη ζωή γενικότερα

Καθώς η κοινωνία αναπτύχθηκε και η παραγωγή γινόταν πιο περίπλοκη, αναπτύχθηκαν και τα μαθηματικά. Κίνηση από απλό σε σύνθετο. Από τη συνηθισμένη λογιστική με τη μέθοδο της πρόσθεσης και της αφαίρεσης, με την επαναλαμβανόμενη επανάληψή τους, καταλήξαμε στην έννοια του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης. Η μείωση της επαναλαμβανόμενης λειτουργίας του πολλαπλασιασμού έγινε η έννοια της εκθέσεως. Οι πρώτοι πίνακες της εξάρτησης των αριθμών από τη βάση και τον αριθμό της εκθέσεως συντάχθηκαν τον 8ο αιώνα από τον Ινδό μαθηματικό Varasena. Από αυτά μπορείτε να μετρήσετε το χρόνο εμφάνισης των λογαρίθμων.

Ιστορικό σκίτσο

Η αναβίωση της Ευρώπης τον 16ο αιώνα τόνωσε επίσης την ανάπτυξη της μηχανικής. Τ απαιτούσε μεγάλο όγκο υπολογισμώνπου σχετίζονται με τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση πολυψήφιων αριθμών. Τα αρχαία τραπέζια ήταν πολύ εξυπηρετικά. Κατέστησαν δυνατή την αντικατάσταση σύνθετων πράξεων με απλούστερες - πρόσθεση και αφαίρεση. Ένα μεγάλο βήμα προόδου ήταν το έργο του μαθηματικού Michael Stiefel, που δημοσιεύτηκε το 1544, στο οποίο πραγματοποίησε την ιδέα πολλών μαθηματικών. Αυτό κατέστησε δυνατή τη χρήση πινάκων όχι μόνο για δυνάμεις με τη μορφή πρώτων αριθμών, αλλά και για αυθαίρετους ορθολογικούς.

Το 1614, ο Σκωτσέζος Τζον Νάπιερ, αναπτύσσοντας αυτές τις ιδέες, εισήγαγε για πρώτη φορά τον νέο όρο «λογάριθμος ενός αριθμού». Συντάχθηκαν νέοι σύνθετοι πίνακες για τον υπολογισμό των λογαρίθμων των ημιτόνων και των συνημιτόνων, καθώς και των εφαπτομένων. Αυτό μείωσε πολύ το έργο των αστρονόμων.

Άρχισαν να εμφανίζονται νέοι πίνακες, οι οποίοι χρησιμοποιήθηκαν με επιτυχία από τους επιστήμονες σε όλη τη διάρκεια τρεις αιώνες. Πέρασε πολύς χρόνος πριν η νέα πράξη στην άλγεβρα αποκτήσει την τελική της μορφή. Δόθηκε ο ορισμός του λογάριθμου και μελετήθηκαν οι ιδιότητές του.

Μόνο τον 20ο αιώνα, με την εμφάνιση της αριθμομηχανής και του υπολογιστή, η ανθρωπότητα εγκατέλειψε τα αρχαία τραπέζια που είχαν λειτουργήσει με επιτυχία σε όλη τη διάρκεια του 13ου αιώνα.

Σήμερα ονομάζουμε λογάριθμο του b για να βασίσουμε τον αριθμό x που είναι η δύναμη του a να κάνει το b. Αυτό γράφεται ως τύπος: x = log a(b).

Για παράδειγμα, το log 3(9) θα ήταν ίσο με 2. Αυτό είναι προφανές αν ακολουθήσετε τον ορισμό. Αν αυξήσουμε το 3 στη δύναμη του 2, θα έχουμε 9.

Έτσι, ο διατυπωμένος ορισμός θέτει μόνο έναν περιορισμό: οι αριθμοί a και b πρέπει να είναι πραγματικοί.

