Το ολοκλήρωμα της συνάρτησης cos x είναι ίσο με. Μιγαδικά ολοκληρώματα

Μιγαδικά ολοκληρώματα

Αυτό το άρθρο ολοκληρώνει το θέμα των αόριστων ολοκληρωμάτων και περιλαμβάνει ολοκληρώματα που θεωρώ αρκετά περίπλοκα. Το μάθημα δημιουργήθηκε μετά από επανειλημμένα αιτήματα επισκεπτών που εξέφρασαν την επιθυμία τους να αναλυθούν πιο δύσκολα παραδείγματα στον ιστότοπο.

Υποτίθεται ότι ο αναγνώστης αυτού του κειμένου είναι καλά προετοιμασμένος και ξέρει πώς να εφαρμόζει βασικές τεχνικές ολοκλήρωσης. Τα ανδρείκελα και τα άτομα που δεν έχουν μεγάλη αυτοπεποίθηση στα ολοκληρώματα θα πρέπει να ανατρέξουν στο πρώτο μάθημα - Αόριστο ολοκλήρωμα. Παραδείγματα λύσεων, όπου μπορείτε να κυριαρχήσετε το θέμα σχεδόν από την αρχή. Οι πιο έμπειροι μαθητές μπορούν να εξοικειωθούν με τεχνικές και μεθόδους ολοκλήρωσης που δεν έχουν ακόμη συναντηθεί στα άρθρα μου.

Ποια ολοκληρώματα θα ληφθούν υπόψη;

Αρχικά θα εξετάσουμε ολοκληρώματα με ρίζες, για τη λύση των οποίων χρησιμοποιούμε διαδοχικά μεταβλητή αντικατάστασηΚαι ενσωμάτωση κατά εξαρτήματα. Δηλαδή, σε ένα παράδειγμα συνδυάζονται δύο τεχνικές ταυτόχρονα. Και ακόμη περισσότερο.

Στη συνέχεια θα εξοικειωθούμε με ενδιαφέροντα και πρωτότυπα μέθοδος αναγωγής του ολοκληρώματος στον εαυτό του. Αρκετά ολοκληρώματα λύνονται με αυτόν τον τρόπο.

Το τρίτο τεύχος του προγράμματος θα είναι ολοκληρώματα μιγαδικών κλασμάτων, τα οποία πέρασαν από το ταμείο σε προηγούμενα άρθρα.

Τέταρτον, θα αναλυθούν πρόσθετα ολοκληρώματα από τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Συγκεκριμένα, υπάρχουν μέθοδοι που αποφεύγουν τη χρονοβόρα καθολική τριγωνομετρική υποκατάσταση.

(2) Στο ολοκλήρωμα, διαιρούμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή όρο προς όρο.

(3) Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα γραμμικότητας του αόριστου ολοκληρώματος. Στο τελευταίο ολοκλήρωμα αμέσως βάλτε τη συνάρτηση κάτω από το διαφορικό πρόσημο.

(4) Παίρνουμε τα υπόλοιπα ολοκληρώματα. Σημειώστε ότι σε έναν λογάριθμο μπορείτε να χρησιμοποιήσετε παρενθέσεις αντί για συντελεστή, αφού .

(5) Πραγματοποιούμε μια αντίστροφη αντικατάσταση, εκφράζοντας το "te" από την άμεση αντικατάσταση:

Οι μαζοχιστές μαθητές μπορούν να διαφοροποιήσουν την απάντηση και να πάρουν την αρχική ολοκλήρωση, όπως έκανα μόλις. Όχι, όχι, έκανα τον έλεγχο με τη σωστή έννοια =)

Όπως μπορείτε να δείτε, κατά τη διάρκεια της λύσης έπρεπε να χρησιμοποιήσουμε ακόμη περισσότερες από δύο μεθόδους λύσης, επομένως για να αντιμετωπίσετε τέτοια ολοκληρώματα χρειάζεστε σίγουρες δεξιότητες ολοκλήρωσης και αρκετή εμπειρία.

Στην πράξη, φυσικά, η τετραγωνική ρίζα είναι πιο κοινή, εδώ είναι τρία παραδείγματα για ανεξάρτητη απόφαση:

Παράδειγμα 2

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Παράδειγμα 3

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Παράδειγμα 4

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Αυτά τα παραδείγματα είναι του ίδιου τύπου, επομένως η πλήρης λύση στο τέλος του άρθρου θα είναι μόνο για το Παράδειγμα 2. Τα Παραδείγματα 3-4 έχουν τις ίδιες απαντήσεις. Ποια αντικατάσταση να χρησιμοποιήσω στην αρχή των αποφάσεων, νομίζω ότι είναι προφανές. Γιατί επέλεξα παραδείγματα του ίδιου τύπου; Συχνά βρίσκονται στο ρόλο τους. Πιο συχνά, ίσως, κάτι σαν .

Αλλά όχι πάντα, όταν κάτω από τις συναρτήσεις τοξοειδούς, ημιτόνου, συνημίτονο, εκθετικής και άλλες συναρτήσεις υπάρχει μια ρίζα του γραμμική συνάρτηση, πρέπει να χρησιμοποιήσετε πολλές μεθόδους ταυτόχρονα. Σε ορισμένες περιπτώσεις, είναι δυνατό να "ξεφύγετε εύκολα", δηλαδή αμέσως μετά την αντικατάσταση, λαμβάνεται ένα απλό ολοκλήρωμα, το οποίο μπορεί να ληφθεί εύκολα. Η ευκολότερη από τις εργασίες που προτείνονται παραπάνω είναι το Παράδειγμα 4, στο οποίο, μετά την αντικατάσταση, προκύπτει ένα σχετικά απλό ολοκλήρωμα.

Μειώνοντας το ολοκλήρωμα στον εαυτό του

Μια πνευματώδης και όμορφη μέθοδος. Ας ρίξουμε μια ματιά στα κλασικά του είδους:

Παράδειγμα 5

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Κάτω από τη ρίζα υπάρχει ένα τετραγωνικό διώνυμο και η προσπάθεια ενσωμάτωσης αυτού του παραδείγματος μπορεί να προκαλέσει πονοκέφαλο στην τσαγιέρα για ώρες. Ένα τέτοιο ολοκλήρωμα λαμβάνεται σε μέρη και ανάγεται στον εαυτό του. Κατ 'αρχήν, δεν είναι δύσκολο. Αν ξέρεις πώς.

Ας υποδηλώσουμε το ολοκλήρωμα που εξετάζουμε με ένα λατινικό γράμμα και ας ξεκινήσουμε τη λύση:

Ας ενσωματώσουμε κατά μέρη:

(1) Προετοιμάστε τη συνάρτηση ολοκλήρωσης για διαίρεση από όρο προς όρο.

(2) Διαιρούμε τη συνάρτηση ολοκλήρωσης όρο προς όρο. Μπορεί να μην είναι σαφές σε όλους, αλλά θα το περιγράψω με περισσότερες λεπτομέρειες:

(3) Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα γραμμικότητας του αόριστου ολοκληρώματος.

(4) Πάρτε το τελευταίο ολοκλήρωμα («μακρύς» λογάριθμος).

