Gleichungs-Direkt-Online-Rechner. Allgemeine Gleichung der Geraden: Beschreibung, Beispiele, Problemlösung

Betrachten Sie die Gleichung einer geraden Linie, die durch einen Punkt und einen Normalenvektor verläuft. Im Koordinatensystem sei ein Punkt und ein Vektor ungleich Null angegeben (Abb. 1).

Definition

Wie Sie sehen können, gibt es eine einzelne gerade Linie, die durch einen Punkt senkrecht zur Richtung des Vektors verläuft (in diesem Fall heißt sie normaler Vektor Gerade ).

Zahl: 1

Lassen Sie uns beweisen, dass die lineare Gleichung

dies ist die Gleichung einer geraden Linie, dh die Koordinaten jedes Punktes der geraden Linie erfüllen die Gleichung (1), die Koordinaten eines Punktes, der nicht darauf liegt, Gleichung (1) jedoch nicht.

Beachten Sie dies, um dies zu beweisen skalarprodukt Vektoren und \u003d in Koordinatenform fallen mit der linken Seite von Gleichung (1) zusammen.

Dann verwenden wir die offensichtliche Eigenschaft der Geraden: Vektoren und sind genau dann senkrecht, wenn der Punkt darauf liegt. Und vorausgesetzt, beide Vektoren sind senkrecht, wird ihr Skalarprodukt (2) für alle Punkte, die darauf liegen, und nur für sie. Daher ist (1) die Gleichung der geraden Linie.

Definition

Gleichung (1) heißt die Gleichung der geraden Linie, die durchgeht dieser Punkt mit normalem Vektor \u003d.

Transformieren wir Gleichung (1)

Bezeichnen \u003d, bekommen wir

Somit entspricht eine gerade Linie einer linearen Gleichung der Form (3). Im Gegensatz dazu kann für eine gegebene Gleichung der Form (3), bei der mindestens einer der Koeffizienten ungleich Null ist, eine gerade Linie konstruiert werden.

In der Tat soll ein Zahlenpaar Gleichung (3) erfüllen, d. H.

Wenn wir letzteres von (3) subtrahieren, erhalten wir eine Beziehung, die die Linie hinter dem Vektor und dem Punkt definiert.

Untersuchung der allgemeinen Gleichung einer Linie

In einigen Fällen ist es hilfreich, die Merkmale der Platzierung einer geraden Linie zu kennen, wenn eine oder zwei der Zahlen gleich Null sind.

1. Allgemeine Gleichung sieht so aus: . Ein Punkt erfüllt es, was bedeutet, dass die gerade Linie durch den Ursprung verläuft. Es kann geschrieben werden: \u003d - x (siehe Abb. 2).

Zahl: 2

Wir glauben das:

Wenn wir setzen, erhalten wir einen weiteren Punkt (siehe Abb. 2).

2. dann sieht die Gleichung so aus, wobei \u003d -. Der Normalenvektor liegt auf der Achse, der Geraden. Somit ist die gerade Linie am Punkt senkrecht oder parallel zur Achse (siehe Fig. 3). Insbesondere wenn und, dann ist die Gleichung auch die Gleichung der Ordinatenachse.

Zahl: 3

3. Ebenso wird für die Gleichung geschrieben, wo. Der Vektor gehört zur Achse. Eine gerade Linie an einem Punkt (Abb. 4).

Wenn, dann die Gleichung der Achse.

Die Studie kann in folgender Form formuliert werden: Die Gerade verläuft parallel zur Koordinatenachse, deren Änderung in der allgemeinen Gleichung der Geraden fehlt.

Zum Beispiel:

Konstruieren wir eine gerade Linie nach der allgemeinen Gleichung, vorausgesetzt, dass - nicht gleich Null ist. Dazu reicht es aus, zwei Punkte zu finden, die auf dieser Linie liegen. Manchmal ist es bequemer, solche Punkte auf den Koordinatenachsen zu finden.

Dann setzen wir \u003d -.

Denn dann \u003d -.

Wir bezeichnen - \u003d, - \u003d. Die Punkte und werden gefunden. Legen Sie die Achsen beiseite und ziehen Sie eine gerade Linie durch sie (siehe Abb. 5).

Zahl: fünf

Aus dem Allgemeinen können Sie zu der Gleichung gehen, die Zahlen enthält und:

Und dann stellt sich heraus:

Oder wir erhalten gemäß der Notation die Gleichung

Was heisst die Gleichung der Linie in den Segmenten... Die Zahlen und mit der Genauigkeit des Vorzeichens entsprechen den Segmenten, die durch eine gerade Linie auf den Koordinatenachsen abgeschnitten sind.

Gleichung einer geraden Linie mit einer Steigung

Um herauszufinden, wie die Gleichung einer geraden Linie mit einer Steigung lautet, betrachten Sie Gleichung (1):

Bezeichnet - \u003d, bekommen wir

gleichung einer geraden Linie, die durch einen Punkt in einer bestimmten Richtung verläuft. Der geometrische Gehalt des Koeffizienten ist aus Fig. 1 ersichtlich. 6.

B \u003d \u003d, wobei der kleinste Winkel ist, um den Sie die positive Richtung der Achse um einen gemeinsamen Punkt drehen müssen, bis sie mit einer geraden Linie ausgerichtet ist. Wenn der Winkel scharf ist, ist title \u003d "(! LANG: Wird von QuickLaTeX.com gerendert" height="17" width="97" style="vertical-align: -4px;">; если же – тупой угол, тогда .!}

Lassen Sie uns die Klammern in (5) erweitern und vereinfachen:

wo. Beziehung (6) - Gleichung steigung gerade... Wann ist ein Segment, das eine gerade Linie auf der Achse abschneidet (siehe Abb. 6).

Beachten Sie!

Um von der allgemeinen Gleichung einer geraden Linie zu einer Gleichung mit einer Steigung zu gelangen, müssen Sie zuerst nach lösen.

Zahl: 6

\u003d - x + - \u003d

wobei \u003d -, \u003d - bezeichnet wird. Wenn ja, dann ist bereits aus dem Studium der allgemeinen Gleichung bekannt, dass eine solche gerade Linie senkrecht zur Achse ist.

Betrachten Sie die kanonische Gleichung einer Linie anhand eines Beispiels.

Im Koordinatensystem sei ein Punkt und ein Vektor ungleich Null angegeben (Abb. 7).

Zahl: 7

Es ist notwendig, eine Gleichung für eine Linie zu bilden, die durch einen Punkt parallel zu einem Vektor verläuft, der als Richtungsvektor bezeichnet wird. Ein beliebiger Punkt gehört genau dann zu dieser Linie, wenn. Da der Vektor und der Vektor gegeben sind, sind gemäß der Parallelitätsbedingung die Koordinaten dieser Vektoren proportional, dh:

Definition

Die Beziehung (7) heißt die Gleichung einer geraden Linie, die durch einen bestimmten Punkt in einer bestimmten Richtung verläuft, oder die kanonische Gleichung einer geraden Linie.

Man beachte, dass man zu einer Gleichung der Form (7) gehen kann, zum Beispiel aus der Gleichung eines Bleistifts mit geraden Linien (4).

oder aus der Gleichung einer geraden Linie durch einen Punkt und einen Normalenvektor (1):

Oben wurde angenommen, dass der Richtungsvektor ungleich Null ist, aber es kann vorkommen, dass beispielsweise eine seiner Koordinaten. Dann wird Ausdruck (7) formell geschrieben:

das macht überhaupt keinen Sinn. Die Gleichung einer geraden Linie senkrecht zur Achse wird jedoch akzeptiert und erhalten. In der Tat ist aus der Gleichung ersichtlich, dass die gerade Linie durch einen Punkt und einen Richtungsvektor senkrecht zur Achse definiert ist. Wenn wir den Nenner in dieser Gleichung loswerden, erhalten wir:

Oder - die Gleichung einer geraden Linie senkrecht zur Achse. Das gleiche würde für den Vektor erhalten werden.

Parametrische Gleichung einer geraden Linie

Um zu verstehen, was eine parametrische Gleichung einer geraden Linie ist, ist es notwendig, zu Gleichung (7) zurückzukehren und jeden Bruch (7) einem Parameter gleichzusetzen. Da mindestens einer der Nenner in (7) nicht Null ist und der entsprechende Zähler beliebige Werte erfassen kann, ist der Bereich der Parameteränderung die gesamte numerische Achse.

Definition

Gleichung (8) heißt die parametrische Gleichung der Linie.

Beispiele für Aufgaben auf einer geraden Linie

Natürlich ist es schwierig, alles nur durch Definitionen zu lösen, da Sie mindestens einige Beispiele oder Aufgaben selbst lösen müssen, um das behandelte Material zu konsolidieren. Lassen Sie uns daher die Hauptaufgaben in einer geraden Linie analysieren, da ähnliche Aufgaben häufig bei Prüfungen und Tests auftreten.

Kanonische und parametrische Gleichung

Beispiel 1

Suchen Sie auf der durch die Gleichung gegebenen Geraden den Punkt, der 10 Einheiten vom Punkt dieser Geraden entfernt ist.

Entscheidung:

Lassen gesucht Punkt einer geraden Linie, dann schreiben wir für die Entfernung. Angesichts dessen. Da der Punkt zu einer Geraden gehört, die einen Normalenvektor hat, kann die Gleichung der Geraden geschrieben werden: \u003d \u003d und dann stellt sich heraus:

Dann die Entfernung. Vorausgesetzt, oder. Aus einer parametrischen Gleichung:

Beispiel 2

Eine Aufgabe

Der Punkt bewegt sich vom Startpunkt aus gleichmäßig mit Geschwindigkeit in Richtung des Vektors. Finden Sie die Koordinaten eines Punktes vom Beginn der Bewegung an.

Entscheidung

Zuerst müssen Sie den Einheitsvektor finden. Seine Koordinaten sind Richtungskosinusse:

Dann der Geschwindigkeitsvektor:

X \u003d x \u003d.

Die kanonische Gleichung der geraden Linie wird nun geschrieben:

\u003d \u003d, \u003d Ist eine parametrische Gleichung. Danach müssen Sie die parametrische Gleichung der Linie bei verwenden.

Entscheidung:

Die Gleichung einer geraden Linie, die durch einen Punkt verläuft, ergibt sich aus der Formel für einen Bleistift aus geraden Linien, wobei steigung für eine gerade Linie und \u003d für eine gerade Linie.

Betrachtet man die Zeichnung, wo man sieht, dass zwischen den geraden Linien und zwei Winkeln liegen: einer ist spitz und der andere ist stumpf. Gemäß Formel (9) ist dies der Winkel zwischen den Geraden, um den Sie die Gerade relativ zu ihrem Schnittpunkt gegen den Uhrzeigersinn drehen müssen, bis sie mit der Geraden ausgerichtet ist.

Also haben wir uns an die Formel erinnert, die Winkel aussortiert und können jetzt zu unserem Beispiel zurückkehren. Unter Berücksichtigung der Formel (9) finden wir daher zunächst die Gleichungen des Beins.

Da das Drehen einer geraden Linie um einen Winkel gegen den Uhrzeigersinn relativ zu einem Punkt zur Ausrichtung mit einer geraden Linie führt, gilt in Formel (9) a. Aus der Gleichung:

Nach der Formel des Bleistifts der Gleichung wird die gerade Linie geschrieben:

In ähnlicher Weise finden wir und

Gerade Gleichung:

Gleichung einer geraden Linie - Arten von Gleichungen einer geraden Linie: Durchlaufen eines Punktes, allgemein, kanonisch, parametrisch usw. aktualisiert: 22. November 2019 vom Autor: Wissenschaftliche Artikel.Ru

Definition.In einem kartesischen Rechteckkoordinatensystem steht ein Vektor mit Komponenten (A, B) senkrecht zur Geraden, die durch die Gleichung Ax + Vy + C \u003d 0 gegeben ist.

Beispiel... Finden Sie die Gleichung der Geraden, die durch den Punkt A (1, 2) senkrecht zum Vektor (3, -1) verläuft.

Entscheidung... Mit A \u003d 3 und B \u003d -1 ist die Gleichung der Geraden: 3x - y + C \u003d 0. Um den Koeffizienten C zu finden, setzen Sie die Koordinaten des gegebenen Punktes A in den resultierenden Ausdruck ein. Wir erhalten: 3 - 2 + C \u003d 0, daher C \u003d -1. Gesamt: die erforderliche Gleichung: 3x - y - 1 \u003d 0.

Gleichung einer geraden Linie, die durch zwei Punkte verläuft

Es seien zwei Punkte M 1 (x 1, y 1, z 1) und M 2 (x 2, y 2, z 2) im Raum gegeben, dann die Gleichung der Geraden, die durch diese Punkte verläuft:

Wenn einer der Nenner gleich Null ist, sollte der entsprechende Zähler gleich Null sein. In der Ebene wird die Gleichung der oben geschriebenen Geraden vereinfacht:

wenn x 1 ≠ x 2 und x \u003d x 1, wenn x 1 \u003d x 2.

Bruch \u003d k heißt steigunggerade.

Beispiel... Finden Sie die Gleichung der geraden Linie, die durch die Punkte A (1, 2) und B (3, 4) verläuft.

Entscheidung. Unter Anwendung der obigen Formel erhalten wir:

Gleichung einer geraden Linie durch Punkt und Steigung

Wenn die allgemeine Gleichung der Geraden Ax + Vy + C \u003d 0 zu folgender Form führt:

und bezeichnen dann wird die resultierende Gleichung aufgerufen gleichung einer geraden Linie mit Steigungk.

Gleichung einer geraden Linie entlang eines Punktes und eines Richtungsvektors

In Analogie zu dem Absatz, der die Gleichung einer geraden Linie durch den Normalenvektor berücksichtigt, können Sie die Spezifikation einer geraden Linie durch einen Punkt und einen Richtungsvektor einer geraden Linie eingeben.

Definition.Jeder Nicht-Null-Vektor (α 1, α 2), dessen Komponenten die Bedingung А α 1 + В α 2 \u003d 0 erfüllen, wird als Richtungsvektor der Linie bezeichnet

Axe + Wu + C \u003d 0.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung einer geraden Linie mit einem Richtungsvektor (1, -1), der durch Punkt A (1, 2) verläuft.

Entscheidung. Die Gleichung der gewünschten geraden Linie wird in der Form gesucht: Ax + By + C \u003d 0. Gemäß der Definition müssen die Koeffizienten die folgenden Bedingungen erfüllen:

1 · A + (-1) · B \u003d 0, d.h. A \u003d B.

Dann hat die Gleichung der geraden Linie die Form: Ax + Ay + C \u003d 0 oder x + y + C / A \u003d 0. Für x \u003d 1, y \u003d 2 erhalten wir C / A \u003d -3, d.h. erforderliche Gleichung:

Gleichung einer geraden Linie in Segmenten

Wenn in der allgemeinen Gleichung der Geraden Ax + Vy + C \u003d 0 C ≠ 0 ist, erhalten wir durch Division durch –C: oder

Die geometrische Bedeutung der Koeffizienten ist der Koeffizient und ist die Koordinate des Schnittpunktes der Geraden mit der Ox-Achse und b - die Koordinate des Schnittpunktes der Geraden mit der Oy-Achse.

Beispiel. Eine allgemeine Gleichung der Geraden x - y + 1 \u003d 0 wird angegeben. Finden Sie die Gleichung dieser Geraden in Segmenten.

C \u003d 1 ,, a \u003d -1, b \u003d 1.

Normale Gleichung einer geraden Linie

Wenn beide Seiten der Gleichung Ax + Vy + C \u003d 0 durch die Zahl geteilt werden Was heisst normalisierungsfaktor, dann bekommen wir

xcosφ + ysinφ - p \u003d 0 -

normale Gleichung einer geraden Linie. Das ± Vorzeichen des Normalisierungsfaktors sollte so gewählt werden, dass μ * С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Beispiel... Die allgemeine Gleichung der Geraden ist 12x - 5y - 65 \u003d 0. Es ist erforderlich, verschiedene Arten von Gleichungen dieser Geraden zu schreiben.

die Gleichung dieser geraden Linie in Segmenten:

gleichung dieser Linie mit Steigung: (durch 5 teilen)

normale Gleichung der Linie:

;; cos φ \u003d 12/13; sin φ \u003d -5/13; p \u003d 5.

Es ist zu beachten, dass nicht jede Linie durch eine Gleichung in Segmenten dargestellt werden kann, z. B. Linien parallel zu Achsen oder durch den Ursprung verlaufend.

Beispiel... Die gerade Linie schneidet gleiche positive Segmente auf den Koordinatenachsen ab. Stellen Sie eine Geradengleichung auf, wenn die Fläche des durch diese Segmente gebildeten Dreiecks 8 cm 2 beträgt.

Entscheidung. Die Geradengleichung hat die Form:, ab / 2 \u003d 8; a \u003d 4; -4. a \u003d -4 stimmt nicht mit der Problemstellung überein. Gesamt: oder x + y - 4 \u003d 0.

Beispiel... Erstellen Sie die Gleichung der Geraden, die durch Punkt A (-2, -3) und den Ursprung verläuft.

Entscheidung. Die Geradengleichung hat die Form: wobei x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Lassen Sie uns anhand von Beispielen überlegen, wie Sie die Gleichung einer geraden Linie erstellen, die durch zwei Punkte verläuft.

Beispiel 1.

Stellen Sie die Gleichung der Geraden durch die Punkte A (-3; 9) und B (2; -1).

Methode 1 - Verfassen Sie die Gleichung einer geraden Linie mit einer Steigung.

Die Gleichung einer geraden Linie mit einer Steigung hat die Form. Wenn wir die Koordinaten der Punkte A und B in die Gleichung der Linie einsetzen (x \u003d -3 und y \u003d 9 - im ersten Fall x \u003d 2 und y \u003d -1 - im zweiten Fall), erhalten wir ein Gleichungssystem, aus dem wir die Werte von k und b finden:

Addiert man die 1. und 2. Gleichung Term für Term, so erhält man: -10 \u003d 5k, woraus k \u003d -2. Wenn wir k \u003d -2 in die zweite Gleichung einsetzen, finden wir b: -1 \u003d 2 · (-2) + b, b \u003d 3.

Somit ist y \u003d -2x + 3 die gewünschte Gleichung.

Methode 2 - Verfassen Sie die allgemeine Gleichung der Geraden.

Die allgemeine Gleichung der Geraden lautet. Wenn wir die Koordinaten der Punkte A und B in die Gleichung einsetzen, erhalten wir das System:

Da die Anzahl der Unbekannten größer ist als die Anzahl der Gleichungen, ist das System nicht lösbar. Sie können jedoch alle Variablen durch eine ausdrücken. Zum Beispiel durch b.

Multiplizieren Sie die erste Gleichung des Systems mit -1 und addieren Sie Term für Term mit der zweiten:

wir erhalten: 5a-10b \u003d 0. Daher ist a \u003d 2b.

Setzen Sie den resultierenden Ausdruck in die zweite Gleichung ein: 2 · 2b -b + c \u003d 0; 3b + c \u003d 0; c \u003d -3b.
Setzen Sie a \u003d 2b, c \u003d -3b in die Gleichung ax + durch + c \u003d 0 ein:

2bx + by-3b \u003d 0. Es bleibt, beide Teile durch b zu teilen:

Die allgemeine Gleichung einer geraden Linie lässt sich leicht auf die Gleichung einer geraden Linie mit einer Steigung reduzieren:

Methode 3 - Stellen Sie die Gleichung einer geraden Linie zusammen, die durch 2 Punkte verläuft.

Die Gleichung einer geraden Linie, die durch zwei Punkte verläuft, lautet:

Ersetzen Sie in dieser Gleichung die Koordinaten der Punkte A (-3; 9) und B (2; -1).

(das heißt, x 1 \u003d -3, y 1 \u003d 9, x 2 \u003d 2, y 2 \u003d -1):

und vereinfachen:

woher 2x + y-3 \u003d 0.

IM schulkurs Am häufigsten wird die Gleichung einer geraden Linie mit einer Steigung verwendet. Am einfachsten ist es jedoch, die Formel für die Gleichung einer geraden Linie abzuleiten und zu verwenden, die durch zwei Punkte verläuft.

Kommentar.

Wenn beim Ersetzen der Koordinaten der gegebenen Punkte einer der Nenner der Gleichung

stellt sich heraus, dass es gleich Null ist, dann wird die gewünschte Gleichung erhalten, indem Null des entsprechenden Zählers gleichgesetzt wird.

Beispiel 2.

Stellen Sie eine Gleichung für eine gerade Linie auf, die durch zwei Punkte C (5; -2) und D (7; -2) verläuft.

Wir setzen die Koordinaten der Punkte C und D in die Gleichung einer geraden Linie ein, die durch 2 Punkte verläuft.

Dieser Artikel erhalten gleichung einer geraden Linie, die durch zwei gegebene Punkte verläuft in einem rechteckigen kartesischen Koordinatensystem auf einer Ebene und leitete auch die Gleichungen einer geraden Linie ab, die durch zwei spezifizierte Punkte in einem rechteckigen Koordinatensystem im dreidimensionalen Raum verläuft. Nach der Darstellung der Theorie werden Lösungen typischer Beispiele und Probleme gezeigt, bei denen es erforderlich ist, Gleichungen einer geraden Linie verschiedener Typen zu erstellen, wenn die Koordinaten zweier Punkte dieser geraden Linie bekannt sind.

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Gleichung einer geraden Linie, die durch zwei gegebene Punkte in einer Ebene verläuft.

Bevor wir die Gleichung einer geraden Linie erhalten, die durch zwei gegebene Punkte in einem rechteckigen Koordinatensystem auf einer Ebene verläuft, erinnern wir uns an einige Fakten.

Eines der Axiome der Geometrie besagt, dass eine einzelne gerade Linie durch zwei nicht zusammenfallende Punkte in der Ebene gezogen werden kann. Mit anderen Worten, indem wir zwei Punkte in einer Ebene angeben, definieren wir eindeutig eine gerade Linie, die durch diese beiden Punkte verläuft (falls erforderlich, lesen Sie den Abschnitt über Möglichkeiten zum Definieren einer geraden Linie in einer Ebene).

Lassen Sie Oxy im Flugzeug fixieren. In diesem Koordinatensystem entspricht jede gerade Linie einer Gleichung einer geraden Linie in einer Ebene. Der Richtungsvektor der Geraden ist untrennbar mit dieser Linie verbunden. Dieses Wissen reicht völlig aus, um die Gleichung einer geraden Linie zu erstellen, die durch zwei gegebene Punkte verläuft.

Formulieren wir den Zustand des Problems: Schreiben Sie die Gleichung der Geraden a, die im rechteckigen kartesischen Koordinatensystem Oxy durch zwei nicht zusammenfallende Punkte und verläuft.

Lassen Sie uns die einfachste und universellste Lösung für dieses Problem zeigen.

Wir wissen, dass die kanonische Gleichung einer Linie in der Ebene der Form Gibt im rechteckigen Oxy-Koordinatensystem eine gerade Linie an, die durch einen Punkt verläuft und einen Richtungsvektor aufweist.

Schreiben wir die kanonische Gleichung der Linie a, die durch zwei gegebene Punkte und verläuft.

Offensichtlich ist der Richtungsvektor der Geraden a, die durch die Punkte M 1 und M 2 verläuft, ein Vektor mit Koordinaten (siehe Artikel falls erforderlich). Wir haben also alle notwendigen Daten, um die kanonische Gleichung der Geraden a - die Koordinaten ihres Richtungsvektors - zu schreiben und die Koordinaten der darauf liegenden Punkte. Es hat die Form (oder ).

Wir können auch parametrische Gleichungen einer geraden Linie auf einer Ebene schreiben, die durch zwei Punkte und verläuft. Sie sehen aus wie oder .

Schauen wir uns die Beispiellösung an.

Beispiel.

Schreiben Sie die Gleichung einer geraden Linie, die durch zwei gegebene Punkte verläuft .

Entscheidung.

Wir fanden heraus, dass die kanonische Gleichung einer geraden Linie, die durch zwei Punkte mit Koordinaten verläuft und die Form hat .

Aus dem Zustand des Problems haben wir ... Setzen Sie diese Daten in die Gleichung ein ... Wir bekommen .

Antworten:

Wenn wir keine kanonische Gleichung einer geraden Linie und keine parametrischen Gleichungen einer geraden Linie brauchen, die durch zwei gegebene Punkte verläuft, sondern eine Gleichung einer geraden Linie einer anderen Art, dann können wir immer aus der kanonischen Gleichung einer geraden Linie dazu kommen.

Beispiel.

Schreiben Sie die allgemeine Gleichung der Geraden, die im rechteckigen Koordinatensystem Oxy in der Ebene durch zwei Punkte und verläuft.

Entscheidung.

Zuerst schreiben wir die kanonische Gleichung einer geraden Linie, die durch zwei gegebene Punkte verläuft. Es sieht aus wie. Lassen Sie uns nun die resultierende Gleichung in die gewünschte Form bringen:

Antworten:

Hier können wir mit der Gleichung einer geraden Linie enden, die durch zwei gegebene Punkte in einem rechteckigen Koordinatensystem auf einer Ebene verläuft. Aber ich möchte Sie daran erinnern, wie wir ein solches Problem gelöst haben weiterführende Schule im Algebraunterricht.

In der Schule kannten wir nur die Gleichung einer geraden Linie mit einer Steigung der Form. Finden wir den Wert der Steigung k und die Zahl b, bei der die Gleichung im rechteckigen Koordinatensystem Oxy auf der Ebene eine gerade Linie definiert, die durch die Punkte und bei verläuft. (Wenn x 1 \u003d x 2 ist, ist die Steigung der Geraden unendlich, und die Gerade М 1 М 2 wird durch die allgemeine unvollständige Gleichung der Geraden bestimmt x-x 1 =0 ).

Da die Punkte М 1 und М 2 auf einer geraden Linie liegen, erfüllen die Koordinaten dieser Punkte die Gleichung einer geraden Linie, dh Gleichheiten und sind wahr. Lösen eines Gleichungssystems der Form in Bezug auf unbekannte Variablen k und b finden wir oder ... Für diese Werte von k und b nimmt die Gleichung der Geraden, die durch zwei Punkte verläuft, die Form an oder .

Es macht keinen Sinn, sich diese Formeln zu merken. Wenn Sie Beispiele lösen, ist es einfacher, die angegebenen Aktionen zu wiederholen.

Beispiel.

Schreiben Sie die Gleichung einer geraden Linie mit einer Steigung, wenn diese gerade Linie durch die Punkte und verläuft.

Entscheidung.

Im allgemeinen Fall hat die Gleichung einer geraden Linie mit einer Steigung die Form. Finden wir k und b, für die die Gleichung einer geraden Linie entspricht, die durch zwei Punkte und verläuft.

Da die Punkte М 1 und М 2 auf einer geraden Linie liegen, erfüllen ihre Koordinaten die Gleichung einer geraden Linie, dh die Gleichungen sind wahr und. Die Werte von k und b werden als Lösung für das Gleichungssystem gefunden (ggf. siehe Artikel):

Es bleibt, die gefundenen Werte in die Gleichung zu ersetzen. Somit hat die erforderliche Gleichung der Geraden, die durch zwei Punkte verläuft und die Form hat.

Kolossale Arbeit, nicht wahr?

Es ist viel einfacher, die kanonische Gleichung einer geraden Linie aufzuschreiben, die durch zwei Punkte verläuft, und sie hat die Form und von dort gehen Sie zur Gleichung der geraden Linie mit der Steigung:.

Antworten:

Gleichung einer geraden Linie, die durch zwei gegebene Punkte im dreidimensionalen Raum verläuft.

Ein rechteckiges Koordinatensystem Oxyz sei im dreidimensionalen Raum fixiert, und es seien zwei nicht zusammenfallende Punkte gegeben und durch die die Linie M 1 M 2 verläuft. Lassen Sie uns die Gleichungen dieser geraden Linie erhalten.

Wir wissen, dass die kanonischen Gleichungen einer geraden Linie in einem Raum der Form und parametrische Gleichungen einer geraden Linie im Raum der Form Stellen Sie im rechteckigen Koordinatensystem Oxyz eine gerade Linie ein, die mit Koordinaten durch den Punkt verläuft und einen Richtungsvektor hat .

Der Richtungsvektor der Linie M 1 M 2 ist ein Vektor, und diese Linie verläuft durch den Punkt (und ), dann haben die kanonischen Gleichungen dieser Linie die Form (oder ) und parametrische Gleichungen - (oder ).

Wenn Sie eine gerade Linie M 1 M 2 unter Verwendung der Gleichungen zweier sich überschneidender Ebenen setzen müssen, sollten Sie zuerst die kanonischen Gleichungen einer geraden Linie zusammenstellen, die durch zwei Punkte verläuft und und erhalten aus diesen Gleichungen die notwendigen Gleichungen für die Ebenen.

Referenzliste.

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Bugrov Y.S., Nikolsky S.M. Höhere Mathematik. Band eins: Elemente lineare Algebra und analytische Geometrie.
Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analytische Geometrie.

Dieser Artikel setzt das Thema der Gleichung einer geraden Linie in einer Ebene fort: Betrachten Sie diese Art von Gleichung als die allgemeine Gleichung einer geraden Linie. Definieren wir einen Satz und geben wir seinen Beweis; Lassen Sie uns herausfinden, was eine unvollständige allgemeine Gleichung einer geraden Linie ist und wie Übergänge von einer allgemeinen Gleichung zu anderen Arten von Gleichungen einer geraden Linie vorgenommen werden. Wir werden die gesamte Theorie mit Illustrationen und der Lösung praktischer Probleme konsolidieren.

In der Ebene sei ein rechteckiges Koordinatensystem O x y gegeben.

Satz 1

Jede Gleichung ersten Grades mit der Form A x + B y + C \u003d 0, wobei A, B, C einige reelle Zahlen sind (A und B sind nicht gleichzeitig gleich Null), definiert eine gerade Linie in einem rechteckigen Koordinatensystem auf einer Ebene. Jede gerade Linie in einem rechteckigen Koordinatensystem in einer Ebene wird wiederum durch eine Gleichung bestimmt, die für einen bestimmten Satz von Werten A, B, C die Form A x + B y + C \u003d 0 hat.

Beweise

dieser Satz besteht aus zwei Punkten, wir werden jeden von ihnen beweisen.

Beweisen wir, dass die Gleichung A x + B y + C \u003d 0 eine gerade Linie in der Ebene definiert.

Es sei ein Punkt М 0 (x 0, y 0) vorhanden, dessen Koordinaten der Gleichung A x + B y + C \u003d 0 entsprechen. Also: A x 0 + B y 0 + C \u003d 0. Subtrahieren Sie von der linken und rechten Seite der Gleichungen A x + B y + C \u003d 0 die linke und rechte Seite der Gleichung A x 0 + B y 0 + C \u003d 0, erhalten Sie eine neue Gleichung mit der Form A (x - x 0) + B (y) - y 0) \u003d 0. Es ist äquivalent zu A x + B y + C \u003d 0.

Die resultierende Gleichung A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 ist eine notwendige und ausreichende Bedingung für die Vektoren n → \u003d (A, B) und M 0 M → \u003d (x - x 0, y - y 0) ). Somit definiert die Menge der Punkte M (x, y) eine gerade Linie in einem rechteckigen Koordinatensystem senkrecht zur Richtung des Vektors n → \u003d (A, B). Wir können annehmen, dass dies nicht so ist, aber dann wären die Vektoren n → \u003d (A, B) und M 0 M → \u003d (x - x 0, y - y 0) nicht senkrecht und die Gleichheit A (x - x 0) ) + B (y - y 0) \u003d 0 wäre nicht wahr.

Daher definiert die Gleichung A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 eine gerade Linie in einem rechteckigen Koordinatensystem in der Ebene, und daher definiert die äquivalente Gleichung A x + B y + C \u003d 0 dieselbe gerade Linie. So haben wir den ersten Teil des Satzes bewiesen.

Lassen Sie uns beweisen, dass jede gerade Linie in einem rechteckigen Koordinatensystem in einer Ebene durch eine Gleichung ersten Grades A x + B y + C \u003d 0 definiert werden kann.

Setzen wir die gerade Linie a in einem rechteckigen Koordinatensystem in der Ebene; Punkt M 0 (x 0, y 0), durch den diese Linie verläuft, sowie der Normalenvektor dieser Linie n → \u003d (A, B).

Es gebe auch einen Punkt M (x, y) - einen Gleitkomma einer geraden Linie. In diesem Fall sind die Vektoren n → \u003d (A, B) und M 0 M → \u003d (x - x 0, y - y 0) senkrecht zueinander und ihr Skalarprodukt ist Null:

n →, M 0 M → \u003d A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0

Schreiben Sie die Gleichung A x + B y - A x 0 - B y 0 \u003d 0 um, definieren Sie C: C \u003d - A x 0 - B y 0 und am Ende erhalten Sie die Gleichung A x + B y + C \u003d 0.

Somit haben wir den zweiten Teil des Satzes und den gesamten Satz als Ganzes bewiesen.

Definition 1

Eine Gleichung der Form A x + B y + C \u003d 0 - Das allgemeine Gleichung der Linie auf einer Ebene in einem rechteckigen Koordinatensystem O x y.

Basierend auf dem bewährten Theorem können wir schließen, dass eine gerade Linie und ihre allgemeine Gleichung, die auf einer Ebene in einem festen rechteckigen Koordinatensystem angegeben sind, untrennbar miteinander verbunden sind. Mit anderen Worten entspricht die anfängliche gerade Linie ihrer allgemeinen Gleichung; Die allgemeine Gleichung einer geraden Linie entspricht einer gegebenen geraden Linie.

Aus dem Beweis des Satzes folgt auch, dass die Koeffizienten A und B für die Variablen x und y die Koordinaten des Normalenvektors der Linie sind, der durch die allgemeine Gleichung der Linie A x + B y + C \u003d 0 gegeben ist.

Betrachten Sie ein spezifisches Beispiel einer allgemeinen Gleichung einer geraden Linie.

Es sei die Gleichung 2 x + 3 y - 2 \u003d 0 gegeben, die einer geraden Linie in einem gegebenen rechteckigen Koordinatensystem entspricht. Der normale Vektor dieser Linie ist der Vektor n → \u003d (2, 3). Zeichnen Sie eine bestimmte gerade Linie in die Zeichnung.

Sie können auch Folgendes sagen: Die gerade Linie, die wir in der Zeichnung sehen, wird durch die allgemeine Gleichung 2 x + 3 y - 2 \u003d 0 bestimmt, da die Koordinaten aller Punkte einer gegebenen geraden Linie dieser Gleichung entsprechen.

Wir können die Gleichung λ · A x + λ · B y + λ · C \u003d 0 erhalten, indem wir beide Seiten der allgemeinen Gleichung der Linie mit einer Zahl λ multiplizieren, die ungleich Null ist. Die resultierende Gleichung entspricht der ursprünglichen allgemeinen Gleichung und beschreibt daher dieselbe gerade Linie in der Ebene.

Definition 2

Vollständige allgemeine Gleichung der Linie - eine solche allgemeine Gleichung der Geraden A x + B y + C \u003d 0, in der die Zahlen A, B, C ungleich Null sind. Ansonsten ist die Gleichung unvollständig.

Betrachten wir alle Variationen der unvollständigen allgemeinen Gleichung der Linie.

Wenn A \u003d 0, B ≤ 0, C ≤ 0 ist, wird die allgemeine Gleichung zu B y + C \u003d 0. Eine solche unvollständige allgemeine Gleichung definiert in einem rechteckigen Koordinatensystem O x y eine gerade Linie, die parallel zur O x -Achse ist, da für jeden reellen Wert von x die Variable y den Wert annimmt - C B. Mit anderen Worten, die allgemeine Gleichung der Geraden A x + B y + C \u003d 0, wenn A \u003d 0, B ≠ 0, gibt den Ort der Punkte (x, y) an, deren Koordinaten gleich der gleichen Zahl sind - C B.
Wenn A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0 ist, hat die allgemeine Gleichung die Form y \u003d 0. Diese unvollständige Gleichung definiert die Abszissenachse O x.
Wenn A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0 ist, erhalten wir eine unvollständige allgemeine Gleichung A x + C \u003d 0, die eine gerade Linie parallel zur Ordinatenachse definiert.
Sei A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, dann hat die unvollständige allgemeine Gleichung die Form x \u003d 0, und dies ist die Gleichung der Koordinatenlinie O y.
Schließlich nimmt für A ≤ 0, B ≤ 0, C \u003d 0 die unvollständige allgemeine Gleichung die Form A x + B y \u003d 0 an. Und diese Gleichung beschreibt eine gerade Linie, die durch den Ursprung verläuft. In der Tat entspricht das Zahlenpaar (0, 0) der Gleichheit A x + B y \u003d 0, da A · 0 + B · 0 \u003d 0.

Lassen Sie uns alle obigen Arten der unvollständigen allgemeinen Gleichung einer geraden Linie grafisch veranschaulichen.

Beispiel 1

Es ist bekannt, dass eine gegebene Gerade parallel zur Ordinatenachse verläuft und durch den Punkt 2 7, - 11 verläuft. Es ist notwendig, die allgemeine Gleichung einer gegebenen Geraden aufzuschreiben.

Entscheidung

Eine gerade Linie zur Ordinatenachse ist durch eine Gleichung der Form A x + C \u003d 0 gegeben, in der A ≠ 0 ist. Die Bedingung legt auch die Koordinaten des Punktes fest, durch den die Linie verläuft, und die Koordinaten dieses Punktes erfüllen die Bedingungen der unvollständigen allgemeinen Gleichung A x + C \u003d 0, d.h. Die Gleichheit ist wahr:

A · 2 7 + C \u003d 0

Es ist möglich, C daraus zu bestimmen, indem A ein Wert ungleich Null gegeben wird, beispielsweise A \u003d 7. In diesem Fall erhalten wir: 7 · 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Wir kennen beide Koeffizienten A und C, setzen sie in die Gleichung A x + C \u003d 0 ein und erhalten die erforderliche Gleichung der Geraden: 7 x - 2 \u003d 0

Antworten: 7 x - 2 \u003d 0

Beispiel 2

Die Zeichnung zeigt eine gerade Linie, es ist notwendig, ihre Gleichung aufzuschreiben.

Entscheidung

Die gegebene Zeichnung ermöglicht es uns, die anfänglichen Daten zur Lösung des Problems leicht zu nehmen. Wir sehen in der Zeichnung, dass die angegebene Linie parallel zur O x -Achse verläuft und durch den Punkt (0, 3) verläuft.

Die gerade Linie, die parallel zu den Augen der Abszissen verläuft, bestimmt die unvollständige allgemeine Gleichung B y + C \u003d 0. Lassen Sie uns die Werte von B und C finden. Die Koordinaten des Punktes (0, 3) erfüllen, da eine gegebene Gerade durch ihn verläuft, die Gleichung der Geraden B y + C \u003d 0, dann ist die Gleichheit gültig: B · 3 + C \u003d 0. Setzen wir für B einen anderen Wert als Null. Angenommen, B \u003d 1, in diesem Fall ergibt sich aus der Gleichheit B 3 + C \u003d 0 C: C \u003d - 3. Wir verwenden die bekannten Werte von B und C, wir erhalten die erforderliche Gleichung der Geraden: y - 3 \u003d 0.

Antworten: y - 3 \u003d 0.

Allgemeine Gleichung einer geraden Linie, die durch einen bestimmten Punkt der Ebene verläuft

Lassen Sie die gegebene Linie durch den Punkt М 0 (x 0, y 0) verlaufen, dann entsprechen ihre Koordinaten der allgemeinen Gleichung der Linie, d.h. Die Gleichheit ist wahr: A x 0 + B y 0 + C \u003d 0. Wir subtrahieren die linke und rechte Seite dieser Gleichung von der linken und rechten Seite der allgemeinen vollständigen Gleichung der Linie. Wir erhalten: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, diese Gleichung entspricht dem ursprünglichen General, geht durch den Punkt М 0 (x 0, y 0) und hat einen Normalenvektor n → \u003d (A, B).

Das Ergebnis, das wir erhalten haben, ermöglicht es, die allgemeine Gleichung der Geraden bei aufzuschreiben bekannte Koordinaten Normalvektor einer Geraden und Koordinaten eines bestimmten Punktes dieser Geraden.

Beispiel 3

Gegeben ist ein Punkt М 0 (- 3, 4), durch den eine gerade Linie verläuft, und ein normaler Vektor dieser geraden Linie n → \u003d (1, - 2). Es ist notwendig, die Gleichung einer gegebenen Geraden aufzuschreiben.

Entscheidung

Die Anfangsbedingungen ermöglichen es uns, die notwendigen Daten für die Erstellung der Gleichung zu erhalten: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Dann:

A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 ≤ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) \u003d 0 ≤ x - 2 y + 22 \u003d 0

Das Problem hätte anders gelöst werden können. Die allgemeine Gleichung der Linie lautet A x + B y + C \u003d 0. Mit einem bestimmten Normalenvektor können Sie die Werte der Koeffizienten A und B ermitteln. Dann gilt Folgendes:

A x + B y + C \u003d 0 ≤ 1 x - 2 y + C \u003d 0 ≤ x - 2 y + C \u003d 0

Nun finden wir den Wert von C unter Verwendung des Punktes M 0 (- 3, 4), der durch die Bedingung des Problems spezifiziert ist, durch den die gerade Linie verläuft. Die Koordinaten dieses Punktes entsprechen der Gleichung x - 2 y + C \u003d 0, d.h. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Daher ist C \u003d 11. Die erforderliche Gleichung der geraden Linie hat die Form: x - 2 y + 11 \u003d 0.

Antworten: x - 2 y + 11 \u003d 0.

Beispiel 4

Eine gerade Linie 2 3 x - y - 1 2 \u003d 0 und ein auf dieser geraden Linie liegender Punkt М 0 sind gegeben. Nur die Abszisse dieses Punktes ist bekannt und gleich - 3. Es ist notwendig, die Ordinate des gegebenen Punktes zu bestimmen.

Entscheidung

Setzen wir die Bezeichnung der Koordinaten des Punktes М 0 als x 0 und y 0. Die Anfangsdaten zeigen an, dass x 0 \u003d - 3 ist. Da ein Punkt zu einer bestimmten Geraden gehört, entsprechen seine Koordinaten der allgemeinen Gleichung dieser Geraden. Dann wird die Gleichheit wahr sein:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 \u003d 0

Bestimmen Sie y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 \u003d 0 ⇔ - 5 2 - y 0 \u003d 0 ⇔ y 0 \u003d - 5 2

Antworten: - 5 2

Der Übergang von der allgemeinen Gleichung einer geraden Linie zu anderen Arten von Gleichungen einer geraden Linie und umgekehrt

Wie wir wissen, gibt es in der Ebene verschiedene Arten von Gleichungen für dieselbe gerade Linie. Die Wahl des Gleichungstyps hängt von den Bedingungen des Problems ab; Es ist möglich, diejenige zu wählen, die für die Lösung am bequemsten ist. Hier bietet sich die Fähigkeit an, eine Gleichung einer Art in eine Gleichung einer anderen Art umzuwandeln.

Betrachten Sie zunächst den Übergang von der allgemeinen Gleichung der Form A x + B y + C \u003d 0 zur kanonischen Gleichung x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y.

Wenn А ≠ 0 ist, übertragen wir den Term B y auf die rechte Seite der allgemeinen Gleichung. Platzieren Sie A auf der linken Seite außerhalb der Klammern. Als Ergebnis erhalten wir: A x + C A \u003d - B y.

Diese Gleichheit kann als Anteil geschrieben werden: x + C A - B \u003d y A.

Wenn В ≠ 0 ist, lassen wir nur den Term A x auf der linken Seite der allgemeinen Gleichung, übertragen den Rest auf die rechte Seite, erhalten wir: A x \u003d - B y - C. Wir nehmen - B außerhalb der Klammern heraus, dann: A x \u003d - B y + C B.

Schreiben wir die Gleichheit als Verhältnis um: x - B \u003d y + C B A.

Natürlich müssen die resultierenden Formeln nicht auswendig gelernt werden. Es reicht aus, den Algorithmus der Aktionen beim Übergang von der allgemeinen zur kanonischen Gleichung zu kennen.

Beispiel 5

Die allgemeine Gleichung der Geraden ist gegeben: 3 y - 4 \u003d 0. Es ist notwendig, es in eine kanonische Gleichung umzuwandeln.

Entscheidung

Schreiben Sie die ursprüngliche Gleichung als 3 y - 4 \u003d 0 um. Als nächstes handeln wir nach dem Algorithmus: Der Term 0 x bleibt auf der linken Seite; und auf der rechten Seite nehmen wir heraus - 3 außerhalb der Klammern; wir erhalten: 0 x \u003d - 3 y - 4 3.

Schreiben wir die resultierende Gleichheit als Anteil: x - 3 \u003d y - 4 3 0. Wir haben also eine Gleichung der kanonischen Form.

Antwort: x - 3 \u003d y - 4 3 0.

Um die allgemeine Gleichung der Geraden in parametrische zu transformieren, wird zuerst der Übergang zur kanonischen Form und dann der Übergang von der kanonischen Gleichung der Geraden zu den parametrischen Gleichungen vorgenommen.

Beispiel 6

Die gerade Linie ist gegeben durch die Gleichung 2 x - 5 y - 1 \u003d 0. Schreiben Sie die parametrischen Gleichungen dieser geraden Linie auf.

Entscheidung

Machen wir den Übergang von der allgemeinen zur kanonischen Gleichung:

2 x - 5 y - 1 \u003d 0 ≤ 2 x \u003d 5 y + 1 ≤ 2 x \u003d 5 y + 1 5 ≤ x 5 \u003d y + 1 5 2

Nun nehmen wir beide Seiten der resultierenden kanonischen Gleichung gleich λ, dann:

x 5 \u003d λ y + 1 5 2 \u003d λ ⇔ x \u003d 5 λ y \u003d - 1 5 + 2 λ, λ ∈ R.

Antworten: x \u003d 5 λ y \u003d - 1 5 + 2 λ, λ ∈ R.

Die allgemeine Gleichung kann in eine Gleichung einer geraden Linie mit einer Steigung y \u003d k x + b umgewandelt werden, jedoch nur, wenn B ≠ 0 ist. Für den Übergang links verlassen wir den Term B y, der Rest wird nach rechts übertragen. Wir erhalten: B y \u003d - A x - C. Teilen Sie beide Seiten der resultierenden Gleichheit durch B, verschieden von Null: y \u003d - A B x - C B.

Beispiel 7

Die allgemeine Gleichung der Geraden ist gegeben: 2 x + 7 y \u003d 0. Sie müssen diese Gleichung in eine Steigungsgleichung konvertieren.

Entscheidung

Lassen Sie uns die notwendigen Aktionen gemäß dem Algorithmus ausführen:

2 x + 7 y \u003d 0 ≤ 7 y - 2 x ≤ y \u003d - 2 7 x

Antworten: y \u003d - 2 7 x.

Aus der allgemeinen Gleichung einer geraden Linie reicht es aus, einfach eine Gleichung in Segmenten der Form x a + y b \u003d 1 zu erhalten. Um einen solchen Übergang durchzuführen, übertragen wir die Zahl C auf die rechte Seite der Gleichheit, teilen beide Seiten der resultierenden Gleichheit durch - С und übertragen schließlich die Koeffizienten für die Variablen x und y auf die Nenner:

A x + B y + C \u003d 0 ⇔ A x + B y \u003d - C ⇔ A - C x + B - C y \u003d 1 ⇔ x - C A + y - C B \u003d 1

Beispiel 8

Es ist notwendig, die allgemeine Gleichung der Linie x - 7 y + 1 2 \u003d 0 in die Gleichung der Linie in Segmenten umzuwandeln.

Entscheidung

Bewegen Sie 1 2 nach rechts: x - 7 y + 1 2 \u003d 0 ⇔ x - 7 y \u003d - 1 2.

Teilen Sie beide Seiten der Gleichheit durch -1/2: x - 7 y \u003d - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y \u003d 1.

Antworten: x - 1 2 + y 1 14 \u003d 1.

Im Allgemeinen ist der umgekehrte Übergang auch einfach: von anderen Arten von Gleichungen zur allgemeinen.

Die Gleichung einer geraden Linie in Segmenten und einer Gleichung mit einem Steigungskoeffizienten kann leicht in eine allgemeine Gleichung umgewandelt werden, indem einfach alle Terme auf der linken Seite der Gleichheit gesammelt werden:

x a + y b ≤ 1 a x + 1 b y - 1 \u003d 0 ≤ A x + B y + C \u003d 0 y \u003d k x + b ≤ y - k x - b \u003d 0 ≤ A x + B y + C \u003d 0

Die kanonische Gleichung wird wie folgt in die allgemeine umgewandelt:

x - x 1 ax \u003d y - y 1 ay ⇔ ay (x - x 1) \u003d ax (y - y 1) ⇔ ayx - axy - ayx 1 + axy 1 \u003d 0 ⇔ A x + B y + C \u003d 0

Um vom Parametrischen zu gelangen, wird zuerst der Übergang zum Kanonischen und dann zum Allgemeinen ausgeführt:

x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C \u003d 0

Beispiel 9

Parametrische Gleichungen der Geraden x \u003d - 1 + 2 · λ y \u003d 4 sind angegeben. Es ist notwendig, die allgemeine Gleichung dieser geraden Linie aufzuschreiben.

Entscheidung

Machen wir den Übergang von parametrischen zu kanonischen Gleichungen:

x \u003d - 1 + 2 λ y \u003d 4 ⇔ x \u003d - 1 + 2 λ y \u003d 4 + 0 λ λ \u003d x + 1 2 λ \u003d y - 4 0 ⇔ x + 1 2 \u003d y - 4 0

Gehen wir vom kanonischen zum allgemeinen über:

x + 1 2 \u003d y - 4 0 ≤ 0 (x + 1) \u003d 2 (y - 4) ≤ y - 4 \u003d 0

Antworten: y - 4 \u003d 0

Beispiel 10

Die Gleichung einer geraden Linie in Segmenten x 3 + y 1 2 \u003d 1 ist gegeben. Es ist notwendig, einen Übergang zur allgemeinen Form der Gleichung vorzunehmen.

Entscheidung:

Schreiben wir die Gleichung einfach nach Bedarf neu:

x 3 + y 1 2 \u003d 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 \u003d 0

Antworten: 1 3 x + 2 y - 1 \u003d 0.

Erstellung der allgemeinen Gleichung einer geraden Linie

Oben haben wir gesagt, dass die allgemeine Gleichung mit den bekannten Koordinaten des Normalenvektors und den Koordinaten des Punktes geschrieben werden kann, durch den die Gerade verläuft. Eine solche gerade Linie wird durch die Gleichung A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 bestimmt. Dort haben wir auch das entsprechende Beispiel analysiert.

Schauen wir uns nun komplexere Beispiele an, in denen zunächst die Koordinaten des Normalenvektors bestimmt werden müssen.

Beispiel 11

Eine gerade Linie parallel zur geraden Linie 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0 ist gegeben. Bekannt ist auch der Punkt M 0 (4, 1), durch den die gegebene Linie verläuft. Es ist notwendig, die Gleichung einer gegebenen Geraden aufzuschreiben.

Entscheidung

Die Anfangsbedingungen sagen uns, dass die Geraden parallel sind, dann nehmen wir als Normalenvektor der Geraden, dessen Gleichung geschrieben werden soll, den Richtungsvektor der Geraden n → \u003d (2, - 3): 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0. Jetzt kennen wir alle notwendigen Daten, um die allgemeine Gleichung der Geraden zu erstellen:

A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 ≤ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) \u003d 0 ≤ 2 x - 3 y - 5 \u003d 0

Antworten: 2 x - 3 y - 5 \u003d 0.

Beispiel 12

Die angegebene Linie verläuft durch den Ursprung senkrecht zur Linie x - 2 3 \u003d y + 4 5. Es ist notwendig, eine allgemeine Gleichung für eine gegebene gerade Linie zu erstellen.

Entscheidung

Der Normalenvektor der gegebenen Linie ist der Richtungsvektor der Linie x - 2 3 \u003d y + 4 5.

Dann ist n → \u003d (3, 5). Die gerade Linie verläuft durch den Ursprung, d.h. durch den Punkt O (0, 0). Stellen wir die allgemeine Gleichung einer gegebenen Geraden zusammen:

A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 ≤ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) \u003d 0 ≤ 3 x + 5 y \u003d 0

Antworten: 3 x + 5 y \u003d 0.

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