Τύποι λογαρίθμων

Ο κλασικός ορισμός ονομάζεται πραγματικός λογάριθμος και είναι στην πραγματικότητα η λύση της εξίσωσης a x = b. Η επιλογή a = 1 είναι οριακή και δεν ενδιαφέρει. Προσοχή: 1 σε οποιαδήποτε δύναμη ισούται με 1.

Πραγματική τιμή λογαρίθμουορίζεται μόνο όταν η βάση και το όρισμα είναι μεγαλύτερα από 0 και η βάση δεν πρέπει να είναι ίση με 1.

Ξεχωριστή θέση στον τομέα των μαθηματικώνπαίζουν λογάριθμοι, οι οποίοι θα ονομάζονται ανάλογα με το μέγεθος της βάσης τους:

Κανόνες και περιορισμοί

Η θεμελιώδης ιδιότητα των λογαρίθμων είναι ο κανόνας: ο λογάριθμος ενός γινομένου είναι ίσος με το λογαριθμικό άθροισμα. log abp = log a(b) + log a(p).

Ως παραλλαγή αυτής της δήλωσης θα υπάρχει: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), η συνάρτηση πηλίκου είναι ίση με τη διαφορά των συναρτήσεων.

Από τους δύο προηγούμενους κανόνες είναι εύκολο να δούμε ότι: log a(b p) = p * log a(b).

Άλλες ιδιότητες περιλαμβάνουν:

Σχόλιο. Δεν χρειάζεται να κάνουμε ένα κοινό λάθος - ο λογάριθμος ενός αθροίσματος δεν είναι ίσος με το άθροισμα των λογαρίθμων.

Για πολλούς αιώνες, η λειτουργία εύρεσης ενός λογαρίθμου ήταν μια μάλλον χρονοβόρα εργασία. Οι μαθηματικοί χρησιμοποίησαν τον γνωστό τύπο της λογαριθμικής θεωρίας της πολυωνυμικής διαστολής:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), όπου n - φυσικός αριθμόςμεγαλύτερο από 1, το οποίο καθορίζει την ακρίβεια του υπολογισμού.

Οι λογάριθμοι με άλλες βάσεις υπολογίστηκαν χρησιμοποιώντας το θεώρημα για τη μετάβαση από τη μια βάση στην άλλη και την ιδιότητα του λογάριθμου ενός γινομένου.

Δεδομένου ότι αυτή η μέθοδος είναι πολύ εντάσεως εργασίας και κατά την επίλυση πρακτικών προβλημάτωνδύσκολο να εφαρμοστεί, χρησιμοποιήσαμε προκαταρτισμένους πίνακες λογαρίθμων, οι οποίοι επιτάχυναν σημαντικά όλη την εργασία.

Σε ορισμένες περιπτώσεις, χρησιμοποιήθηκαν ειδικά μεταγλωττισμένα γραφήματα λογαρίθμων, τα οποία έδιναν μικρότερη ακρίβεια, αλλά επιτάχυναν σημαντικά την αναζήτηση της επιθυμητής τιμής. Η καμπύλη της συνάρτησης y = log a(x), κατασκευασμένη σε πολλά σημεία, σας επιτρέπει να χρησιμοποιήσετε έναν κανονικό χάρακα για να βρείτε την τιμή της συνάρτησης σε οποιοδήποτε άλλο σημείο. Οι μηχανικοί χρησιμοποιούν το λεγόμενο γραφικό χαρτί για αυτούς τους σκοπούς εδώ και πολύ καιρό.

Τον 17ο αιώνα εμφανίστηκαν οι πρώτες βοηθητικές αναλογικές συνθήκες υπολογισμού, οι οποίες 19ος αιώναςαπέκτησε μια τελειωμένη εμφάνιση. Η πιο επιτυχημένη συσκευή ονομάστηκε κανόνας διαφάνειας. Παρά την απλότητα της συσκευής, η εμφάνισή της επιτάχυνε σημαντικά τη διαδικασία όλων των μηχανικών υπολογισμών και αυτό είναι δύσκολο να υπερεκτιμηθεί. Επί του παρόντος, λίγοι άνθρωποι είναι εξοικειωμένοι με αυτήν τη συσκευή.

Η εμφάνιση των αριθμομηχανών και των υπολογιστών έκανε άσκοπη τη χρήση οποιασδήποτε άλλης συσκευής.

Εξισώσεις και ανισώσεις

Να λύσει διαφορετικές εξισώσειςκαι ανισώσεις με χρήση λογαρίθμων, χρησιμοποιούνται οι ακόλουθοι τύποι:

Μετάβαση από τη μια βάση στην άλλη: log a(b) = log c(b) / log c(a);
Ως συνέπεια της προηγούμενης επιλογής: log a(b) = 1 / log b(a).

Για την επίλυση των ανισοτήτων είναι χρήσιμο να γνωρίζουμε:

Η τιμή του λογάριθμου θα είναι θετική μόνο εάν η βάση και το όρισμα είναι και τα δύο μεγαλύτερα από ή λιγότερο από ένα; Εάν παραβιαστεί τουλάχιστον μία συνθήκη, η τιμή του λογαρίθμου θα είναι αρνητική.
Εάν η λογαριθμική συνάρτηση εφαρμόζεται στη δεξιά και την αριστερή πλευρά μιας ανισότητας και η βάση του λογάριθμου είναι μεγαλύτερη από μία, τότε το πρόσημο της ανισότητας διατηρείται. αλλιώς αλλάζει.

Παραδείγματα προβλημάτων

Ας εξετάσουμε διάφορες επιλογές για τη χρήση λογαρίθμων και των ιδιοτήτων τους. Παραδείγματα επίλυσης εξισώσεων:

Εξετάστε την επιλογή να τοποθετήσετε τον λογάριθμο σε δύναμη:

Πρόβλημα 3. Υπολογίστε το 25^log 5(3). Λύση: στις συνθήκες του προβλήματος, η καταχώρηση είναι παρόμοια με την ακόλουθη (5^2)^log5(3) ή 5^(2 * log 5(3)). Ας το γράψουμε διαφορετικά: 5^log 5(3*2), ή το τετράγωνο ενός αριθμού ως όρισμα συνάρτησης μπορεί να γραφτεί ως το τετράγωνο της ίδιας της συνάρτησης (5^log 5(3))^2. Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των λογαρίθμων, αυτή η έκφραση είναι ίση με 3^2. Απάντηση: ως αποτέλεσμα του υπολογισμού παίρνουμε 9.

Πρακτική Εφαρμογή

Όντας ένα καθαρά μαθηματικό εργαλείο, φαίνεται πολύ μακριά από την πραγματική ζωή ότι ο λογάριθμος απέκτησε ξαφνικά μεγάλη αξίανα περιγράψει αντικείμενα πραγματικό κόσμο. Είναι δύσκολο να βρεις μια επιστήμη όπου δεν χρησιμοποιείται. Αυτό ισχύει πλήρως όχι μόνο για φυσικά, αλλά και για ανθρωπιστικά πεδία γνώσης.

Λογαριθμικές εξαρτήσεις

Ακολουθούν μερικά παραδείγματα αριθμητικών εξαρτήσεων:

Μηχανική και φυσική

Ιστορικά, η μηχανική και η φυσική ανέκαθεν αναπτύχθηκαν χρησιμοποιώντας μαθηματικές μεθόδουςέρευνα και ταυτόχρονα λειτούργησε ως κίνητρο για την ανάπτυξη των μαθηματικών, συμπεριλαμβανομένων των λογαρίθμων. Η θεωρία των περισσότερων νόμων της φυσικής είναι γραμμένη στη γλώσσα των μαθηματικών. Ας δώσουμε μόνο δύο παραδείγματα περιγραφών φυσικοί νόμοιχρησιμοποιώντας λογάριθμο.