Ας δούμε τώρα την αρχή της λύσης:

Και στο τέλος:

Τι συνέβη; Ως αποτέλεσμα των χειρισμών μας, το ολοκλήρωμα περιορίστηκε στον εαυτό του!

Ας εξισώσουμε την αρχή και το τέλος:

Μετακινηθείτε προς την αριστερή πλευρά με αλλαγή πρόσημου:

Και μετακινούμε τα δύο στη δεξιά πλευρά. Ως αποτέλεσμα:

Το σταθερό, αυστηρά, έπρεπε να είχε προστεθεί νωρίτερα, αλλά το πρόσθεσα στο τέλος. Συνιστώ ανεπιφύλακτα να διαβάσετε ποια είναι η αυστηρότητα εδώ:

Σημείωμα: Πιο αυστηρά, το τελικό στάδιο της λύσης μοιάζει με αυτό:

Ετσι:

Η σταθερά μπορεί να επανασχεδιαστεί από . Γιατί μπορεί να επανασχεδιαστεί; Γιατί ακόμα το δέχεται κάθετιμές, και με αυτή την έννοια δεν υπάρχει διαφορά μεταξύ σταθερών και.
Ως αποτέλεσμα:

Ένα παρόμοιο κόλπο με συνεχή αναγραφή χρησιμοποιείται ευρέως σε διαφορικές εξισώσεις. Και εκεί θα είμαι αυστηρός. Και εδώ επιτρέπω μια τέτοια ελευθερία μόνο για να μην σας μπερδεύω με περιττά πράγματα και να εστιάσω την προσοχή ακριβώς στην ίδια τη μέθοδο ολοκλήρωσης.

Παράδειγμα 6

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Ένα άλλο τυπικό αναπόσπαστο για ανεξάρτητη λύση. Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος. Θα υπάρχει διαφορά με την απάντηση στο προηγούμενο παράδειγμα!

Αν κάτω τετραγωνική ρίζαΑν βρεθεί ένα τετραγωνικό τριώνυμο, τότε η λύση σε κάθε περίπτωση καταλήγει σε δύο παραδείγματα.

Για παράδειγμα, εξετάστε το ολοκλήρωμα . Το μόνο που χρειάζεται να κάνετε είναι πρώτα επιλέξτε ένα πλήρες τετράγωνο:
.
Στη συνέχεια, πραγματοποιείται μια γραμμική αντικατάσταση, η οποία κάνει "χωρίς συνέπειες":
, με αποτέλεσμα το ολοκλήρωμα . Κάτι γνωστό, σωστά;

Ή αυτό το παράδειγμα, με ένα τετραγωνικό διώνυμο:
Επιλέξτε ένα πλήρες τετράγωνο:
Και, μετά από γραμμική αντικατάσταση, λαμβάνουμε το ολοκλήρωμα, το οποίο επίσης λύνεται χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο που ήδη συζητήθηκε.

Ας δούμε άλλα δύο τυπικά παραδείγματαγια να ανάγει το ολοκλήρωμα στον εαυτό του:
– ολοκλήρωμα της εκθετικής πολλαπλασιασμένης με ημίτονο.
– ολοκλήρωμα της εκθετικής πολλαπλασιαζόμενης με το συνημίτονο.

Στα αναγραφόμενα ολοκληρώματα ανά εξαρτήματα θα πρέπει να ενσωματώσετε δύο φορές:

Παράδειγμα 7

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Το ολοκλήρωμα είναι η εκθετική πολλαπλασιασμένη με το ημίτονο.

Ενσωματώνουμε με μέρη δύο φορές και μειώνουμε το ολοκλήρωμα στον εαυτό του:

Ως αποτέλεσμα της διπλής ολοκλήρωσης από μέρη, το ολοκλήρωμα μειώθηκε στον εαυτό του. Εξισώνουμε την αρχή και το τέλος της λύσης:

Το μετακινούμε στην αριστερή πλευρά με αλλαγή πρόσημου και εκφράζουμε το ολοκλήρωσό μας:

Ετοιμος. Ταυτόχρονα, καλό είναι να χτενίζετε τη δεξιά πλευρά, δηλ. Βγάλτε τον εκθέτη από αγκύλες και τοποθετήστε το ημίτονο και το συνημίτονο σε αγκύλες με μια «όμορφη» σειρά.

Τώρα ας επιστρέψουμε στην αρχή του παραδείγματος, ή πιο συγκεκριμένα, στην ενσωμάτωση ανά μέρη:

Ορίσαμε τον εκθέτη ως. Τίθεται το ερώτημα: είναι ο εκθέτης που πρέπει πάντα να συμβολίζεται με ; Όχι απαραίτητα. Μάλιστα στο θεωρούμενο ολοκλήρωμα θεμελιωδώς δεν έχει σημασία, τι εννοούμε με το , θα μπορούσαμε να είχαμε πάρει την αντίθετη κατεύθυνση:

Γιατί είναι αυτό δυνατό; Επειδή η εκθετική μετατρέπεται στον εαυτό της (τόσο κατά τη διαφοροποίηση όσο και κατά την ολοκλήρωση), το ημίτονο και το συνημίτονο μετατρέπονται αμοιβαία το ένα στο άλλο (και πάλι, τόσο κατά τη διαφοροποίηση όσο και κατά την ολοκλήρωση).

Δηλαδή, μπορούμε να υποδηλώσουμε και μια τριγωνομετρική συνάρτηση. Αλλά, στο εξεταζόμενο παράδειγμα, αυτό είναι λιγότερο λογικό, αφού θα εμφανιστούν κλάσματα. Εάν θέλετε, μπορείτε να προσπαθήσετε να λύσετε αυτό το παράδειγμα χρησιμοποιώντας τη δεύτερη μέθοδο, οι απαντήσεις πρέπει να ταιριάζουν.

Παράδειγμα 8

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Πριν αποφασίσετε, σκεφτείτε τι είναι πιο πλεονεκτικό σε αυτήν την περίπτωση να ορίσετε ως , μια εκθετική ή μια τριγωνομετρική συνάρτηση; Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Και, φυσικά, μην ξεχνάτε ότι οι περισσότερες απαντήσεις αυτό το μάθημαΕίναι αρκετά εύκολο να το ελέγξετε με διαφοροποίηση!

Τα παραδείγματα που εξετάστηκαν δεν ήταν τα πιο περίπλοκα. Στην πράξη, τα ολοκληρώματα είναι πιο κοινά όπου η σταθερά είναι τόσο στον εκθέτη όσο και στο όρισμα της τριγωνομετρικής συνάρτησης, για παράδειγμα: . Πολλοί άνθρωποι θα μπερδευτούν σε ένα τέτοιο αναπόσπαστο, και συχνά μπερδεύομαι και εγώ. Το γεγονός είναι ότι υπάρχει μεγάλη πιθανότητα να εμφανιστούν κλάσματα στη λύση και είναι πολύ εύκολο να χάσετε κάτι από απροσεξία. Επιπλέον, υπάρχει μεγάλη πιθανότητα σφάλματος στα σημάδια, σημειώστε ότι ο εκθέτης έχει πρόσημο μείον, και αυτό εισάγει πρόσθετη δυσκολία.

