Γεωμετρική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών. Γεωμετρική παράσταση και τριγωνομετρική μορφή μιγαδικών αριθμών Γεωμετρική αναπαράσταση του συνόλου των πραγματικών αριθμών
Υπάρχουν οι παρακάτω φόρμες μιγαδικοί αριθμοί:
αλγεβρικός(x+iy), τριγωνομετρική(r(cos+isin 
)),
ενδεικτικός(re i 
).
Οποιοσδήποτε μιγαδικός αριθμός z=x+iy μπορεί να απεικονιστεί στο επίπεδο XOU ως σημείο A(x,y).
Το επίπεδο στο οποίο απεικονίζονται μιγαδικοί αριθμοί ονομάζεται επίπεδο της μιγαδικής μεταβλητής z (βάζουμε το σύμβολο z στο επίπεδο).
Ο άξονας OX είναι ο πραγματικός άξονας, δηλ. περιέχει πραγματικούς αριθμούς. Το OU είναι ένας φανταστικός άξονας με φανταστικούς αριθμούς.
x+iy- αλγεβρική μορφή γραφής μιγαδικού αριθμού.
Ας εξαγάγουμε την τριγωνομετρική μορφή της γραφής ενός μιγαδικού αριθμού.
Αντικαθιστούμε τις λαμβανόμενες τιμές στην αρχική μορφή: , δηλ.
r(cos
+ισιν
)
- τριγωνομετρική μορφή γραφής μιγαδικού αριθμού.
Η εκθετική μορφή γραφής ενός μιγαδικού αριθμού προκύπτει από τον τύπο του Euler: 
,Τότε 
z= σχετικά με εγώ 
- εκθετική μορφή γραφής μιγαδικού αριθμού.
Πράξεις σε μιγαδικούς αριθμούς.
1. πρόσθεση. z 1 +z 2 =(x1+iy1)+ (x2+iy2)=(x1+x2)+i(y1+y2);
2 . αφαίρεση. z 1 -z 2 =(x1+iy1)- (x2+iy2)=(x1-x2)+i(y1-y2);
3. πολλαπλασιασμός. z 1 z 2 =(x1+iy1)*(x2+iy2)=x1x2+i(x1y2+x2y1+iy1y2)=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1);
4
. διαίρεση. z 1 /z 2 =(x1+iy1)/(x2+iy2)=[(x1+iy1)*(x2-iy2)]/[ (x2+iy2)*(x2-iy2)]= 
Δύο μιγαδικοί αριθμοί που διαφέρουν μόνο στο πρόσημο της νοητής μονάδας, δηλ. z=x+iy (z=x-iy) λέγονται συζυγείς.
Εργασία.
z1=r(συν 
+ισιν 
) z2=r(συν 
+ισιν 
).
Αυτό το γινόμενο z1*z2 μιγαδικών αριθμών βρίσκεται: , δηλ. το μέτρο του γινομένου είναι ίσο με το γινόμενο των συντελεστών και το όρισμα του γινομένου είναι ίσο με το άθροισμα των ορισμάτων των παραγόντων.
;
;
Ιδιωτικός.
Αν οι μιγαδικοί αριθμοί δίνονται σε τριγωνομετρική μορφή.
Αν οι μιγαδικοί αριθμοί δίνονται σε εκθετική μορφή.
Εκθεσιμότητα.
1. Δίνεται μιγαδικός αριθμός αλγεβρικός μορφή.
z=x+iy, τότε το z n βρίσκεται με Ο διωνυμικός τύπος του Νεύτωνα:
- ο αριθμός των συνδυασμών n στοιχείων του m (ο αριθμός των τρόπων με τους οποίους μπορούν να ληφθούν n στοιχεία από το m).
; 
.
n!=1*2*…*n; 0!=1;
Αίτηση για μιγαδικούς αριθμούς.
Στην έκφραση που προκύπτει, πρέπει να αντικαταστήσετε τις δυνάμεις i με τις τιμές τους:
i 0 =1 Επομένως, στη γενική περίπτωση λαμβάνουμε: i 4k =1
i 1 =i i 4k+1 =i
i 2 =-1 i 4k+2 =-1
i 3 =-i i 4k+3 =-i.
Παράδειγμα
i 31 = i 28 i 3 =-i
2. i 1063 = i 1062 i=i μορφή.
τριγωνομετρική 
+ισιν 
z=r(συν
- ), Αυτό.
Εδώ το n μπορεί να είναι είτε «+» ή «-» (ακέραιος).
3. Αν δίνεται μιγαδικός αριθμός ενδεικτικός μορφή:
Εξαγωγή ριζών.
Θεωρήστε την εξίσωση: 
.
Η λύση του θα είναι η ν η ρίζα του μιγαδικού αριθμού z: 
.
Η ν η ρίζα ενός μιγαδικού αριθμού z έχει ακριβώς n λύσεις (τιμές). Η ν η ρίζα ενός πραγματικού αριθμού έχει μόνο μία λύση. Σε σύνθετες υπάρχουν n λύσεις.
Αν δίνεται μιγαδικός αριθμός i 1063 = i 1062 i=i μορφή:
τριγωνομετρική 
+ισιν 
), τότε η ν η ρίζα του z βρίσκεται με τον τύπο:
, όπου k=0,1…n-1.
Σειρές. Σειρά αριθμών.
Έστω η μεταβλητή a να λάβει διαδοχικά τις τιμές a 1, a 2, a 3,…, a n. Ένα τέτοιο αναριθμημένο σύνολο αριθμών ονομάζεται ακολουθία. Είναι ατελείωτο.
Αριθμητική σειρά είναι η παράσταση a 1 + a 2 + a 3 +…+a n +…= 
. Οι αριθμοί a 1, a 2, a 3,... και n είναι μέλη της σειράς.
Για παράδειγμα.
και 1 είναι ο πρώτος όρος της σειράς.
και n είναι ο ντος ή κοινός όρος της σειράς.
Μια σειρά θεωρείται δεδομένη αν είναι γνωστός ο ντος (κοινός όρος της σειράς).
Μια σειρά αριθμών έχει άπειρο αριθμό όρων.
Αριθμητές - αριθμητική πρόοδος (1,3,5,7…).
Ο ντος όρος βρίσκεται με τον τύπο a n =a 1 +d(n-1); d=a n -a n-1 .
Παρονομαστής - γεωμετρική πρόοδος. b n =b 1 q n-1; 
.
Θεωρήστε το άθροισμα των πρώτων n όρων της σειράς και συμβολίστε το Sn.
Sn=a1+a2+…+a n.
Το Sn είναι το ντο μερικό άθροισμα της σειράς.
Σκεφτείτε το όριο: 
S είναι το άθροισμα της σειράς.
Σειρά συγκεντρούμενος , εάν αυτό το όριο είναι πεπερασμένο (υπάρχει πεπερασμένο όριο S).
Σειρά αποκλίνων , αν αυτό το όριο είναι άπειρο.
Στο μέλλον, καθήκον μας είναι να καθορίσουμε ποια σειρά.