Το πρόβλημα του υπολογισμού μιας τόσο πολύπλοκης ποσότητας όπως η ταχύτητα ενός πυραύλου μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο Tsiolkovsky, ο οποίος έθεσε τα θεμέλια για τη θεωρία της εξερεύνησης του διαστήματος:

V = I * ln (M1/M2), όπου

V είναι η τελική ταχύτητα του αεροσκάφους.
I – ειδική ώθηση του κινητήρα.
M 1 – αρχική μάζα του πυραύλου.
M 2 – τελική μάζα.

Άλλο ένα σημαντικό παράδειγμα- αυτό χρησιμοποιείται στον τύπο ενός άλλου μεγάλου επιστήμονα Max Planck, ο οποίος χρησιμεύει για την αξιολόγηση της κατάστασης ισορροπίας στη θερμοδυναμική.

S = k * ln (Ω), όπου

S – θερμοδυναμική ιδιότητα.
k – Σταθερά Boltzmann.
Το Ω είναι το στατιστικό βάρος διαφορετικών καταστάσεων.

Χημεία

Λιγότερο προφανής είναι η χρήση τύπων στη χημεία που περιέχουν την αναλογία των λογαρίθμων. Ας δώσουμε μόνο δύο παραδείγματα:

Εξίσωση Nernst, η συνθήκη του δυναμικού οξειδοαναγωγής του μέσου σε σχέση με τη δραστηριότητα των ουσιών και τη σταθερά ισορροπίας.
Ο υπολογισμός τέτοιων σταθερών όπως ο δείκτης αυτόλυσης και η οξύτητα του διαλύματος επίσης δεν μπορεί να γίνει χωρίς τη συνάρτησή μας.

Ψυχολογία και βιολογία

Και δεν είναι καθόλου ξεκάθαρο τι σχέση έχει η ψυχολογία. Αποδεικνύεται ότι η δύναμη της αίσθησης περιγράφεται καλά από αυτή τη συνάρτηση ως η αντίστροφη αναλογία της τιμής της έντασης του ερεθίσματος προς τη χαμηλότερη τιμή έντασης.

Μετά τα παραπάνω παραδείγματα, δεν αποτελεί πλέον έκπληξη το γεγονός ότι το θέμα των λογαρίθμων χρησιμοποιείται ευρέως στη βιολογία. Θα μπορούσαν να γραφτούν ολόκληροι τόμοι για βιολογικές μορφές που αντιστοιχούν σε λογαριθμικές σπείρες.

Άλλες περιοχές

Φαίνεται ότι η ύπαρξη του κόσμου είναι αδύνατη χωρίς σύνδεση με αυτή τη λειτουργία, και κυβερνά όλους τους νόμους. Ειδικά όταν οι νόμοι της φύσης συνδέονται με γεωμετρική πρόοδο. Αξίζει να απευθυνθείτε στον ιστότοπο MatProfi και υπάρχουν πολλά τέτοια παραδείγματα στους ακόλουθους τομείς δραστηριότητας:

Η λίστα μπορεί να είναι ατελείωτη. Έχοντας κατακτήσει τις βασικές αρχές αυτής της λειτουργίας, μπορείτε να βουτήξετε στον κόσμο της άπειρης σοφίας.

Ο λογάριθμος ενός θετικού αριθμού b στη βάση a (a>0, a δεν είναι ίσος με 1) είναι ένας αριθμός c τέτοιος ώστε a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

Σημειώστε ότι ο λογάριθμος ενός μη θετικού αριθμού είναι απροσδιόριστος. Επιπλέον, η βάση του λογάριθμου πρέπει να είναι θετικός αριθμός, δεν ισούται με 1. Για παράδειγμα, αν τετραγωνίσουμε -2, παίρνουμε τον αριθμό 4, αλλά αυτό δεν σημαίνει ότι ο λογάριθμος στη βάση -2 του 4 είναι ίσος με 2.