Στο τελικό στάδιο, το αποτέλεσμα είναι συχνά κάπως έτσι:

Ακόμη και στο τέλος της λύσης, θα πρέπει να είστε εξαιρετικά προσεκτικοί και να κατανοήσετε σωστά τα κλάσματα:

Ολοκλήρωση μιγαδικών κλασμάτων

Πλησιάζουμε σιγά σιγά στον ισημερινό του μαθήματος και αρχίζουμε να θεωρούμε ολοκληρώματα κλασμάτων. Και πάλι, δεν είναι όλα εξαιρετικά περίπλοκα, απλώς για τον έναν ή τον άλλο λόγο τα παραδείγματα ήταν λίγο «εκτός θέματος» σε άλλα άρθρα.

Συνεχίζοντας το θέμα των ριζών

Παράδειγμα 9

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Στον παρονομαστή κάτω από τη ρίζα υπάρχει ένα τετραγωνικό τριώνυμο συν ένα «παράρτημα» με τη μορφή «Χ» έξω από τη ρίζα. Ένα ολοκλήρωμα αυτού του τύπου μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας μια τυπική αντικατάσταση.

Αποφασίζουμε:

Η αντικατάσταση εδώ είναι απλή:

Ας δούμε τη ζωή μετά την αντικατάσταση:

(1) Μετά την αντικατάσταση, ανάγουμε τους όρους κάτω από τη ρίζα σε έναν κοινό παρονομαστή.
(2) Το βγάζουμε από κάτω από τη ρίζα.
(3) Ο αριθμητής και ο παρονομαστής μειώνονται κατά . Ταυτόχρονα, κάτω από τη ρίζα, αναδιάταξη των όρων με μια βολική σειρά. Με κάποια εμπειρία, τα βήματα (1), (2) μπορούν να παραλειφθούν εκτελώντας τις σχολιασμένες ενέργειες προφορικά.
(4) Το ολοκλήρωμα που προκύπτει, όπως θυμάστε από το μάθημα Ολοκλήρωση κάποιων κλασμάτων, αποφασίζεται πλήρης τετραγωνική μέθοδος εξαγωγής. Επιλέξτε ένα πλήρες τετράγωνο.
(5) Με την ολοκλήρωση παίρνουμε έναν συνηθισμένο «μακρό» λογάριθμο.
(6) Πραγματοποιούμε την αντίστροφη αντικατάσταση. Εάν αρχικά , τότε πίσω: .
(7) Η τελική ενέργεια στοχεύει στην ευθυγράμμιση του αποτελέσματος: κάτω από τη ρίζα φέρνουμε ξανά τους όρους σε έναν κοινό παρονομαστή και τους βγάζουμε από κάτω από τη ρίζα.

Παράδειγμα 10

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Εδώ προστίθεται μια σταθερά στο μοναχικό "X" και η αντικατάσταση είναι σχεδόν η ίδια:

Το μόνο πράγμα που πρέπει να κάνετε επιπλέον είναι να εκφράσετε το "x" από την αντικατάσταση που πραγματοποιείται:

Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Μερικές φορές σε ένα τέτοιο ολοκλήρωμα μπορεί να υπάρχει ένα τετραγωνικό διώνυμο κάτω από τη ρίζα, αυτό δεν αλλάζει τη μέθοδο λύσης, θα είναι ακόμα πιο απλή. Νιώστε τη διαφορά:

Παράδειγμα 11

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Παράδειγμα 12

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Σύντομες λύσεις και απαντήσεις στο τέλος του μαθήματος. Πρέπει να σημειωθεί ότι το Παράδειγμα 11 είναι ακριβώς διωνυμικό ολοκλήρωμα, η μέθοδος επίλυσης της οποίας συζητήθηκε στην τάξη Ολοκληρώματα παράλογων συναρτήσεων.

Ολοκλήρωμα αδιάσπαστου πολυωνύμου 2ου βαθμού στην ισχύ

(πολυώνυμο σε παρονομαστή)

Πιο σπάνιο, αλλά παρόλα αυτά βρίσκεται σε πρακτικά παραδείγματατύπος ολοκληρώματος.

Παράδειγμα 13

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Αλλά ας επιστρέψουμε στο παράδειγμα με τον τυχερό αριθμό 13 (ειλικρινά, δεν μάντεψα σωστά). Αυτό το αναπόσπαστο είναι επίσης ένα από αυτά που μπορεί να είναι αρκετά απογοητευτικό αν δεν ξέρετε πώς να το λύσετε.

Η λύση ξεκινά με έναν τεχνητό μετασχηματισμό:

Νομίζω ότι όλοι καταλαβαίνουν ήδη πώς να διαιρέσουμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή όρο προς όρο.

Το ολοκλήρωμα που προκύπτει λαμβάνεται σε μέρη:

Για ένα ολοκλήρωμα της μορφής (- φυσικός αριθμός) αποσύρθηκε επαναλαμβανόμενοςτύπος μείωσης:
, Πού – ολοκλήρωμα βαθμού χαμηλότερο.

Ας επαληθεύσουμε την εγκυρότητα αυτού του τύπου για το λυμένο ολοκλήρωμα.
Σε αυτήν την περίπτωση: , , χρησιμοποιούμε τον τύπο:

Όπως μπορείτε να δείτε, οι απαντήσεις είναι οι ίδιες.

Παράδειγμα 14

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Το διάλυμα δείγματος χρησιμοποιεί τον παραπάνω τύπο δύο φορές διαδοχικά.

Αν κάτω από το πτυχίο είναι αδιαίρετοςτετράγωνο τριώνυμο, τότε η λύση ανάγεται σε διώνυμο απομονώνοντας το τέλειο τετράγωνο, για παράδειγμα:

Τι γίνεται αν υπάρχει ένα επιπλέον πολυώνυμο στον αριθμητή; Σε αυτή την περίπτωση, χρησιμοποιείται η μέθοδος των αόριστων συντελεστών και το ολοκλήρωμα επεκτείνεται σε ένα άθροισμα κλασμάτων. Αλλά στην πρακτική μου υπάρχει ένα τέτοιο παράδειγμα δεν συναντήθηκαν ποτέ, οπότε έχασα αυτή την περίπτωση στο άρθρο Ολοκληρώματα κλασματικών-ορθολογικών συναρτήσεων, θα το παραλείψω τώρα. Εάν εξακολουθείτε να αντιμετωπίζετε ένα τέτοιο αναπόσπαστο, κοιτάξτε το εγχειρίδιο - όλα είναι απλά εκεί. Δεν νομίζω ότι είναι σκόπιμο να συμπεριλάβουμε υλικό (ακόμα και απλά), η πιθανότητα να συναντήσετε που τείνει στο μηδέν.

Ενσωμάτωση σύνθετων τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Το επίθετο "σύνθετο" για τα περισσότερα παραδείγματα είναι και πάλι σε μεγάλο βαθμό υπό όρους. Ας ξεκινήσουμε με τις εφαπτομένες και τις συνεφαπτομένες μέσα υψηλούς βαθμούς. Από την άποψη των μεθόδων επίλυσης που χρησιμοποιούνται, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη είναι σχεδόν το ίδιο πράγμα, επομένως θα μιλήσω περισσότερο για την εφαπτομένη, υπονοώντας ότι η αποδεδειγμένη μέθοδος για την επίλυση του ολοκληρώματος ισχύει και για την συνεφαπτομένη.

