Konvertierung von Ausdrücken, die Grad enthalten. Ausdrücke umwandeln

Betrachten wir das Thema der Transformation von Ausdrücken mit Potenzen, aber lassen Sie uns zunächst auf eine Reihe von Transformationen eingehen, die mit beliebigen Ausdrücken durchgeführt werden können, einschließlich exponentieller Ausdrücke. Wir werden lernen, Klammern zu öffnen, solche Begriffe einzubringen, mit der Basis und dem Exponenten zu arbeiten, die Eigenschaften von Graden zu verwenden.

Was sind Exponentialausdrücke?

V Schulkurs nur wenige Leute verwenden den Ausdruck "exponentielle Ausdrücke", aber dieser Begriff wird ständig in Sammlungen gefunden, um sich auf die Prüfung vorzubereiten. In den meisten Fällen bezeichnet ein Ausdruck Ausdrücke, die Abschlüsse in ihren Datensätzen enthalten. Wir werden dies in unserer Definition widerspiegeln.

Definition 1

Exponentieller Ausdruck Ist ein Ausdruck, der Grade enthält.

Hier sind einige Beispiele für exponentielle Ausdrücke, beginnend mit einem Grad mit einem natürlichen Exponenten und endend mit einem Grad mit einem reellen Exponenten.

Die einfachsten Potenzausdrücke können als Potenzen einer Zahl mit einem natürlichen Exponenten betrachtet werden: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (- 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 - a + a 2, x 3 - 1, (a 2) 3. Und auch Grad mit Nullexponent: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 - 3, 2 0. Und Grad mit Ganzen negative Grade: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Es ist etwas schwieriger, mit einem Abschluss zu arbeiten, der rationale und irrationale Indikatoren hat: 264 1 4 - 3 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 b 1 2, x π x 1 - π, 2 3 3 + 5.

Der Indikator kann die Variable 3 x - 54 - 7 3 x - 58 oder der Logarithmus sein x 2 l g x - 5 x l g x.

Mit der Frage, was Machtausdrücke sind, haben wir es herausgefunden. Kommen wir nun zur Konvertierung.

Grundtypen von Transformationen von Machtausdrücken

Zunächst betrachten wir die grundlegenden Identitätstransformationen von Ausdrücken, die mit exponentiellen Ausdrücken durchgeführt werden können.

Beispiel 1

Berechnen Sie den Wert des Exponentialausdrucks 2 3 (4 2 - 12).

Lösung

Wir werden alle Transformationen in Übereinstimmung mit der Reihenfolge der Aktionen durchführen. In diesem Fall führen wir zunächst die Aktionen in Klammern aus: Ersetzen Sie den Grad durch einen numerischen Wert und berechnen Sie die Differenz zwischen den beiden Zahlen. Wir haben 2 3 (4 2 - 12) = 2 3 (16 - 12) = 2 3 4.

Es bleibt uns überlassen, den Abschluss zu ersetzen 2 3 es bedeutet 8 und berechne das Produkt 8 4 = 32... Hier ist unsere Antwort.

Antworten: 2 3 (4 2 - 12) = 32.

Beispiel 2

Vereinfache den Ausdruck mit Potenzen 3 a 4 b - 7 - 1 + 2 a 4 b - 7.

Lösung

Der uns in der Problemstellung gegebene Ausdruck enthält ähnliche Begriffe, die wir angeben können: 3 a 4 b - 7 - 1 + 2 a 4 b - 7 = 5 a 4 b - 7 - 1.

Antworten: 3 a 4 b - 7 - 1 + 2 a 4 b - 7 = 5 a 4 b - 7 - 1.

Beispiel 3

Präsentieren Sie einen Ausdruck mit Potenzen von 9 - b 3 · π - 1 2 als Produkt.

Lösung

Stellen wir die Zahl 9 als Potenz dar 3 2 und wende die abgekürzte Multiplikationsformel an:

9 - b 3 - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Antworten: 9 - b 3 - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1.

Kommen wir nun zur Analyse identischer Transformationen, die sich präzise in Bezug auf Potenzausdrücke anwenden lassen.

Arbeiten mit Basis und Exponent

Ein Grad in der Basis oder im Exponenten kann Zahlen, Variablen und einige Ausdrücke enthalten. Zum Beispiel, (2 + 0, 3 7) 5 - 3, 7 und ... Es ist schwierig, mit solchen Aufzeichnungen zu arbeiten. Es ist viel einfacher, einen Ausdruck in der Basis einer Potenz oder einen Ausdruck in einem Exponenten durch dieselbe zu ersetzen gleicher Ausdruck.

Umrechnungen von Grad und Exponent erfolgen nach den uns bekannten Regeln getrennt voneinander. Das Wichtigste ist, dass als Ergebnis der Transformationen ein mit dem Original identischer Ausdruck erhalten wird.

Der Zweck von Transformationen besteht darin, den ursprünglichen Ausdruck zu vereinfachen oder eine Lösung für ein Problem zu erhalten. Zum Beispiel können Sie in dem oben angegebenen Beispiel (2 + 0, 3 7) 5 - 3, 7 den Schritten folgen, um zum Grad zu gelangen 4 , 1 1 , 3 ... Wenn wir die Klammern erweitern, können wir ähnliche Begriffe in der Basis des Grades angeben (a (a + 1) - a 2) 2 (x + 1) und erhalten einen exponentiellen Ausdruck einer einfacheren Form a 2 (x + 1).

Verwenden von Leistungseigenschaften

Potenzeigenschaften, die als Gleichheiten geschrieben werden, sind eines der wichtigsten Werkzeuge zur Transformation von Potenzausdrücken. Hier sind die wichtigsten, wenn man bedenkt, dass ein und B Sind positive Zahlen und R und S- beliebige reelle Zahlen:

Definition 2

a r a s = a r + s;
a r: a s = a r – s;
(a b) r = a r b r;
(a: b) r = a r: b r;
(a r) s = a r s.

In Fällen, in denen wir es mit natürlichen, ganzzahligen, positiven Exponenten zu tun haben, können die Beschränkungen für die Zahlen a und b viel weniger streng sein. Betrachten wir zum Beispiel die Gleichheit a m a n = a m + n, wo m und n Sind natürliche Zahlen, dann gilt es für alle Werte von a, sowohl positiv als auch negativ, sowie für a = 0.

Es ist möglich, die Eigenschaften von Graden ohne Einschränkungen anzuwenden, wenn die Basen der Grade positiv sind oder Variablen enthalten, deren zulässiger Wertebereich so ist, dass die darauf basierenden Basen nur positive Werte annehmen. Tatsächlich, innerhalb Lehrplan In der Mathematik besteht die Aufgabe des Studierenden darin, eine geeignete Eigenschaft auszuwählen und richtig anzuwenden.

Bei der Vorbereitung auf die Zulassung zu Hochschulen kann es zu Problemen kommen, bei denen die ungenaue Nutzung von Liegenschaften zu einer Einengung der ODZ und anderen Schwierigkeiten bei der Lösung führt. In diesem Abschnitt werden wir nur zwei solcher Fälle analysieren. Weitere Informationen zum Thema finden Sie im Thema "Ausdrücke mithilfe von Potenzeigenschaften transformieren".

Beispiel 4

Stellen Sie sich den Ausdruck vor a 2,5 (a 2) - 3: a - 5,5 als Abschluss mit Radix ein.

Lösung

Zuerst verwenden wir die Potenzierungseigenschaft und transformieren den zweiten Faktor damit (ein 2) - 3... Dann verwenden wir die Eigenschaften des Multiplizierens und Dividierens von Potenzen mit derselben Basis:

a 2, 5 a - 6: a - 5, 5 = a 2, 5 - 6: a - 5, 5 = a - 3, 5: a - 5, 5 = a - 3, 5 - (- 5, 5 ) = eine 2.

Antworten: a 2,5 (a 2) - 3: a - 5,5 = a 2.

