Ποια είναι η παράγωγος του e Τυπικά σφάλματα κατά τον υπολογισμό της παραγώγου;

Πώς να βρείτε το παράγωγο, πώς να πάρετε το παράγωγο; Επί αυτό το μάθημαθα μάθουμε να βρίσκουμε παραγώγους συναρτήσεων. Αλλά πριν μελετήσετε αυτήν τη σελίδα, σας συνιστώ ανεπιφύλακτα να εξοικειωθείτε με το μεθοδολογικό υλικόΚαυτές φόρμουλες σχολικό μάθημαμαθηματικοί. Το εγχειρίδιο αναφοράς μπορεί να ανοίξει ή να ληφθεί στη σελίδαΜαθηματικοί τύποι και πίνακες . Επίσης από εκεί θα χρειαστούμεΠίνακας παραγώγων, είναι καλύτερα να το εκτυπώσετε, θα πρέπει συχνά να ανατρέχετε σε αυτό, όχι μόνο τώρα, αλλά και εκτός σύνδεσης.

Φάω; Ας ξεκινήσουμε. Σας έχω δύο νέα: καλά και πολύ καλά. Τα καλά νέα είναι τα εξής: για να μάθετε πώς να βρίσκετε παράγωγα, δεν χρειάζεται να γνωρίζετε ή να κατανοείτε τι είναι παράγωγο. Επιπλέον, είναι πιο σωστό να αφομοιώσουμε τον ορισμό της παραγώγου μιας συνάρτησης, τη μαθηματική, φυσική, γεωμετρική σημασία της παραγώγου αργότερα, καθώς μια υψηλής ποιότητας μελέτη της θεωρίας, κατά τη γνώμη μου, απαιτεί τη μελέτη πολλών άλλα θέματα, καθώς και κάποια πρακτική εμπειρία.

Και τώρα το καθήκον μας είναι να κυριαρχήσουμε τεχνικά σε αυτά τα ίδια παράγωγα. Τα πολύ καλά νέα είναι ότι η εκμάθηση της λήψης παραγώγων δεν είναι τόσο δύσκολη.

Σας συμβουλεύω να μελετήσετε το θέμα με την ακόλουθη σειρά: πρώτα, Αυτό το άρθρο. Τότε πρέπει να διαβάσετε το πιο σημαντικό μάθημαΠαραγωγό σύνθετη λειτουργία. Αυτές οι δύο βασικές τάξεις θα πάρουν τις δεξιότητές σας από την αρχή. Στη συνέχεια, μπορείτε να εξοικειωθείτε με πιο σύνθετα παράγωγα στο άρθροΣύνθετα παράγωγα.

Λογαριθμική παράγωγος. Εάν ο πήχης είναι πολύ ψηλός, διαβάστε πρώτα το πράγμα Πρωτόζωα τυπικές εργασίεςμε παράγωγο. Εκτός από το νέο υλικό, το μάθημα καλύπτει άλλους, απλούστερους τύπους παραγώγων και είναι μια εξαιρετική ευκαιρία να βελτιώσετε την τεχνική διαφοροποίησής σας. Επιπλέον, σε δοκιμέςΣχεδόν πάντα υπάρχουν εργασίες για την εύρεση παραγώγων συναρτήσεων που καθορίζονται έμμεσα ή παραμετρικά. Υπάρχει επίσης ένα τέτοιο μάθημα: Παράγωγα άρρητων και παραμετρικά καθορισμένων συναρτήσεων.

Θα προσπαθήσω σε μια προσιτή μορφή, βήμα προς βήμα, να σας μάθω πώς να βρίσκετε παραγώγους συναρτήσεων. Όλες οι πληροφορίες παρουσιάζονται αναλυτικά, με απλά λόγια.

Στην πραγματικότητα, ας δούμε αμέσως ένα παράδειγμα: Παράδειγμα 1

Βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης Λύση:

Αυτό απλούστερο παράδειγμα, βρείτε το στον πίνακα παραγώγων στοιχειώδεις λειτουργίες. Τώρα ας δούμε τη λύση και ας αναλύσουμε τι συνέβη; Και συνέβη το εξής:

είχαμε μια συνάρτηση που, ως αποτέλεσμα της λύσης, μετατράπηκε σε συνάρτηση.

Για να το θέσω πολύ απλά,για να βρείτε την παράγωγο

λειτουργία, πρέπει να τη μετατρέψετε σε άλλη λειτουργία σύμφωνα με ορισμένους κανόνες . Κοιτάξτε ξανά τον πίνακα των παραγώγων - εκεί οι συναρτήσεις μετατρέπονται σε άλλες συναρτήσεις. Ο μόνος

εξαίρεση αποτελεί η εκθετική συνάρτηση, η οποία

μετατρέπεται στον εαυτό του. Η πράξη εύρεσης της παραγώγου ονομάζεταιδιάκριση.

Σημείωση: Η παράγωγος συμβολίζεται με ή.

ΠΡΟΣΟΧΗ, ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ! Το να ξεχάσεις να βάλεις ένα κτύπημα (όπου είναι απαραίτητο), ή να βάλεις ένα επιπλέον εγκεφαλικό (όπου δεν είναι απαραίτητο) είναι ΧΑΝΔΡΟ ΛΑΘΟΣ! Μια συνάρτηση και η παράγωγός της είναι δύο διαφορετικές συναρτήσεις!

Ας επιστρέψουμε στον πίνακα των παραγώγων μας. Από αυτόν τον πίνακα είναι επιθυμητό απομνημονεύω: κανόνες διαφοροποίησης και παράγωγοι ορισμένων στοιχειωδών συναρτήσεων, ιδίως:

παράγωγος της σταθεράς:

Πού είναι ένας σταθερός αριθμός; παραγωγό λειτουργία ισχύος:

Ειδικότερα: , , .

Γιατί να θυμάστε; Αυτή η γνώση είναι βασική γνώση για τα παράγωγα. Και αν δεν μπορείτε να απαντήσετε στην ερώτηση του δασκάλου "Ποια είναι η παράγωγος ενός αριθμού;", τότε οι σπουδές σας στο πανεπιστήμιο μπορεί να τελειώσουν για εσάς (προσωπικά γνωρίζω δύο πραγματικές περιπτώσειςαπό τη ζωή). Επιπλέον, αυτοί είναι οι πιο συνηθισμένοι τύποι που πρέπει να χρησιμοποιούμε σχεδόν κάθε φορά που συναντάμε παράγωγα.

ΣΕ Στην πραγματικότητα, τα απλά παραδείγματα σε πίνακα είναι συνήθως σπάνια, κατά την εύρεση παραγώγων, χρησιμοποιούνται πρώτα κανόνες διαφοροποίησης και στη συνέχεια ένας πίνακας παραγώγων στοιχειωδών συναρτήσεων.

ΣΕ αυτής της σχέσης προχωράμε στην εξέτασηκανόνες διαφοροποίησης:

1) Ένας σταθερός αριθμός μπορεί (και πρέπει) να αφαιρεθεί από το πρόσημο της παραγώγου

Πού είναι ένας σταθερός αριθμός (σταθερός) Παράδειγμα 2

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Ας δούμε τον πίνακα των παραγώγων. Η παράγωγος του συνημιτόνου υπάρχει, αλλά έχουμε .

Ήρθε η ώρα να χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα, αφαιρούμε τον σταθερό παράγοντα από το πρόσημο της παραγώγου:

Τώρα μετατρέπουμε το συνημίτονό μας σύμφωνα με τον πίνακα:

Λοιπόν, καλό είναι να "χτενίσετε" λίγο το αποτέλεσμα - βάλτε το σύμβολο μείον στην πρώτη θέση, ενώ ταυτόχρονα ξεφορτωθείτε τα στηρίγματα:

2) Η παράγωγος του αθροίσματος ισούται με το άθροισμα των παραγώγων

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Ας αποφασίσουμε. Όπως πιθανότατα έχετε ήδη παρατηρήσει, το πρώτο βήμα που εκτελείται πάντα κατά την εύρεση μιας παραγώγου είναι ότι περικλείουμε ολόκληρη την έκφραση σε παρένθεση και βάζουμε έναν πρώτο στην επάνω δεξιά γωνία:

Ας εφαρμόσουμε τον δεύτερο κανόνα:

Λάβετε υπόψη ότι για τη διαφοροποίηση, όλες οι ρίζες και οι δυνάμεις πρέπει να αντιπροσωπεύονται στη μορφή , και εάν είναι στον παρονομαστή, τότε

μετακινήστε τα προς τα πάνω. Το πώς να το κάνω αυτό συζητείται στο διδακτικό μου υλικό.

Τώρα ας θυμηθούμε τον πρώτο κανόνα διαφοροποίησης - παίρνουμε τους σταθερούς παράγοντες (αριθμούς) εκτός του παραγώγου:

Συνήθως, κατά τη διάρκεια της λύσης, αυτοί οι δύο κανόνες εφαρμόζονται ταυτόχρονα (για να μην ξαναγράψουμε μια μεγάλη έκφραση).

Όλες οι συναρτήσεις που βρίσκονται κάτω από τις πινελιές είναι στοιχειώδεις συναρτήσεις πίνακα χρησιμοποιώντας τον πίνακα που πραγματοποιούμε τον μετασχηματισμό:

Μπορείτε να αφήσετε τα πάντα ως έχουν, αφού δεν υπάρχουν άλλα εγκεφαλικά επεισόδια, και το παράγωγο έχει βρεθεί. Ωστόσο, εκφράσεις όπως αυτή συνήθως απλοποιούν:

Συνιστάται να αναπαραστήσετε όλες τις δυνάμεις της φόρμας ξανά με τη μορφή ριζών,

δυνάμεις με αρνητικούς εκθέτες - απόρριψη στον παρονομαστή. Αν και δεν χρειάζεται να το κάνετε αυτό, δεν θα είναι λάθος.

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Προσπαθήστε να λύσετε μόνοι σας αυτό το παράδειγμα (απαντήστε στο τέλος του μαθήματος).

3) Παράγωγος του γινομένου συναρτήσεων

Φαίνεται ότι η αναλογία προτείνει τον τύπο ...., αλλά η έκπληξη είναι ότι:

Αυτός είναι ένας ασυνήθιστος κανόνας(όπως, στην πραγματικότητα, άλλα) προκύπτει από παράγωγοι ορισμοί. Αλλά θα κρατήσουμε τη θεωρία προς το παρόν - τώρα είναι πιο σημαντικό να μάθουμε πώς να λύνουμε:

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Εδώ έχουμε το γινόμενο δύο συναρτήσεων ανάλογα με το . Πρώτα εφαρμόζουμε τον περίεργο κανόνα μας και μετά μετασχηματίζουμε τις συναρτήσεις χρησιμοποιώντας τον πίνακα παραγώγων:

Δύσκολος; Καθόλου, αρκετά προσβάσιμο ακόμα και για τσαγιέρα.

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Αυτή η συνάρτηση περιέχει το άθροισμα και το γινόμενο δύο συναρτήσεων - του τετραγωνικού τριωνύμου και του λογάριθμου. Από το σχολείο θυμόμαστε ότι ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση υπερισχύουν της πρόσθεσης και της αφαίρεσης.

Το ίδιο είναι και εδώ. ΠΡΩΤΑ χρησιμοποιούμε τον κανόνα διαφοροποίησης προϊόντων:

Τώρα για την παρένθεση χρησιμοποιούμε τους δύο πρώτους κανόνες:

Ως αποτέλεσμα της εφαρμογής των κανόνων διαφοροποίησης κάτω από τις πινελιές, μας μένουν μόνο στοιχειώδεις συναρτήσεις χρησιμοποιώντας τον πίνακα των παραγώγων, τις μετατρέπουμε σε άλλες συναρτήσεις:

Με κάποια εμπειρία στην εύρεση παραγώγων, τα απλά παράγωγα δεν φαίνεται να χρειάζεται να περιγραφούν με τόση λεπτομέρεια. Γενικά, συνήθως αποφασίζονται προφορικά, και αμέσως γράφεται αυτό .

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης Αυτό είναι ένα παράδειγμα για ανεξάρτητη απόφαση(απάντηση στο τέλος του μαθήματος)

4) Παράγωγος συναρτήσεων πηλίκου

Μια καταπακτή άνοιξε στο ταβάνι, μην ανησυχείτε, είναι πρόβλημα. Αλλά αυτή είναι η σκληρή πραγματικότητα:

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Τι λείπει εδώ - άθροισμα, διαφορά, γινόμενο, κλάσμα…. Από πού να ξεκινήσω;! Υπάρχουν αμφιβολίες, δεν υπάρχουν αμφιβολίες, αλλά, ΣΕ ΚΑΘΕ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ, πρώτα σχεδιάζουμε αγκύλες και βάζουμε μια πινελιά πάνω δεξιά:

Τώρα κοιτάμε την έκφραση σε αγκύλες, πώς μπορούμε να την απλοποιήσουμε; Σε αυτή την περίπτωση, παρατηρούμε έναν πολλαπλασιαστή, ο οποίος, σύμφωνα με τον πρώτο κανόνα, συνιστάται να αφαιρέσετε το πρόσημο της παραγώγου:

Ταυτόχρονα, απαλλαγούμε από τις παρενθέσεις στον αριθμητή, που δεν χρειάζονται πλέον. Σε γενικές γραμμές, σταθεροί παράγοντες κατά την εύρεση του παραγώγου

Μπορεί να μην χρειαστεί να τα υπομείνετε, αλλά σε αυτήν την περίπτωση θα σας «πατήσουν κάτω από τα πόδια», γεγονός που ακαταστασία και περιπλέκει τη λύση.

Ας δούμε την έκφρασή μας σε παρένθεση. Έχουμε πρόσθεση, αφαίρεση και διαίρεση. Από το σχολείο θυμόμαστε ότι πρώτα γίνεται η διαίρεση. Και εδώ - πρώτα εφαρμόζουμε τον κανόνα της διαφοροποίησης των πηλίκων:

Έτσι, η τρομερή μας παράγωγος έχει αναχθεί σε παράγωγα των δύο απλές εκφράσεις. Εφαρμόζουμε τον πρώτο και τον δεύτερο κανόνα, εδώ θα το κάνουμε προφορικά, ελπίζω να έχετε ήδη εξοικειωθεί λίγο με τα παράγωγα:

Δεν υπάρχουν άλλα εγκεφαλικά επεισόδια, η εργασία ολοκληρώθηκε.

Στην πράξη, η απάντηση συνήθως (αλλά όχι πάντα) απλοποιείται χρησιμοποιώντας μεθόδους «σχολείου»:

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να λύσετε μόνοι σας (απάντηση στο τέλος του μαθήματος). Από καιρό σε καιρό υπάρχουν δύσκολα παζλ:

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Ας δούμε αυτή τη λειτουργία. Εδώ είναι πάλι ένα κλάσμα. Ωστόσο, πριν χρησιμοποιήσετε τον κανόνα για τη διαφοροποίηση των πηλίκων (και μπορεί να χρησιμοποιηθεί), είναι πάντα λογικό να δούμε αν είναι δυνατόν να απλοποιηθεί το ίδιο το κλάσμα ή να απαλλαγούμε από αυτό εντελώς;

Το θέμα είναι ότι η φόρμουλα Είναι αρκετά δυσκίνητο και δεν θέλω να το χρησιμοποιήσω καθόλου.

Σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε να διαιρέσετε τον αριθμητή με τον παρονομαστή όρο προς όρο. Ας μετατρέψουμε τη συνάρτηση:

Λοιπόν, αυτό είναι ένα εντελώς διαφορετικό θέμα, τώρα η διαφοροποίηση είναι απλή και ευχάριστη:

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Εδώ η κατάσταση είναι παρόμοια, ας μετατρέψουμε το κλάσμα μας σε γινόμενο, για να γίνει αυτό ανεβάζουμε τον εκθέτη στον αριθμητή, αλλάζοντας το πρόσημο του εκθέτη:

Είναι ακόμα πιο εύκολο να διαφοροποιήσετε το προϊόν:

Βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να τη λύσετε μόνοι σας (απάντηση στο τέλος του μαθήματος).

5) Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης

Αυτός ο κανόνας εμφανίζεται επίσης πολύ συχνά. Αλλά μπορείτε να πείτε πολλά γι 'αυτό, γι 'αυτό δημιούργησα ένα ξεχωριστό μάθημα για το θέμα Παράγωγος μιας σύνθετης συνάρτησης.

Εύχομαι καλή επιτυχία!

Παράδειγμα 4: . Κατά την απόφαση

Σε αυτό το παράδειγμα, θα πρέπει να δώσετε προσοχή στο γεγονός ότι και είναι σταθεροί αριθμοί, δεν έχει σημασία με τι είναι ίσοι, είναι σημαντικό να είναι σταθεροί. Επομένως, αφαιρείται από το παράγωγο πρόσημο, και .

Παράδειγμα 7:

Παράδειγμα 9:

Ημερομηνία: 05/10/2015

Πώς να βρείτε το παράγωγο;

Κανόνες διαφοροποίησης.

Για να βρείτε την παράγωγο οποιασδήποτε συνάρτησης, πρέπει να μάθετε μόνο τρεις έννοιες:

2. Κανόνες διαφοροποίησης.

3. Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης.

Ακριβώς με αυτή τη σειρά. Αυτό είναι μια υπόδειξη.)

Φυσικά, θα ήταν ωραίο να έχουμε μια ιδέα για τα παράγωγα γενικά). Τι είναι παράγωγο και πώς να εργαστείτε με τον πίνακα των παραγώγων εξηγείται ξεκάθαρα στο προηγούμενο μάθημα. Εδώ θα ασχοληθούμε με τους κανόνες διαφοροποίησης.

Η διαφοροποίηση είναι η λειτουργία εύρεσης της παραγώγου. Δεν υπάρχει τίποτα πιο κρυφό πίσω από αυτόν τον όρο. Εκείνοι. εκφράσεις "βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης"Και "διαφοροποίηση μιας συνάρτησης"- είναι το ίδιο πράγμα.

Εκφραση "κανόνες διαφοροποίησης"αναφέρεται στην εύρεση του παραγώγου από αριθμητικές πράξεις.Αυτή η κατανόηση βοηθά πολύ για να αποφύγετε τη σύγχυση στο κεφάλι σας.

Ας συγκεντρωθούμε και ας θυμηθούμε όλες, όλες, όλες τις αριθμητικές πράξεις. Είναι τέσσερις από αυτούς). Πρόσθεση (άθροισμα), αφαίρεση (διαφορά), πολλαπλασιασμός (προϊόν) και διαίρεση (πηλίκο). Εδώ είναι οι κανόνες διαφοροποίησης:

Το πιάτο δείχνει πέντεκανόνες για τέσσερααριθμητικές πράξεις. Δεν μου άλλαξε.) Απλώς ο κανόνας 4 είναι μια στοιχειώδης συνέπεια του κανόνα 3. Αλλά είναι τόσο δημοφιλής που είναι λογικό να τον γράφουμε (και να τον θυμόμαστε!) ως ανεξάρτητη φόρμουλα.

Κάτω από τους χαρακτηρισμούς UΚαι Vκάποιες (απολύτως οποιεσδήποτε!) συναρτήσεις υπονοούνται U(x)Και V(x).

Ας δούμε μερικά παραδείγματα. Πρώτον - τα πιο απλά.

Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y=sinx - x 2

Εδώ έχουμε διαφοράδύο βασικές λειτουργίες. Εφαρμόζουμε τον κανόνα 2. Θα υποθέσουμε ότι το sinx είναι συνάρτηση U, και x 2 είναι η συνάρτηση V.έχουμε κάθε δικαίωμαγράφω:

y" = (sinx - x 2)" = (sinx)" - (x 2)"

Αυτό είναι καλύτερο, σωστά;) Το μόνο που μένει είναι να βρούμε τις παραγώγους του ημιτόνου και του τετραγώνου του x. Υπάρχει ένας πίνακας παραγώγων για αυτό. Απλώς αναζητούμε τις συναρτήσεις που χρειαζόμαστε στον πίνακα ( sinxΚαι x 2), δείτε τι παράγωγα έχουν και γράψτε την απάντηση:

y" = (sinx)" - (x 2)" = cosx - 2x

Αυτό είναι όλο. Ο κανόνας 1 της διαφοροποίησης του αθροίσματος λειτουργεί ακριβώς το ίδιο.

Τι γίνεται αν έχουμε πολλούς όρους; Κανένα πρόβλημα.) Σπάμε τη συνάρτηση σε όρους και αναζητούμε την παράγωγο κάθε όρου ανεξάρτητα από τους άλλους. Για παράδειγμα:

Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y=sinx - x 2 +cosx - x +3

Γράφουμε ευθαρσώς:

y" = (sinx)" - (x 2)" + (cosx)" - (x)" + (3)"

Στο τέλος του μαθήματος θα δώσω συμβουλές για να κάνετε τη ζωή πιο εύκολη κατά τη διαφοροποίηση.)

Πρακτικές συμβουλές:

1. Πριν από τη διαφοροποίηση, δείτε εάν είναι δυνατό να απλοποιήσετε την αρχική λειτουργία.

2. Σε περίπλοκα παραδείγματα, περιγράφουμε τη λύση αναλυτικά, με όλες τις παρενθέσεις και τις παύλες.

3. Όταν διαφοροποιούμε κλάσματα με σταθερό αριθμό στον παρονομαστή, μετατρέπουμε τη διαίρεση σε πολλαπλασιασμό και χρησιμοποιούμε τον κανόνα 4.

Η διαδικασία εύρεσης της παραγώγου μιας συνάρτησης ονομάζεται διάκριση.Το παράγωγο πρέπει να βρεθεί σε μια σειρά από προβλήματα στο μάθημα μαθηματική ανάλυση. Για παράδειγμα, όταν βρίσκουμε ακραία σημεία και σημεία καμπής ενός γραφήματος συνάρτησης.

Πώς να βρείτε;

Για να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης πρέπει να γνωρίζετε τον πίνακα παραγώγων στοιχειωδών συναρτήσεων και να εφαρμόσετε τους βασικούς κανόνες διαφοροποίησης:

1. Μετακίνηση της σταθεράς πέρα ​​από το πρόσημο της παραγώγου: $$ (Cu)" = C(u)" $$
2. Παράγωγος του αθροίσματος/διαφοράς συναρτήσεων: $$ (u \pm v)" = (u)" \pm (v)" $$
3. Παράγωγος του γινομένου δύο συναρτήσεων: $$ (u \cdot v)" = u"v + uv" $$
4. Παράγωγο κλάσματος: $$ \bigg (\frac(u)(v) \bigg)" = \frac(u"v - uv"))(v^2) $$
5. Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης: $$ (f(g(x)))" = f"(g(x)) \cdot g"(x) $$

Παραδείγματα λύσεων

Παράδειγμα 1

Βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης $ y = x^3 - 2x^2 + 7x - 1 $

Διάλυμα

Η παράγωγος του αθροίσματος/διαφοράς των συναρτήσεων είναι ίση με το άθροισμα/διαφορά των παραγώγων: $$ y" = (x^3 - 2x^2 + 7x - 1)" = (x^3)" - (2x^2)" + (7x)" - (1)" = $$ Χρησιμοποιώντας τον κανόνα για την παράγωγο μιας συνάρτησης ισχύος $ (x^p)" = px^(p-1) $ έχουμε: $$ y" = 3x^(3-1) - 2 \cdot 2 x^(2-1) + 7 - 0 = 3x^2 - 4x + 7 $$ Επίσης λήφθηκε υπόψη ότι η παράγωγος μιας σταθεράς είναι ίση με μηδέν. Εάν δεν μπορείτε να λύσετε το πρόβλημά σας, στείλτε το σε εμάς. θα παρέχουμε αναλυτική λύση. Θα μπορείτε να δείτε την πρόοδο του υπολογισμού και να λάβετε πληροφορίες. Αυτό θα σας βοηθήσει να πάρετε τον βαθμό σας από τον δάσκαλό σας έγκαιρα!

Απάντηση

$$y" = 3x^2 - 4x + 7 $$

Η επίλυση φυσικών προβλημάτων ή παραδειγμάτων στα μαθηματικά είναι εντελώς αδύνατη χωρίς γνώση της παραγώγου και των μεθόδων υπολογισμού της. Η παράγωγος είναι μια από τις πιο σημαντικές έννοιες στη μαθηματική ανάλυση. Αποφασίσαμε να αφιερώσουμε το σημερινό άρθρο σε αυτό το θεμελιώδες θέμα. Τι είναι η παράγωγος, ποια η φυσική και γεωμετρική της σημασία, πώς υπολογίζεται η παράγωγος μιας συνάρτησης; Όλες αυτές οι ερωτήσεις μπορούν να συνδυαστούν σε μία: πώς να κατανοήσουμε την παράγωγο;

Γεωμετρική και φυσική σημασία της παραγώγου

Ας υπάρχει μια συνάρτηση f(x) , καθορίζεται σε ένα ορισμένο διάστημα (α, β) . Τα σημεία x και x0 ανήκουν σε αυτό το διάστημα. Όταν το x αλλάζει, αλλάζει και η ίδια η συνάρτηση. Αλλαγή του επιχειρήματος - η διαφορά στις τιμές του x-x0 . Αυτή η διαφορά γράφεται ως δέλτα χ και ονομάζεται προσαύξηση ορίσματος. Μια αλλαγή ή αύξηση μιας συνάρτησης είναι η διαφορά μεταξύ των τιμών μιας συνάρτησης σε δύο σημεία. Ορισμός παραγώγου:

Η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι το όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο προς την αύξηση του ορίσματος όταν το τελευταίο τείνει στο μηδέν.

Διαφορετικά μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Τι νόημα έχει να βρεις ένα τέτοιο όριο; Και να τι είναι:

η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι ίση με την εφαπτομένη της γωνίας μεταξύ του άξονα OX και της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο.

Φυσική σημασία του παραγώγου: η παράγωγος της διαδρομής ως προς το χρόνο είναι ίση με την ταχύτητα της ευθύγραμμης κίνησης.

Πράγματι, από τα σχολικά χρόνια όλοι γνωρίζουν ότι η ταχύτητα είναι μια ιδιαίτερη διαδρομή x=f(t) και του χρόνου t . Μέση ταχύτηταγια ορισμένο χρονικό διάστημα:

Για να μάθετε την ταχύτητα κίνησης σε μια χρονική στιγμή t0 πρέπει να υπολογίσετε το όριο:

Κανόνας πρώτος: ορίστε μια σταθερά

Η σταθερά μπορεί να αφαιρεθεί από το παράγωγο πρόσημο. Επιπλέον, αυτό πρέπει να γίνει. Όταν λύνετε παραδείγματα στα μαθηματικά, πάρτε το ως κανόνα - Εάν μπορείτε να απλοποιήσετε μια έκφραση, φροντίστε να την απλοποιήσετε .

Παράδειγμα. Ας υπολογίσουμε την παράγωγο:

Κανόνας δεύτερος: παράγωγος του αθροίσματος των συναρτήσεων

Η παράγωγος του αθροίσματος δύο συναρτήσεων είναι ίση με το άθροισμα των παραγώγων αυτών των συναρτήσεων. Το ίδιο ισχύει και για την παράγωγο της διαφοράς των συναρτήσεων.

Δεν θα δώσουμε μια απόδειξη αυτού του θεωρήματος, αλλά θα εξετάσουμε μάλλον ένα πρακτικό παράδειγμα.

Βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης:

Κανόνας τρίτος: παράγωγος του γινομένου των συναρτήσεων

Η παράγωγος του γινομένου δύο διαφοροποιήσιμων συναρτήσεων υπολογίζεται με τον τύπο:

Παράδειγμα: βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης:

Διάλυμα:

Είναι σημαντικό να μιλήσουμε για τον υπολογισμό των παραγώγων μιγαδικών συναρτήσεων εδώ. Η παράγωγος μιας μιγαδικής συνάρτησης είναι ίση με το γινόμενο της παραγώγου αυτής της συνάρτησης ως προς το ενδιάμεσο όρισμα και την παράγωγο του ενδιάμεσου ορίσματος ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητή.

Στο παραπάνω παράδειγμα συναντάμε την έκφραση:

Σε αυτήν την περίπτωση, το ενδιάμεσο όρισμα είναι 8x στην πέμπτη δύναμη. Για να υπολογίσουμε την παράγωγο μιας τέτοιας έκφρασης, υπολογίζουμε πρώτα την παράγωγο της εξωτερικής συνάρτησης σε σχέση με το ενδιάμεσο όρισμα και στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε με την παράγωγο του ίδιου του ενδιάμεσου ορίσματος σε σχέση με την ανεξάρτητη μεταβλητή.

Κανόνας τέταρτος: παράγωγος του πηλίκου δύο συναρτήσεων

Τύπος για τον προσδιορισμό της παραγώγου του πηλίκου δύο συναρτήσεων:

Προσπαθήσαμε να μιλήσουμε για παράγωγα για ομοιώματα από την αρχή. Αυτό το θέμα δεν είναι τόσο απλό όσο φαίνεται, γι' αυτό προειδοποιήστε: υπάρχουν συχνά παγίδες στα παραδείγματα, επομένως να είστε προσεκτικοί κατά τον υπολογισμό των παραγώγων.

Για οποιεσδήποτε ερωτήσεις σχετικά με αυτό και άλλα θέματα, μπορείτε να επικοινωνήσετε με την υπηρεσία φοιτητών. Σε σύντομο χρονικό διάστημα, θα σας βοηθήσουμε να λύσετε το πιο δύσκολο τεστ και να κατανοήσετε τις εργασίες, ακόμα κι αν δεν έχετε κάνει ποτέ στο παρελθόν υπολογισμούς παραγώγων.