Στο παραπάνω μάθημα εξετάσαμε καθολική τριγωνομετρική υποκατάστασηγια την επίλυση ενός συγκεκριμένου τύπου ολοκληρωμάτων από τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Το μειονέκτημα της καθολικής τριγωνομετρικής υποκατάστασης είναι ότι η χρήση της οδηγεί συχνά σε δυσκίνητα ολοκληρώματα με δύσκολους υπολογισμούς. Και σε ορισμένες περιπτώσεις, η καθολική τριγωνομετρική υποκατάσταση μπορεί να αποφευχθεί!

Ας εξετάσουμε ένα άλλο κανονικό παράδειγμα, το ολοκλήρωμα ενός διαιρούμενου με ημίτονο:

Παράδειγμα 17

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Εδώ μπορείτε να χρησιμοποιήσετε καθολική τριγωνομετρική αντικατάσταση και να λάβετε την απάντηση, αλλά υπάρχει ένας πιο ορθολογικός τρόπος. Θα παρέχω την πλήρη λύση με σχόλια για κάθε βήμα:

(1) Χρησιμοποιούμε τον τριγωνομετρικό τύπο για το ημίτονο διπλής γωνίας.
(2) Πραγματοποιούμε έναν τεχνητό μετασχηματισμό: Διαιρούμε στον παρονομαστή και πολλαπλασιάζουμε με .
(3) Χρησιμοποιώντας τον γνωστό τύπο στον παρονομαστή, μετατρέπουμε το κλάσμα σε εφαπτομένη.
(4) Φέρνουμε τη συνάρτηση κάτω από το διαφορικό πρόσημο.
(5) Πάρτε το ολοκλήρωμα.

Ζεύγος απλά παραδείγματαγια ανεξάρτητη λύση:

Παράδειγμα 18

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Σημείωση: Το πρώτο βήμα θα πρέπει να είναι η χρήση του τύπου μείωσης και εκτελέστε προσεκτικά ενέργειες παρόμοιες με το προηγούμενο παράδειγμα.

Παράδειγμα 19

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Λοιπόν, αυτό είναι ένα πολύ απλό παράδειγμα.

Συμπληρώστε λύσεις και απαντήσεις στο τέλος του μαθήματος.

Νομίζω ότι τώρα κανείς δεν θα έχει προβλήματα με τα ολοκληρώματα:
και τα λοιπά.

Ποια είναι η ιδέα της μεθόδου; Η ιδέα είναι να χρησιμοποιηθούν μετασχηματισμοί και τριγωνομετρικοί τύποι για να οργανωθούν μόνο οι εφαπτομένες και η εφαπτομένη παράγωγος στο ολοκλήρωμα. Δηλαδή, μιλάμε για αντικατάσταση: . Στα Παραδείγματα 17-19 χρησιμοποιήσαμε πραγματικά αυτήν την αντικατάσταση, αλλά τα ολοκληρώματα ήταν τόσο απλά που τα καταφέραμε με μια ισοδύναμη ενέργεια - υπάγοντας τη συνάρτηση κάτω από το διαφορικό πρόσημο.

Παρόμοιος συλλογισμός, όπως ήδη ανέφερα, μπορεί να γίνει και για την συνεφαπτομένη.

Υπάρχει επίσης μια τυπική προϋπόθεση για την εφαρμογή της παραπάνω αντικατάστασης:

Το άθροισμα των δυνάμεων του συνημίτονου και του ημιτόνου είναι αρνητικός ακέραιος ΖΥΓΟΣ αριθμός , Για παράδειγμα:

για το ολοκλήρωμα – ένας αρνητικός ακέραιος αριθμός ΖΥΓΟΣ.

! Σημείωμα : εάν το ολοκλήρωμα περιέχει ΜΟΝΟ ένα ημίτονο ή ΜΟΝΟ ένα συνημίτονο, τότε το ολοκλήρωμα λαμβάνεται επίσης για αρνητικό περιττό βαθμό (οι απλούστερες περιπτώσεις είναι στα Παραδείγματα Νο. 17, 18).

Ας δούμε μερικές πιο σημαντικές εργασίες με βάση αυτόν τον κανόνα:

Παράδειγμα 20

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Το άθροισμα των δυνάμεων του ημιτόνου και του συνημιτίου: 2 – 6 = –4 είναι ένας αρνητικός ακέραιος αριθμός ΖΥΓΟΣ, που σημαίνει ότι το ολοκλήρωμα μπορεί να αναχθεί σε εφαπτομένες και στην παράγωγό του:

(1) Ας μετατρέψουμε τον παρονομαστή.
(2) Χρησιμοποιώντας τον γνωστό τύπο, παίρνουμε .
(3) Ας μετατρέψουμε τον παρονομαστή.
(4) Χρησιμοποιούμε τον τύπο .
(5) Φέρνουμε τη συνάρτηση κάτω από το διαφορικό πρόσημο.
(6) Πραγματοποιούμε αντικατάσταση. Οι πιο έμπειροι μαθητές μπορεί να μην πραγματοποιήσουν την αντικατάσταση, αλλά είναι ακόμα καλύτερο να αντικαταστήσετε την εφαπτομένη με ένα γράμμα - υπάρχει λιγότερος κίνδυνος σύγχυσης.

Παράδειγμα 21

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας.

Υπομονή, οι γύροι του πρωταθλήματος πρόκειται να ξεκινήσουν =)

Συχνά το integrand περιέχει ένα "hodgepodge":

Παράδειγμα 22

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Αυτό το ολοκλήρωμα περιέχει αρχικά μια εφαπτομένη, η οποία οδηγεί αμέσως σε μια ήδη γνωστή σκέψη:

Θα αφήσω τον τεχνητό μετασχηματισμό στην αρχή και τα υπόλοιπα βήματα χωρίς σχόλια, αφού όλα έχουν ήδη συζητηθεί παραπάνω.

Μερικά δημιουργικά παραδείγματα για τη δική σας λύση:

Παράδειγμα 23

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Παράδειγμα 24

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Ναι, σε αυτά, φυσικά, μπορείτε να μειώσετε τις δυνάμεις του ημιτόνου και του συνημιτόνου και να χρησιμοποιήσετε μια καθολική τριγωνομετρική υποκατάσταση, αλλά η λύση θα είναι πολύ πιο αποτελεσματική και συντομότερη εάν πραγματοποιηθεί μέσω εφαπτομένων. Πλήρης λύση και απαντήσεις στο τέλος του μαθήματος

Για την ολοκλήρωση ορθολογικών συναρτήσεων της μορφής R(sin x, cos x), χρησιμοποιείται μια υποκατάσταση, η οποία ονομάζεται καθολική τριγωνομετρική υποκατάσταση. Τότε . Η καθολική τριγωνομετρική υποκατάσταση οδηγεί συχνά σε μεγάλους υπολογισμούς. Επομένως, όποτε είναι δυνατόν, χρησιμοποιήστε τις ακόλουθες αντικαταστάσεις.