Die Transformation von Exponentialausdrücken gemäß der Gradeigenschaft kann sowohl von links nach rechts als auch in die entgegengesetzte Richtung durchgeführt werden.

Beispiel 5

Ermitteln Sie den Wert des Exponentialausdrucks 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3.

Lösung

Wenn wir die Gleichheit anwenden (a b) r = a r b r, von rechts nach links, dann erhalten wir ein Produkt der Form 3 · 7 1 3 · 21 2 3 und weiter 21 1 3 · 21 2 3. Lassen Sie uns die Exponenten addieren, wenn wir Grade mit denselben Basen multiplizieren: 21 1 3 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.

Es gibt noch eine weitere Möglichkeit, Transformationen durchzuführen:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Antworten: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Beispiel 6

Der Exponentialausdruck ist gegeben a 1, 5 - a 0, 5 - 6, geben Sie eine neue Variable ein t = a 0,5.

Lösung

Stellen Sie sich den Abschluss vor ein 1, 5 wie ein 0,5 3... Wir verwenden die Eigenschaft von Grad zu Grad (a r) s = a r s von rechts nach links und wir erhalten (a 0, 5) 3: a 1, 5 - a 0, 5 - 6 = (a 0, 5) 3 - a 0, 5 - 6. Sie können ganz einfach eine neue Variable in den resultierenden Ausdruck eingeben. t = a 0,5: wir bekommen t 3 - t - 6.

Antworten: t 3 - t - 6.

Umwandeln von Brüchen, die Potenzen enthalten

Normalerweise haben wir es mit zwei Varianten von Exponentialausdrücken mit Brüchen zu tun: Der Ausdruck ist ein Bruch mit einer Potenz oder enthält einen solchen Bruch. Alle grundlegenden Transformationen von Brüchen sind auf solche Ausdrücke ohne Einschränkungen anwendbar. Sie können reduziert, auf einen neuen Nenner reduziert und getrennt mit Zähler und Nenner gearbeitet werden. Lassen Sie uns dies an Beispielen veranschaulichen.

Beispiel 7

Vereinfachen Sie den Exponentialausdruck 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2.

Lösung

Da es sich um einen Bruch handelt, führen wir Transformationen sowohl im Zähler als auch im Nenner durch:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Setzen Sie ein Minus vor den Bruch, um das Vorzeichen des Nenners zu ändern: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Antworten: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Brüche, die Potenzen enthalten, werden wie rationale Brüche auf einen neuen Nenner reduziert. Dazu müssen Sie einen zusätzlichen Faktor finden und Zähler und Nenner des Bruchs damit multiplizieren. Es ist notwendig, einen zusätzlichen Faktor so auszuwählen, dass er für keine Werte der Variablen aus den ODZ-Variablen für den ursprünglichen Ausdruck verschwindet.

Beispiel 8

Reduziere Brüche auf den neuen Nenner: a) a + 1 a 0, 7 auf den Nenner ein, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 zum Nenner x + 8 y 1 2.

Lösung

a) Wählen wir einen Faktor, der es uns ermöglicht, auf einen neuen Nenner zu reduzieren. a 0.7 a 0, 3 = a 0.7 + 0, 3 = a, daher nehmen wir als zusätzlichen Faktor ein 0, 3... Der Bereich gültiger Werte der Variablen a umfasst die Menge aller positiven reellen Zahlen. In diesem Bereich ist der Abschluss ein 0, 3 verschwindet nicht.

Wir multiplizieren Zähler und Nenner des Bruchs mit ein 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Achten Sie auf den Nenner:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Multiplizieren Sie diesen Ausdruck mit x 1 3 + 2 y 1 6, wir erhalten die Summe der Würfel x 1 3 und 2 y 1 6, d.h. x + 8 y 1 2. Dies ist unser neuer Nenner, auf den wir den ursprünglichen Bruch reduzieren müssen.

Wir haben also einen zusätzlichen Faktor x 1 3 + 2 · y 1 6 gefunden. Über den Bereich der zulässigen Werte von Variablen x und ja der Ausdruck x 1 3 + 2 y 1 6 verschwindet nicht, also können wir Zähler und Nenner des Bruchs damit multiplizieren:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Antworten: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2.

Beispiel 9

Verringern Sie den Bruch: a) 30 x 3 (x 0,5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0,5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Lösung

a) Wir verwenden den größten gemeinsamen Nenner (GCD), um den Zähler und Nenner reduziert werden können. Für die Nummern 30 und 45 ist dies 15. Wir können auch reduzieren um x 0,5 + 1 und auf x + 2 x 1 1 3 - 5 3.

Wir bekommen:

30 x 3 (x 0,5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0,5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0,5 + 1)

b) Hier ist das Vorhandensein der gleichen Faktoren nicht offensichtlich. Sie müssen einige Transformationen durchführen, um die gleichen Faktoren in Zähler und Nenner zu erhalten. Dazu erweitern wir den Nenner mit der Formel für die Quadratdifferenz:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Antworten: a) 30 x 3 (x 0,5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0,5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0,5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4.

Zu den wichtigsten Aktionen mit Brüchen gehören das Umwandeln in einen neuen Nenner und das Verringern von Brüchen. Beide Aktionen werden in Übereinstimmung mit einer Reihe von Regeln ausgeführt. Beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen werden zuerst die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht, wonach mit den Zählern Aktionen (Addition oder Subtraktion) ausgeführt werden. Der Nenner bleibt gleich. Das Ergebnis unserer Handlungen ist ein neuer Bruch, dessen Zähler das Produkt der Zähler und der Nenner das Produkt der Nenner ist.

Beispiel 10

Befolgen Sie die Schritte x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2.

Lösung

Beginnen wir mit der Subtraktion der Brüche, die in Klammern stehen. Bringen wir sie auf einen gemeinsamen Nenner:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Subtrahiere die Zähler:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Nun multiplizieren wir die Brüche:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Gradweise reduzieren x 1 2, erhalten wir 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1.

Außerdem können Sie den Exponentialausdruck im Nenner mit der Differenz der Quadrate vereinfachen: Quadratformel: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

Antworten: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Beispiel 11

Vereinfachen Sie den Exponentialausdruck x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3.
Lösung

Wir können den Bruch reduzieren auf (x 2, 7 + 1) 2... Wir erhalten den Bruch x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Konvertieren Sie die Grade von x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1 weiter. Jetzt können Sie die Eigenschaft der Potenzteilung mit den gleichen Basen verwenden: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1.

Wir gehen vom letzten Produkt zum Bruch x 1 3 8 x 2, 7 + 1 über.

Antworten: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

In den meisten Fällen ist es bequemer, Multiplikatoren mit negativen Exponenten vom Zähler auf den Nenner und umgekehrt zu übertragen und das Vorzeichen des Exponenten zu ändern. Mit dieser Aktion können Sie die weitere Lösung vereinfachen. Hier ein Beispiel: Der Exponentialausdruck (x + 1) - 0, 2 3 x - 1 kann durch x 3 (x + 1) 0, 2 ersetzt werden.

Umwandeln von Ausdrücken mit Wurzeln und Potenzen

In Problemen gibt es Potenzausdrücke, die nicht nur Potenzen mit enthalten Bruchindikatoren aber auch die Wurzeln. Es ist wünschenswert, solche Ausdrücke nur auf Wurzeln oder nur auf Grade zu reduzieren. Der Übergang zu Abschlüssen ist vorzuziehen, da sie einfacher zu handhaben sind. Ein solcher Übergang ist besonders bevorzugt, wenn die LDV der Variablen für den ursprünglichen Ausdruck das Ersetzen der Wurzeln durch Potenzen ermöglicht, ohne dass auf das Modul Bezug genommen oder die LDV in mehrere Intervalle aufgeteilt werden muss.

Beispiel 12

Stellen Sie sich den Ausdruck x 1 9 x x 3 6 als Potenz vor.

Lösung

Variabler Bereich x wird durch zwei Ungleichungen definiert x ≥ 0 und x x 3 ≥ 0, die die Menge definieren [ 0 , + ∞) .