Μία από τις απλούστερες αλλά πιο κοινές σειρές είναι η γεωμετρική πρόοδος.
, C=const.
Γεωμετρική πρόοδος είναισυγκεντρούμενος
κοντά, Αν 
, και αποκλίνουσα αν 
.
Επίσης βρέθηκε αρμονική σειρά(σειρά 
). Αυτή η σειρά αποκλίνων
.
Γεωμετρικά πραγματικοί αριθμοί, καθώς και ορθολογικούς αριθμούς, αντιπροσωπεύονται από σημεία σε μια γραμμή.
Αφήνω μεγάλο είναι μια αυθαίρετη ευθεία γραμμή, και το Ο είναι μερικά από τα σημεία της (Εικ. 58). Κάθε θετικός πραγματικός αριθμός α ας συσχετίσουμε το σημείο Α, που βρίσκεται στα δεξιά του Ο σε απόσταση από α μονάδες μήκους.
Αν, για παράδειγμα, α = 2,1356..., λοιπόν
2 < α
< 3
2,1 < α
< 2,2
2,13 < α
< 2,14
κλπ. Προφανώς, το σημείο Α σε αυτή την περίπτωση πρέπει να βρίσκεται στην ευθεία μεγάλο στα δεξιά των σημείων που αντιστοιχούν στους αριθμούς
2; 2,1; 2,13; ... ,
αλλά στα αριστερά των σημείων που αντιστοιχούν στους αριθμούς
3; 2,2; 2,14; ... .
Μπορεί να φανεί ότι αυτές οι συνθήκες καθορίζονται στη γραμμή μεγάλο το μόνο σημείο Α, το οποίο θεωρούμε ως γεωμετρική εικόνα ενός πραγματικού αριθμού α = 2,1356... .
Ομοίως, για κάθε αρνητικό πραγματικό αριθμό β ας συσχετίσουμε το σημείο Β που βρίσκεται στα αριστερά του Ο σε απόσταση | β | μονάδες μήκους. Τέλος, συσχετίζουμε τον αριθμό «μηδέν» με το σημείο Ο.
Έτσι, ο αριθμός 1 θα απεικονίζεται σε ευθεία γραμμή μεγάλο το σημείο Α, που βρίσκεται στα δεξιά του Ο σε απόσταση μιας μονάδας μήκους (Εικ. 59), ο αριθμός - √2 - από το σημείο Β, που βρίσκεται στα αριστερά του Ο σε απόσταση √2 μονάδων μήκους κ.λπ. .
Ας δείξουμε πώς σε ευθεία γραμμή μεγάλο χρησιμοποιώντας μια πυξίδα και έναν χάρακα, μπορείτε να βρείτε σημεία που αντιστοιχούν στους πραγματικούς αριθμούς √2, √3, √4, √5, κ.λπ. Για να το κάνετε αυτό, πρώτα απ 'όλα, θα δείξουμε πώς μπορείτε να κατασκευάσετε τμήματα των οποίων τα μήκη εκφράζονται με αυτούς τους αριθμούς. Έστω ΑΒ ένα τμήμα που λαμβάνεται ως μονάδα μήκους (Εικ. 60).
Στο σημείο Α, κατασκευάζουμε μια κάθετη σε αυτό το τμήμα και σχεδιάζουμε πάνω του ένα τμήμα AC ίσο με το τμήμα ΑΒ. Στη συνέχεια, εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC, έχουμε; BC = √AB 2 + AC 2 = √1+1 = √2
Επομένως, το τμήμα BC έχει μήκος √2. Τώρα ας κατασκευάσουμε μια κάθετη στο τμήμα BC στο σημείο C και ας επιλέξουμε το σημείο D σε αυτό έτσι ώστε το τμήμα CD να είναι ίσο με μια μονάδα μήκους AB. Στη συνέχεια από ορθογώνιο τρίγωνοΑς βρούμε το BCD:
ВD = √ВC 2 + СD 2 = √2+1 = √3
Επομένως, το τμήμα BD έχει μήκος √3. Συνεχίζοντας περαιτέρω την περιγραφόμενη διαδικασία, θα μπορούσαμε να λάβουμε τμήματα BE, BF, ..., τα μήκη των οποίων εκφράζονται με τους αριθμούς √4, √5, κ.λπ.
Τώρα σε ευθεία γραμμή μεγάλο είναι εύκολο να βρούμε εκείνα τα σημεία που χρησιμεύουν ως γεωμετρική αναπαράσταση των αριθμών √2, √3, √4, √5, κ.λπ.
Σχεδιάζοντας, για παράδειγμα, το τμήμα BC στα δεξιά του σημείου O (Εικ. 61), παίρνουμε το σημείο C, το οποίο χρησιμεύει ως γεωμετρική εικόνα του αριθμού √2. Με τον ίδιο τρόπο, βάζοντας το τμήμα ΒΔ στα δεξιά του σημείου Ο, παίρνουμε το σημείο Δ», που είναι η γεωμετρική εικόνα του αριθμού √3 κ.λπ.
Ωστόσο, δεν πρέπει να σκεφτεί κανείς ότι χρησιμοποιεί πυξίδα και χάρακα στην αριθμητική γραμμή μεγάλο μπορεί κανείς να βρει το σημείο που αντιστοιχεί σε οποιονδήποτε δεδομένο πραγματικό αριθμό. Έχει αποδειχθεί, για παράδειγμα, ότι, έχοντας στη διάθεσή σας μόνο μια πυξίδα και έναν χάρακα, είναι αδύνατο να κατασκευάσετε ένα τμήμα του οποίου το μήκος εκφράζεται με τον αριθμό π = 3,14... . Επομένως, στην αριθμητική γραμμή μεγάλο Με τη βοήθεια τέτοιων κατασκευών είναι αδύνατο να υποδειχθεί το σημείο που αντιστοιχεί σε αυτόν τον αριθμό, ωστόσο, ένα τέτοιο σημείο υπάρχει.
Έτσι, για κάθε πραγματικό αριθμό α είναι δυνατό να συσχετιστεί κάποιο καλά καθορισμένο σημείο με μια ευθεία γραμμή μεγάλο . Αυτό το σημείο θα βρίσκεται σε απόσταση | α | μονάδες μήκους και να είναι στα δεξιά του Ο αν α > 0, και στα αριστερά του O, αν α < 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две различные точки прямой μεγάλο . Στην πραγματικότητα, αφήστε τον αριθμό α αντιστοιχεί το σημείο Α και ο αριθμός β - σημείο Β. Τότε, αν α > β , τότε το Α θα βρίσκεται στα δεξιά του Β (Εικ. 62, α). αν α < β , τότε το Α θα βρίσκεται στα αριστερά του Β (Εικ. 62, β).
Μιλώντας στην § 37 για τη γεωμετρική εικόνα των ρητών αριθμών, θέσαμε το ερώτημα: μπορεί οποιοδήποτε σημείο σε μια ευθεία να θεωρηθεί ως γεωμετρική εικόνα ορισμένων λογικόςαριθμοί; Τότε δεν μπορούσαμε να απαντήσουμε σε αυτή την ερώτηση. Τώρα μπορούμε να το απαντήσουμε σίγουρα. Υπάρχουν σημεία στη γραμμή που χρησιμεύουν ως γεωμετρική αναπαράσταση παράλογων αριθμών (για παράδειγμα, √2). Επομένως, δεν αντιπροσωπεύει κάθε σημείο σε μια ευθεία έναν ρητό αριθμό. Αλλά σε αυτήν την περίπτωση, τίθεται ένα άλλο ερώτημα: μπορεί οποιοδήποτε σημείο στην αριθμητική γραμμή να θεωρηθεί ως γεωμετρική εικόνα κάποιων έγκυροςαριθμοί; Αυτό το ζήτημα έχει ήδη επιλυθεί θετικά.
Πράγματι, έστω το Α ένα αυθαίρετο σημείο στη γραμμή μεγάλο , που βρίσκεται στα δεξιά του Ο (Εικ. 63).
Το μήκος του τμήματος ΟΑ εκφράζεται με κάποιο θετικό πραγματικό αριθμό α (βλ. § 41). Επομένως, το σημείο Α είναι μια γεωμετρική εικόνα του αριθμού α . Είναι παρομοίως αποδεδειγμένο ότι κάθε σημείο Β που βρίσκεται στα αριστερά του Ο μπορεί να θεωρηθεί ως γεωμετρική εικόνα ενός αρνητικού πραγματικού αριθμού - β , Πού β - μήκος του τμήματος VO. Τέλος, το σημείο Ο χρησιμεύει ως γεωμετρική αναπαράσταση του αριθμού μηδέν. Είναι σαφές ότι δύο διαφορετικά σημεία μιας ευθείας γραμμής μεγάλο δεν μπορεί να είναι μια γεωμετρική εικόνα του ίδιου πραγματικού αριθμού.
Για τους λόγους που αναφέρθηκαν παραπάνω, μια ευθεία γραμμή στην οποία ένα ορισμένο σημείο Ο υποδεικνύεται ως «αρχικό» σημείο (για μια δεδομένη μονάδα μήκους) ονομάζεται αριθμητική γραμμή.
Σύναψη. Πολλά από όλους πραγματικούς αριθμούςκαι το σύνολο όλων των σημείων στην αριθμητική γραμμή είναι σε αντιστοιχία ένα προς ένα.
Αυτό σημαίνει ότι κάθε πραγματικός αριθμός αντιστοιχεί σε ένα, καλά καθορισμένο σημείο της αριθμητικής γραμμής, και, αντιστρόφως, σε κάθε σημείο της αριθμητικής γραμμής, με μια τέτοια αντιστοιχία, αντιστοιχεί ένας, καλά καθορισμένος πραγματικός αριθμός.
Μιγαδικοί αριθμοί
Βασικές Έννοιες
Τα αρχικά στοιχεία για τον αριθμό χρονολογούνται στη Λίθινη Εποχή - Παλαιολιθική εποχή. Αυτά είναι «ένα», «λίγοι» και «πολλά». Ηχογραφήθηκαν με τη μορφή εγκοπών, κόμβων κ.λπ. Η ανάπτυξη των εργασιακών διαδικασιών και η εμφάνιση της ιδιοκτησίας ανάγκασαν τον άνθρωπο να εφεύρει αριθμούς και τα ονόματά τους. Οι φυσικοί αριθμοί εμφανίστηκαν πρώτοι Ν, που προκύπτει με την καταμέτρηση αντικειμένων. Στη συνέχεια, μαζί με την ανάγκη μέτρησης, οι άνθρωποι είχαν την ανάγκη να μετρήσουν μήκη, εμβαδά, όγκους, χρόνο και άλλες ποσότητες, όπου έπρεπε να λάβουν υπόψη μέρη του μέτρου που χρησιμοποιήθηκε. Έτσι προέκυψαν τα κλάσματα. Η τυπική τεκμηρίωση των εννοιών των κλασματικών και αρνητικών αριθμών πραγματοποιήθηκε τον 19ο αιώνα. Σύνολο ακεραίων Ζ– αυτοί είναι φυσικοί αριθμοί, φυσικοί αριθμοί με αρνητικό πρόσημο και μηδέν. Οι ακέραιοι και οι κλασματικοί αριθμοί σχημάτισαν ένα σύνολο ρητών αριθμών Q,αλλά αποδείχθηκε επίσης ανεπαρκής για τη μελέτη των συνεχώς μεταβαλλόμενων μεταβλητών. Το Genesis έδειξε ξανά την ατέλεια των μαθηματικών: την αδυναμία επίλυσης μιας εξίσωσης της μορφής Χ 2 = 3, γι' αυτό εμφανίστηκαν παράλογοι αριθμοί ΕΓΩ.Ένωση του συνόλου των ρητών αριθμών Qκαι παράλογους αριθμούς εγώ– σύνολο πραγματικών (ή πραγματικών) αριθμών R. Ως αποτέλεσμα, η αριθμητική γραμμή συμπληρώθηκε: κάθε πραγματικός αριθμός αντιστοιχούσε σε ένα σημείο πάνω του. Αλλά σε πολλά Rδεν υπάρχει τρόπος να λυθεί μια εξίσωση της μορφής Χ 2 = – ΕΝΑ 2. Κατά συνέπεια, προέκυψε και πάλι η ανάγκη να επεκταθεί η έννοια του αριθμού. Έτσι εμφανίστηκαν οι μιγαδικοί αριθμοί το 1545. Ο δημιουργός τους J. Cardano τους αποκάλεσε «καθαρά αρνητικούς». Το όνομα «φανταστικό» εισήχθη το 1637 από τον Γάλλο R. Descartes, το 1777 ο Euler πρότεινε να χρησιμοποιήσει το πρώτο γράμμα του γαλλικού αριθμού εγώγια να δηλώσετε τη φανταστική μονάδα. Αυτό το σύμβολο μπήκε σε γενική χρήση χάρη στον Κ. Γκάους.
Κατά τον 17ο και 18ο αιώνα συνεχίστηκε η συζήτηση για την αριθμητική φύση των φανταστικών και τη γεωμετρική τους ερμηνεία. Ο Δανός G. Wessel, ο Γάλλος J. Argan και ο Γερμανός K. Gauss πρότειναν ανεξάρτητα την αναπαράσταση ενός μιγαδικού αριθμού ως σημείο στο επίπεδο συντεταγμένων. Αργότερα αποδείχθηκε ότι είναι ακόμη πιο βολικό να αναπαραστήσουμε έναν αριθμό όχι από το ίδιο το σημείο, αλλά από ένα διάνυσμα που πηγαίνει σε αυτό το σημείο από την αρχή.
Μόνο προς τα τέλη του 18ου και τις αρχές του 19ου αιώνα οι μιγαδικοί αριθμοί πήραν τη θέση που τους αρμόζει στη μαθηματική ανάλυση. Η πρώτη τους χρήση είναι στη θεωρία διαφορικές εξισώσειςκαι στη θεωρία της υδροδυναμικής.
Ορισμός 1.Μιγαδικός αριθμόςονομάζεται έκφραση της μορφής , όπου xΚαι yείναι πραγματικοί αριθμοί, και εγώ– φανταστική μονάδα, .
Δύο μιγαδικοί αριθμοί και ίσοςαν και μόνο αν , .
Αν , τότε καλείται ο αριθμός καθαρά φανταστικό; αν , τότε ο αριθμός είναι πραγματικός αριθμός, αυτό σημαίνει ότι το σύνολο R ΜΕ, Πού ΜΕ– ένα σύνολο μιγαδικών αριθμών.
Κλίνωσε έναν μιγαδικό αριθμό ονομάζεται μιγαδικός αριθμός.
Γεωμετρική αναπαράσταση μιγαδικών αριθμών.
Οποιοσδήποτε μιγαδικός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί με ένα σημείο Μ(x, y) αεροπλάνο Oxy.Ένα ζεύγος πραγματικών αριθμών υποδηλώνει επίσης τις συντεταγμένες του διανύσματος ακτίνας 
, δηλ. μεταξύ του συνόλου των διανυσμάτων στο επίπεδο και του συνόλου των μιγαδικών αριθμών, μπορεί κανείς να δημιουργήσει μια αντιστοιχία ένα προς ένα: .
Ορισμός 2.Πραγματικό μέρος Χ.
Ονομασία: x= Re z(από τα λατινικά Realis).
Ορισμός 3.Φανταστικό μέροςμιγαδικός αριθμός είναι πραγματικός αριθμός y.
Ονομασία: y= Im z(από τα λατινικά Imaginarius).
Σχετικά με zεναποτίθεται στον άξονα ( Ω), Im zεναποτίθεται στον άξονα ( Ω), τότε το διάνυσμα που αντιστοιχεί στον μιγαδικό αριθμό είναι το διάνυσμα ακτίνας του σημείου Μ(x, y), (ή Μ(Σχετικά με z, Im z)) (Εικ. 1).
Ορισμός 4.Ένα επίπεδο του οποίου τα σημεία συνδέονται με ένα σύνολο μιγαδικών αριθμών ονομάζεται σύνθετο επίπεδο. Ο άξονας της τετμημένης ονομάζεται πραγματικός άξονας, αφού περιέχει πραγματικούς αριθμούς. Ο άξονας τεταγμένων ονομάζεται φανταστικός άξονας, περιέχει καθαρά φανταστικούς μιγαδικούς αριθμούς. Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών συμβολίζεται ΜΕ.
Ορισμός 5.Μονάδα μέτρησηςμιγαδικός αριθμός z = (x, y) ονομάζεται μήκος του διανύσματος: , δηλ. 
.
Ορισμός 6.Επιχείρημαμιγαδικός αριθμός είναι η γωνία μεταξύ της θετικής κατεύθυνσης του άξονα ( Ω) και διάνυσμα: 
.
Οι έννοιες «σύνολο», «στοιχείο», «ανήκει ένα στοιχείο σε ένα σύνολο» είναι οι πρωταρχικές έννοιες των μαθηματικών. Πολοί- οποιαδήποτε συλλογή (σύνολο) οποιωνδήποτε αντικειμένων .
Το Α είναι ένα υποσύνολο του συνόλου Β,αν κάθε στοιχείο του συνόλου Α είναι στοιχείο του συνόλου Β, δηλ. AÌB Û (ХОА Þ ХОВ).
Δύο σετ είναι ίσα, εάν αποτελούνται από τα ίδια στοιχεία. Μιλάμε για θεωρητική ισότητα συνόλων (δεν πρέπει να συγχέεται με την ισότητα μεταξύ των αριθμών): A=B Û AÌB Ù VA.
Ένωση δύο σεταποτελείται από στοιχεία που ανήκουν σε τουλάχιστον ένα από τα σύνολα, δηλ. KHOAÈV Û KHOAÚ KHOV.
Διατομήαποτελείται από όλα τα στοιχεία που ανήκουν ταυτόχρονα τόσο στο σύνολο Α όσο και στο σύνολο Β: хОАХВ Û хоА Ù хоВ.
Διαφοράαποτελείται από όλα τα στοιχεία του Α που δεν ανήκουν στο Β, δηλ. xО A\B Û xОА ÙхПВ.
Καρτεσιανό προϊόν C=A´B των συνόλων Α και Β είναι το σύνολο όλων των πιθανών ζευγών ( x,y), όπου το πρώτο στοιχείο Χκάθε ζεύγος περιέχει το Α και το δεύτερο στοιχείο του στοανήκει στον V.
Ένα υποσύνολο F του καρτεσιανού γινομένου A´B ονομάζεται αντιστοίχιση συνόλου Α στο σύνολο Β , εάν πληρούται η προϋπόθεση: (" Χ OA)($! ζεύγος ( x.y)ΑΝ). Ταυτόχρονα γράφουν: A V.
Οι όροι "οθόνη" και "λειτουργία" είναι συνώνυμοι. Αν ("хоА)($! уУВ): ( x,y)ОF, μετά το στοιχείο στοÎ ΣΕκάλεσε τρόπος Χόταν εμφανίζετε το F και γράψτε το ως εξής: στο=F( Χ). Στοιχείο Χταυτόχρονα είναι πρωτότυπο (ένα από τα πιθανά) στοιχείο y.
Ας αναλογιστούμε σύνολο ρητών αριθμών Q - το σύνολο όλων των ακεραίων και το σύνολο όλων των κλασμάτων (θετικών και αρνητικών). Κάθε ρητός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως πηλίκο, για παράδειγμα, 1 =4/3=8/6=12/9=…. Υπάρχουν πολλές τέτοιες αναπαραστάσεις, αλλά μόνο μία από αυτές είναι μη αναγώγιμη .
ΣΕ Οποιοσδήποτε ρητός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί μοναδικά ως κλάσμα p/q, όπου pÎZ, qÎN, οι αριθμοί p, q είναι συμπρώτοι.
Ιδιότητες του συνόλου Q:
1. Κλείσιμο υπό αριθμητικές πράξεις.Το αποτέλεσμα της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασμού, της αύξησης στη φυσική δύναμη, της διαίρεσης (εκτός της διαίρεσης με το 0) των ρητών αριθμών είναι ρητός αριθμός: ; ; 
.
2. Τακτοποίηση: (" x, yÎQ, x¹y)®( x
Επιπλέον: 1) a>b, b>c Þ a>c; 2)ένα -σι.
3. Πυκνότητα. Μεταξύ οποιωνδήποτε δύο ρητών αριθμών x, yυπάρχει ένας τρίτος ρητός αριθμός (για παράδειγμα, c= ):
("x, yÎQ, x<y) ($cÎQ) : ( Χ
Στο σύνολο Q μπορείτε να εκτελέσετε 4 αριθμητικές πράξεις, να λύσετε συστήματα γραμμικών εξισώσεων, αλλά τετραγωνικές εξισώσεις της μορφής x 2 =a, aÎΤα N δεν είναι πάντα επιλύσιμα στο σύνολο Q.
Θεώρημα.Δεν υπάρχει αριθμός xÎQ, του οποίου το τετράγωνο είναι 2.
ζ Έστω ένα τέτοιο κλάσμα Χ=p/q, όπου οι αριθμοί p και q είναι συμπρώτοι και Χ 2 = 2. Τότε (p/q) 2 =2. Οθεν,
Η δεξιά πλευρά του (1) διαιρείται με το 2, που σημαίνει ότι το p 2 είναι ζυγός αριθμός. Άρα p=2n (n-ακέραιος). Τότε το q πρέπει να είναι περιττός αριθμός.
Επιστρέφοντας στο (1), έχουμε 4n 2 =2q 2. Επομένως q 2 =2n 2. Ομοίως, φροντίζουμε το q να διαιρείται με το 2, δηλ. Το q είναι ζυγός αριθμός. Το θεώρημα αποδεικνύεται με αντίφαση.ν
γεωμετρική αναπαράσταση ρητών αριθμών.Βάζοντας ένα τμήμα μονάδας από την αρχή των συντεταγμένων 1, 2, 3... φορές προς τα δεξιά, λαμβάνουμε σημεία στη γραμμή συντεταγμένων που αντιστοιχούν σε φυσικούς αριθμούς. Μετατοπίζοντας παρόμοια προς τα αριστερά, λαμβάνουμε σημεία που αντιστοιχούν σε αρνητικούς ακέραιους αριθμούς. Ας πάρουμε 1/q(q= 2,3,4 … ) μέρος ενός τμήματος μονάδας και θα το τοποθετήσουμε και στις δύο πλευρές της αρχής rμια φορά. Λαμβάνουμε τα σημεία της γραμμής που αντιστοιχούν σε αριθμούς της φόρμας ±p/q (pΟZ, qΟΝ).Αν τα p, q διατρέχουν όλα τα ζεύγη σχετικά πρώτων αριθμών, τότε στην ευθεία έχουμε όλα τα σημεία που αντιστοιχούν σε κλασματικούς αριθμούς. Ετσι, Σύμφωνα με την αποδεκτή μέθοδο, κάθε ρητός αριθμός αντιστοιχεί σε ένα μόνο σημείο της γραμμής συντεταγμένων.
Είναι δυνατόν να καθοριστεί ένας μόνο ρητός αριθμός για κάθε σημείο; Είναι η γραμμή γεμάτη εξ ολοκλήρου με ρητούς αριθμούς;
Αποδεικνύεται ότι υπάρχουν σημεία στη γραμμή συντεταγμένων που δεν αντιστοιχούν σε κανέναν ρητό αριθμό. Κατασκευάζουμε ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο σε ένα μοναδιαίο τμήμα. Το σημείο Ν δεν αντιστοιχεί σε ρητό αριθμό, γιατί αν ON=x- λογικά, λοιπόν x 2 = 2, το οποίο δεν μπορεί να είναι.
Υπάρχουν άπειρα σημεία παρόμοια με το σημείο Ν σε μια ευθεία γραμμή. Ας πάρουμε τα ορθολογικά μέρη του τμήματος x=ON,εκείνοι. Χ. Αν τα μετακινήσουμε προς τα δεξιά, τότε κανένας ρητός αριθμός δεν θα αντιστοιχεί σε καθένα από τα άκρα οποιουδήποτε από αυτά τα τμήματα. Υποθέτοντας ότι το μήκος του τμήματος εκφράζεται με έναν ρητό αριθμό x=, το καταλαβαίνουμε x=- ορθολογικό. Αυτό έρχεται σε αντίθεση με όσα αποδείχθηκαν παραπάνω.
Οι ορθολογικοί αριθμοί δεν είναι αρκετοί για να συσχετίσουν έναν ορισμένο ρητό αριθμό με κάθε σημείο μιας γραμμής συντεταγμένων.
Ας χτίσουμε σύνολο πραγματικών αριθμών R διά μέσου ατελείωτα δεκαδικά.
Σύμφωνα με τον αλγόριθμο διαίρεσης «γωνίας», οποιοσδήποτε ρητός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως πεπερασμένο ή άπειρο περιοδικό δεκαδικό κλάσμα. Όταν ο παρονομαστής του κλάσματος p/q δεν έχει πρώτους παράγοντες εκτός από 2 και 5, δηλ. q=2 m ×5 k, τότε το αποτέλεσμα θα είναι το τελικό δεκαδικό κλάσμα p/q=a 0,a 1 a 2 …a n. Άλλα κλάσματα μπορούν να έχουν μόνο άπειρες δεκαδικές επεκτάσεις.
Γνωρίζοντας ένα άπειρο περιοδικό δεκαδικό κλάσμα, μπορείτε να βρείτε τον ρητό αριθμό του οποίου είναι αναπαράσταση. Αλλά οποιοδήποτε πεπερασμένο δεκαδικό κλάσμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως άπειρο δεκαδικό κλάσμα με έναν από τους ακόλουθους τρόπους:
a 0 ,a 1 a 2 …a n = a 0 ,a 1 a 2 …a n 000…=a 0 ,a 1 a 2 …(a n -1)999… (2)
Για παράδειγμα, για ένα άπειρο δεκαδικό κλάσμα Χ=0,(9) έχουμε 10 Χ=9, (9). Αν αφαιρέσουμε τον αρχικό αριθμό από το 10x, θα έχουμε 9 Χ=9 ή 1=1,(0)=0,(9).
Δημιουργείται μια αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ του συνόλου όλων των ορθολογικών αριθμών και του συνόλου όλων των άπειρων περιοδικών δεκαδικών κλασμάτων, εάν προσδιορίσουμε το άπειρο δεκαδικό κλάσμα με τον αριθμό 9 σε μια περίοδο με το αντίστοιχο άπειρο δεκαδικό κλάσμα με τον αριθμό 0 in μια περίοδος σύμφωνα με τον κανόνα (2).
Ας συμφωνήσουμε να χρησιμοποιήσουμε τέτοια άπειρα περιοδικά κλάσματα που δεν έχουν τον αριθμό 9 στην περίοδο. Αν στη διαδικασία του συλλογισμού προκύψει ένα άπειρο περιοδικό δεκαδικό κλάσμα με τον αριθμό 9 στην περίοδο, τότε θα το αντικαταστήσουμε με ένα άπειρο δεκαδικό κλάσμα με μηδέν στην περίοδο, δηλ. αντί για 1.999... θα πάρουμε 2.000...
Ορισμός άρρητου αριθμού.Εκτός από τα άπειρα δεκαδικά περιοδικά κλάσματα, υπάρχουν και τα μη περιοδικά δεκαδικά κλάσματα. Για παράδειγμα, 0,1010010001... ή 27,1234567891011... (οι φυσικοί αριθμοί εμφανίζονται διαδοχικά μετά την υποδιαστολή).
Θεωρήστε ένα άπειρο δεκαδικό κλάσμα της μορφής ±a 0, a 1 a 2 …a n… (3)
Αυτό το κλάσμα προσδιορίζεται προσδιορίζοντας το σύμβολο «+» ή «–», έναν μη αρνητικό ακέραιο ένα 0 και μια ακολουθία δεκαδικών ψηφίων a 1 , a 2 ,…, a n ,… (το σύνολο των δεκαδικών ψηφίων αποτελείται από δέκα αριθμούς : 0, 1, 2,…, 9).
Ας καλέσουμε οποιοδήποτε κλάσμα της μορφής (3) πραγματικός (πραγματικός) αριθμός.Εάν υπάρχει ένα σύμβολο «+» μπροστά από το κλάσμα (3), συνήθως παραλείπεται και γράφεται ως 0, a 1 a 2 …a n… (4)
Θα καλέσουμε έναν αριθμό της φόρμας (4) μη αρνητικός πραγματικός αριθμός,και στην περίπτωση που τουλάχιστον ένας από τους αριθμούς a 0 , a 1 , a 2 , ..., a n είναι διαφορετικός από το μηδέν, – θετικό πραγματικό αριθμό. Εάν το σύμβολο "-" λαμβάνεται στην έκφραση (3), τότε αυτός είναι ένας αρνητικός αριθμός.
Η ένωση των συνόλων των ρητών και των παράλογων αριθμών σχηματίζει το σύνολο των πραγματικών αριθμών (QÈJ=R). Αν το άπειρο δεκαδικό κλάσμα (3) είναι περιοδικό, τότε είναι ρητός αριθμός, όταν το κλάσμα είναι μη περιοδικό, είναι παράλογο.
Δύο μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί a=a 0 ,a 1 a 2 …a n …, b=b 0 ,b 1 b 2 …b n ….κάλεσε ίσος(γράφουν α=β), Αν a n = b nστο n=0,1,2… Ο αριθμός a είναι μικρότερος από τον αριθμό b(γράφουν ένα<σι), εάν ένα από τα δύο ένα 0 ή a 0 =b 0και υπάρχει τέτοιος αριθμός m,Τι a k =b k (k=0,1,2,…m-1),ΕΝΑ ένα μ , δηλ. ένα Û (α 0 Ú ($mÎN: a k =b k (k= ), a m ). Η έννοια « ΕΝΑ>σι».
Για να συγκρίνουμε αυθαίρετους πραγματικούς αριθμούς, εισάγουμε την έννοια " μέτρο του αριθμού α» . Συντελεστής πραγματικού αριθμού a=±a 0 , a 1 a 2 …a n…Ένας τέτοιος μη αρνητικός πραγματικός αριθμός καλείται, που αναπαρίσταται με το ίδιο άπειρο δεκαδικό κλάσμα, αλλά λαμβάνεται με το πρόσημο «+», δηλ. ½ ΕΝΑ½= a 0, a 1 a 2 …a n…και ½ ΕΝΑ½³0. Αν Α -μη αρνητικό, σιείναι αρνητικός αριθμός, τότε σκεφτείτε α>β. Εάν και οι δύο αριθμοί είναι αρνητικοί ( ένα<0, b<0 ), τότε θα υποθέσουμε ότι: 1) α=β, αν ½ ΕΝΑ½ = ½ σι½; 2) ΕΝΑ , αν ½ ΕΝΑ½ > ½ σι½.
Ιδιότητες του συνόλου R:
ΕΓΩ. Ιδιότητες παραγγελίας:
1. Για κάθε ζεύγος πραγματικών αριθμών ΕΝΑΚαι σιυπάρχει μία και μοναδική σχέση: α=β,α
2. Αν ένα
3. Αν ένα , τότε υπάρχει ένας αριθμός c τέτοιος ώστε ένα< с .
II. Ιδιότητες πράξεων πρόσθεσης και αφαίρεσης:
4. α+β=β+α(ανταλλαγή).
5. (α+β)+γ=α+(β+γ) (συνειρισμός).
6. a+0=a.
7. α+(-α)= 0.
8. από ένα Þ α+γ
III. Ιδιότητες πράξεων πολλαπλασιασμού και διαίρεσης:
9. a×b=b×a .
10. (a×b)×c=a×(b×c).
11. a×1=a.
12. α×(1/α)=1 (α¹0).
13. (a+b)×c = ac + bc(διανομή).
14. αν ένα και c>0, τότε α×σ
IV. Αρχιμήδειος περιουσία("cÎR)($nÎN) : (n>c).
Όποιος κι αν είναι ο αριθμός cÎR, υπάρχει nÎN τέτοιο ώστε n>c.
V. Ιδιότητα συνέχειας πραγματικών αριθμών.Έστω δύο μη κενά σύνολα AÌR και BÌR τέτοια ώστε οποιοδήποτε στοιχείο ΕΝΑΗ ΟΑ δεν θα υπάρχει πια ( ένα£ σι) οποιουδήποτε στοιχείου bОB. Τότε Η αρχή της συνέχειας του Dedekindβεβαιώνει την ύπαρξη ενός αριθμού c τέτοιο ώστε για όλους ΕΝΑΟΑ και bОB ισχύει η ακόλουθη συνθήκη: ένα£c£ σι:
("AÌR, BÌR):(" έναÎA, bÎB ® ένα£β)($cÎR): (" έναÎA, bÎB® ένα£c£b).
Θα αναγνωρίσουμε το σύνολο R με το σύνολο των σημείων στην αριθμητική γραμμή και θα καλέσουμε τους πραγματικούς αριθμούς πόντους.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Μεταβλητές και συναρτήσεις§1.1. Πραγματικοί αριθμοί
Η πρώτη γνωριμία με τους πραγματικούς αριθμούς γίνεται στο σχολικό μάθημαμαθηματικά. Κάθε πραγματικός αριθμός αντιπροσωπεύεται από ένα πεπερασμένο ή άπειρο δεκαδικό κλάσμα.
Οι πραγματικοί αριθμοί χωρίζονται σε δύο κατηγορίες: την κατηγορία των ρητών αριθμών και την κατηγορία των άρρητων αριθμών. Λογικόςείναι αριθμοί που έχουν τη μορφή , όπου mΚαι nείναι coprime ακέραιοι αριθμοί, αλλά 
. (Το σύνολο των ρητών αριθμών συμβολίζεται με το γράμμα Q). Οι υπόλοιποι πραγματικοί αριθμοί καλούνται παράλογος. Οι ορθολογικοί αριθμοί αντιπροσωπεύονται από ένα πεπερασμένο ή άπειρο περιοδικό κλάσμα (όπως κοινά κλάσματα), τότε αυτοί και μόνο εκείνοι οι πραγματικοί αριθμοί που μπορούν να παρασταθούν με άπειρα μη περιοδικά κλάσματα θα είναι παράλογοι.
Για παράδειγμα, αριθμός 
- ορθολογικό, και 
, 
, 
και τα λοιπά. – παράλογοι αριθμοί.
Οι πραγματικοί αριθμοί μπορούν επίσης να χωριστούν σε αλγεβρικούς - οι ρίζες ενός πολυωνύμου με ορθολογικούς συντελεστές (αυτοί περιλαμβάνουν, ειδικότερα, όλους τους ορθολογικούς αριθμούς - τις ρίζες της εξίσωσης 
) – και στα υπερβατικά – όλα τα υπόλοιπα (για παράδειγμα, αριθμοί 
και άλλοι).
Τα σύνολα όλων των φυσικών, ακεραίων και πραγματικών αριθμών συμβολίζονται αναλόγως ως εξής: ΝΖ, R
(αρχικά γράμματα των λέξεων Naturel, Zahl, Reel).
§1.2. Εικόνα πραγματικών αριθμών στην αριθμογραμμή. Διαστήματα
Γεωμετρικά (για λόγους σαφήνειας), οι πραγματικοί αριθμοί αντιπροσωπεύονται από σημεία σε μια άπειρη (και στις δύο κατευθύνσεις) ευθεία που ονομάζεται αριθμητικός
άξονας. Για το σκοπό αυτό, λαμβάνεται ένα σημείο στην υπό εξέταση γραμμή (η αρχή είναι το σημείο 0), υποδεικνύεται μια θετική κατεύθυνση, απεικονίζεται με ένα βέλος (συνήθως προς τα δεξιά) και επιλέγεται μια μονάδα κλίμακας, η οποία παραμερίζεται επ' αόριστον. και στις δύο πλευρές του σημείου 0. Έτσι απεικονίζονται οι ακέραιοι αριθμοί. Για να αναπαραστήσετε έναν αριθμό με ένα δεκαδικό ψηφίο, πρέπει να διαιρέσετε κάθε τμήμα σε δέκα μέρη κ.λπ. Έτσι, κάθε πραγματικός αριθμός αντιπροσωπεύεται από ένα σημείο στην αριθμητική γραμμή. Επιστροφή σε κάθε σημείο 
αντιστοιχεί σε πραγματικό αριθμό ίσο με το μήκος του τμήματος 
και λαμβάνονται με πρόσημο «+» ή «–», ανάλογα με το αν το σημείο βρίσκεται δεξιά ή αριστερά της προέλευσης. Με αυτόν τον τρόπο, δημιουργείται μια αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ του συνόλου όλων των πραγματικών αριθμών και του συνόλου όλων των σημείων στον αριθμητικό άξονα. Οι όροι «πραγματικός αριθμός» και «σημείο άξονα αριθμού» χρησιμοποιούνται ως συνώνυμα.
Σύμβολο 
Θα συμβολίσουμε και έναν πραγματικό αριθμό και το σημείο που αντιστοιχεί σε αυτόν. Θετικοί αριθμοίβρίσκονται στα δεξιά του σημείου 0, οι αρνητικές βρίσκονται στα αριστερά. Αν 
, μετά στον αριθμητικό άξονα το σημείο 
βρίσκεται στα αριστερά του σημείου 
. Αφήστε το θέμα 
αντιστοιχεί στον αριθμό, τότε ο αριθμός ονομάζεται συντεταγμένη του σημείου, γράψτε 
; Πιο συχνά το ίδιο το σημείο συμβολίζεται με το ίδιο γράμμα με τον αριθμό. Το σημείο 0 είναι η αρχή των συντεταγμένων. Ο άξονας ορίζεται επίσης με το γράμμα 
(Εικ. 1.1).
Ρύζι. 1.1. Αριθμητικός άξονας.
Το σύνολο όλων των αριθμών που βρίσκονται μεταξύδίνονται αριθμοί και ονομάζεται διάστημα ή κενό. τα άκρα μπορεί να του ανήκουν ή όχι. Ας το διευκρινίσουμε αυτό. Αφήνω 
. Ένα σύνολο αριθμών που ικανοποιούν την προϋπόθεση 
, που ονομάζεται διάστημα (με τη στενή έννοια) ή ανοιχτό διάστημα, που συμβολίζεται με το σύμβολο 
(Εικ. 1.2).
Ρύζι. 1.2. Διάστημα
Ένα σύνολο αριθμών τέτοιοι ώστε 
ονομάζεται κλειστό διάστημα (τμήμα, τμήμα) και συμβολίζεται με 
; στον αριθμητικό άξονα σημειώνεται ως εξής:
Ρύζι. 1.3. Κλειστό διάστημα
Διαφέρει από το ανοιχτό κενό μόνο κατά δύο σημεία (άκρα) και . Αλλά αυτή η διαφορά είναι θεμελιώδης, σημαντική, όπως θα δούμε αργότερα, για παράδειγμα, όταν μελετάμε τις ιδιότητες των συναρτήσεων.
Παράλειψη των λέξεων «το σύνολο όλων των αριθμών (σημείων) xέτσι ώστε», κ.λπ., σημειώνουμε περαιτέρω:
Και 
, συμβολίζεται 
Και 
μισά-ανοιχτά ή μισόκλειστα διαστήματα (μερικές φορές: μισά διαστήματα).
ή 
μέσα: 
ή 
και ορίζεται 
ή 
;
ή 
μέσα 
ή 
και ορίζεται 
ή 
;
, συμβολίζεται 
το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών. Σήματα 
σύμβολα "άπειρο"? ονομάζονται ακατάλληλοι ή ιδανικοί αριθμοί. 
§1.3. Απόλυτη τιμή (ή συντελεστής) ενός πραγματικού αριθμού
Ορισμός. Απόλυτη τιμή (ή ενότητα)αριθμός ονομάζεται ο ίδιος ο αριθμός αν 
ή 
Αν 
. Η απόλυτη τιμή υποδεικνύεται με το σύμβολο 
. Ετσι, 
Για παράδειγμα, 
, 
, 
.
Γεωμετρικά σημαίνει σημειακή απόσταση έναπρος την καταγωγή. Αν έχουμε δύο σημεία και , τότε η απόσταση μεταξύ τους μπορεί να αναπαρασταθεί ως 
(ή 
). Για παράδειγμα, 
μετά η απόσταση 
.
Ιδιότητες απόλυτων μεγεθών.
1. Από τον ορισμό προκύπτει ότι 
, 
, δηλαδή 
.
2. Η απόλυτη τιμή του αθροίσματος και της διαφοράς δεν υπερβαίνει το άθροισμα των απόλυτων τιμών: 
.
1) Αν 
, Αυτό 
. 2) Αν 
, Αυτό . ▲
3. 
.
, στη συνέχεια από την ιδιότητα 2: 
, δηλ. 
. Ομοίως, αν φαντάζεστε 
, τότε φτάνουμε στην ανισότητα 
▲
4. 
– προκύπτει από τον ορισμό: εξετάστε περιπτώσεις 
Και 
.
5. 
, με την προϋπόθεση ότι 
Το ίδιο προκύπτει από τον ορισμό.
6. Ανισότητα 
,
, σημαίνει 
. Αυτή η ανισότητα ικανοποιείται από σημεία που βρίσκονται μεταξύ τους 
Και 
.