Ολοκλήρωση συναρτήσεων ορθολογικά εξαρτώμενων από τριγωνομετρικές συναρτήσεις

1. Ολοκληρώματα της μορφής ∫ sin n xdx , ∫ cos n xdx , n>0
α) Εάν το n είναι περιττό, τότε μια δύναμη του sinx (ή cosx) θα πρέπει να εισαχθεί κάτω από το πρόσημο του διαφορικού και από την υπόλοιπη άρτια ισχύς θα πρέπει να περάσει στην αντίθετη συνάρτηση.
β) Αν το n είναι άρτιο, τότε χρησιμοποιούμε τύπους για τη μείωση του βαθμού
2. Ολοκληρώματα της μορφής ∫ tg n xdx , ∫ ctg n xdx , όπου n είναι ακέραιος.
Πρέπει να χρησιμοποιούνται φόρμουλες

3. Ολοκληρώματα της μορφής ∫ sin n x cos m x dx
α) Έστω m και n διαφορετικών ισοτιμιών. Χρησιμοποιούμε την αντικατάσταση t=sin x αν το n είναι περιττό ή t=cos x αν το m είναι περιττό.
β) Αν τα m και n είναι άρτια, τότε χρησιμοποιούμε τύπους για τη μείωση του βαθμού
2sin 2 x=1-cos2x, 2cos 2 x=1+cos2x.
4. Ολοκληρώματα της φόρμας
Αν οι αριθμοί m και n είναι της ίδιας ισοτιμίας, τότε χρησιμοποιούμε την αντικατάσταση t=tg x. Συχνά είναι βολικό να χρησιμοποιείτε την τεχνική της τριγωνομετρικής μονάδας.
5. ∫ sin(nx) cos(mx)dx , ∫ cos(mx) cos(nx)dx , ∫ sin(mx) sin(nx)dx

Ας χρησιμοποιήσουμε τους τύπους για τη μετατροπή του γινομένου των τριγωνομετρικών συναρτήσεων στο άθροισμά τους:

• sin α cos β = ½(sin(α+β)+sin(α-β))
• cos α cos β = ½(cos(α+β)+cos(α-β))
• sin α sin β = ½(cos(α-β)-cos(α+β))

Παραδείγματα
1. Υπολογίστε το ολοκλήρωμα ∫ cos 4 x·sin 3 xdx .
Κάνουμε την αντικατάσταση cos(x)=t. Τότε ∫ cos 4 x sin 3 xdx =
2. Υπολογίστε το ολοκλήρωμα.
Κάνοντας την αντικατάσταση sin x=t , παίρνουμε

3. Βρείτε το ολοκλήρωμα.
Κάνουμε την αντικατάσταση tg(x)=t . Αντικαθιστώντας, παίρνουμε

Ολοκλήρωση εκφράσεων της μορφής R(sinx, cosx)

Παράδειγμα Νο. 1. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων:

Διάλυμα.
α) Ολοκλήρωση παραστάσεων της μορφής R(sinx, cosx), όπου R είναι μια ορθολογική συνάρτηση των sin x και cos x, μετατρέπονται σε ολοκληρώματα ορθολογικών συναρτήσεων χρησιμοποιώντας την καθολική τριγωνομετρική αντικατάσταση tg(x/2) = t.
Τότε έχουμε

Μια καθολική τριγωνομετρική υποκατάσταση καθιστά δυνατή τη μετάβαση από ένα ολοκλήρωμα της μορφής ∫ R(sinx, cosx) dx σε ένα ολοκλήρωμα μιας κλασματικής ορθολογικής συνάρτησης, αλλά συχνά μια τέτοια αντικατάσταση οδηγεί σε δυσκίνητες εκφράσεις. Υπό ορισμένες προϋποθέσεις, απλούστερες αντικαταστάσεις είναι αποτελεσματικές:

• Εάν η ισότητα R(-sin x, cos x) = -R(sin x, cos x)dx ικανοποιείται, τότε εφαρμόζεται η αντικατάσταση cos x = t.
• Αν ισχύει η ισότητα R(sin x, -cos x) = -R(sin x, cos x)dx, τότε η αντικατάσταση sin x = t.
• Αν ισχύει η ισότητα R(-sin x, -cos x) = R(sin x, cos x)dx, τότε η αντικατάσταση tgx = t ή ctg x = t.

Σε αυτή την περίπτωση, για να βρείτε το ολοκλήρωμα
ας εφαρμόσουμε την καθολική τριγωνομετρική αντικατάσταση tg(x/2) = t.
Τότε Απάντησε:

Πίνακας αντιπαραγώγων ("ολοκληρώματα"). Πίνακας ολοκληρωμάτων. Πινακοποιημένα αόριστα ολοκληρώματα. (Τα πιο απλά ολοκληρώματα και ολοκληρώματα με παράμετρο). Φόρμουλες για ενσωμάτωση ανά εξαρτήματα. Τύπος Newton-Leibniz.

Πίνακας αντιπαραγώγων ("ολοκληρώματα").
Πινακοποιημένα αόριστα ολοκληρώματα.	Πινακοποιημένα αόριστα ολοκληρώματα.
(Τα πιο απλά ολοκληρώματα και ολοκληρώματα με παράμετρο).
	Αναπόσπαστο συνάρτησης ισχύος.
Ένα ολοκλήρωμα που ανάγεται στο ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης ισχύος εάν το x οδηγείται κάτω από το διαφορικό πρόσημο.	Ολοκλήρωμα μιας εκθετικής, όπου a είναι ένας σταθερός αριθμός.
Ολοκλήρωμα μιγαδικής εκθετικής συνάρτησης.	Ολοκλήρωμα εκθετικής συνάρτησης.
	Ολοκλήρωμα εκθετικής συνάρτησης.
Ολόκληρο ίσο με τον φυσικό λογάριθμο.	Ολοκλήρωμα: «Μακρύς λογάριθμος».
Ολόκληρο ίσο με τον φυσικό λογάριθμο.
Ολοκλήρωμα: «Υψηλός λογάριθμος».	Ένα ολοκλήρωμα, όπου το x στον αριθμητή τοποθετείται κάτω από το διαφορικό πρόσημο (η σταθερά κάτω από το πρόσημο μπορεί είτε να προστεθεί είτε να αφαιρεθεί), είναι τελικά παρόμοιο με ένα ολοκλήρωμα ίσο με τον φυσικό λογάριθμο.
Συνημίτονο ολοκλήρωμα.	Ημιτονικό ολοκλήρωμα.
Ολοκληρωμένο ίσο με την εφαπτομένη.
Ολοκληρωμένο ίσο με συνεφαπτομένη.	Ολοκληρωτικό ίσο και με το αρξίνη και με την αρκοσίνη
Ένα ολοκλήρωμα ίσο και με το αρξίνη και το αρκοσίνη.	Ένα ολοκλήρωμα ίσο με τόξο και εφαπτομενικό.
Ολοκληρωτικό ίσο με συνοδική.	Ολοκληρωμένο ίσο με τομή.
Ολοκληρωτικό ίσο με συνοδική.	Ολοκληρωτικό ίσο με συνοδική.
Ολοκληρωμένο ίσο με τόξο.	Ολοκληρωμένο ίσο με τόξο.
Ολοκληρωμένο ίσο με το υπερβολικό ημίτονο.	Ολοκληρωμένο ίσο με υπερβολικό συνημίτονο.
Ολοκληρωμένο ίσο με το υπερβολικό ημίτονο, όπου sinhx είναι το υπερβολικό ημίτονο στην αγγλική έκδοση.	Ολοκληρωμένο ίσο με το υπερβολικό συνημίτονο, όπου sinhx είναι το υπερβολικό ημίτονο στην αγγλική έκδοση.
Ολοκληρωμένο ίσο με την υπερβολική εφαπτομένη.	Ολοκληρωμένο ίσο με την υπερβολική συνεφαπτομένη.

Ολοκληρωμένο ίσο με την υπερβολική τομή.

Φόρμουλες για ενσωμάτωση ανά εξαρτήματα. Τύπος Newton-Leibniz Κανόνες ολοκλήρωσης.
Ολοκλήρωση προϊόντος (συνάρτησης) με σταθερά:
Ενσωμάτωση του αθροίσματος των συναρτήσεων:
αόριστα ολοκληρώματα:
Φόρμουλα για ενσωμάτωση ανά εξαρτήματα οριστικά ολοκληρώματα:
Τύπος Newton-Leibniz οριστικά ολοκληρώματα:	Όπου F(a), F(b) είναι οι τιμές των αντιπαραγώγων στα σημεία b και a, αντίστοιχα.

Πίνακας παραγώγων. Πίνακες παράγωγα. Παράγωγο του προϊόντος. Παράγωγος του πηλίκου. Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης.

Αν το x είναι ανεξάρτητη μεταβλητή, τότε:

Πίνακας παραγώγων. Παράγωγα πίνακα"παράγωγο πίνακα" - ναι, δυστυχώς, έτσι ακριβώς γίνεται η αναζήτηση στο Διαδίκτυο
	Παράγωγος συνάρτησης ισχύος
	Παράγωγος του εκθέτη
Παράγωγος μιγαδικής εκθετικής συνάρτησης	Παράγωγος εκθετικής συνάρτησης
Παράγωγος λογαριθμικής συνάρτησης	Παράγωγο του φυσικού λογάριθμου
	Παράγωγος φυσικού λογάριθμου συνάρτησης
Παράγωγο ημιτόνου	Παράγωγο συνημίτονου
Παράγωγο συνοδευτικού	Παράγωγο τμήματος
Παράγωγο αρκσινίου	Παράγωγο συνημιτόνου τόξου
Παράγωγο αρκσινίου	Παράγωγο συνημιτόνου τόξου
Εφαπτομένη παράγωγος	Παράγωγο συνεφαπτομένης
Παράγωγο τόξου	Παράγωγο συνεφαπτομένης τόξου
Παράγωγο τόξου	Παράγωγο συνεφαπτομένης τόξου
Παράγωγο τόξου	Παράγωγο arccosecant
Παράγωγο τόξου	Παράγωγο arccosecant
Παράγωγο του υπερβολικού ημιτονοειδούς Παράγωγο του υπερβολικού ημιτόνου στην αγγλική έκδοση	Παράγωγο υπερβολικού συνημιτόνου Παράγωγο υπερβολικού συνημιτόνου στην αγγλική έκδοση
Παράγωγος υπερβολικής εφαπτομένης	Παράγωγο υπερβολικής συνεφαπτομένης
Παράγωγο της υπερβολικής τομής	Παράγωγο της υπερβολικής συνέκτασης

Κανόνες διαφοροποίησης. Παράγωγο του προϊόντος. Παράγωγος του πηλίκου.
Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης.
Παράγωγος προϊόντος (συνάρτησης) από σταθερά:
Παράγωγο αθροίσματος (συναρτήσεις):
Παράγωγο του προϊόντος (συναρτήσεις):
Παράγωγος του πηλίκου (συναρτήσεων):

Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης:

Ιδιότητες λογαρίθμων. Βασικοί τύποι για λογάριθμους. Δεκαδικοί (lg) και φυσικοί λογάριθμοι (ln).
Βασική λογαριθμική ταυτότητα
Ας δείξουμε πώς οποιαδήποτε συνάρτηση της μορφής a b μπορεί να γίνει εκθετική. Αφού μια συνάρτηση της μορφής e x ονομάζεται εκθετική, τότε

Οποιαδήποτε συνάρτηση της μορφής a b μπορεί να αναπαρασταθεί ως δύναμη του δέκα

Φυσικός λογάριθμος ln (λογάριθμος στη βάση e = 2,718281828459045...) ln(e)=1; ln(1)=0

Σειρά Taylor. Επέκταση της σειράς Taylor μιας συνάρτησης. Αποδεικνύεται ότι η πλειοψηφίαΟι μαθηματικές συναρτήσεις μπορούν να αναπαρασταθούν με οποιαδήποτε ακρίβεια κοντά σε ένα συγκεκριμένο σημείο με τη μορφή σειρών ισχύος που περιέχουν δυνάμεις μιας μεταβλητής σε αύξουσα σειρά. Για παράδειγμα, κοντά στο σημείο x=1:

Όταν χρησιμοποιείτε τη σειρά που ονομάζεται Οι σειρές του ΤέιλορΟι μικτές συναρτήσεις που περιέχουν, ας πούμε, αλγεβρικές, τριγωνομετρικές και εκθετικές συναρτήσεις μπορούν να εκφραστούν ως καθαρά αλγεβρικές συναρτήσεις. Χρησιμοποιώντας σειρές, μπορείτε συχνά να εκτελέσετε γρήγορα τη διαφοροποίηση και την ολοκλήρωση.

Η σειρά Taylor στη γειτονιά του σημείου α έχει τη μορφή:

1) , όπου f(x) είναι μια συνάρτηση που έχει παραγώγους όλων των τάξεων σε x=a. R n - ο υπόλοιπος όρος στη σειρά Taylor καθορίζεται από την έκφραση

2)

Ο k-ος συντελεστής (στο x k) της σειράς καθορίζεται από τον τύπο

3) Μια ιδιαίτερη περίπτωση της σειράς Taylor είναι η σειρά Maclaurin (=McLaren). (η διαστολή γίνεται γύρω από το σημείο a=0)

σε a=0

τα μέλη της σειράς καθορίζονται από τον τύπο

Προϋποθέσεις χρήσης της σειράς Taylor.

1. Προκειμένου η συνάρτηση f(x) να επεκταθεί σε μια σειρά Taylor στο διάστημα (-R;R), είναι απαραίτητο και αρκετό ο υπόλοιπος όρος στον τύπο Taylor (Maclaurin (=McLaren)) για αυτό η συνάρτηση τείνει στο μηδέν ως k →∞ στο καθορισμένο διάστημα (-R;R).

2. Είναι απαραίτητο να υπάρχουν παράγωγοι για μια δεδομένη συνάρτηση στο σημείο κοντά στο οποίο θα κατασκευάσουμε τη σειρά Taylor.

Ιδιότητες της σειράς Taylor.

Αν η f είναι αναλυτική συνάρτηση, τότε η σειρά Taylor της σε οποιοδήποτε σημείο a στο πεδίο ορισμού της f συγκλίνει στη f σε κάποια γειτονιά του a.

Υπάρχουν άπειρες διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις των οποίων η σειρά Taylor συγκλίνει, αλλά ταυτόχρονα διαφέρει από τη συνάρτηση σε οποιαδήποτε γειτονιά του a. Για παράδειγμα:

Οι σειρές Taylor χρησιμοποιούνται κατά προσέγγιση (προσέγγιση - επιστημονική μέθοδος, που συνίσταται στην αντικατάσταση ορισμένων αντικειμένων με άλλα, με τη μια ή την άλλη έννοια κοντά στις αρχικές, αλλά πιο απλές) συναρτήσεις με πολυώνυμα. Ειδικότερα, η γραμμικοποίηση ((από το linearis - linear), μια από τις μεθόδους προσεγγιστικής αναπαράστασης κλειστών μη γραμμικών συστημάτων, στην οποία η μελέτη ενός μη γραμμικού συστήματος αντικαθίσταται από την ανάλυση ενός γραμμικού συστήματος, κατά κάποιο τρόπο ισοδύναμο με το αρχικό .) οι εξισώσεις προκύπτουν με την επέκταση σε μια σειρά Taylor και την αποκοπή όλων των όρων πάνω από την πρώτη τάξη.

Έτσι, σχεδόν κάθε συνάρτηση μπορεί να αναπαρασταθεί ως πολυώνυμο με δεδομένη ακρίβεια.

Παραδείγματα μερικών κοινών αποσυνθέσεων λειτουργίες ισχύοςστη σειρά Maclaurin (=McLaren, Taylor στην περιοχή του σημείου 0) και Taylor στην περιοχή του σημείου 1. Οι πρώτοι όροι των επεκτάσεων των κύριων λειτουργιών στις σειρές Taylor και McLaren.

Παραδείγματα ορισμένων κοινών επεκτάσεων συναρτήσεων ισχύος στη σειρά Maclaurin (=McLaren, Taylor κοντά στο σημείο 0)

Παραδείγματα ορισμένων κοινών επεκτάσεων της σειράς Taylor κοντά στο σημείο 1

Παραδείγματα λύσεων ολοκληρωμάτων ανά μέρη εξετάζονται λεπτομερώς, το ολοκλήρωμα των οποίων είναι το γινόμενο ενός πολυωνύμου με εκθετική (e στη δύναμη x) ή με ημίτονο (sin x) ή συνημίτονο (cos x).

Περιεχόμενο

Δείτε επίσης: Τρόπος ολοκλήρωσης ανά εξαρτήματα
Πίνακας αόριστων ολοκληρωμάτων
Μέθοδοι υπολογισμού αόριστων ολοκληρωμάτων
Βασικές στοιχειώδεις συναρτήσεις και οι ιδιότητές τους

Φόρμουλα για ενσωμάτωση ανά εξαρτήματα

Κατά την επίλυση παραδειγμάτων σε αυτήν την ενότητα, χρησιμοποιείται ο τύπος ολοκλήρωσης ανά μέρη:
;
.

Παραδείγματα ολοκληρωμάτων που περιέχουν το γινόμενο ενός πολυωνύμου και sin x, cos x ή e x

Ακολουθούν παραδείγματα τέτοιων ολοκληρωμάτων:
, , .

Για να ενσωματωθούν τέτοια ολοκληρώματα, το πολυώνυμο συμβολίζεται με u και το υπόλοιπο μέρος με v dx.

Στη συνέχεια, εφαρμόστε τον τύπο ολοκλήρωσης ανά εξαρτήματα. Παρακάτω δίνεταιαναλυτική λύση

αυτά τα παραδείγματα.

Παραδείγματα επίλυσης ολοκληρωμάτων

Παράδειγμα με τον εκθέτη, e στη δύναμη του x
.

Προσδιορίστε το ολοκλήρωμα:
Ας εισάγουμε τον εκθέτη κάτω από το διαφορικό πρόσημο:.

e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x)

Ας ενσωματωθούμε ανά μέρη.
.
Εδώ
.
.
.
Ενσωματώνουμε επίσης το υπόλοιπο ακέραιο κατά εξαρτήματα.
.

Τέλος έχουμε:

Ένα παράδειγμα ορισμού ολοκληρώματος με ημίτονο
.

Υπολογίστε το ολοκλήρωμα:

e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x)

Ας εισάγουμε το ημίτονο κάτω από το διαφορικό πρόσημο: εδώ u = x 2, v = cos(2 x+3) ( , du = )′ x 2

dx


Ενσωματώνουμε επίσης το υπόλοιπο ακέραιο κατά εξαρτήματα. Για να το κάνετε αυτό, εισάγετε το συνημίτονο κάτω από το διαφορικό πρόσημο. εδώ u = x, v = sin(2 x+3)

Ενσωματώνουμε επίσης το υπόλοιπο ακέραιο κατά εξαρτήματα.

, du = dx

Ένα παράδειγμα ορισμού ολοκληρώματος με ημίτονο
.

Παράδειγμα γινομένου πολυωνύμου και συνημιτόνου

e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x)

Ας εισάγουμε το συνημίτονο κάτω από το διαφορικό πρόσημο: εδώ u = x 2 + 3 x + 5 , v = cos(2 x+3) ( αμαρτία 2 x )′ x 2

x 2 + 3 x + 5 Το κύριοτριγωνομετρικούς τύπους

και βασικές αντικαταστάσεις. Περιγράφονται μέθοδοι ολοκλήρωσης τριγωνομετρικών συναρτήσεων - ολοκλήρωση ορθολογικών συναρτήσεων, γινόμενο συναρτήσεων ισχύος sin x και cos x, γινόμενο πολυωνύμου, εκθετικό και ημιτονικό ή συνημίτονο, ολοκλήρωση αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Επηρεάζονται οι μη τυπικές μέθοδοι.

Περιεχόμενο

Τυπικές μέθοδοι για την ενοποίηση τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Γενική προσέγγιση

Πρώτον, εάν είναι απαραίτητο, το ολοκλήρωμα πρέπει να μετασχηματιστεί έτσι ώστε οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις να εξαρτώνται από ένα μόνο όρισμα, το οποίο είναι ίδιο με τη μεταβλητή ολοκλήρωσης. Για παράδειγμα, εάν ο ολοκληρωτής εξαρτάται απόΚαι sin(x+a) cos(x+b)
, τότε θα πρέπει να εκτελέσετε τη μετατροπή: cos (x+b) = cos (x+a - (a-b)) = αμαρτία ( x+a ) αμαρτία (b-a).
Στη συνέχεια κάντε την αντικατάσταση z = x+a.