Bei diesem Set haben wir das Recht, von Wurzeln zu Kräften zu gelangen:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x x 1 3 1 6

Mit den Eigenschaften der Grade vereinfachen wir den resultierenden Exponentialausdruck.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 X 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Antworten: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3.

Umrechnung von Potenzen mit Exponentenvariablen

Diese Transformationen sind recht einfach durchzuführen, wenn die Eigenschaften des Grades richtig verwendet werden. Zum Beispiel, 5 2 x + 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x - 1 = 0.

Wir können das Produkt des Grades ersetzen, nach dem es die Summe einer Variablen und einer Zahl gibt. Auf der linken Seite kann dies mit dem ersten und letzten Term auf der linken Seite des Ausdrucks erfolgen:

5 2 x 5 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x 7 - 1 = 0,5 5 2 x - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x = 0.

Nun teilen wir beide Seiten der Gleichheit durch 7 2 x... Dieser Ausdruck auf der ODZ der Variablen x nimmt nur positive Werte an:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x, 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0,5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Wenn wir die Brüche mit Potenzen reduzieren, erhalten wir: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0.

Schließlich ist das Verhältnis der Grade mit die gleichen Indikatoren durch die Potenzen der Verhältnisse ersetzt, was zu der Gleichung 5 · 5 7 2 · x - 3 · 5 7 x - 2 = 0 führt, was 5 · 5 7 x 2 - 3 · 5 7 x - 2 . entspricht = 0.

Führen Sie eine neue Variable t = 5 7 x ein, die die Lösung auf das Original reduziert Exponentialgleichung zur Lösung der quadratischen Gleichung 5 · t 2 - 3 · t - 2 = 0.

Konvertieren Sie Ausdrücke mit Potenzen und Logarithmen

Ausdrücke, die Grade und Logarithmen enthalten, werden auch in Problemen gefunden. Beispiele für solche Ausdrücke sind: 1 4 1 - 5 · log 2 3 oder log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3. Die Transformation solcher Ausdrücke erfolgt mit den oben diskutierten Ansätzen und Eigenschaften von Logarithmen, die wir im Thema "Logarithmische Ausdrücke umrechnen" ausführlich besprochen haben.

Wenn Sie einen Fehler im Text bemerken, wählen Sie ihn aus und drücken Sie Strg + Eingabetaste

Thema: " Umwandeln von Ausdrücken, die Exponenten mit gebrochenen Exponenten enthalten "

„Lasst jemand versuchen, Abschlüsse aus der Mathematik zu löschen, und er wird sehen, dass man ohne sie nicht weit kommt.“ (M. V. Lomonosov)

Unterrichtsziele:

lehrreich: das Wissen der Studierenden zum Thema „Abschluss mit“ zu verallgemeinern und zu systematisieren rationaler Indikator"; Kontrollieren Sie den Grad der Assimilation des Materials; beseitigen Sie Lücken in den Kenntnissen und Fähigkeiten der Schüler;

Entwicklung: die Fähigkeiten der Schüler zur Selbstkontrolle zu entwickeln; eine Atmosphäre des Interesses jedes Schülers an der Arbeit zu schaffen, zu entwickeln kognitive Aktivität Studenten;

lehrreich: wecken das Interesse am Fach, an der Geschichte der Mathematik.

Unterrichtstyp: Unterricht in Verallgemeinerung und Systematisierung von Wissen

Ausstattung: Notenblätter, Karten mit Aufgaben, Decoder, Kreuzworträtsel für jeden Schüler.

Vorbereitende Vorbereitung: Die Klasse wird in Gruppen eingeteilt, in jeder Gruppe ist der Leiter ein Berater.

WÄHREND DER KURSE

ICH. Zeit organisieren.

Lehrer: Wir haben die Studie zum Thema "Grad mit rationalem Exponenten und seine Eigenschaften" abgeschlossen. Ihre Aufgabe in dieser Lektion besteht darin, zu zeigen, wie Sie den Lernstoff erlernt haben und wie Sie die gewonnenen Erkenntnisse zur Lösung konkreter Probleme anwenden können. Jeder von euch hat einen Spielberichtsbogen auf dem Tisch. Darin tragen Sie Ihre Note für jede Unterrichtsstufe ein. Am Ende der Lektion werden Sie exponieren Durchschnittsnote pro Unterrichtsstunde.

Bewertungspapier

	Kreuzworträtsel	Sich warm laufen	In ... Arbeiten Notizbücher	Gleichungen	Überprüfe dich selbst (s \ r)

II. Untersuchung Hausaufgaben.

Gegenseitige Prüfung mit Bleistift in der Hand, die Antworten werden von den Studierenden vorgelesen.

III. Aktualisierung des Wissens der Schüler.

Lehrer: Der berühmte französische Schriftsteller Anatole France sagte einmal: "Lernen muss Spaß machen. ... Um Wissen aufzunehmen, muss man es mit Appetit aufnehmen."

Wiederholen wir die notwendigen theoretischen Informationen im Zuge der Lösung des Kreuzworträtsels.

Waagerecht:

1. Die Aktion, mit der der Gradwert berechnet wird (Erektion).

2. Ein Produkt, das aus den gleichen Faktoren besteht (Grad).

3. Die Wirkung von Exponenten bei der Erhöhung eines Grades auf einen Grad (Arbeit).

4. Wirkung von Graden, bei denen Exponenten subtrahiert werden (Aufteilung).

Vertikal:

5. Die Anzahl der gleichen Faktoren (Index).

6. Grad mit Nullexponent (Einheit).

7. Doppelter Multiplikator (Base).

8. Wert 10 5: (2 3 5 5) (vier).

9. Ein Exponent, der normalerweise nicht geschrieben wird (Einheit).

NS. Mathematisches Aufwärmen.

Lehrer. Wiederholen wir die Definition des Grades mit einem rationalen Exponenten und seinen Eigenschaften, wir werden die folgenden Aufgaben ausführen.

1. Stellen Sie den Ausdruck x 22 als Produkt von zwei Grad mit der Basis x dar, wenn einer der Faktoren ist: x 2, x 5,5, x 1 \ 3, x 17,5, x 0

2. Vereinfachen:

b) y 5 \ 8 y 1 \ 4: y 1 \ 8 = y

c) s 1,4 s -0,3 s 2,9

3. Berechnen und bilden Sie ein Wort mit einem Decoder.

Nach Abschluss dieser Aufgabe erfahren Sie den Namen des deutschen Mathematikers, der den Begriff „Exponent“ eingeführt hat.

1) (-8) 1\3 2) 81 1\2 3) (3\5) -1 4) (5\7) 0 5) 27 -1\3 6) (2\3) -2 7) 16 1\2 * 125 1\3

Wort: 1234567 (Stift)

V. Schriftliche Arbeiten in Heften (Antworten offen an der Tafel) .

Aufgaben:

1. Vereinfachen Sie den Ausdruck:

(x-2): (x 1 \ 2 -2 1 \ 2) (y-3): (y 1 \ 2 - 3 1 \ 2) (x-1): (x 2 \ 3 -x 1 \ 3 +1)

2. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks:

(x 3 \ 8 x 1 \ 4 :) 4 bei x = 81

Vi. Gruppenarbeit.

Übung. Lösen Sie Gleichungen und bilden Sie ein Wort mit einem Decoder.

Kartennummer 1

Wort: 1234567 (Diophant)

Kartennummer 2

Kartennummer 3

Wort: 123451 (Newton)

Decoder

Lehrer. Alle diese Wissenschaftler haben zur Entwicklung des Konzepts des "Abschlusses" beigetragen.

Vii. Historische Informationen zur Entwicklung des Begriffs des Abschlusses (Studentenbotschaft).

Das Konzept eines Abschlusses mit einem natürlichen Indikator wurde bereits bei den alten Völkern gebildet. Quadrat- und Würfelzahlen wurden verwendet, um Flächen und Volumina zu berechnen. Die Grade einiger Zahlen wurden von Wissenschaftlern verwendet, um bestimmte Probleme zu lösen. Antikes Ägypten und Babylon.

Im III. Jahrhundert wurde das Buch des griechischen Wissenschaftlers Diophantus "Arithmetik" veröffentlicht, das den Grundstein für die Einführung der alphabetischen Symbolik legte. Diophantus führt Symbole für die ersten sechs Potenzen des Unbekannten und ihre gegenseitigen Werte ein. In diesem Buch wird ein Quadrat durch ein Zeichen mit einem Index r bezeichnet; der Würfel hat das Zeichen k mit dem Index r und so weiter.

Aus der Praxis, komplexere algebraische Probleme zu lösen und mit Graden zu arbeiten, wurde es notwendig, den Begriff des Grades zu verallgemeinern und durch die Einführung von Null-, negativen und Bruchzahlen als Exponenten zu erweitern. Die Idee, das Konzept eines Abschlusses auf einen Abschluss mit einem unnatürlichen Exponenten der Mathematik zu verallgemeinern, kam nach und nach.

Bruchexponenten und die einfachsten Handlungsregeln für Potenzen mit Bruchexponenten finden sich bei dem französischen Mathematiker Nicholas Orem (1323–1382) in seinem Werk „Algorithm of Proportions“.

Gleichheit und 0 = 1 (für und ungleich 0) wurde in seinen Schriften zu Beginn des 15. Jahrhunderts von dem samarkandischen Wissenschaftler Giyasaddin Kashi Dzhemshid verwendet. Unabhängig von ihm wurde der Nullindikator im 15. Jahrhundert von Nikolai Shuke eingeführt. Es ist bekannt, dass Nikolai Shuke (1445–1500) Grade mit negativen und Null-Exponenten betrachtete.

Später finden sich gebrochene und negative Exponenten in „Vollständige Arithmetik“ (1544) des deutschen Mathematikers M. Stiefel und in Simon Stevin. Simon Stevin schlug vor, eine 1/n-Wurzel zu meinen.

Der deutsche Mathematiker M. Stiefel (1487–1567) definierte eine 0 = 1 bei und führte den Namen des Exponenten ein (dies ist eine wörtliche Übersetzung des deutschen Exponenten). Potenzieren heißt auf Deutsch potenzieren.

Ende des 16. Jahrhunderts führte François Viet Buchstaben ein, um nicht nur Variablen, sondern auch deren Koeffizienten zu bezeichnen. Er verwendete Abkürzungen: N, Q, C - für den ersten, zweiten und dritten Grad. Aber moderne Bezeichnungen (wie eine 4, eine 5) im XVII wurden von Rene Descartes eingeführt.

Moderne Definitionen und Notationen von Graden mit Null-, negativen und gebrochenen Exponenten stammen aus der Arbeit der englischen Mathematiker John Wallis (1616-1703) und Isaac Newton (1643-1727).

Zur Ratsamkeit der Einführung von Null-, Negativ- und Bruchindikatoren und moderne Symbole erstmals ausführlich 1665 von dem englischen Mathematiker John Wallis geschrieben. Sein Geschäft wurde von Isaac Newton abgeschlossen, der begann, neue Symbole systematisch anzubringen, woraufhin sie allgemein verwendet wurden.

Die Einführung eines Abschlusses mit rationalem Exponenten ist eines von vielen Beispielen für die Verallgemeinerung der Konzepte mathematischen Handelns. Ein Grad mit null, negativem und gebrochenem Exponenten wird so bestimmt, dass auf ihn die gleichen Wirkungsregeln angewendet werden wie für einen Grad mit natürlichem Exponenten, d.h. damit die Grundeigenschaften des ursprünglich definierten Gradbegriffs erhalten bleiben.

Die Neudefinition eines Grades mit rationalem Exponenten widerspricht nicht der alten Definition eines Grades mit natürlichem Exponenten, d.h. die Bedeutung einer Neudefinition eines Grades mit rationalem Exponenten bleibt für den Sonderfall eines Grades mit . erhalten ein natürlicher Exponent. Dieses Prinzip, das bei der Verallgemeinerung mathematischer Konzepte beachtet wird, wird als Prinzip der Beständigkeit (Bewahrung der Konstanz) bezeichnet. Sie wurde 1830 vom englischen Mathematiker J. Peacock in unvollkommener Form ausgedrückt, vollständig und eindeutig von dem deutschen Mathematiker H. Hankel 1867 aufgestellt.

VIII. Überprüfe dich selbst.

Selbstständige Arbeit durch Karten (Antworten offen an der Tafel) .

Variante 1

1. Berechnen: (1 Punkt)

(a + 3a 1 \ 2): (a 1 \ 2 +3)

Option 2

1. Berechnen: (1 Punkt)

2. Vereinfachen Sie den Ausdruck: je 1 Punkt

a) x 1,6 x 0,4 b) (x 3 \ 8) -5 \ 6

3. Lösen Sie die Gleichung: (2 Punkte)

4. Vereinfachen Sie den Ausdruck: (2 Punkte)

5. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: (3 Punkte)

IX. Zusammenfassung der Lektion.

Welche Formeln und Regeln sind Ihnen in der Lektion in Erinnerung geblieben?

Analysieren Sie Ihre Arbeit in der Lektion.

Bewertet wird die Arbeit der Studierenden im Unterricht.

NS. Hausaufgaben... К: Р IV (Wiederholung) Art. 156-157 Nr. 4 (a-c), Nr. 7 (a-c),

Optional: Nr. 16

Anwendung

Bewertungspapier

F / I / Student __________________________________________

	Kreuzworträtsel	Sich warm laufen	In ... Arbeiten Notizbücher	Gleichungen	Überprüfe dich selbst (s \ r)

Kartennummer 1

1) X 1 \ 3 = 4; 2) y -1 = 3 \ 5; 3) a 1 \ 2 = 2 \ 3; 4) x –0,5 x 1,5 = 1; 5) y 1 \ 3 = 2; 6) a 2 \ 7 und 12 \ 7 = 25; 7) a 1 \ 2: a = 1 \ 3

Decoder

Kartennummer 2

1) X 1 \ 3 = 4; 2) y-1 = 3; 3) (x + 6) 1 \ 2 = 3; 4) y 1 \ 3 = 2; 5) (y-3) 1 \ 3 = 2; 6) a 1 \ 2: a = 1 \ 3

Decoder

Kartennummer 3

1) a 2 \ 7 und 12 \ 7 = 25; 2) (x-12) 1 \ 3 = 2; 3) x –0,7 x 3,7 = 8; 4) a 1 \ 2: a = 1 \ 3; 5) a 1 \ 2 = 2 \ 3

Decoder

Kartennummer 1

1) X 1 \ 3 = 4; 2) y -1 = 3 \ 5; 3) a 1 \ 2 = 2 \ 3; 4) x –0,5 x 1,5 = 1; 5) y 1 \ 3 = 2; 6) a 2 \ 7 und 12 \ 7 = 25; 7) a 1 \ 2: a = 1 \ 3

Decoder

Kartennummer 2

1) X 1 \ 3 = 4; 2) y-1 = 3; 3) (x + 6) 1 \ 2 = 3; 4) y 1 \ 3 = 2; 5) (y-3) 1 \ 3 = 2; 6) a 1 \ 2: a = 1 \ 3

Decoder

Kartennummer 3

1) a 2 \ 7 und 12 \ 7 = 25; 2) (x-12) 1 \ 3 = 2; 3) x –0,7 x 3,7 = 8; 4) a 1 \ 2: a = 1 \ 3; 5) a 1 \ 2 = 2 \ 3

Decoder

Kartennummer 1

1) X 1 \ 3 = 4; 2) y -1 = 3 \ 5; 3) a 1 \ 2 = 2 \ 3; 4) x –0,5 x 1,5 = 1; 5) y 1 \ 3 = 2; 6) a 2 \ 7 und 12 \ 7 = 25; 7) a 1 \ 2: a = 1 \ 3

Decoder

Kartennummer 2

1) X 1 \ 3 = 4; 2) y-1 = 3; 3) (x + 6) 1 \ 2 = 3; 4) y 1 \ 3 = 2; 5) (y-3) 1 \ 3 = 2; 6) a 1 \ 2: a = 1 \ 3

Decoder

Kartennummer 3

1) a 2 \ 7 und 12 \ 7 = 25; 2) (x-12) 1 \ 3 = 2; 3) x –0,7 x 3,7 = 8; 4) a 1 \ 2: a = 1 \ 3; 5) a 1 \ 2 = 2 \ 3

Decoder

Variante 1

1. Berechnen: (1 Punkt)

2. Vereinfachen Sie den Ausdruck: je 1 Punkt

a) x 1 \ 2 x 3 \ 4 b) (x -5 \ 6) -2 \ 3

c) x -1 \\ 3: x 3/4 d) (0,04x 7 \\ 8) -1 \\ 2

3. Lösen Sie die Gleichung: (2 Punkte)

4. Vereinfachen Sie den Ausdruck: (2 Punkte)

(a + 3a 1 \ 2): (a 1 \ 2 +3)

5. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: (3 Punkte)

(Y 1 \ 2 -2) -1 - (Y 1 \ 2 +2) -1 bei y = 18

Option 2

1. Berechnen: (1 Punkt)

2. Vereinfachen Sie den Ausdruck: je 1 Punkt

a) x 1,6 x 0,4 b) (x 3 \ 8) -5 \ 6

c) x 3 \ 7: x -2 \ 3 d) (0,008x -6 \ 7) -1 \ 3

3. Lösen Sie die Gleichung: (2 Punkte)

4. Vereinfachen Sie den Ausdruck: (2 Punkte)

(in 1,5 s - Sonne 1,5): (in 0,5 - s 0,5)

5. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: (3 Punkte)

(x 3 \ 2 + x 1 \ 2): (x 3 \ 2 -x 1 \ 2) bei x = 0,75

Bildungseinrichtung der Stadtregierung

die Hauptsache allgemein bildende Schule № 25

Algebra-Lektion

Thema:

« Umwandeln von Ausdrücken, die Exponenten mit gebrochenen Exponenten enthalten "

Entwickelt von:

Mathematiklehrer

höchste zuValidierungskategorie

Knoten

2013

Unterrichtsthema: Konvertieren von Ausdrücken mit gebrochenen Exponenten

Der Zweck des Unterrichts:

1. Weiterentwicklung von Fähigkeiten, Kenntnissen, Fähigkeiten der Transformation von Ausdrücken, die Grade mit gebrochenen Indikatoren enthalten

2. Entwicklung der Fehlerfindungsfähigkeit, Entwicklung des Denkens, der Kreativität, der Sprache, der Computerfähigkeiten

3. Erziehung zur Selbständigkeit, Interesse am Thema, Aufmerksamkeit, Genauigkeit.

ÜNB: eine Magnettafel, Kontrollkarten, Tische, Einzelkarten, Schüler haben blanko signierte Blätter für die individuelle Arbeit auf dem Tisch, ein Kreuzworträtsel, Tische zum mathematischen Aufwärmen, ein Multimedia-Projektor.

Unterrichtstyp: Sicherung der ZUN.

Unterrichtsplan rechtzeitig

1. Organisatorische Momente (2 min)

2. Hausaufgabenkontrolle (5 min)

3. Kreuzworträtsel lösen (3 Min.)

4. Mathe-Aufwärmen (5 Min.)

5. Lösung von frontalen Kräftigungsübungen (7 min)

6. Einzelarbeit (10 min)

7. Wiederholungsübungslösung (5 min)

8. Zusammenfassung der Lektion (2 Minuten)

9. Hausaufgaben (1 min)

Während des Unterrichts

1) Überprüfung der Hausaufgaben in Form eines Peer Reviews ... Gute Schüler überprüfen die Hefte schwacher Kinder. Und die Schwachen überprüfen die Starken nach dem Vorbild der Kontrollkarte. Hausaufgaben werden in zwei Versionen gegeben.

ich Option die Aufgabe ist nicht schwer

II Option die Aufgabe ist schwierig

Als Ergebnis der Überprüfung unterstreichen die Jungs die Fehler mit einem einfachen Bleistift und geben eine Note. Schließlich überprüfe ich die Arbeit, nachdem die Jungs nach dem Unterricht ihre Notizbücher übergeben haben. Ich frage die Jungs nach den Ergebnissen ihrer Überprüfung und setze Noten für diese Art von Arbeit in meine Übersichtstabelle.

2) Zur Überprüfung des theoretischen Materials wird ein Kreuzworträtsel angeboten..

Vertikal:

1. Die Multiplikationseigenschaft, die verwendet wird, wenn ein Monom mit einem Polynom multipliziert wird?

2. Die Wirkung von Exponenten bei der Erhöhung eines Grades zu einem Exponenten?

3. Ein Null-Punkte-Abschluss?

4. Ein Produkt, das aus den gleichen Faktoren besteht?

Waagerecht:

5. Wurzel n - Grad einer nicht-negativen Zahl?

6. Die Wirkung von Exponenten beim Multiplizieren von Graden?

7. Die Wirkung von Exponenten beim Teilen von Graden?

8. Die Anzahl der gleichen Faktoren?

3) Mathe-Aufwärmen

a) Führen Sie die Berechnung durch und verwenden Sie die Chiffre, um das in der Aufgabe versteckte Wort zu lesen.

Auf der Tafel vor Ihnen steht ein Tisch. Die Tabelle in Spalte 1 enthält Beispiele, die berechnet werden müssen.

Schlüssel zur Tabelle


491/2
27-1/3
4*81/3
5*25-1/2
7*82/3
(49/144)1/2	7/12
(27*64)1/3







7/12

Und schreibe die Antwort in die Spalte II, und in Spalte III Setzen Sie den Buchstaben, der dieser Antwort entspricht.

Lehrer: Also das verschlüsselte Wort "Abschluss". In der nächsten Aufgabe arbeiten wir mit dem 2. und 3. Grad

b) Das Spiel "Schauen Sie sich nicht irre"

Setzen Sie eine Zahl statt Punkte

a) x = (x ...) 2; b) a3 / 2 = (a1 / 2) ...; c) a = (a1 / 3) ...; d) 5 ... = (51/4) 2; e) 34/3 = (34/9) ...; f) 74/5 = (7 ...) 2; g) x1 / 2 = (x ...) 2; h) y1 / 2 = (y ...) 2

Finden wir den Fehler:

A1 / 4 - 2a1 / 2 + 1 = (a1 /

Also, Leute, was musste angewendet werden, um diese Aufgabe abzuschließen:

Gradeigenschaft: Beim Potenzieren eines Grads werden die Indikatoren multipliziert;

4) Kommen wir nun zur frontalen Schreibarbeit. unter Verwendung der Ergebnisse früherer Arbeiten. Öffnen Sie Notizbücher, notieren Sie die Nummer, das Thema der Lektion.

№ 000

a) a - b = (a1 / 2) 2 - (b1 / 2) 2 = (a1 / 2 - b1 / 2) * (a1 / 2 + b1 / 2)

b) a - c = (a1 / 3) 3 - (b1 / 3) 3 = (a1 / 3 - b1 / 3) * (a2 / 3 + a1 / 3 b1 / 3 + b2 / 3)

Nr. 000 (a, c, d, e)

ein ) m2 - 5 = m2 - (m1 / 2) 2 = (m - 51/2) * (m + 51/2)

c) a3 - 4 = (a3 / 2) 2 - 22 = (a3 / 2 - 2) * (a3 / 2 +2)

d) x2 / 5 - y4 / 5 = (x1 / 5) 2 - (y2 / 5) 2 = (x1 / 5 - y2 / 5) * (x1 / 5 + y2 / 5)

e) 4 - a = 22 - (a1 / 2) 2 = (2 - a1 / 2) * (2 + a1 / 2)

Nr. 000 (a, d, f)

a) x3 - 2 = x3 - (21/3) 3 = (x - 21/3) * (x2 + 21/3 x + 22/3)

d) a6 / 5 + 27 = (a2 / 5) 3 + 33 = (a2 / 5 + 3) * (a4 / 3 - 3 a2 / 5 + 9)

f) 4 + y = (41/3) 3 + (y1 / 3) 3 = (41/3 + y1 / 3) * (42/3 + 41/3 y1 / 3 + y2 / 3)

Grad

5) Bearbeiten Sie einzelne Karten in vier Optionen auf separaten Blättern

Aufgaben mit unterschiedlichen Schwierigkeitsgraden werden ohne Anweisung des Lehrers ausgeführt.

Ich überprüfe gleich die Arbeit und schreibe die Noten in meinen Tisch und auf die Zettel der Jungs.

Nr. 000 (a, c, d, h)

a) 4 * 31/2 / (31/2 - 3) = 4 * 31/2/31/2 * (1 - 31/2) = 4 / (1 - 31/2)

c) x + x1 / 2 / 2x = x1 / 2 * (x1 / 2 + 1) / 2 * (x1 / 2) 2 = (x1 / 2 + 1) / 2x1 / 2

e) (a2 / 3 - b2 / 3) / (a1 / 3 + b1 / 3) = (a1 / 3) 2 - (b1 / 3) 2 / (a1 / 3 + b1 / 3) = (a1 / 3 + b1 / 3) * (a1 / 3 - b1 / 3) / (a1 / 3 + b1 / 3) = a1 / 3 - b1 / 3

h) (x2 / 3 - x1 / 3 y1 / 3 + y2 / 3) / (x + y) = ((x1 / 3) 2 - x1 / 3 y1 / 3 + (y1 / 3) 2) / (( x1 / 3) 3 + (y1 / 3) 3) = ((x1 / 3) 2 - x1 / 3 y1 / 3 + (y1 / 3) 2) / (x1 / 3 + y1 / 3) * ((x1 / 3) 2 - x1 / 3 y1 / 3 + (y1 / 3) 2) = 1 / (x1 / 3 + y1 / 3)

7) Arbeite an einzelnen Karten mit unterschiedlichen Schwierigkeitsgraden... In einigen Übungen gibt es Lehrerempfehlungen, da der Stoff kompliziert ist und schwache Kinder die Arbeit nur schwer bewältigen können

Es gibt auch vier Optionen. Die Bewertung erfolgt sofort. Ich habe alle Noten in die Tabelle eingetragen.

Problemnummer aus der Sammlung

Der Lehrer stellt Fragen:

1. Was soll in dem Problem gefunden werden?

2. Was müssen Sie dazu wissen?

3. Wie drückt man die Zeit von 1 Fußgänger und 2 Fußgängern aus?

4. Vergleichen Sie die Zeit von 1 und 2 Fußgängern entsprechend dem Zustand des Problems und stellen Sie eine Gleichung auf.

Die Lösung des Problems:

Sei x (km/h) die Geschwindigkeit von 1 Fußgänger

X +1 (km / h) - Geschwindigkeit von 2 Fußgängern

4 / x (h) - Fußgängerzeit

4 / (x +1) (h) - Zeit des zweiten Fußgängers

Durch die Bedingung des Problems 4 / x> 4 / (x +1) für 12 min

12 Minuten = 12/60 Stunden = 1/5 Stunden

Wir machen die Gleichung

X / 4 - 4 / (x +1) = 1/5

NOZ: 5x (x +1) ≠ 0

5 * 4 * (x + 1) - 5 * 4x = x * (x + 1)

20x + 20 - 20x - x2 - x = 0

X2 + x –20 = 0

D = 1 - 4 * (-20) = 81,81> 0,2 k

х1 = (-1 -√81) / (- 2) = 5 km / h - Geschwindigkeit von 1 Fußgänger

x2 = (-1 + √81) / (- 2) = 4 - passt nicht im Sinne des Problems, da x> 0

Antwort: 5 km/h - Geschwindigkeit von 2 Fußgängern

9) Zusammenfassung der Lektion: Also, Leute, heute haben wir in der Lektion das Wissen, die Fähigkeiten und die Fähigkeiten zur Transformation von Ausdrücken mit Graden gefestigt, die abgekürzten Multiplikationsformeln verwendet, den gemeinsamen Faktor aus den Klammern genommen und das behandelte Material wiederholt. Ich weise auf die Vor- und Nachteile hin.

Fassen Sie die Lektion in der Tabelle zusammen.

Kreuzworträtsel	Matte. sich warm laufen	Vorderseite. Arbeit	Ind. Arbeit K-1	Ind. Arbeit K-2

10) Ich gebe die Noten bekannt. Hausaufgaben

Einzelkarten K - 1 und K - 2

Ich ändere B - 1 und B - 2; B - 3 und B - 4, da sie gleichwertig sind

Anhänge zum Unterricht.

1) Hausaufgabenkarten

1.vereinfachen

a) (x1 / 2 - y1 / 2) 2 + 2x1 / 2 y1 / 2

b) (a3 / 2 + 5a1 \ 2) 2 - 10a2

2.als Summe präsentieren

a) a1 / 3 c1 \ 4 * (b2 / 3 + c3 / 4)

b) (a1 / 2 - b1 / 2) * (a + a1 / 2 b1 \ 2 + c)

3. Ziehen Sie den gemeinsamen Faktor heraus

c) 151/3 +201/3

1.vereinfachen

a) m + √n - (m1 / 4 - n1 / 4) 2

b) (a1 / 4 + b1 / 4) * (a1 / 8 + b1 / 8) * (a1 \ 8 - b1 / 8)

2.als Summe präsentieren

a) x0,5 y0,5 * (x-0,5 - y1,5)

b) (x1 / 3 + y1 / 3) * (x2 \ 3 - x1 / 3 y1 \ 3 + y2 / 3)

3. Entfernen Sie den gemeinsamen Faktor aus den Klammern

b) c1 \ 3 - c

c) (2a) 1/3 - (5a) 1/3

2) Steuerkarte für B - 2

a) m + n - (m 1 | 4 - n 1 | 4) 2 = m 1 | 2 + n 1 | 2 - ((m 1 | 2) 2 - 2 m 1/4 n 1/4 + (n 1/2) 2) = m 1/2 + n 1/2 - m 1/2 + 2 m 1/4 n 1/4 - n 1/2 = 2 m 1/4 n 1/4

b) (a1 / 4 + b1 / 4) * (a1 / 8 + b1 / 8) * (a1 / 8 - b1 / 8) = (a1 / 4 + b1 / 4) * (a1 / 8) 2 - ( b1 / 8) 2 = (a1 / 4 + b1 / 4) * (a1 / 4 - b1 / 4) = (a1 / 4) 2 - (b1 / 4) 2 = a1 / 2 - b1 / 2

a) x0,5 y0,5 * (x-0,5- y1,5) = x0,5 y0,5 x-0,5 - x0,5 y0,5y1,5 = x0 y0,5 - x0,5 y2 = y0. 5 - x0,5 y2

b) (x1 / 3 + y1 / 3) * (x2 / 3 - x1 / 3 y1 \ 3 + y2 / 3) = (x1 \ 3 + y1 / 3) * ((x1 / 3) 2 - x1 / 3 y1 \ 3 + (y1 / 3) 2) = (x1 / 3) 2 + (y1 / 3) 2 = x + y

a) 3 - 31/2 = 31/2 * (31/2 - 1)

b) в1 / 3 - = в1 / 3 * (1 - в2 / 3)

c) (2a) 1/3 - (5a) 1/3 = a1 / 3 * (21/3 - 51/3)

3) Karten für die erste Einzelarbeit

a) a - y, x 0, y ≥ 0

b) a - u, a 0

1. Faktorisieren Sie durch Darstellung als Differenz der Quadrate

a) a1 / 2 - b1 / 2

2. Faktorisieren durch Darstellung als Differenz oder Summe von Würfeln

a) c1 / 3 + d1 / 3

1. Faktorisieren Sie durch Darstellung als Differenz der Quadrate

a) X1 / 2 + Y1 / 2

b) X1 / 4 - Y1 / 4

2. Faktorisieren durch Darstellung als Differenz oder Summe von Würfeln

4) Karten für die zweite Einzelarbeit

a) (x - x1 / 2) / (x1 / 2 - 1)

Hinweis: x1 / 2 schreibe die Zähler aus den Klammern

b) (a - c) / (a1 / 2 - b1 / 2)

Hinweis: a - b = (a1 / 2) 2 - (b1 / 2) 2

Reduziere den Bruch

a) (21/4 - 2) / 5 * 21/4

Hinweis: Platzieren Sie 21/4 außerhalb der Klammer

b) (a - c) / (5a1 / 2 - 5v1 / 2)

Hinweis: a - b = (a1 / 2) 2– (b1 / 2) 2

Option 3

1. Reduziere den Bruch

a) (x1 / 2 - x1 / 4) / x3 / 4

Hinweis: x1 / 4 außerhalb der Klammern zu platzieren

b) (à1 / 2 - в1 / 2) / (4à1 / 4 - 4в1 / 4)

Option 4

Reduziere den Bruch

a) 10 / (10 - 101/2)

b) (a - c) / (a2 / 3 + a1 \ 3b1 / 3 + B 1/3)

Ausdrücke, Ausdruckskonvertierung

Potenzausdrücke (Ausdrücke mit Potenzen) und ihre Umwandlung

In diesem Artikel werden wir über das Konvertieren von Potenzausdrücken sprechen. Zuerst konzentrieren wir uns auf Transformationen, die mit Ausdrücken jeglicher Art durchgeführt werden, einschließlich exponentieller Ausdrücke, wie zum Beispiel das Erweitern von Klammern, das Umsetzen ähnlicher Ausdrücke. Und dann werden wir die Transformationen analysieren, die Ausdrücken mit Potenzen innewohnen: mit der Basis und dem Exponenten arbeiten, die Eigenschaften von Graden verwenden usw.

Seitennavigation.

Was sind Exponentialausdrücke?

Der Begriff "Exponentialausdrücke" findet sich praktisch nicht in Schulbüchern der Mathematik, aber er taucht recht häufig in Aufgabensammlungen auf, insbesondere solchen, die beispielsweise zur Prüfungs- und Prüfungsvorbereitung gedacht sind. Nachdem Sie die Aufgaben analysiert haben, in denen Sie Aktionen mit exponentiellen Ausdrücken ausführen müssen, wird deutlich, dass Ausdrücke als Ausdrücke verstanden werden, die Grade in ihren Datensätzen enthalten. Daher können Sie für sich selbst die folgende Definition akzeptieren:

Definition.

Machtausdrücke Sind Ausdrücke, die Grade enthalten.

Lass uns geben Beispiele für Exponentialausdrücke... Darüber hinaus werden wir sie danach darstellen, wie die Entwicklung der Ansichten von einem Grad mit einem natürlichen Indikator zu einem Grad mit einem realen Indikator verläuft.

Bekanntlich kennt man zunächst die Potenz einer Zahl mit natürlichem Exponenten, auf dieser Stufe die ersten einfachsten Potenzausdrücke vom Typ 3 2, 7 5 +1, (2 + 1) 5, (−0, 1) 4, 3 a 2 −a + a 2, x 3−1, (a 2) 3 usw.

Etwas später wird die Potenz einer Zahl mit ganzzahligem Exponenten untersucht, was zum Auftreten von Potenzausdrücken mit negativen ganzzahligen Potenzen führt, wie die folgenden: 3 −2, , a -2 + 2 b -3 + c 2.

In der High School kehren sie wieder zu Abschlüssen zurück. Dort wird ein Grad mit rationalem Exponenten eingeführt, was das Auftreten der entsprechenden Potenzausdrücke zur Folge hat: , , usw. Schließlich werden Grade mit irrationalen Indikatoren und Ausdrücken, die sie enthalten, betrachtet:,.

Die Sache ist nicht auf die aufgeführten Potenzausdrücke beschränkt: Die Variable dringt weiter in den Exponenten ein, und beispielsweise solche Ausdrücke 2 x 2 +1 oder ... Und nach der Bekanntschaft mit beginnen Ausdrücke mit Potenzen und Logarithmen aufzutreten, zum Beispiel x 2 · lgx −5 · x lgx.

Also haben wir die Frage herausgefunden, was exponentielle Ausdrücke sind. Als nächstes werden wir lernen, sie zu transformieren.

Grundtypen von Transformationen von Machtausdrücken

Mit exponentiellen Ausdrücken können Sie jede der grundlegenden identischen Transformationen von Ausdrücken durchführen. Sie können beispielsweise Klammern erweitern, numerische Ausdrücke durch ihre Werte ersetzen, ähnliche Begriffe angeben usw. In diesem Fall ist es natürlich notwendig, das akzeptierte Verfahren zum Ausführen von Aktionen zu befolgen. Hier sind einige Beispiele.

Beispiel.

Bewerten Sie den Wert des Exponentialausdrucks 2 3 · (4 2 −12).

Lösung.

Entsprechend der Reihenfolge der Aktionen führen wir zuerst die Aktionen in Klammern aus. Dort ersetzen wir erstens die Potenz von 4 2 durch den Wert 16 (siehe ggf.) und berechnen zweitens die Differenz 16−12 = 4. Wir haben 2 3 (4 2 −12) = 2 3 (16−12) = 2 3 4.

Ersetzen Sie im resultierenden Ausdruck die Potenz 2 3 durch ihren Wert 8, wonach wir das Produkt 8 4 = 32 berechnen. Dies ist der gewünschte Wert.

So, 2 3 (4 2 −12) = 2 3 (16−12) = 2 3 4 = 8 4 = 32.

Antworten:

2 3 (4 2 −12) = 32.

Beispiel.

Power-Ausdrücke vereinfachen 3 a 4 b −7 −1 + 2 a 4 b −7.

Lösung.

Offensichtlich enthält dieser Ausdruck ähnliche Terme 3 · a 4 · b −7 und 2 · a 4 · b −7, und wir können sie bringen:.

Antworten:

3 a 4 b −7 −1 + 2 a 4 b −7 = 5 a 4 b −7 −1.

Beispiel.

Stellen Sie sich einen Ausdruck mit Kräften als Produkt vor.

Lösung.

Zur Bewältigung der Aufgabe ist die Darstellung der Zahl 9 in Form einer Potenz von 3 2 und die anschließende Verwendung der Formel zur abgekürzten Multiplikation die Differenz der Quadrate:

Antworten:

Es gibt auch eine Reihe von identischen Transformationen, die Potenzausdrücken innewohnen. Dann werden wir sie analysieren.

Arbeiten mit Basis und Exponent

Es gibt Grade, deren Basis und/oder Exponent nicht nur Zahlen oder Variablen sind, sondern einige Ausdrücke. Als Beispiel präsentieren wir die Einträge (2 + 0,37) 5-3,7 und (a (a + 1) -a 2) 2 (x + 1).

Wenn Sie mit solchen Ausdrücken arbeiten, können Sie sowohl den Ausdruck basierend auf dem Grad als auch den Ausdruck im Exponenten durch einen identisch gleichen Ausdruck auf der ODZ seiner Variablen ersetzen. Mit anderen Worten, wir können nach den uns bekannten Regeln die Basis des Grades separat transformieren und separat - den Exponenten. Es ist klar, dass als Ergebnis dieser Transformation ein Ausdruck erhalten wird, der identisch mit dem ursprünglichen ist.