Βασική λογαριθμική ταυτότητα

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Είναι σημαντικό το εύρος του ορισμού της δεξιάς και της αριστερής πλευράς αυτού του τύπου να είναι διαφορετικό. Η αριστερή πλευρά ορίζεται μόνο για b>0, a>0 και a ≠ 1. Η δεξιά πλευρά ορίζεται για οποιοδήποτε b και δεν εξαρτάται καθόλου από το a. Έτσι, η εφαρμογή της βασικής λογαριθμικής «ταυτότητας» κατά την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων μπορεί να οδηγήσει σε αλλαγή στην ΟΔ.

Δύο προφανείς συνέπειες του ορισμού του λογάριθμου

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Πράγματι, όταν ανεβάζουμε τον αριθμό α στην πρώτη δύναμη, παίρνουμε τον ίδιο αριθμό, και όταν τον ανεβάζουμε στη μηδενική ισχύ, παίρνουμε ένα.

Λογάριθμος του γινομένου και λογάριθμος του πηλίκου

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Θα ήθελα να προειδοποιήσω τους μαθητές να μην χρησιμοποιούν αλόγιστα αυτούς τους τύπους κατά την επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων και ανισώσεων. Όταν τα χρησιμοποιείτε "από αριστερά προς τα δεξιά", το ODZ στενεύει και όταν μετακινείται από το άθροισμα ή τη διαφορά λογαρίθμων στον λογάριθμο του γινομένου ή του πηλίκου, το ODZ επεκτείνεται.

Πράγματι, η έκφραση log a (f (x) g (x)) ορίζεται σε δύο περιπτώσεις: όταν και οι δύο συναρτήσεις είναι αυστηρά θετικές ή όταν η f (x) και η g (x) είναι και οι δύο μικρότερες από το μηδέν.

Μεταμορφώνοντας αυτή η έκφρασηστο άθροισμα log a f (x) + log a g (x) , αναγκαζόμαστε να περιοριστούμε μόνο στην περίπτωση που f(x)>0 και g(x)>0. Υπάρχει μια στένωση του εύρους των αποδεκτών τιμών, και αυτό είναι κατηγορηματικά απαράδεκτο, καθώς μπορεί να οδηγήσει σε απώλεια λύσεων. Παρόμοιο πρόβλημα υπάρχει για τον τύπο (6).

Ο βαθμός μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του λογαρίθμου

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Και πάλι θα ήθελα να ζητήσω ακρίβεια. Εξετάστε το ακόλουθο παράδειγμα:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Η αριστερή πλευρά της ισότητας ορίζεται προφανώς για όλες τις τιμές του f(x) εκτός από το μηδέν. Η δεξιά πλευρά είναι μόνο για f(x)>0! Βγάζοντας τον βαθμό από τον λογάριθμο, περιορίζουμε ξανά το ODZ. Η αντίστροφη διαδικασία οδηγεί σε επέκταση του εύρους των αποδεκτών τιμών. Όλες αυτές οι παρατηρήσεις ισχύουν όχι μόνο για την ισχύ 2, αλλά και για οποιαδήποτε άρτια δύναμη.

Φόρμουλα για μετάβαση σε νέα βάση

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Οτι σπάνια περίπτωση, όταν το ODZ δεν αλλάζει κατά τη διάρκεια του μετασχηματισμού. Εάν έχετε επιλέξει σοφά τη βάση c (θετική και όχι ίση με 1), η φόρμουλα για τη μετάβαση σε μια νέα βάση είναι απολύτως ασφαλής.

Εάν επιλέξουμε τον αριθμό b ως τη νέα βάση c, λαμβάνουμε μια σημαντική ειδική περίπτωση του τύπου (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Μερικά απλά παραδείγματα με λογάριθμους

Παράδειγμα 1. Υπολογίστε: log2 + log50.
Διάλυμα. log2 + log50 = log100 = 2. Χρησιμοποιήσαμε το άθροισμα των λογαρίθμων τύπου (5) και τον ορισμό του δεκαδικού λογάριθμου.

Παράδειγμα 2. Υπολογίστε: lg125/lg5.
Διάλυμα. log125/log5 = log 5 125 = 3. Χρησιμοποιήσαμε τον τύπο για τη μετάβαση σε νέα βάση (8).