Ως αποτέλεσμα, οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις θα εξαρτώνται μόνο από τη μεταβλητή ολοκλήρωσης z. Όταν οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις εξαρτώνται από ένα όρισμα που συμπίπτει με τη μεταβλητή ολοκλήρωσης (ας πούμε ότι είναι z ), δηλαδή, το ολοκλήρωμα αποτελείται μόνο από συναρτήσεις όπως, αμαρτία z, cos z, tg z ctg z
.
, τότε πρέπει να κάνετε μια αντικατάσταση Μια τέτοια αντικατάσταση οδηγεί στην ολοκλήρωση ορθολογικών ή παράλογων συναρτήσεων (αν υπάρχουν ρίζες) και επιτρέπει σε κάποιον να υπολογίσει το ολοκλήρωμα εάν είναι ενσωματωμένο σε.

στοιχειώδεις λειτουργίες

Ωστόσο, μπορείτε συχνά να βρείτε άλλες μεθόδους που σας επιτρέπουν να αξιολογήσετε το ολοκλήρωμα με συντομότερο τρόπο, με βάση τις ιδιαιτερότητες του ολοκληρώματος. Παρακάτω είναι μια περίληψη των κύριων τέτοιων μεθόδων.

Μέθοδοι για την ολοκλήρωση ορθολογικών συναρτήσεων των sin x και cos x Ορθολογικές συναρτήσεις απόΚαι αμαρτία x cos x Ορθολογικές συναρτήσεις από, αμαρτία xείναι συναρτήσεις που σχηματίζονται από και οποιεσδήποτε σταθερές που χρησιμοποιούν τις πράξεις πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού, διαίρεσης και αύξησης σε ακέραιο αριθμό. Ορίζονται ως εξής: R(sin x, cos x)
.
.

Αυτό μπορεί επίσης να περιλαμβάνει εφαπτομένες και συνεφαπτομένες, καθώς σχηματίζονται με διαίρεση του ημιτόνου με το συνημίτονο και αντίστροφα.
Τα ολοκληρώματα των ορθολογικών συναρτήσεων έχουν τη μορφή:
Οι μέθοδοι για την ολοκλήρωση ορθολογικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων είναι οι εξής. και οποιεσδήποτε σταθερές που χρησιμοποιούν τις πράξεις πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού, διαίρεσης και αύξησης σε ακέραιο αριθμό. Ορίζονται ως εξής: R 1) Η αντικατάσταση οδηγεί πάντα στο ολοκλήρωμα ενός λογικού κλάσματος. Ωστόσο, σε ορισμένες περιπτώσεις, υπάρχουν αντικαταστάσεις (αυτές παρουσιάζονται παρακάτω) που οδηγούν σε συντομότερους υπολογισμούς. Ορθολογικές συναρτήσεις από.
2) Εάν ο R και οποιεσδήποτε σταθερές που χρησιμοποιούν τις πράξεις πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού, διαίρεσης και αύξησης σε ακέραιο αριθμό. Ορίζονται ως εξής: R cos x → - cos x 3) Εάν ο Rπολλαπλασιάζεται επί -1 κατά την αντικατάσταση αμαρτία x.
αμαρτία x → - αμαρτία x και οποιεσδήποτε σταθερές που χρησιμοποιούν τις πράξεις πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού, διαίρεσης και αύξησης σε ακέραιο αριθμό. Ορίζονται ως εξής: R, τότε η αντικατάσταση t = 1) Η αντικατάσταση οδηγεί πάντα στο ολοκλήρωμα ενός λογικού κλάσματος. Ωστόσο, σε ορισμένες περιπτώσεις, υπάρχουν αντικαταστάσεις (αυτές παρουσιάζονται παρακάτω) που οδηγούν σε συντομότερους υπολογισμούς. 4) Εάν ο R 3) Εάν ο Rδεν αλλάζει όπως με την ταυτόχρονη αντικατάσταση , Και, τότε η αντικατάσταση t = tg x.

ή t =
, , .

ctg x

Παραδείγματα:

Το γινόμενο των συναρτήσεων ισχύος του cos x και του sin x

Ολοκληρώματα της φόρμας είναι ολοκληρώματα ορθολογικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Επομένως, οι μέθοδοι που περιγράφονται στην προηγούμενη ενότητα μπορούν να εφαρμοστούν σε αυτές. Μέθοδοι που βασίζονται στις ιδιαιτερότητες τέτοιων ολοκληρωμάτων συζητούνται παρακάτω.Αν m και n - Ορθολογικές συναρτήσεις από, τότε η αντικατάσταση t = αμαρτία xορθολογικούς αριθμούς

, τότε μία από τις αντικαταστάσεις t =

;
;
;
.

το ολοκλήρωμα ανάγεται στο ολοκλήρωμα του διαφορικού διωνύμου.
.

Εάν τα m και n είναι ακέραιοι, τότε η ολοκλήρωση πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας τύπους αναγωγής:

Παράδειγμα:
, ,
Ολοκληρώματα του γινομένου πολυωνύμου και ημιτόνου ή συνημιτόνου

;
.

ή t =
, .

Ολοκληρώματα της φόρμας:

Παράδειγμα:
, ,
όπου το P(x) είναι ένα πολυώνυμο στο x, ολοκληρωμένο χρησιμοποιώντας τον τύπο του Euler
e iax = cos τσεκούρι + isin ax(όπου i 2 = - 1 ).
Για να το κάνετε αυτό, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο που περιγράφεται στην προηγούμενη παράγραφο, υπολογίστε το ολοκλήρωμα
.
Διαχωρίζοντας το πραγματικό και το φανταστικό μέρος από το αποτέλεσμα, προκύπτουν τα αρχικά ολοκληρώματα.

το ολοκλήρωμα ανάγεται στο ολοκλήρωμα του διαφορικού διωνύμου.
.

Μη τυπικές μέθοδοι για την ενσωμάτωση τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Παρακάτω είναι μια σειρά από μη τυπικές μεθόδους που σας επιτρέπουν να εκτελέσετε ή να απλοποιήσετε την ενσωμάτωση τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Εξάρτηση από (a sin x + b cos x)

Αν το ολοκλήρωμα εξαρτάται μόνο από το α sin x + b cos x, τότε είναι χρήσιμο να εφαρμόσετε τον τύπο:
,
Που .

Για παράδειγμα

Ανάλυση κλασμάτων από ημίτονο και συνημίτονο σε απλούστερα κλάσματα

Εξετάστε το ολοκλήρωμα
.
Η απλούστερη μέθοδος ολοκλήρωσης είναι η αποσύνθεση του κλάσματος σε απλούστερα χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό:
sin(a - b) = sin(x + a - (x + b)) = sin(x+a) cos(x+b) - cos(x+a) sin(x+b)

Ολοκλήρωση κλασμάτων πρώτου βαθμού

Στο ολοκληρωτικός υπολογισμός
,
είναι βολικό να απομονωθεί το ακέραιο μέρος του κλάσματος και η παράγωγος του παρονομαστή
ένα 1 αμαρτία x + b 1 cos x =ΕΝΑ (α αμαρτία x + b cos x) +σι (α αμαρτία x + β συν x)′ .
Οι σταθερές Α και Β βρίσκονται συγκρίνοντας την αριστερή και τη δεξιά πλευρά.

Χρησιμοποιημένη βιβλιογραφία:
Ν.Μ. Gunter, R.O. Kuzmin, Συλλογή προβλημάτων στα ανώτερα μαθηματικά, "Lan", 2003.

Δείτε επίσης: