8 Η αριθμητική ανισότητα είναι η ιδιότητά τους. Αριθμητικές ανισώσεις και οι ιδιότητές τους
Ανισότηταείναι μια εγγραφή στην οποία αριθμοί, μεταβλητές ή εκφράσεις συνδέονται με ένα πρόσημο<, >, ή . Δηλαδή, ανισότητα μπορεί να ονομαστεί σύγκριση αριθμών, μεταβλητών ή παραστάσεων. Σημάδια < , > , ⩽ Και ⩾ καλούνται σημάδια ανισότητας.
Τύποι ανισοτήτων και πώς διαβάζονται:
Όπως φαίνεται από τα παραδείγματα, όλες οι ανισότητες αποτελούνται από δύο μέρη: αριστερά και δεξιά, που συνδέονται με ένα από τα ζώδια ανισότητας. Ανάλογα με το ζώδιο που συνδέει τα μέρη των ανισοτήτων, χωρίζονται σε αυστηρές και μη αυστηρές.
Αυστηρές ανισότητες- ανισότητες των οποίων τα μέρη συνδέονται με πρόσημο< или >. Μη αυστηρές ανισότητες- ανισότητες στις οποίες τα μέρη συνδέονται με το πρόσημο ή.
Ας εξετάσουμε τους βασικούς κανόνες σύγκρισης στην άλγεβρα:
- Κάθε θετικός αριθμός μεγαλύτερος από το μηδέν.
- Κάθε αρνητικός αριθμός είναι μικρότερος από το μηδέν.
- Από δύο αρνητικούς αριθμούς, αυτός του οποίου η απόλυτη τιμή είναι μικρότερη είναι μεγαλύτερος. Για παράδειγμα, -1 > -7.
- έναΚαι σιθετικός:
ένα - σι > 0,
Οτι έναπερισσότερο σι (ένα > σι).
- Αν η διαφορά δύο άνισων αριθμών έναΚαι σιαρνητικός:
ένα - σι < 0,
Οτι έναμείον σι (ένα < σι).
- Εάν ο αριθμός είναι μεγαλύτερος από το μηδέν, τότε είναι θετικός:
ένα> 0, που σημαίνει ένα- θετικός αριθμός.
- Εάν ο αριθμός είναι μικρότερος από το μηδέν, τότε είναι αρνητικός:
ένα < 0, значит ένα- αρνητικός αριθμός.
Ισοδύναμες ανισότητες- ανισότητες που είναι συνέπεια άλλων ανισοτήτων. Για παράδειγμα, εάν έναμείον σι, Αυτό σιπερισσότερο ένα:
ένα < σιΚαι σι > ένα- ισοδύναμες ανισότητες
Ιδιότητες ανισοτήτων
- Εάν προσθέσετε τον ίδιο αριθμό και στις δύο πλευρές μιας ανίσωσης ή αφαιρέσετε τον ίδιο αριθμό και από τις δύο πλευρές, θα έχετε μια ισοδύναμη ανισότητα, δηλαδή
Αν ένα > σι, Αυτό ένα + ντο > σι + ντο Και ένα - ντο > σι - ντο
Από αυτό προκύπτει ότι είναι δυνατή η μεταφορά όρων ανισότητας από το ένα μέρος στο άλλο με το αντίθετο πρόσημο. Για παράδειγμα, προσθέτοντας και στις δύο πλευρές της ανισότητας ένα - σι > ντο - ρε Με ρε, παίρνουμε:
ένα - σι > ντο - ρε
ένα - σι + ρε > ντο - ρε + ρε
ένα - σι + ρε > ντο
- Αν και οι δύο πλευρές της ανισότητας πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν με τον ίδιο θετικό αριθμό, τότε προκύπτει μια ισοδύναμη ανισότητα, δηλαδή
- Αν και οι δύο πλευρές της ανισότητας πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν με τον ίδιο αρνητικό αριθμό, τότε θα προκύψει η αντίθετη από τη δεδομένη ανισότητα, δηλαδή κατά τον πολλαπλασιασμό ή τη διαίρεση και των δύο μερών της ανίσωσης με έναν αρνητικό αριθμό, το πρόσημο του η ανισότητα πρέπει να αλλάξει στο αντίθετο.
Αυτή η ιδιότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αλλάξει τα πρόσημα όλων των όρων μιας ανισότητας πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές με -1 και αλλάζοντας το πρόσημο της ανισότητας στο αντίθετο:
-ένα + σι > -ντο
(-ένα + σι) · -1< (-ντο) · -1
ένα - σι < ντο
Ανισότητα -ένα + σι > -ντο ισοδυναμεί με ανισότητα ένα - σι < ντο
Δημοτικό δημοσιονομικό εκπαιδευτικό ίδρυμα "Kachalinskaya δευτεροβάθμιο σχολείο Νο. 2"
Περιοχή Ilovlinsky, περιοχή Volgograd
Ανάπτυξη μαθήματος με χρήση διαδραστικού πίνακα
άλγεβρα για μαθητές της 8ης τάξης
στο θέμα"Αριθμητικές ανισότητες"
Καθηγήτρια μαθηματικών
Postoeva Zh.V.
Στανίτσα Κατσαλίνσκαγια
2009
Ένα μάθημα με θέμα «Αριθμητικές ανισότητες» αναπτύχθηκε για μαθητές της 8ης τάξης με βάση το σχολικό βιβλίο «Άλγεβρα» του Yu.N.
Στόχοι:
Συνεχίστε να βελτιώνετε τις δεξιότητές σας στη χρήση συντομευμένων τύπων πολλαπλασιασμού. Εξάγετε μια μέθοδο σύγκρισης αριθμών και κυριολεκτικών εκφράσεων. Να επιτύχουν από τους μαθητές την ικανότητα να εφαρμόζουν τη γνώση για την εκτέλεση εργασιών τυπικού τύπου (ασκήσεις εκπαίδευσης), ανακατασκευαστικός-παραλλαγής, δημιουργικού τύπου.
Ανάπτυξη δεξιοτήτων στην εφαρμογή της γνώσης σε μια συγκεκριμένη κατάσταση. ανάπτυξη λογικής σκέψης, δεξιότητες σύγκρισης, γενίκευσης, σωστής διατύπωσης εργασιών και έκφρασης σκέψεων. ανάπτυξη ανεξάρτητης δραστηριότητας των μαθητών.
Καλλιέργεια ενδιαφέροντος για το θέμα μέσω του περιεχομένου εκπαιδευτικού υλικού, καλλιέργεια ιδιοτήτων χαρακτήρα όπως η επικοινωνία όταν εργάζεστε σε ομάδα, η επιμονή στην επίτευξη στόχων.
Τύπος μαθήματος: εκμάθηση νέου υλικού.
Μορφή: μάθημα – έρευνα.
Εξοπλισμός:
Διαδραστικός πίνακας και εξοπλισμός πολυμέσων
Δομή μαθήματος
Στάδιο μαθήματος
Στιγμιότυπο οθόνης του παραθύρου του προγράμματος Σημειωματάριο
Για να εργαστούν στην τάξη, οι μαθητές κάθονται σε ομάδες των 3-4 ατόμων.
Μήνυμα θέματος μαθήματος
Κοινοποίηση των στόχων και των σκοπών του μαθήματος.
Ενεργοποίηση των γνώσεων και των δεξιοτήτων των μαθητών που είναι απαραίτητες για την αντίληψη της νέας γνώσης.
Χρησιμοποιώντας παραδείγματα, επαναλαμβάνονται οι τύποι για συντομευμένο πολλαπλασιασμό και σύγκριση διαφορετικών αριθμών:
Δεκαδικά κλάσματα,
Κοινά κλάσματα με παρόμοιους αριθμητές,
Κοινά κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές,
Κατάλληλα και ακατάλληλα κλάσματα.
Φυσικός
Δεκαδικά
Κοινά κλάσματα
πρώταο αριθμός ήταν μείον δεύτερος, και η διαφορά ήταν αρνητικός .
Προφορική εργασία για τη σύγκριση διαφορετικών αριθμών:
Φυσικός
Δεκαδικά
Κοινά κλάσματα
και συγκρίνοντας τις προκύπτουσες διαφορές με το μηδέν.
Για σύγκριση, λαμβάνονται οι παρακάτω αριθμοί έτσι ώστε πρώταο αριθμός ήταν περισσότερο δεύτερος, και η διαφορά ήταν θετικός .
Πίσω από την αυλαία κρύβεται ένα συμπέρασμα στο οποίο οι μαθητές πρέπει να καταλήξουν μόνοι τους.
Προφορική εργασία για τη σύγκριση διαφορετικών αριθμών:
Δεκαδικά
Κοινά κλάσματα
και συγκρίνοντας τις προκύπτουσες διαφορές με το μηδέν.
Για σύγκριση, λαμβάνονται οι παρακάτω αριθμοί έτσι ώστε πρώταο αριθμός ήταν ισοδυναμεί δεύτερος, και η διαφορά ήταν ίσο με μηδέν .
Πίσω από την αυλαία κρύβεται ένα συμπέρασμα στο οποίο οι μαθητές πρέπει να καταλήξουν μόνοι τους.
Ο δάσκαλος προτείνει να κάνετε μια προφορική άσκηση για να συγκρίνετε αριθμούς εάν είναι γνωστή η διαφορά τους.
Εάν οι μαθητές δυσκολεύονται να απαντήσουν, υπάρχει μια υπόδειξη πίσω από την οθόνη που μπορούν να χρησιμοποιήσουν.
Αυτή η άσκηση εκτελείται και από το στόμα. Οι μαθητές πρέπει να αιτιολογήσουν την απάντησή τους.
Δάσκαλος: ποιος μπορεί να διατυπώσει: όταν ένας αριθμός είναι μεγαλύτερος από έναν άλλο;
όταν ένας αριθμός είναι μικρότερος από έναν άλλο
όταν δύο αριθμοί είναι ίσοι.
Ποιος μπορεί να μου πει τι να κάνω για να συγκρίνω δύο αριθμούς;
Πίσω από την κουρτίνα είναι κρυμμένη μια δήλωση για τον τρόπο σύγκρισης αριθμών, η οποία αποκαλύπτεται μετά την απάντηση των μαθητών.
Παρέχεται ένα παράδειγμα για να το αποδείξει - συγκρίνοντας δύο κυριολεκτικές εκφράσεις. Η απόδειξη πραγματοποιείται μαζί με τους μαθητές, ενώ ο δάσκαλος ανοίγει σταδιακά την αυλαία.
Ο δάσκαλος για άλλη μια φορά επιστρέφει στη διατύπωση της μεθόδου σύγκρισης αριθμών.
Δίνεται η άσκηση Νο 728 για την εφαρμογή γνώσεων Οι μαθητές εκτελούν εργασίες α) και β) ασκήσεις σε τετράδια και στον πίνακα με σχόλια για τη λύση. Οι εργασίες γ) και δ) εκτελούνται ανεξάρτητα σε ομάδες.
Ο δάσκαλος εξετάζει τις λύσεις σε ομάδες και απαντά στις ερωτήσεις των μαθητών.
Εργασία α) οι μαθητές λύνουν στον πίνακα και σε τετράδια, β) καλούνται να τη λύσουν προφορικά με σχόλια, γ) - ανεξάρτητα.
Οι μαθητές εκτελούν εργασίες α) και β) σε ομάδες. Ο δάσκαλος εξετάζει τις λύσεις, ενώ ένας από την ομάδα εξηγεί τη λύση.
Η εργασία δ) εκτελείται στον πίνακα με σχόλια.
Για να ενισχυθεί το νέο υλικό, τίθενται ερωτήσεις στους μαθητές και αφού απαντηθούν, βγαίνουν κανόνες για επαναλαμβανόμενη οπτική αντίληψη πίσω από την οθόνη.
Περίληψη μαθήματος: σχόλια για την εργασία των μαθητών στην τάξη, βαθμολόγηση, καταγραφή των εργασιών για το σπίτι σε ημερολόγια.
Θέμα μαθήματος:
Αριθμητικές ανισώσεις.
Άλγεβρα 8η τάξη
Στόχοι:
- επαναλάβετε τους κανόνες για τη σύγκριση διαφορετικών αριθμών.
- παγιώστε τις έννοιες «λιγότερο» και «περισσότερο»·
- εξοικειωθείτε με τη μέθοδο σύγκρισης οποιωνδήποτε αριθμών και εκφράσεων γραμμάτων.
- μάθετε να χρησιμοποιείτε τη μέθοδο σύγκρισης όταν κάνετε ασκήσεις
Συγκρίνετε τους αριθμούς:
11 και -13 7 και 2
Προφορική εργασία
, =
17 -3 -17-(-3) 0
11,5 13,6 11,5-13,6 0
Συμπέρασμα: Αν α β, μετά α – β 0.
- Και, αντίστροφα, αν α – β 0, μετά α 0.
b, τότε a – b 0. Και, αντίστροφα, αν a – b 0, τότε a b "width="640" Προφορική εργασία
Συγκρίνετε τους αριθμούς. Συγκρίνετε τη διαφορά αυτών των αριθμών με το μηδέν. , =
0,7 0,03 0,7-0,03 0
- Συμπέρασμα: Αν a b, τότε a – b 0.
- Και, αντίστροφα, αν a – b 0, τότε a b
Προφορική εργασία
Συγκρίνετε τους αριθμούς. Συγκρίνετε τη διαφορά αυτών των αριθμών με το μηδέν. , =
Συμπέρασμα: Αν α = β, μετά α – β = 0.
Και, αντίστροφα, αν α – β = 0, μετά α = σι.
Συγκρίνετε τους αριθμούς α και β αν:
a – b = - 0,07, μετά a b
a – b = 0, μετά a b
a – b = 11,5, μετά a b
Είναι γνωστό ότι α σι.
Μπορεί η διαφορά a – b να εκφραστεί ως 7,15; -12; 0 ?
Ένας τρόπος σύγκρισης οποιωνδήποτε αριθμών
Αριθμός Το α είναι μεγαλύτερο από το β , εάν η διαφορά α – β – θετικός αριθμός
Αριθμός Το α είναι μικρότερο από το β , εάν η διαφορά α – β – αρνητικός αριθμός
Μέθοδος σύγκρισης αριθμών
Για να συγκρίνετε δύο αριθμούς χρειάζεστε:
- βρείτε τη διαφορά τους?
- Συγκρίνετε τη διαφορά με το μηδέν.
- βγάλτε ένα συμπέρασμα.
Εργασία με το σχολικό βιβλίο
№ 726,
№ 730,
№ 731.
Αντανάκλαση
Πότε ο πρώτος αριθμός είναι μικρότερος από τον δεύτερο;
Πότε ο πρώτος αριθμός είναι μεγαλύτερος από τον δεύτερο;
Πότε ο πρώτος αριθμός είναι ίσος με τον δεύτερο;
Διατυπώστε έναν τρόπο σύγκρισης αριθμών (κυριολεκτικές εκφράσεις).
- Είμαι ευχαριστημένος με το μάθημα, το χάρηκα πολύ.
- Μου άρεσε το μάθημα, αλλά υπάρχουν κενά στις γνώσεις μου.
- Δεν είμαι ευχαριστημένος με το μάθημα, δεν κατάλαβα τίποτα και δεν ξέρω πώς να λύσω τα παραδείγματα.
Ανάθεση εργασίας για το σπίτι
ρήτρα 28. ορ.; Νο. 728,
Οι ανισότητες παίζουν εξέχοντα ρόλο στα μαθηματικά. Στο σχολείο ασχολούμαστε κυρίως με αριθμητικές ανισώσεις, με τον ορισμό του οποίου θα ξεκινήσουμε αυτό το άρθρο. Και μετά θα απαριθμήσουμε και θα δικαιολογήσουμε ιδιότητες των αριθμητικών ανισώσεων, στις οποίες βασίζονται όλες οι αρχές της εργασίας με τις ανισότητες.
Ας σημειώσουμε αμέσως ότι πολλές ιδιότητες των αριθμητικών ανισώσεων είναι παρόμοιες. Επομένως, θα παρουσιάσουμε το υλικό σύμφωνα με το ίδιο σχήμα: διατυπώνουμε μια ιδιότητα, δίνουμε την αιτιολόγηση και τα παραδείγματά της, μετά από την οποία περνάμε στην επόμενη ιδιότητα.
Πλοήγηση στη σελίδα.
Αριθμητικές ανισώσεις: ορισμός, παραδείγματα
Όταν εισαγάγαμε την έννοια της ανισότητας, παρατηρήσαμε ότι οι ανισότητες συχνά ορίζονται από τον τρόπο γραφής τους. Έτσι ονομάσαμε ανισότητες αλγεβρικές εκφράσεις με νόημα που περιέχουν τα σημάδια όχι ίσα με ≠, λιγότερο<, больше >, μικρότερο ή ίσο με ≤ ή μεγαλύτερο ή ίσο με ≥. Με βάση τον παραπάνω ορισμό, είναι βολικό να δώσουμε έναν ορισμό της αριθμητικής ανισότητας:
Η συνάντηση με τις αριθμητικές ανισώσεις συμβαίνει στα μαθήματα των μαθηματικών στην πρώτη δημοτικού αμέσως μετά τη γνωριμία με τους πρώτους φυσικούς αριθμούς από το 1 έως το 9 και την εξοικείωση με τη λειτουργία σύγκρισης. Είναι αλήθεια ότι εκεί ονομάζονται απλώς ανισότητες, παραλείποντας τον ορισμό του «αριθμητικού». Για λόγους σαφήνειας, δεν θα ήταν κακό να δώσουμε μερικά παραδείγματα των απλούστερων αριθμητικών ανισώσεων από αυτό το στάδιο της μελέτης τους: 1<2 , 5+2>3 .
Και πέρα από τους φυσικούς αριθμούς, η γνώση επεκτείνεται και σε άλλους τύπους αριθμών (ακέραιοι, ορθολογικοί, πραγματικοί αριθμοί), μελετώνται οι κανόνες για τη σύγκρισή τους και αυτό διευρύνει σημαντικά την ποικιλία των τύπων αριθμητικών ανισώσεων: −5>−72, 3> −0,275 (7−5, 6) , .
Ιδιότητες αριθμητικών ανισώσεων
Στην πράξη, η εργασία με ανισότητες επιτρέπει μια σειρά από ιδιότητες των αριθμητικών ανισώσεων. Προκύπτουν από την έννοια της ανισότητας που εισαγάγαμε. Σε σχέση με τους αριθμούς, αυτή η έννοια δίνεται από την ακόλουθη δήλωση, η οποία μπορεί να θεωρηθεί ως ορισμός των σχέσεων "λιγότερο από" και "περισσότερο από" σε ένα σύνολο αριθμών (συχνά ονομάζεται ο ορισμός της διαφοράς της ανισότητας):
Ορισμός.
- αριθμός Το a είναι μεγαλύτερο από το b αν και μόνο αν η διαφορά a−b είναι θετικός αριθμός.
- ο αριθμός a είναι μικρότερος από τον αριθμό b αν και μόνο αν η διαφορά a−b είναι αρνητικός αριθμός.
- ο αριθμός a είναι ίσος με τον αριθμό b αν και μόνο αν η διαφορά a−b είναι ίση με μηδέν.
Αυτός ο ορισμός μπορεί να μετατραπεί στον ορισμό των σχέσεων «μικρότερο ή ίσο με» και «μεγαλύτερο ή ίσο με». Ιδού η διατύπωσή του:
Ορισμός.
- αριθμός Το a είναι μεγαλύτερο ή ίσο του b αν και μόνο αν το a−b είναι μη αρνητικός αριθμός.
- Το a είναι μικρότερο ή ίσο του b αν και μόνο αν το a-b είναι μη θετικός αριθμός.
Θα χρησιμοποιήσουμε αυτούς τους ορισμούς όταν αποδείξουμε τις ιδιότητες των αριθμητικών ανισώσεων, σε μια ανασκόπηση των οποίων προχωράμε.
Βασικές ιδιότητες
Ξεκινάμε την ανασκόπηση με τρεις κύριες ιδιότητες των ανισοτήτων. Γιατί είναι βασικά; Επειδή είναι μια αντανάκλαση των ιδιοτήτων των ανισώσεων με τη γενικότερη έννοια, και όχι μόνο σε σχέση με τις αριθμητικές ανισώσεις.
Αριθμητικές ανισώσεις γραμμένες με πρόσημα< и >, χαρακτηριστικό:
Όσον αφορά τις αριθμητικές ανισώσεις που γράφονται με τα αδύναμα πρόσημα ανισότητας ≤ και ≥, έχουν την ιδιότητα της ανακλαστικότητας (και όχι της αντιανακλαστικότητας), αφού οι ανισώσεις a≤a και a≥a περιλαμβάνουν την περίπτωση της ισότητας a=a. Χαρακτηρίζονται επίσης από αντισυμμετρία και μεταβατικότητα.
Έτσι, οι αριθμητικές ανισώσεις που γράφονται με τα πρόσημα ≤ και ≥ έχουν τις ακόλουθες ιδιότητες:
- ανακλαστικότητα a≥a και a≤a είναι αληθινές ανισότητες.
- αντισυμμετρία, αν a≤b, τότε b≥a, και αν a≥b, τότε b≤a.
- μεταβατικότητα, αν a≤b και b≤c, τότε a≤c, και επίσης, αν a≥b και b≥c, τότε a≥c.
Η απόδειξή τους μοιάζει πολύ με αυτές που έχουν ήδη δοθεί, επομένως δεν θα σταθούμε σε αυτές, αλλά θα προχωρήσουμε σε άλλες σημαντικές ιδιότητες των αριθμητικών ανισώσεων.
Άλλες σημαντικές ιδιότητες των αριθμητικών ανισώσεων
Ας συμπληρώσουμε τις βασικές ιδιότητες των αριθμητικών ανισώσεων με μια σειρά αποτελεσμάτων που έχουν μεγάλη πρακτική σημασία. Οι μέθοδοι για την εκτίμηση των τιμών των εκφράσεων βασίζονται σε αυτές λύσεις στις ανισότητεςκαι τα λοιπά. Επομένως, καλό είναι να τα κατανοήσετε καλά.
Σε αυτήν την παράγραφο, θα διατυπώσουμε τις ιδιότητες των ανισώσεων μόνο για ένα πρόσημο αυστηρής ανισότητας, αλλά αξίζει να έχουμε κατά νου ότι παρόμοιες ιδιότητες θα ισχύουν για το αντίθετο πρόσημο, καθώς και για πρόσημα μη αυστηρών ανισοτήτων. Ας το εξηγήσουμε αυτό με ένα παράδειγμα. Παρακάτω διατυπώνουμε και αποδεικνύουμε την ακόλουθη ιδιότητα των ανισώσεων: αν α
Για ευκολία, θα παρουσιάσουμε τις ιδιότητες των αριθμητικών ανισώσεων με τη μορφή λίστας, ενώ θα δώσουμε την αντίστοιχη πρόταση, θα τη γράψουμε επίσημα χρησιμοποιώντας γράμματα, θα δώσουμε μια απόδειξη και στη συνέχεια θα δείξουμε παραδείγματα χρήσης. Και στο τέλος του άρθρου θα συνοψίσουμε όλες τις ιδιότητες των αριθμητικών ανισώσεων σε έναν πίνακα. Πάμε!
Συνέπεια. Ορθολογικός πολλαπλασιασμός πανομοιότυπων αληθών ανισώσεων της μορφής α
Η προσθήκη (ή η αφαίρεση) οποιουδήποτε αριθμού και στις δύο πλευρές μιας αληθινής αριθμητικής ανισότητας παράγει μια αληθινή αριθμητική ανισότητα. Με άλλα λόγια, εάν οι αριθμοί α και β είναι τέτοιοι ώστε το α
Για να το αποδείξουμε, ας φτιάξουμε τη διαφορά μεταξύ της αριστερής και της δεξιάς πλευράς της τελευταίας αριθμητικής ανισότητας και ας δείξουμε ότι είναι αρνητική υπό την προϋπόθεση α (a+c)−(b+c)=a+c−b−c=a−b. Εφόσον από την προϋπόθεση α
Δεν μένουμε στην απόδειξη αυτής της ιδιότητας των αριθμητικών ανισώσεων για την αφαίρεση ενός αριθμού c, αφού στο σύνολο των πραγματικών αριθμών η αφαίρεση μπορεί να αντικατασταθεί με την πρόσθεση −c.
Για παράδειγμα, αν προσθέσετε τον αριθμό 15 και στις δύο πλευρές της σωστής αριθμητικής ανισότητας 7>3, θα έχετε τη σωστή αριθμητική ανισότητα 7+15>3+15, που είναι το ίδιο πράγμα, 22>18.
Εάν και οι δύο πλευρές μιας έγκυρης αριθμητικής ανισότητας πολλαπλασιαστούν (ή διαιρεθούν) με τον ίδιο θετικό αριθμό c, παίρνετε μια έγκυρη αριθμητική ανισότητα. Αν και οι δύο πλευρές της ανισότητας πολλαπλασιαστούν (ή διαιρεθούν) με έναν αρνητικό αριθμό c, και το πρόσημο της ανισότητας αντιστραφεί, τότε η ανισότητα θα είναι αληθής. Σε κυριολεκτική μορφή: αν οι αριθμοί α και β ικανοποιούν την ανίσωση α π.Χ.
Απόδειξη. Ας ξεκινήσουμε με την περίπτωση όταν c>0. Ας φτιάξουμε τη διαφορά μεταξύ της αριστερής και της δεξιάς πλευράς της αριθμητικής ανισότητας που αποδεικνύεται: a·c−b·c=(a−b)·c . Εφόσον από την προϋπόθεση α 0 , τότε το γινόμενο (a−b)·c θα είναι αρνητικός αριθμός ως γινόμενο ενός αρνητικού αριθμού a−b και ενός θετικού αριθμού c (που προκύπτει από το ). Επομένως, a·c−b·c<0
, откуда a·c Δεν μένουμε στην απόδειξη της εξεταζόμενης ιδιότητας για τη διαίρεση και των δύο πλευρών μιας αληθινής αριθμητικής ανισότητας με τον ίδιο αριθμό c, αφού η διαίρεση μπορεί πάντα να αντικατασταθεί με πολλαπλασιασμό με 1/c. Ας δείξουμε ένα παράδειγμα χρήσης της ιδιότητας που αναλύθηκε σε συγκεκριμένους αριθμούς. Για παράδειγμα, μπορείτε να έχετε και τις δύο πλευρές της σωστής αριθμητικής ανισότητας 4<6
умножить на положительное число 0,5
, что дает верное числовое неравенство −4·0,5<6·0,5
, откуда −2<3
. А если обе части верного числового неравенства −8≤12
разделить на отрицательное число −4
, и изменить знак неравенства ≤ на противоположный ≥, то получится верное числовое неравенство −8:(−4)≥12:(−4)
, откуда 2≥−3
. Από την ιδιότητα που μόλις συζητήθηκε του πολλαπλασιασμού και των δύο πλευρών μιας αριθμητικής ισότητας με έναν αριθμό, ακολουθούν δύο πρακτικά πολύτιμα αποτελέσματα. Τα διατυπώνουμε λοιπόν με τη μορφή συνεπειών. Όλες οι ιδιότητες που συζητήθηκαν παραπάνω σε αυτή την παράγραφο ενώνονται από το γεγονός ότι πρώτα δίνεται μια σωστή αριθμητική ανισότητα και από αυτήν, μέσω κάποιων χειρισμών με τα μέρη της ανισότητας και του πρόσημου, προκύπτει μια άλλη σωστή αριθμητική ανισότητα. Τώρα θα παρουσιάσουμε ένα μπλοκ ιδιοτήτων στο οποίο δίνονται αρχικά όχι μία, αλλά πολλές σωστές αριθμητικές ανισώσεις και προκύπτει ένα νέο αποτέλεσμα από την κοινή χρήση τους μετά την προσθήκη ή τον πολλαπλασιασμό των μερών τους. Αν οι αριθμοί a, b, c και d ικανοποιούν τις ανισώσεις a
Ας αποδείξουμε ότι (a+c)−(b+d) είναι αρνητικός αριθμός, αυτό θα αποδείξει ότι a+c Επαγωγικά, αυτή η ιδιότητα επεκτείνεται σε προσθήκη τριών, τεσσάρων και, γενικά, οποιουδήποτε πεπερασμένου αριθμού αριθμητικών ανισώσεων. Άρα, αν για τους αριθμούς a 1, a 2, …, a n και b 1, b 2, …, b n ισχύουν οι ακόλουθες ανισώσεις: a 1 a 1 +a 2 +…+a n . Για παράδειγμα, μας δίνονται τρεις σωστές αριθμητικές ανισώσεις του ίδιου πρόσημου −5<−2
, −1<12
и 3<4
. Рассмотренное свойство числовых неравенств позволяет нам констатировать, что неравенство −5+(−1)+3<−2+12+4
– тоже верное. Μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τις αριθμητικές ανισώσεις του ίδιου πρόσημου όρο προς όρο, των οποίων και οι δύο πλευρές αντιπροσωπεύονται με θετικούς αριθμούς. Ειδικότερα, για δύο ανισότητες α
Για να το αποδείξετε, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε και τις δύο πλευρές της ανίσωσης α
Αυτή η ιδιότητα ισχύει επίσης για τον πολλαπλασιασμό οποιουδήποτε πεπερασμένου αριθμού αληθινών αριθμητικών ανισώσεων με θετικά μέρη. Δηλαδή, αν a 1, a 2, …, a n και b 1, b 2, …, b n είναι θετικοί αριθμοί και a 1 a 1 · a 2 ·…·a n . Ξεχωριστά, αξίζει να σημειωθεί ότι εάν η σημείωση για τις αριθμητικές ανισώσεις περιέχει μη θετικούς αριθμούς, τότε ο πολλαπλασιασμός τους ανά όρο μπορεί να οδηγήσει σε εσφαλμένες αριθμητικές ανισώσεις. Για παράδειγμα, αριθμητικές ανισώσεις 1<3
и −5<−4
– верные и одного знака, почленное умножение этих неравенств дает 1·(−5)<3·(−4)
, что то же самое, −5<−12
, а это неверное неравенство.
Στο τέλος του άρθρου, όπως υποσχεθήκαμε, θα συγκεντρώσουμε όλα τα ακίνητα που μελετήθηκαν πίνακας ιδιοτήτων αριθμητικών ανισώσεων:
Αναφορές.
- Moro M.I.. Μαθηματικά. Σχολικό βιβλίο για 1 τάξη. αρχή σχολείο Σε 2 μέρη 1. (Πρώτο εξάμηνο) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova. - Μ.: Εκπαίδευση, 2006. - 112 σελ.: παθ.+Προσθ. (2 ξεχωριστά λ. άρρωστος). - ISBN 5-09-014951-8.
- Μαθηματικά: σχολικό βιβλίο για την Ε΄ τάξη. γενικής εκπαίδευσης ιδρύματα / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21η έκδ., σβησμένο. - Μ.: Μνημοσύνη, 2007. - 280 σελ.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
- Αλγεβρα:εγχειρίδιο για την 8η τάξη. γενικής εκπαίδευσης ιδρύματα / [Γιού. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; επιμελήθηκε από S. A. Telyakovsky. - 16η έκδ. - Μ.: Εκπαίδευση, 2008. - 271 σελ. : άρρωστος. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Μόρντκοβιτς Α. Γ.Αλγεβρα. 8η τάξη. Σε 2 ώρες Μέρος 1. Εγχειρίδιο για μαθητές γενικής εκπαίδευσης / A. G. Mordkovich. - 11η έκδ., σβησμένο. - Μ.: Μνημοσύνη, 2009. - 215 σελ.: εικ. ISBN 978-5-346-01155-2.
