Παράλογες ανισότητες. Θεωρία και παραδείγματα

ΣΕ αυτό το μάθημαΘα εξετάσουμε την επίλυση παράλογων ανισοτήτων και θα δώσουμε διάφορα παραδείγματα.

Θέμα: Εξισώσεις και ανισώσεις. Συστήματα εξισώσεων και ανισώσεων

Μάθημα:Παράλογες ανισότητες

Κατά την επίλυση παράλογων ανισοτήτων, είναι αρκετά συχνά απαραίτητο να αυξάνονται και οι δύο πλευρές της ανισότητας σε κάποιο βαθμό, αυτή είναι μια μάλλον υπεύθυνη λειτουργία. Ας θυμηθούμε τα χαρακτηριστικά.

Και οι δύο πλευρές της ανισότητας μπορούν να τετραγωνιστούν αν και οι δύο είναι μη αρνητικές, μόνο τότε λαμβάνουμε μια αληθινή ανισότητα από μια αληθινή ανισότητα.

Και οι δύο πλευρές της ανισότητας μπορούν να τεμαχιστούν σε κύβους σε κάθε περίπτωση, εάν η αρχική ανισότητα ήταν αληθής, τότε όταν γίνει κύβος θα πάρουμε την αληθινή ανισότητα.

Θεωρήστε μια ανισότητα της μορφής:

Η ριζική έκφραση πρέπει να είναι μη αρνητική. Η συνάρτηση μπορεί να λάβει οποιεσδήποτε τιμές πρέπει να ληφθούν υπόψη δύο περιπτώσεις.

Στην πρώτη περίπτωση, και οι δύο πλευρές της ανισότητας είναι μη αρνητικές, έχουμε το δικαίωμα να την τετραγωνίσουμε. Στη δεύτερη περίπτωση, η δεξιά πλευρά είναι αρνητική και δεν έχουμε δικαίωμα να την τετραγωνίσουμε. Σε αυτήν την περίπτωση, είναι απαραίτητο να δούμε την έννοια της ανισότητας: εδώ είναι μια θετική έκφραση ( τετραγωνική ρίζα) είναι μεγαλύτερη από μια αρνητική έκφραση, που σημαίνει ότι η ανισότητα ικανοποιείται πάντα.

Έτσι, έχουμε το ακόλουθο σχήμα λύσεων:

Στο πρώτο σύστημα, δεν προστατεύουμε χωριστά τη ριζική έκφραση, αφού όταν ικανοποιηθεί η δεύτερη ανισότητα του συστήματος, η ριζική έκφραση πρέπει αυτόματα να είναι θετική.

Παράδειγμα 1 - επίλυση ανισότητας:

Σύμφωνα με το διάγραμμα, προχωράμε σε ένα ισοδύναμο σύνολο δύο συστημάτων ανισοτήτων:

Ας δείξουμε:

Ρύζι. 1 - απεικόνιση της λύσης στο παράδειγμα 1

Όπως βλέπουμε, όταν απαλλαγούμε από τον παραλογισμό, για παράδειγμα, όταν κάνουμε τετραγωνισμό, παίρνουμε ένα σύνολο συστημάτων. Μερικές φορές αυτός ο πολύπλοκος σχεδιασμός μπορεί να απλοποιηθεί. Στο σύνολο που προκύπτει, έχουμε το δικαίωμα να απλοποιήσουμε το πρώτο σύστημα και να αποκτήσουμε ένα ισοδύναμο σύνολο:

Ως ανεξάρτητη άσκηση, είναι απαραίτητο να αποδειχθεί η ισοδυναμία αυτών των συνόλων.

Θεωρήστε μια ανισότητα της μορφής:

Παρόμοια με την προηγούμενη ανισότητα, εξετάζουμε δύο περιπτώσεις:

Στην πρώτη περίπτωση, και οι δύο πλευρές της ανισότητας είναι μη αρνητικές, έχουμε το δικαίωμα να την τετραγωνίσουμε. Στη δεύτερη περίπτωση, η δεξιά πλευρά είναι αρνητική και δεν έχουμε δικαίωμα να την τετραγωνίσουμε. Σε αυτήν την περίπτωση, είναι απαραίτητο να δούμε την έννοια της ανισότητας: εδώ η θετική έκφραση (τετραγωνική ρίζα) είναι μικρότερη από την αρνητική έκφραση, πράγμα που σημαίνει ότι η ανισότητα είναι αντιφατική. Δεν χρειάζεται να εξετάσουμε το δεύτερο σύστημα.

Έχουμε ένα αντίστοιχο σύστημα:

Μερικές φορές οι παράλογες ανισότητες μπορούν να λυθούν γραφικά. Αυτή η μέθοδοςισχύει όταν τα αντίστοιχα γραφήματα μπορούν να κατασκευαστούν αρκετά εύκολα και μπορούν να βρεθούν τα σημεία τομής τους.

Παράδειγμα 2 - επίλυση ανισώσεων γραφικά:

ΕΝΑ)

σι)

Έχουμε ήδη λύσει την πρώτη ανισότητα και γνωρίζουμε την απάντηση.

Για να λύσετε τις ανισώσεις γραφικά, πρέπει να κατασκευάσετε ένα γράφημα της συνάρτησης στην αριστερή πλευρά και ένα γράφημα της συνάρτησης στη δεξιά πλευρά.

Ρύζι. 2. Γραφήματα συναρτήσεων και

Για να σχεδιάσετε ένα γράφημα μιας συνάρτησης, είναι απαραίτητο να μετατρέψετε την παραβολή σε παραβολή (να την αντικατοπτρίσετε σε σχέση με τον άξονα y) και να μετατοπίσετε την καμπύλη που προκύπτει 7 μονάδες προς τα δεξιά. Το γράφημα το επιβεβαιώνει αυτή τη λειτουργίαμειώνεται μονότονα στο πεδίο ορισμού του.

Το γράφημα μιας συνάρτησης είναι μια ευθεία γραμμή και είναι εύκολο να κατασκευαστεί. Το σημείο τομής με τον άξονα y είναι (0;-1).

Η πρώτη συνάρτηση μειώνεται μονοτονικά, η δεύτερη αυξάνεται μονοτονικά. Αν η εξίσωση έχει ρίζα, τότε είναι η μόνη που είναι εύκολο να τη μαντέψει κανείς από το γράφημα: .

Όταν η τιμή του ορίσματος είναι μικρότερη από τη ρίζα, η παραβολή βρίσκεται πάνω από την ευθεία γραμμή. Όταν η τιμή του ορίσματος είναι μεταξύ τριών και επτά, η ευθεία γραμμή περνά πάνω από την παραβολή.

Έχουμε την απάντηση:

Αποτελεσματική μέθοδοςΗ μέθοδος των διαστημάτων χρησιμοποιείται για την επίλυση παράλογων ανισοτήτων.

Παράδειγμα 3 - επίλυση ανισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του διαστήματος:

ΕΝΑ)

σι)

Σύμφωνα με τη μέθοδο του διαστήματος, είναι απαραίτητο να απομακρυνθούμε προσωρινά από την ανισότητα. Για να το κάνετε αυτό, μετακινήστε τα πάντα στη δεδομένη ανισότητα προς την αριστερή πλευρά (πάρτε μηδέν στα δεξιά) και εισαγάγετε μια συνάρτηση ίση με την αριστερή πλευρά:

Τώρα πρέπει να μελετήσουμε τη συνάρτηση που προκύπτει.

ODZ:

Έχουμε ήδη λύσει αυτή την εξίσωση γραφικά, οπότε δεν μένουμε στον προσδιορισμό της ρίζας.

Τώρα είναι απαραίτητο να επιλέξετε διαστήματα σταθερού πρόσημου και να καθορίσετε το πρόσημο της συνάρτησης σε κάθε διάστημα:

Ρύζι. 3. Διαστήματα σταθερότητας του πρόσημου για παράδειγμα 3

Ας θυμηθούμε ότι για να προσδιορίσουμε τα σημάδια σε ένα διάστημα, είναι απαραίτητο να πάρουμε ένα δοκιμαστικό σημείο και να το αντικαταστήσουμε στη συνάρτηση που θα διατηρήσει το πρόσημο που προκύπτει σε όλο το διάστημα.

Ας ελέγξουμε την τιμή στο οριακό σημείο:

Η απάντηση είναι προφανής:

Εξετάστε τον ακόλουθο τύπο ανισοτήτων:

Αρχικά, ας γράψουμε το ODZ:

Οι ρίζες υπάρχουν, είναι μη αρνητικές, μπορούμε να τετραγωνίσουμε και τις δύο πλευρές. Παίρνουμε:

Έχουμε ένα ισοδύναμο σύστημα:

Το προκύπτον σύστημα μπορεί να απλοποιηθεί. Όταν η δεύτερη και η τρίτη ανισότητα ικανοποιούνται, η πρώτη ισχύει αυτόματα. Έχουμε::

Παράδειγμα 4 - επίλυση ανισότητας:

Ενεργούμε σύμφωνα με το σχήμα - λαμβάνουμε ένα ισοδύναμο σύστημα.

Η διατήρηση του απορρήτου σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε τις πρακτικές απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.

Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών

Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.

Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.

Ακολουθούν ορισμένα παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.

Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:

• Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνση email σας κ.λπ.

Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:

• Συλλέγεται από εμάς προσωπικές πληροφορίεςμας επιτρέπει να επικοινωνήσουμε μαζί σας και να σας ενημερώσουμε για μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
• Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και επικοινωνίες.
• Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
• Εάν συμμετέχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοια προσφορά, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.

Αποκάλυψη πληροφοριών σε τρίτους

Δεν αποκαλύπτουμε τις πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.

Εξαιρέσεις:

• Εάν είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, τη δικαστική διαδικασία, τις νομικές διαδικασίες ή/και με βάση δημόσια αιτήματα ή αιτήματα από κρατικούς φορείςστο έδαφος της Ρωσικής Ομοσπονδίας - αποκαλύψτε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι αυτή η αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους σκοπούς δημόσιας σημασίας.
• Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τις προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε στον αντίστοιχο τρίτο διάδοχο.

Προστασία προσωπικών πληροφοριών

Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.

Σεβασμός του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο

Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε τα πρότυπα απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.

Κάθε ανισότητα που περιλαμβάνει μια συνάρτηση κάτω από τη ρίζα ονομάζεται παράλογος. Υπάρχουν δύο τύποι τέτοιων ανισοτήτων:

Στην πρώτη περίπτωση, η ρίζα είναι μικρότερη από τη συνάρτηση g(x), στη δεύτερη είναι μεγαλύτερη. Αν g(x) - συνεχής, η ανισότητα απλοποιείται πολύ. Παρακαλώ σημειώστε: εξωτερικά αυτές οι ανισότητες είναι πολύ παρόμοιες, αλλά τα σχήματα επίλυσής τους είναι θεμελιωδώς διαφορετικά.

Σήμερα θα μάθουμε πώς να λύνουμε παράλογες ανισότητες του πρώτου τύπου - είναι οι απλούστερες και πιο κατανοητές. Το σύμβολο της ανισότητας μπορεί να είναι αυστηρό ή μη. Η ακόλουθη δήλωση ισχύει για αυτούς:

Θεώρημα. Κάθε παράλογη ανισότητα της μορφής

Ισοδυναμεί με το σύστημα των ανισοτήτων:

Δεν είναι αδύναμο; Ας δούμε από πού προέρχεται αυτό το σύστημα:

1. f (x) ≤ g 2 (x) - όλα είναι ξεκάθαρα εδώ. Αυτή είναι η αρχική ανισότητα στο τετράγωνο.
2. f (x) ≥ 0 είναι το ODZ της ρίζας. Να σας θυμίσω: η αριθμητική τετραγωνική ρίζα υπάρχει μόνο από μη αρνητικόαριθμοί?
3. g(x) ≥ 0 είναι το εύρος της ρίζας. Τετραγωνίζοντας την ανισότητα, καίμε τα αρνητικά. Ως αποτέλεσμα, μπορεί να εμφανιστούν επιπλέον ρίζες. Η ανισότητα g(x) ≥ 0 τα κόβει.

Πολλοί μαθητές «κλείνουν» την πρώτη ανισότητα του συστήματος: f (x) ≤ g 2 (x) - και ξεχνάνε εντελώς τις άλλες δύο. Το αποτέλεσμα είναι προβλέψιμο: λάθος απόφαση, χαμένοι βαθμοί.

Δεδομένου ότι οι παράλογες ανισότητες είναι ένα αρκετά περίπλοκο θέμα, ας δούμε 4 παραδείγματα ταυτόχρονα. Από βασικό έως πραγματικά πολύπλοκο. Όλα τα προβλήματα λαμβάνονται από τις εισαγωγικές εξετάσεις του Κρατικού Πανεπιστημίου της Μόσχας. M. V. Lomonosov.

Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων

Εργο. Λύστε την ανισότητα:

Μπροστά μας είναι ένα κλασικό παράλογη ανισότητα: f(x) = 2x + 3; g(x) = 2 - σταθερά. Έχουμε:

Από τις τρεις ανισότητες, μόνο δύο παρέμειναν στο τέλος της λύσης. Επειδή η ανίσωση 2 ≥ 0 ισχύει πάντα. Ας διασχίσουμε τις υπόλοιπες ανισότητες:

Άρα, x ∈ [−1,5; 0,5]. Όλα τα σημεία είναι σκιασμένα γιατί οι ανισότητες δεν είναι αυστηρές.

Εργο. Λύστε την ανισότητα:

Εφαρμόζουμε το θεώρημα:

Ας λύσουμε την πρώτη ανισότητα. Για να γίνει αυτό, θα αποκαλύψουμε το τετράγωνο της διαφοράς. Έχουμε:

2x 2 − 18x + 16< (x − 4) 2 ;
2x 2 − 18x + 16< x 2 − 8x + 16:
x 2 − 10x< 0;
x (x − 10)< 0;
x ∈ (0; 10).

Τώρα ας λύσουμε τη δεύτερη ανισότητα. Κι εκεί τετραγωνικό τριώνυμο:

2x 2 − 18x + 16 ≥ 0;
x 2 − 9x + 8 ≥ 0;
(x − 8)(x − 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪)