Online-Lösung der linearen Ungleichung mit Detaillösung. Lineare Ungleichungen

Das Diagramm in Abbildung 5:

Und nächstes Beispiel: Ungleichung lösen 0,6 2x - 3< 0,36 .

Nach dem Schema in Abbildung 5 erhalten wir
2x - 3> log 0,6 0,36,
2x - 3> 2,
2x > 5,
x> 2,5

Antworten: (2,5; +∞) .

Betrachten Sie das letzte Schema zur Lösung einer Ungleichung der Form und f(x)< b , beim a> 0 und b<0 in Abbildung 6 dargestellt:

Lassen Sie uns zum Beispiel die Ungleichung lösen:

Wir stellen fest, dass unabhängig davon, welche Zahl wir für x einsetzen, die linke Seite der Ungleichung immer größer als Null ist und unser Ausdruck kleiner als -8 ist, d.h. und Null, dann gibt es keine Lösungen.

Antworten: keine Lösungen.

Wenn man weiß, wie die einfachsten exponentiellen Ungleichungen gelöst werden, kann man fortfahren mit Lösen von exponentiellen Ungleichungen.

Beispiel 1.

Finden Sie den größten ganzzahligen Wert x, der die Ungleichung erfüllt

Da 6 x größer als Null ist (für jedes x verschwindet der Nenner nicht), multiplizieren wir beide Seiten der Ungleichung mit 6 x und erhalten:

440 - 2 6 2x> 8, dann
- 2 6 2x > 8 - 440,
- 2 6 2x> - 332,
6 2x< 216,
2x< 3,

x< 1,5. Наибольшее целое число из помежутка (–∞; 1,5) это число 1.

Antwort 1.

Beispiel 2.

Ungleichung lösen 2 2 x - 3 2 x + 2 ≤ 0

Wir bezeichnen 2 x durch y, wir erhalten die Ungleichung y 2 - 3y + 2 ≤ 0, wir lösen diese quadratische Ungleichung.

j 2 - 3 j +2 = 0,
y 1 = 1 und y 2 = 2.

Die Äste der Parabel sind nach oben gerichtet, zeichnen wir eine Grafik:

Dann ist die Lösung der Ungleichung die Ungleichung 1< у < 2, вернемся к нашей переменной х и получим неравенство 1< 2 х < 2, решая которое и найдем ответ 0 < x < 1.

Antworten: (0; 1) .

Beispiel 3... Ungleichung lösen 5 x +1 - 3 x +2< 2·5 x – 2·3 x –1
Lassen Sie uns Ausdrücke mit den gleichen Basen in einem Teil der Ungleichung sammeln

5 x +1 - 2,5 x< 3 x +2 – 2·3 x –1

Wir nehmen 5 x auf der linken Seite der Ungleichung und 3 x auf der rechten Seite der Ungleichung heraus und erhalten

5x (5 - 2)< 3 х (9 – 2/3),
3 5 x< (25/3)·3 х

Wir dividieren beide Seiten der Ungleichung durch den Ausdruck 3 3 x, das Ungleichungszeichen ändert sich nicht, da 3 3 x eine positive Zahl ist, erhalten wir die Ungleichung:

x< 2 (так как 5/3 > 1).

Antworten: (–∞; 2) .

Wenn Sie Fragen zum Lösen von exponentiellen Ungleichungen haben oder das Lösen ähnlicher Beispiele üben möchten, melden Sie sich für meine Lektionen an. Tutorin Valentina Galinevskaya.

Website, bei vollständiger oder teilweiser Kopie des Materials, ist ein Link zur Quelle erforderlich.

Ungleichungen online lösen

Vor dem Lösen von Ungleichungen ist es notwendig, gut zu verstehen, wie die Gleichungen gelöst werden.

Es spielt keine Rolle, ob die Ungleichung streng () oder nicht streng (≤, ≥) ist, der erste Schritt besteht darin, die Gleichung zu lösen, indem das Ungleichungszeichen durch Gleichheit (=) ersetzt wird.

Lassen Sie uns erklären, was es bedeutet, Ungleichungen zu lösen?

Nach dem Studium der Gleichungen im Kopf des Schülers entwickelt sich folgendes Bild: Sie müssen solche Werte der Variablen finden, bei denen beide Seiten der Gleichung die gleichen Werte annehmen. Mit anderen Worten, finden Sie alle Punkte, an denen Gleichheit gilt. Das stimmt!

Wenn wir von Ungleichungen sprechen, meinen wir das Finden der Intervalle (Segmente), für die die Ungleichung gilt. Wenn die Ungleichung zwei Variablen enthält, werden als Lösung keine Intervalle mehr verwendet, sondern einige Flächen in der Ebene. Raten Sie selbst, was die Lösung für die Ungleichung in drei Variablen sein wird.

Wie geht man mit Ungleichheiten um?

Eine universelle Methode zum Lösen von Ungleichungen wird als Intervallmethode (auch als Intervallmethode bezeichnet) angesehen, die darin besteht, alle Intervalle zu bestimmen, innerhalb derer die angegebene Ungleichung erfüllt wird.

Ohne auf die Art der Ungleichung einzugehen, in diesem Fall ist es nicht das Wesentliche, es ist erforderlich, die entsprechende Gleichung zu lösen und ihre Wurzeln zu bestimmen, gefolgt von der Bezeichnung dieser Lösungen auf der Zahlenachse.

Wie schreibt man die Lösung einer Ungleichung richtig auf?

Wenn Sie die Intervalle der Lösungen einer Ungleichung bestimmt haben, müssen Sie die Lösung selbst richtig schreiben. Es gibt eine wichtige Nuance - sind die Grenzen der Intervalle in der Lösung enthalten?

Hier ist alles einfach. Wenn die Lösung der Gleichung die GDV erfüllt und die Ungleichung nicht streng ist, dann wird die Grenze des Intervalls in die Lösung der Ungleichung eingeschlossen. Ansonsten nein.

Betrachtet man jedes Intervall, kann die Lösung der Ungleichung das Intervall selbst sein oder ein Halbintervall (wenn eine seiner Grenzen die Ungleichung erfüllt) oder ein Segment - ein Intervall zusammen mit seinen Grenzen.

Ein wichtiger Punkt

Denken Sie nicht, dass nur Intervalle, Halbintervalle und Liniensegmente eine Lösung für eine Ungleichung sein können. Nein, die Lösung kann einzelne Punkte beinhalten.

Zum Beispiel hat die Ungleichung | x | ≤0 nur eine Lösung – das ist der Punkt 0.

Und die Ungleichung | x |

Wozu dient der Ungleichungsrechner?

Der Ungleichungsrechner gibt die richtige endgültige Antwort. In diesem Fall wird in den meisten Fällen eine numerische Achse oder Ebene dargestellt. Es ist erkennbar, ob die Grenzen der Intervalle in der Lösung enthalten sind oder nicht - die Punkte werden ausgefüllt oder punktiert dargestellt.

Dank des Online-Ungleichungsrechners können Sie überprüfen, ob Sie die Wurzeln der Gleichung richtig gefunden, auf der Zahlenachse markiert und die Ungleichungsbedingung an den Intervallen (und Grenzen) überprüft haben?

Wenn Ihre Antwort von der Antwort des Taschenrechners abweicht, müssen Sie Ihre Entscheidung unbedingt überprüfen und den Fehler identifizieren.

Ungleichheit ist ein Zahlenverhältnis, das die Größe von Zahlen relativ zueinander veranschaulicht. Ungleichungen werden häufig bei der Suche nach Größen in den angewandten Wissenschaften verwendet. Unser Rechner hilft Ihnen bei einem so schwierigen Thema wie der Lösung linearer Ungleichungen.

Was ist Ungleichheit?

Ungleiche Verhältnisse im wirklichen Leben beziehen sich auf den ständigen Vergleich verschiedener Objekte: höher oder niedriger, weiter oder näher, schwerer oder leichter. Intuitiv oder visuell können wir verstehen, dass ein Objekt größer, höher oder schwerer ist als das andere, aber tatsächlich sprechen wir immer davon, Zahlen zu vergleichen, die die entsprechenden Werte charakterisieren. Sie können Objekte nach jedem Kriterium vergleichen und auf jeden Fall können wir eine numerische Ungleichung aufstellen.

Sind die Unbekannten unter bestimmten Bedingungen gleich, dann stellen wir zu ihrer numerischen Bestimmung eine Gleichung auf. Wenn nicht, können wir anstelle des "Gleichheitszeichens" jedes andere Verhältnis zwischen diesen Werten angeben. Zwei Zahlen oder mathematische Objekte können größer als ">", kleiner als " sein<» или равны «=» относительно друг друга. В этом случае речь идет о строгих неравенствах. Если же в неравных соотношениях присутствует знак равно и числовые элементы больше или равны (a ≥ b) или меньше или равны (a ≤ b), то такие неравенства называются нестрогими.

Ungleichheitszeichen in ihrer modernen Form wurden von dem britischen Mathematiker Thomas Garriot erfunden, der 1631 ein Buch über ungleiche Verhältnisse veröffentlichte. Zeichen größer als ">" und kleiner als "<» представляли собой положенные на бок буквы V, поэтому пришлись по вкусу не только математикам, но и типографам.

Ungleichungen lösen

Ungleichungen sind wie Gleichungen von unterschiedlicher Art. Lineare, quadratische, logarithmische oder exponentielle ungleiche Verhältnisse werden durch verschiedene Methoden entkoppelt. Unabhängig von der Methode muss jedoch jede Ungleichung zunächst auf eine einheitliche Form gebracht werden. Dazu werden identische Transformationen verwendet, die mit den Modifikationen der Gleichheiten identisch sind.

Identische Transformationen von Ungleichungen

Solche Transformationen von Ausdrücken sind dem Geist von Gleichungen sehr ähnlich, aber sie haben Nuancen, die beim Entkoppeln von Ungleichungen zu berücksichtigen sind.

Die erste identische Transformation ist identisch mit der analogen Operation mit Gleichheiten. Zu beiden Seiten eines ungleichen Verhältnisses können Sie dieselbe Zahl oder denselben Ausdruck mit einem unbekannten x addieren oder subtrahieren, während das Ungleichheitszeichen gleich bleibt. Am häufigsten wird diese Methode in vereinfachter Form als Übertragung der Terme eines Ausdrucks durch das Ungleichungszeichen mit einem Vorzeichenwechsel der Zahl ins Gegenteil verwendet. Dies bedeutet, dass sich das Vorzeichen des Termes selbst ändert, dh + R, wenn es durch ein beliebiges Ungleichheitszeichen übertragen wird, ändert sich in - R und umgekehrt.

Die zweite Transformation hat zwei Punkte:

1. Beide Seiten eines ungleichen Verhältnisses dürfen mit derselben positiven Zahl multipliziert oder dividiert werden. In diesem Fall ändert sich das Vorzeichen der Ungleichung selbst nicht.
2. Beide Seiten der Ungleichung dürfen mit derselben negativen Zahl geteilt oder multipliziert werden. Das Vorzeichen der Ungleichung selbst ändert sich ins Gegenteil.

Die zweite identische Transformation von Ungleichungen weist gravierende Unterschiede bei der Modifikation von Gleichungen auf. Erstens wird beim Multiplizieren / Dividieren mit einer negativen Zahl das Vorzeichen eines ungleichen Ausdrucks immer umgekehrt. Zweitens ist das Teilen oder Multiplizieren von Teilen einer Relation nur durch eine Zahl zulässig und nicht durch einen Ausdruck, der eine Unbekannte enthält. Tatsache ist, dass wir nicht sicher wissen können, ob sich hinter dem Unbekannten eine Zahl größer oder kleiner als Null verbirgt, daher wird die zweite identische Transformation ausschließlich auf Ungleichungen mit Zahlen angewendet. Schauen wir uns diese Regeln anhand von Beispielen an.

Beispiele für die Entfesselung von Ungleichheiten

Algebra-Zuweisungen enthalten eine Vielzahl von Ungleichungszuweisungen. Gegeben sei der Ausdruck:

6x - 3 (4x + 1)> 6.

Öffnen wir zunächst die Klammern und verschieben alle Unbekannten nach links und alle Zahlen nach rechts.

6x - 12x > 6 + 3

Wir müssen beide Seiten des Ausdrucks durch −6 teilen, damit sich das Ungleichungszeichen ins Gegenteil ändert, wenn das unbekannte x gefunden wird.

Bei der Lösung dieser Ungleichung haben wir beide identische Transformationen verwendet: alle Zahlen rechts vom Vorzeichen übertragen und beide Seiten des Verhältnisses durch eine negative Zahl geteilt.

Unser Programm ist ein Taschenrechner zum Lösen von numerischen Ungleichungen, die keine Unbekannten enthalten. Das Programm enthält die folgenden Sätze für die Verhältnisse von drei Zahlen:

• wenn ein< B то A–C< B–C;
• wenn A> B, dann A – C> B – C.

Anstatt die Elemente A – C zu subtrahieren, können Sie eine beliebige arithmetische Operation angeben: Addition, Multiplikation oder Division. Somit stellt der Rechner automatisch Ungleichungen von Summen, Differenzen, Produkten oder Brüchen dar.

Fazit

Im wirklichen Leben sind Ungleichungen so häufig wie Gleichungen. Im Alltag ist natürlich kein Wissen über die Auflösung von Ungleichungen erforderlich. Ungleichungen und ihre Systeme werden jedoch in den angewandten Wissenschaften häufig verwendet. So reduzieren sich verschiedene Studien zu den Problemen der Weltwirtschaft auf die Aufstellung und Entfesselung von Systemen linearer oder quadratischer Ungleichungen, und einige ungleiche Beziehungen dienen als eindeutiger Beweis für die Existenz bestimmter Objekte. Verwenden Sie unsere Programme, um lineare Ungleichungen zu lösen oder Ihre eigenen Berechnungen zu überprüfen.

Abstandsmethode- eine einfache Möglichkeit, fraktional-rationale Ungleichungen zu lösen. Dies ist der Name von Ungleichungen, die rationale (oder fraktional-rationale) Ausdrücke enthalten, die von einer Variablen abhängen.

1. Betrachten Sie zum Beispiel eine solche Ungleichung

Mit der Intervallmethode können Sie es in wenigen Minuten lösen.

Auf der linken Seite dieser Ungleichung steht eine gebrochene rationale Funktion. Rational, weil es keine Wurzeln, keine Sinus, keine Logarithmen enthält - nur rationale Ausdrücke. Rechts ist Null.

Die Intervallmethode basiert auf der folgenden Eigenschaft einer fraktionalen rationalen Funktion.

Eine gebrochene rationale Funktion kann das Vorzeichen nur an den Stellen ändern, an denen sie gleich Null ist oder nicht existiert.

Erinnern wir uns daran, wie das quadratische Trinom in Faktoren zerlegt wird, also einen Ausdruck der Form.

Wo und sind die Wurzeln der quadratischen Gleichung.

Zeichnen Sie die Achse und platzieren Sie die Punkte, an denen Zähler und Nenner verschwinden.

Die Nullstellen des Nenners und sind punktierte Punkte, da an diesen Stellen die Funktion auf der linken Seite der Ungleichung undefiniert ist (man kann nicht durch Null dividieren). Zählernullen und - werden gefüllt, da die Ungleichung nicht streng ist. Für und ist unsere Ungleichung erfüllt, da ihre beiden Seiten gleich Null sind.

Diese Punkte teilen die Achse in Intervalle.

Definieren wir das Vorzeichen der fraktional-rationalen Funktion auf der linken Seite unserer Ungleichung für jedes dieser Intervalle. Wir erinnern uns, dass eine gebrochen-rationale Funktion nur an den Stellen das Vorzeichen ändern kann, an denen sie gleich Null ist oder nicht existiert. Dies bedeutet, dass in jedem der Intervalle zwischen den Punkten, an denen der Zähler oder Nenner verschwindet, das Vorzeichen des Ausdrucks auf der linken Seite der Ungleichung konstant ist - entweder "Plus" oder "Minus".

Um das Vorzeichen der Funktion in jedem solchen Intervall zu bestimmen, nehmen wir daher jeden Punkt, der zu diesem Intervall gehört. Die für uns bequeme.
... Nehmen Sie zum Beispiel und überprüfen Sie das Vorzeichen des Ausdrucks auf der linken Seite der Ungleichung. Jede der "Klammern" ist negativ. Die linke Seite hat ein Schild.

Nächste Spanne:. Lassen Sie uns das Zeichen überprüfen. Wir bekommen, dass die linke Seite das Schild geändert hat.

Lass uns nehmen. Wenn der Ausdruck positiv ist, ist er daher während des gesamten Intervalls von bis positiv.

Denn die linke Seite der Ungleichung ist negativ.

Schließlich class = "tex" alt = "(! LANG: x> 7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

Wir fanden heraus, in welchen Abständen der Ausdruck positiv ist. Es bleibt die Antwort aufzuschreiben:

Antworten:.

Bitte beachten Sie, dass sich die Zeichen in den Leerzeichen abwechseln. Das ist passiert, weil beim Durchlaufen jedes Punktes änderte genau einer der linearen Faktoren das Vorzeichen und der Rest behielt es unverändert bei.

Wir sehen, dass die Abstandsmethode sehr einfach ist. Um die fraktional-rationale Ungleichung nach der Intervallmethode zu lösen, bringen wir sie in die Form:

Oder class = "tex" alt = "(! LANG: \ genfrac () () () (0) (\ displaystyle P \ left (x \ right)) (\ displaystyle Q \ left (x \ right))> 0"> !}, oder oder .

(links - eine gebrochene rationale Funktion, rechts - Null).

Dann - wir markieren auf dem Zahlenstrahl die Punkte, an denen der Zähler oder Nenner verschwindet.
Diese Punkte unterteilen den ganzen Zahlenstrahl in Intervalle, auf denen die gebrochene rationale Funktion jeweils ihr Vorzeichen behält.
Es bleibt nur das Vorzeichen in jedem Intervall herauszufinden.
Wir tun dies, indem wir das Vorzeichen des Ausdrucks an einer beliebigen Stelle des angegebenen Intervalls überprüfen. Danach schreiben wir die Antwort auf. Das ist alles.

Aber es stellt sich die Frage: Wechseln sich die Zeichen immer ab? Nein nicht immer! Man muss aufpassen, Schilder nicht mechanisch und gedankenlos zu platzieren.

2. Betrachten wir noch eine Ungleichung.

Class = "tex" alt = "(! LANG: \ genfrac () () () (0) (\ displaystyle \ left (x-2 \ right) ^ 2) (\ displaystyle \ left (x-1 \ right) \ links (x-3 \ rechts))> 0"> !}

Platzieren Sie die Punkte erneut auf der Achse. Die Punkte und sind ausgestanzt, weil sie die Nullen des Nenners sind. Der Punkt ist auch punktiert, da die Ungleichung streng ist.

Wenn der Zähler positiv ist, sind beide Faktoren im Nenner negativ. Sie können dies leicht überprüfen, indem Sie beispielsweise eine beliebige Zahl aus dem angegebenen Intervall nehmen. Auf der linken Seite befindet sich ein Schild:

Wenn der Zähler positiv ist; der erste Faktor im Nenner ist positiv, der zweite Faktor ist negativ. Auf der linken Seite befindet sich ein Schild:

Die Situation ist die gleiche! Der Zähler ist positiv, der erste Faktor im Nenner ist positiv, der zweite negativ. Auf der linken Seite befindet sich ein Schild:

Schließlich mit class = "tex" alt = "(! LANG: x> 3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Antworten:.

Warum wurde der Zeichenwechsel unterbrochen? Denn beim Durchfahren eines Punktes ist der Faktor "verantwortlich" dafür hat das Vorzeichen nicht geändert... Folglich hat auch die gesamte linke Seite unserer Ungleichung ihr Vorzeichen nicht geändert.

Ausgabe: Wenn der lineare Faktor eine gerade Potenz hat (zum Beispiel in einem Quadrat), ändert sich das Vorzeichen des Ausdrucks auf der linken Seite beim Durchgang durch einen Punkt nicht... Bei ungeradem Grad ändert sich natürlich das Vorzeichen.

3. Betrachten wir einen komplizierteren Fall. Sie unterscheidet sich von der vorherigen darin, dass die Ungleichung nicht streng ist:

Die linke Seite ist die gleiche wie in der vorherigen Aufgabe. Das Bild der Zeichen wird das gleiche sein:

Vielleicht wird die Antwort dieselbe sein? Nein! Eine Lösung wird hinzugefügt Dies liegt daran, dass sowohl die linke als auch die rechte Seite der Ungleichung gleich Null sind – daher ist dieser Punkt eine Lösung.

Antworten:.

Bei der Prüfungsaufgabe in Mathematik ist diese Situation häufig anzutreffen. Hier tappen Bewerber in die Falle und verlieren Punkte. Seien Sie vorsichtig!

4. Was ist, wenn Zähler oder Nenner nicht linearisiert werden können? Betrachten Sie diese Ungleichung:

Das quadratische Trinom kann nicht faktorisiert werden: die Diskriminante ist negativ, es gibt keine Wurzeln. Aber das ist gut! Das bedeutet, dass das Vorzeichen des Ausdrucks für alle gleich ist, und zwar positiv. Mehr dazu lesen Sie im Artikel zu den Eigenschaften einer quadratischen Funktion.

Und jetzt können wir beide Seiten unserer Ungleichheit durch einen für alle positiven Wert teilen. Kommen wir zu einer äquivalenten Ungleichung:

Was leicht mit der Methode der Intervalle zu lösen ist.

Bitte beachten Sie - wir haben beide Seiten der Ungleichung durch den Betrag geteilt, von dem wir sicher wussten, dass er positiv war. Im allgemeinen Fall lohnt es sich natürlich nicht, die Ungleichung mit einer Variablen, deren Vorzeichen unbekannt ist, zu multiplizieren oder zu dividieren.

5 ... Betrachten Sie eine andere scheinbar ganz einfache Ungleichung:

Ich möchte es nur multiplizieren. Aber wir sind schon schlau, und das werden wir nicht tun. Schließlich kann es sowohl positiv als auch negativ sein. Und wir wissen, dass sich das Vorzeichen der Ungleichung ändert, wenn beide Seiten der Ungleichung mit einem negativen Wert multipliziert werden.

Wir werden es anders machen – wir werden alles in einem Teil sammeln und auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Null bleibt auf der rechten Seite:

Class = "tex" alt = "(! LANG: \ genfrac () () () (0) (\ displaystyle x-2) (\ displaystyle x)> 0"> !}

Und danach - wir bewerben uns Intervallmethode.

In dem Artikel werden wir berücksichtigen Lösung von Ungleichungen... Wir informieren Sie auf zugängliche Weise über wie man eine Lösung für Ungleichungen konstruiert, mit anschaulichen Beispielen!

Bevor wir die Lösung von Ungleichungen anhand von Beispielen betrachten, wollen wir die grundlegenden Konzepte verstehen.

Allgemeine Informationen zu Ungleichheiten

Ungleichheit heißt ein Ausdruck, in dem Funktionen durch Beziehungszeichen>, verbunden sind. Ungleichungen sind sowohl numerisch als auch alphabetisch.
Ungleichungen mit zwei Zeichen einer Beziehung werden als doppelt bezeichnet, bei drei als dreifach usw. Beispielsweise:
a(x)> b(x),
a (x) a (x) b (x),
a(x) b(x).
a (x) Ungleichungen mit dem Vorzeichen> oder oder sind nicht streng.
Ungleichung lösen ist jeder Wert der Änderung, bei dem diese Ungleichung gilt.
"Ungleichung lösen"bedeutet, dass viele seiner Lösungen gefunden werden müssen. Es gibt verschiedene Methoden zur Lösung von Ungleichungen... Zum Lösungen für Ungleichheit Verwenden Sie den Zahlenstrahl, der unendlich ist. Beispielsweise, Lösung der Ungleichung x> 3 ist ein Intervall von 3 bis +, und die Zahl 3 ist in diesem Intervall nicht enthalten, daher wird ein Punkt auf einer Geraden durch einen leeren Kreis bezeichnet, da die Ungleichung ist streng.
+
Die Antwort lautet: x (3; +).
Der Wert x = 3 ist nicht in der Lösungsmenge enthalten, daher ist die Klammer rund. Das Unendlichkeitszeichen ist immer von einer Klammer umgeben. Das Zeichen bedeutet "Zugehörig".
Betrachten Sie anhand eines anderen vorzeichenbehafteten Beispiels, wie Sie Ungleichungen lösen können:
x 2
-+
Der Wert x = 2 ist in der Lösungsmenge enthalten, daher wird die eckige Klammer und ein Punkt auf der Linie durch einen ausgefüllten Kreis gekennzeichnet.
Die Antwort lautet: x)