Statik. Moment der Macht

Bei der Lösung von Problemen bewegter Objekte werden teilweise deren räumliche Dimensionen vernachlässigt, wodurch das Konzept eines materiellen Punktes eingeführt wird. Für eine andere Art von Problemen, bei denen ruhende oder rotierende Körper betrachtet werden, ist es wichtig, deren Parameter und die Angriffspunkte äußerer Kräfte zu kennen. In diesem Fall handelt es sich um das Kräftemoment um die Rotationsachse. Betrachten wir dieses Problem im Artikel.

Der Begriff des Kraftmoments

Bevor eine feste Drehachse erreicht wird, muss geklärt werden, um welches Phänomen es sich handelt. Unten sehen Sie eine Abbildung, die einen Schraubenschlüssel der Länge d zeigt, auf dessen Ende eine Kraft F ausgeübt wird. Man kann sich leicht vorstellen, dass das Ergebnis seiner Wirkung die Drehung des Schraubenschlüssels gegen den Uhrzeigersinn und das Abschrauben der Mutter sein wird.

Gemäß der Definition ist das Kraftmoment relativ das Produkt aus der Schulter (in diesem Fall d) und der Kraft (F), d. h. der folgende Ausdruck kann geschrieben werden: M = d * F. Es ist sofort zu beachten, dass die obige Formel in Skalarform geschrieben ist, das heißt, Sie können damit den Absolutwert des Moments M berechnen. Wie aus der Formel hervorgeht, ist die Maßeinheit der betrachteten Größe Newton pro Meter (N * m).

- Anzahl der Vektoren

Wie oben diskutiert, ist das Moment M tatsächlich ein Vektor. Um diese Aussage zu verdeutlichen, betrachten Sie eine andere Abbildung.

Hier sehen wir einen Hebel der Länge L, der auf der Achse (durch den Pfeil dargestellt) befestigt ist. Auf sein Ende wird unter einem Winkel Φ eine Kraft F ausgeübt. Es ist nicht schwer, sich vorzustellen, dass diese Kraft dazu führt, dass der Hebel angehoben wird. Die Formel für das Moment in Vektorform lautet in diesem Fall wie folgt: M¯ = L¯*F¯, hier bedeutet der Strich über dem Symbol, dass es sich bei der betreffenden Größe um einen Vektor handelt. Es sollte klargestellt werden, dass L¯ von der Drehachse zum Angriffspunkt der Kraft F¯ gerichtet ist.

Der obige Ausdruck ist ein Vektorprodukt. Sein resultierender Vektor (M¯) steht senkrecht auf der durch L¯ und F¯ gebildeten Ebene. Um die Richtung des Moments M¯ zu bestimmen, gibt es mehrere Regeln (rechte Hand, Bohrer). Um sie nicht auswendig zu lernen und sich nicht in der Reihenfolge der Multiplikation der Vektoren L¯ und F¯ zu verwirren (die Richtung von M¯ hängt davon ab), sollten Sie sich eine einfache Sache merken: Das Kraftmoment wird in solche Richtung gerichtet so, dass, wenn man vom Ende seines Vektors aus schaut, die wirkende Kraft F ¯ den Hebel gegen den Uhrzeigersinn dreht. Diese Richtung des Augenblicks wird bedingt als positiv angenommen. Dreht sich das System im Uhrzeigersinn, so hat das resultierende Kräftemoment einen negativen Wert.

Somit ist im betrachteten Fall mit dem Hebel L der Wert von M¯ nach oben gerichtet (von der Figur zum Leser).

In Skalarform lautet die Formel für das Moment wie folgt: M = L*F*sin(180-Φ) oder M = L*F*sin(Φ) (sin(180-Φ) = sin(Φ)). Gemäß der Definition des Sinus können wir die Gleichheit schreiben: M = d*F, wobei d = L*sin(Φ) (siehe Abbildung und das entsprechende rechtwinklige Dreieck). Die letzte Formel ähnelt der im vorherigen Absatz.

Die obigen Berechnungen zeigen, wie mit vektoriellen und skalaren Größen von Kraftmomenten gearbeitet werden kann, um Fehler zu vermeiden.

Die physikalische Bedeutung von M¯

Da die beiden in den vorherigen Absätzen betrachteten Fälle mit einer Rotationsbewegung verbunden sind, kann man erraten, welche Bedeutung das Kraftmoment hat. Wenn die auf einen materiellen Punkt wirkende Kraft ein Maß für die Geschwindigkeitszunahme seiner linearen Verschiebung ist, dann ist das Kraftmoment ein Maß für seine Rotationsfähigkeit in Bezug auf das betrachtete System.

Nehmen wir ein anschauliches Beispiel. Jede Person öffnet die Tür, indem sie sie an der Klinke festhält. Dies kann auch durch Drücken der Tür im Bereich des Griffs erfolgen. Warum öffnet man es nicht, indem man den Scharnierbereich eindrückt? Ganz einfach: Je näher die Kraft an den Scharnieren angreift, desto schwieriger lässt sich die Tür öffnen und umgekehrt. Die Ableitung des vorherigen Satzes ergibt sich aus der Formel für das Moment (M = d*F), die zeigt, dass bei M = const die Größen d und F in umgekehrter Beziehung zueinander stehen.

Kraftmoment – ​​additive Größe

In allen oben betrachteten Fällen gab es nur eine wirkende Kraft. Bei der Lösung realer Probleme ist die Situation viel komplizierter. Normalerweise unterliegen rotierende oder im Gleichgewicht befindliche Systeme mehreren Torsionskräften, von denen jede ihr eigenes Moment erzeugt. In diesem Fall reduziert sich die Lösung von Problemen auf die Ermittlung des Gesamtmoments der Kräfte relativ zur Rotationsachse.

Das Gesamtmoment ergibt sich aus der üblichen Summe der Einzelmomente für jede Kraft. Denken Sie jedoch daran, für jedes das richtige Vorzeichen zu verwenden.

Beispiel für eine Problemlösung

Um das erworbene Wissen zu festigen, wird vorgeschlagen, das folgende Problem zu lösen: Es ist notwendig, das Gesamtkraftmoment für das in der Abbildung unten dargestellte System zu berechnen.

Wir sehen, dass auf einen 7 m langen Hebel drei Kräfte (F1, F2, F3) wirken, die relativ zur Drehachse unterschiedliche Angriffspunkte haben. Da die Kraftrichtung senkrecht zum Hebel verläuft, ist es nicht erforderlich, für das Torsionsmoment einen Vektorausdruck zu verwenden. Es ist möglich, das Gesamtmoment M mithilfe einer Skalarformel und unter Berücksichtigung der Einstellung des gewünschten Vorzeichens zu berechnen. Da die Kräfte F1 und F3 dazu neigen, den Hebel gegen den Uhrzeigersinn und F2 im Uhrzeigersinn zu drehen, ist das Drehmoment für den ersten positiv und für den zweiten negativ. Wir haben: M = F1 * 7-F2 * 5 + F3 * 3 = 140-50 + 75 = 165 N * m. Das heißt, das Gesamtmoment ist positiv und nach oben (zum Leser) gerichtet.

Definition

Das Vektorprodukt aus Radius und Vektor (), das vom Punkt O (Abb. 1) zu dem Punkt gezogen wird, an dem die Kraft auf den Vektor selbst ausgeübt wird, wird als Kraftmoment () in Bezug auf den Punkt O bezeichnet :

In Abb. 1 liegen der Punkt O sowie der Kraftvektor () und der Radius-Vektor in der Figurenebene. In diesem Fall steht der Vektor des Kraftmoments () senkrecht zur Figurenebene und hat eine Richtung von uns weg. Der Vektor des Kraftmoments ist axial. Die Richtung des Vektors des Kraftmoments wird so gewählt, dass durch die Drehung um den Punkt O in Richtung der Kraft und des Vektors ein Rechtsschraubensystem entsteht. Die Richtung des Kraftmoments und der Winkelbeschleunigung sind gleich.

Der Wert des Vektors ist:

wobei der Winkel zwischen den Richtungen des Radiusvektors und des Kraftvektors der Arm der Kraft relativ zum Punkt O ist.

Kraftmoment um die Achse

Das Kraftmoment in Bezug auf die Achse ist eine physikalische Größe, die der Projektion des Vektors des Kraftmoments in Bezug auf den Punkt der gewählten Achse auf die gegebene Achse entspricht. In diesem Fall spielt die Wahl des Punktes keine Rolle.

Das Hauptmoment der Kräfte

Das Hauptmoment der Gesamtheit der Kräfte relativ zum Punkt O wird als Vektor (Kraftmoment) bezeichnet, der gleich der Summe der Momente aller im System wirkenden Kräfte bezüglich desselben Punktes ist:

In diesem Fall wird der Punkt O als Reduktionszentrum des Kräftesystems bezeichnet.

Wenn es zwei Hauptmomente gibt ( und ) für ein Kräftesystem für verschiedene zwei Kräftereduktionszentren (O und O '), dann werden sie durch den Ausdruck in Beziehung gesetzt:

Dabei ist der Radiusvektor, der vom Punkt O zum Punkt O‘ gezogen wird, der Hauptvektor des Kräftesystems.

Im allgemeinen Fall ist das Ergebnis der Einwirkung eines beliebigen Kräftesystems auf einen starren Körper dasselbe wie die Einwirkung des Hauptmoments des Kräftesystems und des Hauptvektors des Kräftesystems auf den Körper, nämlich wird im Reduktionszentrum (Punkt O) angewendet.

Das Grundgesetz der Dynamik der Rotationsbewegung

wo ist der Drehimpuls des rotierenden Körpers.

Für einen starren Körper lässt sich dieses Gesetz wie folgt darstellen:

wobei I das Trägheitsmoment des Körpers ist, ist die Winkelbeschleunigung.

Einheiten des Kraftmoments

Die grundlegende Maßeinheit des Kraftmoments im SI-System ist: [M]=N·m

Zu CGS: [M]=dyn cm

Beispiele für Problemlösungen

Beispiel

Übung. Abbildung 1 zeigt einen Körper mit einer Rotationsachse OO". Das auf den Körper um eine bestimmte Achse ausgeübte Kraftmoment ist gleich Null? Die Achse und der Kraftvektor liegen in der Ebene der Figur.

Lösung. Als Grundlage zur Lösung des Problems nehmen wir die Formel, die das Kraftmoment bestimmt:

In einem Vektorprodukt (aus der Abbildung ersichtlich). Der Winkel zwischen dem Kraftvektor und dem Radius-Vektor wird ebenfalls von Null (oder ) verschieden sein, daher ist das Vektorprodukt (1.1) nicht gleich Null. Das bedeutet, dass das Kraftmoment von Null verschieden ist.

Antworten.

Beispiel

Übung. Die Winkelgeschwindigkeit eines rotierenden starren Körpers ändert sich gemäß dem Diagramm, das in Abb. 2 dargestellt ist. An welchem ​​der in der Grafik angegebenen Punkte ist das auf den Körper ausgeübte Kraftmoment gleich Null?

Unter Angabe des Kraftmoments relativ zu den Achsen , und können wir schreiben:

wo und Module von Kraftprojektionen auf Ebenen senkrecht zu der Achse, relativ zu der das Moment bestimmt wird; l - Schultern gleich lang

Senkrechte vom Schnittpunkt der Achse mit der Ebene zur Projektion oder ihrer Fortsetzung; Je nachdem, in welche Richtung sich die Schulter dreht, wird das Plus- oder Minuszeichen gesetzt l der Projektionsvektor, wenn man die Projektionsebene aus der positiven Richtung der Achse betrachtet; Wenn der Projektionsvektor dazu neigt, den Arm gegen den Uhrzeigersinn zu drehen, stimmen wir zu, das Moment als positiv zu betrachten und umgekehrt.

Somit, Kraftmoment um die Achse wird als algebraische (skalare) Größe bezeichnet, die dem Moment der Kraftprojektion auf eine Ebene senkrecht zur Achse entspricht, relativ zum Schnittpunkt der Achse mit der Ebene.

Die vorherige Abbildung veranschaulicht die Reihenfolge der Bestimmung des Kraftmoments um die Z-Achse. Wenn die Kraft angegeben und die Achse ausgewählt (oder angegeben) ist, dann: a) wird eine Ebene senkrecht zur Achse ausgewählt (die XOY-Ebene). ; b) die Kraft F wird auf diese Ebene projiziert und der Modul dieser Projektion bestimmt; c) vom Punkt 0 des Schnittpunkts der Achse mit der Ebene wird die Senkrechte OS zur Projektion abgesenkt und die Schulter l = OS bestimmt; d) Wenn wir die XOU-Ebene aus der positiven Richtung der Z-Achse (d. h. in diesem Fall von oben) betrachten, sehen wir, dass das OS um den Vektor gegen die Uhr gedreht wird, was bedeutet

Das Kraftmoment um die Achse ist Null, wenn Kraft und Achse in derselben Ebene liegen: a) Die Kraft schneidet die Achse (in diesem Fall). l = 0);

b) die Kraft ist parallel zur Achse ();

c) die Kraft wirkt entlang der Achse ( l=0 und ).

Räumliches System beliebig lokalisierter Kräfte.

Gleichgewichtszustand

Zuvor wurde der Prozess der Kraftübertragung auf einen Punkt ausführlich beschrieben und bewiesen, dass jedes flache Kräftesystem auf eine Kraft reduziert wird – den Hauptvektor und ein Paar, dessen Moment als Hauptmoment bezeichnet wird, und die Kraft und ein diesem System äquivalentes Kräftesystem wirken in derselben Ebene wie das gegebene System. Das heißt, wenn das Hauptmoment als Vektor dargestellt wird, dann stehen Hauptvektor und Hauptmoment eines ebenen Kräftesystems immer senkrecht zueinander.

Ähnlich argumentierend kann man konsequent auf den Punkt der Kraft des räumlichen Systems bringen. Aber jetzt ist der Hauptvektor der Schlussvektor des räumlichen (und nicht des flachen) Kraftpolygons; das Hauptmoment kann nicht mehr durch algebraische Addition der Momente dieser Kräfte bezüglich des Reduktionspunktes erhalten werden. Auf einen Punkt eines räumlichen Kräftesystems reduziert, wirken die angehängten Paare in verschiedenen Ebenen, und es empfiehlt sich, ihre Momente in Form von Vektoren darzustellen und geometrisch zu addieren. Daher sind der Hauptvektor (die geometrische Summe der Kräfte des Systems) und das Hauptmoment (die geometrische Summe der Kraftmomente relativ zum Reduktionspunkt), die sich aus der Reduktion des räumlichen Kräftesystems ergeben, Im Allgemeinen stehen sie nicht senkrecht zueinander.

Vektorgleichungen drücken die notwendige und hinreichende Bedingung für das Gleichgewicht eines räumlichen Systems beliebig lokalisierter Kräfte aus.

Wenn der Hauptvektor gleich Null ist, sind auch seine Projektionen auf drei zueinander senkrechte Achsen gleich Null. Wenn das Hauptmoment gleich Null ist, sind drei seiner Komponenten auf derselben Achse gleich Null.

Dies bedeutet, dass ein beliebiges räumliches Kräftesystem nur dann statisch bestimmbar ist, wenn die Anzahl der Unbekannten sechs nicht überschreitet.

Unter den Problemen der Statik finden sich häufig solche, bei denen ein räumliches System parallel zueinander verlaufender Kräfte auf den Körper einwirkt.

In einem räumlichen System paralleler Kräfte sollte es nicht mehr als drei Unbekannte geben, sonst wird das Problem statisch unbestimmt.

Kapitel 6

Grundbegriffe der Kinematik

Der Zweig der Mechanik, der die Bewegung materieller Körper untersucht, ohne ihre Massen und die auf sie einwirkenden Kräfte zu berücksichtigen, wird genannt Kinematik.

Bewegung- die Hauptexistenzform der gesamten materiellen Welt, Frieden und Ausgeglichenheit- Sonderfälle.

Jede Bewegung, auch mechanische Bewegung, findet in Raum und Zeit statt.

Alle Körper bestehen aus materiellen Punkten. Um eine korrekte Vorstellung von der Bewegung von Körpern zu bekommen, müssen Sie mit der Bewegung eines Punktes beginnen. Die Bewegung eines Punktes im Raum wird in Metern sowie in Teileinheiten (cm, mm) oder Vielfachen (km) der Längen- und Zeiteinheiten ausgedrückt – in Sekunden. In der Praxis oder in Lebenssituationen wird Zeit oft in Minuten oder Stunden ausgedrückt. Bei der Betrachtung der einen oder anderen Bewegung eines Punktes wird die Zeit ab einem bestimmten, vorgegebenen Anfangsmoment gezählt ( T= 0).

Der Ort der Positionen eines sich bewegenden Punktes im betrachteten Referenzrahmen wird aufgerufen Flugbahn. Je nach Art der Flugbahn wird die Bewegung eines Punktes unterteilt in geradlinig Und krummlinig. Die Flugbahn eines Punktes kann definiert und voreingestellt werden. So werden beispielsweise die Flugbahnen künstlicher Erdsatelliten und interplanetarer Stationen im Voraus berechnet, oder wenn wir als materielle Punkte Busse nehmen, die durch die Stadt fahren, dann sind auch deren Flugbahnen (Routen) bekannt. In solchen Fällen wird die Position eines Punktes zu jedem Zeitpunkt durch die Entfernung (Bogenkoordinate) S bestimmt, d. h. die Länge des Abschnitts der Flugbahn, gezählt von einigen ihrer Fixpunkte, die als Ursprung dienen. Die Zählung der Entfernungen vom Beginn der Flugbahn kann in beide Richtungen erfolgen, daher wird die Zählung in eine Richtung bedingt als positiv angenommen, und zwar in

Gegenteil - für negativ , diese. der Abstand S ist eine algebraische Größe. Es kann positiv (S > 0) oder negativ (S) sein<0).

Bei der Bewegung vergeht ein Punkt für einen bestimmten Zeitraum Weg L, der entlang des Weges in Fahrtrichtung gemessen wird.

Wenn sich der Punkt nicht vom Ursprung O, sondern von einer Position im Anfangsabstand S o zu bewegen begann, dann

Die Vektorgröße, die zu einem bestimmten Zeitpunkt die Richtung und Geschwindigkeit der Bewegung eines Punktes charakterisiert, wird genannt Geschwindigkeit.

Die Geschwindigkeit eines Punktes ist zu jedem Zeitpunkt seiner Bewegung tangential zur Flugbahn gerichtet.

Beachten Sie, dass diese Vektorgleichheit nur die Position und das Modul der Durchschnittsgeschwindigkeit über die Zeit charakterisiert:

Wo ist der zu diesem Zeitpunkt zurückgelegte Weg?

Der Modul der Durchschnittsgeschwindigkeit ist gleich der zurückgelegten Strecke dividiert durch die Zeit, in der dieser Weg zurückgelegt wurde.

Als Vektorgröße wird die Geschwindigkeit der Richtungsänderung und der Zahlenwert der Geschwindigkeit bezeichnet Beschleunigung.

Bei gleichmäßiger Bewegung entlang einer krummlinigen Flugbahn erfährt der Punkt auch eine Beschleunigung, da sich in diesem Fall auch die Geschwindigkeitsrichtung ändert.

Als Einheit der Beschleunigung wird üblicherweise angenommen.

6.2. Methoden zur Angabe der Bewegung eines Punktes

Es gibt drei Möglichkeiten: natürlich, Koordinate, Vektor.

Die natürliche Art, die Bewegung eines Punktes anzugeben. Wenn zusätzlich zu der Trajektorie, auf der der Ursprung O markiert ist, die Abhängigkeit

zwischen Abstand S und Zeit t heißt diese Gleichung das Bewegungsgesetz eines Punktes entlang einer gegebenen Flugbahn.

Gegeben sei zum Beispiel eine Flugbahn, deren Bewegung durch die Gleichung bestimmt wird. Dann zur Zeit, d.h. der Punkt liegt im Ursprung O; zu einem bestimmten Zeitpunkt liegt der Punkt in einiger Entfernung; Zu einem bestimmten Zeitpunkt befindet sich der Punkt im Abstand vom Ursprung O.

Koordinatenmethode zur Angabe der Punktbewegung. Wenn die Flugbahn eines Punktes nicht im Voraus bekannt ist, wird die Position des Punktes im Raum durch drei Koordinaten bestimmt: die Abszisse X, die Ordinate Y und die Applikate Z.

Oder Zeit ausschließen.

Diese Gleichungen drücken aus Bewegungsgesetz eines Punktes in einem rechtwinkligen Koordinatensystem (OXYZ).

Im Einzelfall, wenn sich der Punkt in einer Ebene bewegt, wird das Gesetz der Punktbewegung durch zwei Gleichungen ausgedrückt: oder .

Zum Beispiel. Die Bewegung eines Punktes in einem ebenen Koordinatensystem wird durch die Gleichungen und ( X Und Y– cm, t – c). Dann zur Zeit und , d.h. der Punkt liegt am Ursprung; zu diesem Zeitpunkt die Koordinaten des Punktes , ; zu diesem Zeitpunkt die Koordinaten des Punktes , usw.

Wenn man das Bewegungsgesetz eines Punktes in einem rechteckigen Koordinatensystem kennt, kann man es bestimmen Punktflugbahngleichung.

Durch Eliminieren der Zeit t aus den obigen Gleichungen und erhalten wir beispielsweise die Trajektoriengleichung. Wie Sie sehen, bewegt sich der Punkt in diesem Fall entlang einer geraden Linie, die durch den Ursprung verläuft.

6.3. Die Geschwindigkeit eines Punktes auf natürliche Weise bestimmen
Aufgaben ihrer Bewegung

Lassen Sie Punkt A sich entlang einer gegebenen Flugbahn gemäß der Gleichung bewegen. Es ist erforderlich, die Geschwindigkeit des Punktes zum Zeitpunkt t zu bestimmen.

Der Punkt hat über einen bestimmten Zeitraum einen Weg zurückgelegt , wird der Wert der Durchschnittsgeschwindigkeit auf diesem Weg genannt Tangente, oder Tangentialbeschleunigung. Tangentialer Beschleunigungsmodul

,

gleich der Ableitung der Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt oder andernfalls der zweiten Ableitung der zeitlichen Entfernung, charakterisiert die Geschwindigkeit der Änderung des Geschwindigkeitswerts.

Es ist bewiesen, dass der Vektor zu jedem Zeitpunkt senkrecht zur Tangente steht, so heißt es normale Beschleunigung.

Dies bedeutet, dass der Modul der Normalbeschleunigung proportional zur zweiten Potenz des Geschwindigkeitsmoduls zu einem bestimmten Zeitpunkt, umgekehrt proportional zum Krümmungsradius der Flugbahn an einem bestimmten Punkt ist und die Änderungsrate in der Geschwindigkeitsrichtung charakterisiert .

Beschleunigungsmodul

Kraftmoment um die Achse ist das Moment der Projektion einer Kraft auf eine Ebene senkrecht zur Achse, relativ zum Schnittpunkt der Achse mit dieser Ebene

Das Moment um eine Achse ist positiv, wenn die Kraft dazu neigt, eine Ebene senkrecht zur Achse entgegen dem Uhrzeigersinn zu drehen, wenn man sie in Richtung der Achse betrachtet.

Das Kraftmoment um die Achse ist in zwei Fällen 0:

Wenn die Kraft parallel zur Achse ist

Wenn die Kraft die Achse kreuzt

Liegen die Wirkungslinie und die Achse in derselben Ebene, dann ist das Kraftmoment um die Achse 0.

27. Die Beziehung zwischen dem Kraftmoment um eine Achse und dem Vektorkraftmoment um einen Punkt.

Mz(F)=Mo(F)*cosαDas Kraftmoment relativ zur Achse ist gleich der Projektion des Vektors des Kraftmoments relativ zum Achsenpunkt auf diese Achse.

28. Der Hauptsatz der Statik über die Ausrichtung des Kräftesystems auf ein gegebenes Zentrum (Satz von Poinsot). Hauptvektor und Hauptmoment des Kräftesystems.

Jedes räumliche Kräftesystem im allgemeinen Fall kann durch ein äquivalentes System ersetzt werden, das aus einer Kraft besteht, die an einem bestimmten Punkt des Körpers (Reduktionszentrum) ausgeübt wird und dem Hauptvektor dieses Kräftesystems entspricht, und einem Kräftepaar. dessen Moment gleich dem Hauptmoment aller Kräfte relativ zum ausgewählten Bezugszentrum ist.

Der Hauptvektor des Kraftsystems Vektor genannt R gleich der Vektorsumme dieser Kräfte:

R = F 1 + F 2 + ... + F n= F ich .

Bei einem flachen Kräftesystem liegt sein Hauptvektor in der Wirkungsebene dieser Kräfte.

Der Hauptmoment des Kräftesystems um den Mittelpunkt O heißt Vektor L O , gleich der Summe der Vektormomente dieser Kräfte relativ zum Punkt O:

L O= MÖ( F 1) + MÖ( F 2) + ... + MÖ( F n) = MÖ( F ich).

Vektor R hängt nicht von der Wahl des Zentrums O und des Vektors ab L O beim Ändern der Position des Zentrums O kann sich im Allgemeinen ändern.

Satz von Poinsot: Ein beliebiges räumliches Kräftesystem kann durch eine Kraft mit dem Hauptvektor des Kräftesystems und ein Kräftepaar mit dem Hauptmoment ersetzt werden, ohne den Zustand des starren Körpers zu stören. Der Hauptvektor ist die geometrische Summe aller auf einen starren Körper wirkenden Kräfte und liegt in der Wirkungsebene der Kräfte. Der Hauptvektor wird durch seine Projektionen auf die Koordinatenachsen betrachtet.

Um Kräfte auf ein bestimmtes Zentrum zu übertragen, die an einem bestimmten Punkt eines starren Körpers wirken, ist es notwendig: 1) die Kraft parallel zu einem bestimmten Zentrum auf sich selbst zu übertragen, ohne den Kraftmodul zu ändern; 2) In einem gegebenen Zentrum ein Kräftepaar anwenden, dessen Vektormoment gleich dem Vektormoment der übertragenen Kraft des relativen neuen Zentrums ist; dieses Paar wird als angehängtes Paar bezeichnet.

Abhängigkeit des Hauptmoments von der Wahl des Reduktionszentrums. Das Hauptmoment relativ zum neuen Reduktionszentrum ist gleich der geometrischen Summe des Hauptmoments relativ zum alten Reduktionszentrum und dem Kreuzprodukt des Radiusvektors, der das neue Reduktionszentrum mit dem alten verbindet, und dem Hauptvektor.

29 Sonderfälle der Reduzierung des räumlichen Kräftesystems

	Werte von Hauptvektor und Hauptmoment	Besetzungsergebnis
		Das Kräftesystem wird auf ein Kräftepaar reduziert, dessen Moment gleich dem Hauptmoment ist (das Hauptmoment des Kräftesystems hängt nicht von der Wahl des Reduktionszentrums O ab).
		Das Kräftesystem wird auf eine Resultierende reduziert, die dem Durchgang durch den Mittelpunkt O entspricht.
		Das Kräftesystem wird auf eine Resultierende reduziert, die dem Hauptvektor entspricht und parallel zu diesem und mit Abstand von ihm getrennt ist. Die Lage der Wirkungslinie der Resultierenden muss so sein, dass die Richtung ihres Moments relativ zum Reduktionszentrum O mit der Richtung relativ zum Zentrum O übereinstimmt.
	, und die Vektoren stehen nicht senkrecht	Das Kräftesystem wird auf einen Dynamo (Kraftschraube) reduziert – eine Kombination aus einer Kraft und einem Kräftepaar, das in einer Ebene senkrecht zu dieser Kraft liegt.
		Das auf einen starren Körper wirkende Kräftesystem ist ausgeglichen.

30. Reduktion auf Dynamik. In der Mechanik ist ein Dynamo ein solcher Kräftesatz und ein Kräftepaar (), das auf einen starren Körper wirkt, wobei die Kraft senkrecht zur Wirkungsebene des Kräftepaares steht. Unter Verwendung des Vektormoments eines Kräftepaars kann man einen Dynamo auch als eine Kombination aus einer Kraft und einem Paar definieren, dessen Kraft parallel zum Vektormoment eines Kräftepaars verläuft.

Gleichung der zentralen Helixachse Nehmen wir an, dass im Reduktionszentrum, das als Ursprung genommen wird, der Hauptvektor mit Projektionen auf die Koordinatenachsen und das Hauptmoment mit Projektionen erhalten werden. Wenn das Kräftesystem auf das Reduktionszentrum O 1 reduziert wird (Abb. 30) Es entsteht ein Dynamo mit dem Hauptvektor und den Hauptmomenten , Vektoren und as, die einen Linam bilden. sind parallel und können sich daher nur um einen Skalarfaktor k 0 unterscheiden. Es gilt, da .Die Hauptmomente und , die Beziehung erfüllen

Durch Ersetzen erhalten wir

Die Koordinaten des Punktes O 1, in dem sich der Dynamo befindet, bezeichnen wir mit x, y, z. Dann sind die Projektionen des Vektors auf die Koordinatenachsen gleich den Koordinaten x, y, z. Vor diesem Hintergrund kann (*) in der Form ausgedrückt werden

wo ich. j,k sind die Einheitsvektoren der Koordinatenachsen und das Vektorprodukt * wird durch die Determinante dargestellt. Die Vektorgleichung (**) entspricht drei Skalargleichungen, die nach dem Verwerfen als dargestellt werden können

Die resultierenden linearen Gleichungen für die Koordinaten x, y, z sind die Gleichungen einer Geraden – der zentralen Schraubenachse. Folglich gibt es eine Gerade, an deren Punkten das Kräftesystem auf einen Dynamo reduziert wird.

In dem Artikel sprechen wir über das Kraftmoment um einen Punkt und eine Achse, Definitionen, Zeichnungen und Diagramme, welche Maßeinheit für das Kraftmoment, Arbeit und Kraft bei Drehbewegungen sowie Beispiele und Aufgaben.

Moment der Macht ist ein Vektor einer physikalischen Größe, der dem Produkt der Vektoren entspricht Schulterkraft(Radiusvektor des Teilchens) und Stärke auf einen Punkt einwirken. Der Krafthebel ist ein Vektor, der den Punkt, durch den die Drehachse des starren Körpers verläuft, mit dem Punkt verbindet, auf den die Kraft ausgeübt wird.

Dabei ist: r die Schulter der Kraft, F die auf den Körper ausgeübte Kraft.

Vektorrichtung Momentkraft immer senkrecht zur durch die Vektoren r und F definierten Ebene.

Hauptpunkt- Jedes Kräftesystem in der Ebene in Bezug auf den akzeptierten Pol wird als algebraisches Moment des Moments aller Kräfte dieses Systems in Bezug auf diesen Pol bezeichnet.

Bei Rotationsbewegungen sind nicht nur die physikalischen Größen selbst wichtig, sondern auch ihre Lage relativ zur Rotationsachse, also ihre Momente. Wir wissen bereits, dass bei der Rotationsbewegung nicht nur die Masse wichtig ist, sondern auch. Im Falle einer Kraft wird ihre Wirksamkeit beim Auslösen einer Beschleunigung durch die Art und Weise bestimmt, wie die Kraft auf die Drehachse ausgeübt wird.

Der Zusammenhang zwischen Macht und der Art und Weise ihrer Nutzung beschreibt MOMENT DER KRAFT. Das Kraftmoment ist das Vektorprodukt des Kraftarms R zum Kraftvektor F:

Wie in jedem Vektorprodukt, so auch hier

Daher hat die Kraft keinen Einfluss auf die Drehung, wenn der Winkel zwischen den Kraftvektoren groß ist F und Hebel R ist 0 o oder 180 o . Welche Wirkung hat die Anwendung eines Kraftmoments? M?

Wir verwenden das zweite Newtonsche Bewegungsgesetz und die Beziehung zwischen Seil und Winkelgeschwindigkeit v = Rω in Skalarform gelten, wenn die Vektoren R Und ω senkrecht zueinander

Wenn wir beide Seiten der Gleichung mit R multiplizieren, erhalten wir

Da mR 2 = I ist, schließen wir daraus

Die obige Abhängigkeit gilt auch für den Fall eines materiellen Körpers. Beachten Sie, dass eine äußere Kraft zwar eine lineare Beschleunigung bewirkt A, das Moment der äußeren Kraft ergibt die Winkelbeschleunigung ε.

Einheit des Kraftmoments

Das Hauptmaß des Kraftmoments im SI-Koordinatensystem ist: [M]=N·m

Zu CGS: [M]=dyn cm

Arbeit und Kraft in der Drehbewegung

Arbeit in linearer Bewegung wird durch den allgemeinen Ausdruck definiert:

aber im Wechsel

und folglich

Basierend auf den Eigenschaften des gemischten Produkts aus drei Vektoren können wir schreiben

Deshalb haben wir einen Ausdruck für Rotationsarbeit:

Drehleistung:

Finden Moment der Macht, Einwirkung auf den Körper in den in den folgenden Abbildungen dargestellten Situationen. Nehmen Sie an, dass r = 1m und F = 2N.

A) da der Winkel zwischen den Vektoren r und F 90° beträgt, dann ist sin(a)=1:

M = r F = 1m 2N = 2Nm

B) weil der Winkel zwischen den Vektoren r und F 0° beträgt, also sin(a)=0:

M=0
ja gerichtet Gewalt kann keinen Punkt angeben Drehbewegung.

C) da der Winkel zwischen den Vektoren r und F 30° beträgt, dann ist sin(a)=0,5:

M = 0,5 r F = 1N·m.

Dadurch entsteht eine gerichtete Kraft Körperdrehung, aber seine Wirkung wird geringer sein als im vorliegenden Fall A).

Kraftmoment um die Achse

Angenommen, die Daten sind ein Punkt Ö(Pol) und Leistung P. Am Punkt Ö Wir nehmen den Ursprung des rechtwinkligen Koordinatensystems. Moment der Macht R im Verhältnis zu den Polen Ö ist ein Vektor M raus (R), (Bild unten) .

Irgendein Punkt A online P hat Koordinaten (xo, yo, zo).
Kraftvektor P hat Koordinaten Px, Py, Pz. Kombinationspunkt A (xo, yo, zo) Mit dem Anfang des Systems erhalten wir einen Vektor P. Vektorkoordinaten erzwingen P relativ zum Pol Ö mit Symbolen gekennzeichnet Mx, My, Mz. Diese Koordinaten können als Minima der gegebenen Determinante berechnet werden, wobei ( i, j, k) sind Einheitsvektoren auf den Koordinatenachsen (Optionen): i, j, k

Nach der Lösung der Determinante sind die Koordinaten des Moments gleich:

Momentvektorkoordinaten Mo (P) werden Kraftmomente um die entsprechende Achse genannt. Zum Beispiel Kraftmoment P um die Achse Oz umgibt die Vorlage:

Mz = Pyxo - Pxyo

Dieses Muster wird geometrisch interpretiert, wie in der Abbildung unten dargestellt.

Basierend auf dieser Interpretation das Kraftmoment um die Achse Oz kann als Moment der Kraftprojektion definiert werden P senkrecht zur Achse Oz relativ zum Durchdringungspunkt dieser Ebene durch die Achse. Kraftprojektion P auf der senkrechten Achse ist angegeben Pxy und der Eindringpunkt des Flugzeugs Oxy- Achse Betriebssystem Symbol Oh
Aus der obigen Definition des Kraftmoments um eine Achse folgt, dass das Kraftmoment um eine Achse Null ist, wenn die Kraft und die Achse gleich sind und in derselben Ebene liegen (wenn die Kraft parallel zur Achse ist oder wenn die Kraft kreuzt die Achse).
Verwenden von Formeln auf Mx, My, Mz, Wir können den Wert des Kraftmoments berechnen P relativ zum Punkt Ö und bestimmen Sie die Winkel zwischen dem Vektor M und Systemachsen:

Wenn die Kraft darin liegt Flugzeuge, Das zo = 0 und pz = 0 (siehe Bild unten).

Moment der Macht P bezogen auf den Punkt (Pol) O ist:
Mx=0,
Mein = 0
Mo (P) \u003d Mz \u003d Pyxo - Pxy.

Drehmomentmarkierung:
plus (+) - Drehung der Kraft um die O-Achse im Uhrzeigersinn,
minus (-) – Drehung der Kraft um die O-Achse gegen den Uhrzeigersinn.