7. Ανισότητα 
ισοδυναμεί με ανισότητα 
, δηλ. . Αυτό είναι ένα διάστημα που επικεντρώνεται σε ένα σημείο μήκους 
. Λέγεται 
γειτονιά ενός σημείου (αριθμός). Αν 
, τότε η γειτονιά λέγεται τρυπημένη: αυτό είναι ή 
. (Εικ.1.4).
8. 
απ' όπου προκύπτει ότι η ανισότητα 
(
) ισοδυναμεί με την ανισότητα 
ή 
; και την ανισότητα 
ορίζει ένα σύνολο σημείων για τα οποία 
, δηλ. αυτά είναι σημεία που βρίσκονται έξω από το τμήμα 
, ακριβώς: 
Και 
.
§1.4. Μερικές έννοιες και σημειώσεις
Ας παρουσιάσουμε μερικές ευρέως χρησιμοποιούμενες έννοιες και σημειώσεις από τη θεωρία συνόλων, τη μαθηματική λογική και άλλους κλάδους των σύγχρονων μαθηματικών.
1 . Εννοια σκηνικάείναι ένα από τα θεμελιώδη στα μαθηματικά, αρχικό, καθολικό - και επομένως δεν μπορεί να οριστεί. Μπορεί μόνο να περιγραφεί (αντικατασταθεί με συνώνυμα): είναι μια συλλογή, μια συλλογή κάποιων αντικειμένων, πραγμάτων, που ενώνονται από κάποια χαρακτηριστικά. Αυτά τα αντικείμενα ονομάζονται στοιχείαπλήθη. Παραδείγματα: πολλοί κόκκοι άμμου στην ακτή, αστέρια στο Σύμπαν, μαθητές στην τάξη, ρίζες μιας εξίσωσης, σημεία ενός τμήματος. Τα σύνολα των οποίων τα στοιχεία είναι αριθμοί καλούνται αριθμητικά σύνολα. Για ορισμένα τυπικά σύνολα, εισάγεται ειδική σημείωση, για παράδειγμα, Ν,Ζ,R-βλέπε § 1.1.
Αφήνω ΕΝΑ– πολλά και xείναι το στοιχείο του, τότε γράφουν: 
; διαβάζει " xανήκει ΕΝΑ» ( 
σύμβολο συμπερίληψης για στοιχεία). Αν το αντικείμενο xδεν περιλαμβάνεται σε ΕΝΑ, μετά γράφουν 
; διαβάζει: " xδεν ανήκει ΕΝΑ" Για παράδειγμα, 
Ν; 8,51
Ν; αλλά 8,51 
R.
Αν xείναι ένας γενικός προσδιορισμός για στοιχεία ενός συνόλου ΕΝΑ, μετά γράφουν 
. Εάν είναι δυνατό να σημειωθεί ο χαρακτηρισμός όλων των στοιχείων, τότε γράψτε 
, 
κ.λπ. Ένα σύνολο που δεν περιέχει ένα μόνο στοιχείο ονομάζεται κενό σύνολο και συμβολίζεται με το σύμβολο ; για παράδειγμα, το σύνολο των ριζών (πραγματικές) της εξίσωσης 
υπάρχει άδειο.
Το σετ λέγεται τελικός, αν αποτελείται από πεπερασμένο αριθμό στοιχείων. Αν, ανεξάρτητα από το ποιος φυσικός αριθμός N ληφθεί, στο σύνολο ΕΝΑυπάρχουν περισσότερα στοιχεία από το Ν, λοιπόν ΕΝΑκάλεσε ατέλειωτοςσύνολο: υπάρχουν άπειρα πολλά στοιχεία σε αυτό.
Αν κάθε στοιχείο του συνόλου ^ Αανήκει σε πολλούς σι, Αυτό 
ονομάζεται μέρος ή υποσύνολο ενός συνόλου σικαι γράψε 
; διαβάζει " ΕΝΑπεριέχονται σε σι» ( 
υπάρχει ένα σημάδι συμπερίληψης για σύνολα). Για παράδειγμα, ΝΖR.Αν και 
, τότε λένε ότι τα σετ ΕΝΑΚαι σιείναι ίσοι και γράφουν 
. Αλλιώς γράφουν 
. Για παράδειγμα, εάν 
, Α 
σύνολο ριζών της εξίσωσης 
, Αυτό .
Το σύνολο των στοιχείων και των δύο συνόλων ΕΝΑΚαι σικάλεσε ενοποίησηθέτει και συμβολίζεται 
(Μερικές φορές 
). Ένα σύνολο στοιχείων που ανήκουν σε και ΕΝΑΚαι σι, κάλεσε διατομήθέτει και συμβολίζεται 
. Το σύνολο όλων των στοιχείων ενός συνόλου ^ Α, τα οποία δεν περιέχονται σε σι, κάλεσε διαφοράθέτει και συμβολίζεται 
. Αυτές οι πράξεις μπορούν να αναπαρασταθούν σχηματικά ως εξής:
Εάν μπορεί να δημιουργηθεί μια αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ των στοιχείων των συνόλων, τότε λένε ότι αυτά τα σύνολα είναι ισοδύναμα και γράφουν 
. Οποιοδήποτε σετ ΕΝΑ, ισοδύναμο με το σετ φυσικούς αριθμούς Ν= κάλεσε αριθμητόςή αριθμητός.Με άλλα λόγια, ένα σύνολο ονομάζεται αριθμήσιμο εάν τα στοιχεία του μπορούν να αριθμηθούν και να τακτοποιηθούν σε άπειρο ακολουθία 
, της οποίας όλα τα μέλη είναι διαφορετικά: 
στο 
, και μπορεί να γραφτεί με τη μορφή . Άλλα άπειρα σύνολα ονομάζονται αμέτρητος. Μετρήσιμο, εκτός από το ίδιο το σύνολο Ν,θα υπάρχουν, για παράδειγμα, σύνολα 
, Ζ.Αποδεικνύεται ότι τα σύνολα όλων των ορθολογικών και αλγεβρικών αριθμών είναι μετρήσιμα και τα ισοδύναμα σύνολα όλων των παράλογων, υπερβατικών, πραγματικών αριθμών και σημείων οποιουδήποτε διαστήματος είναι αμέτρητα. Λένε ότι τα τελευταία έχουν τη δύναμη του συνεχούς (η ισχύς είναι μια γενίκευση της έννοιας του αριθμού (αριθμού) στοιχείων για άπειρος αριθμός).
2
. Ας υπάρχουν δύο δηλώσεις, δύο γεγονότα: και 
. Σύμβολο 
σημαίνει: «αν είναι αληθές, τότε αληθές και» ή «ακολουθεί», «υποδηλώνει ότι η ρίζα της εξίσωσης έχει την ιδιότητα από τα αγγλικά Υπάρχω- υπάρχουν.
Είσοδος: 
, ή 
, σημαίνει: υπάρχει (τουλάχιστον ένα) αντικείμενο που έχει την ιδιότητα 
. Και η ηχογράφηση 
, ή 
, σημαίνει: όλοι έχουν την περιουσία. Συγκεκριμένα, μπορούμε να γράψουμε: 
Και .