Solche Transformationen ermöglichen es uns, Ausdrücke mit Befugnissen zu vereinfachen oder andere Ziele zu erreichen, die wir brauchen. Zum Beispiel können Sie im obigen Exponentialausdruck (2 + 0,3 · 7) 5-3,7 Aktionen mit den Zahlen in der Basis und dem Exponenten ausführen, wodurch Sie die Potenz 4.1 1.3 erreichen können. Und nachdem wir die Klammern erweitert und ähnliche Terme in der Basis des Grades (a (a + 1) −a 2) 2 (x + 1) reduziert haben, erhalten wir einen Potenzausdruck einer einfacheren Form a 2

Verwenden von Leistungseigenschaften

Eines der wichtigsten Werkzeuge zum Umwandeln von Ausdrücken mit Potenzen ist das Reflektieren. Erinnern wir uns an die wichtigsten. Für alle positive Zahlen a und b und beliebigen reellen Zahlen r und s gelten folgende Potenzeigenschaften:

a r a s = a r + s;
a r: a s = a r − s;
(a b) r = a r b r;
(a: b) r = a r: b r;
(a r) s = a r s.

Beachten Sie, dass für natürliche, ganzzahlige und auch positive Exponenten die Beschränkungen für die Zahlen a und b möglicherweise nicht so streng sind. Beispielsweise gilt für die natürlichen Zahlen m und n die Gleichheit a m a n = a m + n nicht nur für positive a, sondern auch für negative und für a = 0.

In der Schule liegt das Hauptaugenmerk bei der Transformation von Machtausdrücken gerade auf der Fähigkeit, eine geeignete Eigenschaft auszuwählen und richtig anzuwenden. In diesem Fall sind die Gradbasen in der Regel positiv, wodurch die Eigenschaften von Graden uneingeschränkt genutzt werden können. Gleiches gilt für die Transformation von Ausdrücken, die Variablen in den Gradbasen enthalten - der Bereich der zulässigen Werte von Variablen ist normalerweise so, dass die Basen darauf nur positive Werte annehmen, wodurch Sie die Eigenschaften von Graden frei verwenden können. Im Allgemeinen müssen Sie sich ständig fragen, ob es in diesem Fall möglich ist, eine Gradeigenschaft anzuwenden, da eine ungenaue Verwendung von Eigenschaften zu einer Einengung des ODV und anderen Problemen führen kann. Diese Punkte werden ausführlich und mit Beispielen im Artikel über die Konvertierung von Ausdrücken mithilfe von Gradeigenschaften diskutiert. Wir beschränken uns hier auf einige einfache Beispiele.

Beispiel.

Stellen Sie sich den Ausdruck a 2.5 · (a 2) −3: a −5.5 als Potenz zur Basis a vor.

Lösung.

Zunächst wird der zweite Faktor (a 2) −3 durch die Eigenschaft des Potenzierens in eine Potenz transformiert: (a 2) −3 = a 2 (−3) = a −6... Der ursprüngliche Exponentialausdruck hat dann die Form a 2.5 · a −6: a −5.5. Es bleibt offensichtlich, die Eigenschaften der Multiplikation und Division von Potenzen mit derselben Basis zu verwenden, wir haben
a 2,5 a -6: a -5,5 =
a 2,5-6: a -5,5 = a -3,5: a -5,5 =
a −3,5 – (– 5,5) = a 2.

Antworten:

a 2.5 (a 2) −3: a −5.5 = a 2.

Potenzeigenschaften werden bei der Transformation von Exponentialausdrücken sowohl von links nach rechts als auch von rechts nach links verwendet.

Beispiel.

Finden Sie den Wert des Exponentialausdrucks.

Lösung.

Gleichheit (a b) r = a r b r, angewendet von rechts nach links, ermöglicht es Ihnen, vom ursprünglichen Ausdruck zum Produkt der Form und weiter zu gelangen. Und wenn man Grade mit den gleichen Basen multipliziert, addieren sich die Indikatoren: .

Es war möglich, die Transformation des ursprünglichen Ausdrucks auf andere Weise durchzuführen:

Antworten:

Beispiel.

Geben Sie bei gegebenem Exponentialausdruck a 1.5 −a 0.5 −6 die neue Variable t = a 0.5 ein.

Lösung.

Der Grad a 1,5 kann als a 0,5 · 3 dargestellt werden und weiter, basierend auf der Eigenschaft des Grades zum Grad (ar) s = ar · s, von rechts nach links angewendet, transformieren Sie ihn in die Form (a 0,5) 3 . Auf diese Weise, a 1,5 −a 0,5 −6 = (a 0,5) 3 −a 0,5 −6... Nun ist es einfach, eine neue Variable t = a 0.5 einzuführen, wir erhalten t 3 −t − 6.

Antworten:

t 3 −t − 6.

Umwandeln von Brüchen, die Potenzen enthalten

Potenzausdrücke können Brüche mit Potenzen enthalten oder solche Brüche sein. Alle grundlegenden Transformationen von Brüchen, die Brüchen jeglicher Art innewohnen, sind auf solche Brüche vollständig anwendbar. Das heißt, Brüche, die Potenzen enthalten, können gestrichen, auf einen neuen Nenner reduziert, getrennt mit ihrem Zähler und getrennt mit dem Nenner bearbeitet werden usw. Um die gesprochenen Worte zu veranschaulichen, betrachten Sie die Lösungen mehrerer Beispiele.

Beispiel.

Exponentialausdruck vereinfachen .

Lösung.

Dieser Exponentialausdruck ist ein Bruch. Arbeiten wir mit Zähler und Nenner. Im Zähler öffnen wir die Klammern und vereinfachen den danach erhaltenen Ausdruck mit den Eigenschaften der Potenzen, und im Nenner geben wir ähnliche Terme an:

Und wir ändern auch das Vorzeichen des Nenners, indem wir dem Bruch ein Minus voranstellen: .

Antworten:

Die Reduktion von Brüchen mit Potenzen auf einen neuen Nenner erfolgt ähnlich wie die Reduktion rationaler Brüche auf einen neuen Nenner. In diesem Fall wird auch ein zusätzlicher Faktor gefunden und Zähler und Nenner des Bruchs werden damit multipliziert. Bei dieser Aktion ist zu beachten, dass die Reduzierung auf einen neuen Nenner zu einer Verengung des ODV führen kann. Um dies zu verhindern, ist es erforderlich, dass der zusätzliche Faktor für keine Werte der Variablen aus den ODZ-Variablen für den ursprünglichen Ausdruck verschwindet.

Beispiel.

Reduziere Brüche auf einen neuen Nenner: a) auf den Nenner a, b) zum Nenner.

Lösung.

a) In diesem Fall ist es recht einfach herauszufinden, welcher zusätzliche Faktor hilft, das gewünschte Ergebnis zu erzielen. Dies ist ein Faktor von a 0,3, da a 0,7 · a 0,3 = a 0,7 + 0,3 = a. Beachten Sie, dass im Bereich der zulässigen Werte der Variablen a (dies ist die Menge aller positiven reellen Zahlen) der Grad a 0,3 nicht verschwindet, daher haben wir das Recht, Zähler und Nenner des gegebenen Bruchs mit zu multiplizieren dieser zusätzliche Faktor:

b) Wenn Sie sich den Nenner genauer ansehen, können Sie feststellen, dass

und die Multiplikation dieses Ausdrucks mit ergibt die Summe der Würfel und das heißt. Und das ist der neue Nenner, auf den wir den ursprünglichen Bruch reduzieren müssen.

So haben wir einen zusätzlichen Faktor gefunden. Im Bereich gültiger Werte der Variablen x und y verschwindet der Ausdruck nicht, daher können wir Zähler und Nenner des Bruchs damit multiplizieren:

Antworten:

ein) , B) .

Auch die Kürzung von Brüchen mit Potenzen ist nichts Neues: Zähler und Nenner werden als Anzahl von Faktoren dargestellt, gleiche Faktoren von Zähler und Nenner entfallen.

Beispiel.

Reduziere den Bruch: a) , B).

Lösung.

a) Zunächst können Zähler und Nenner um die Zahlen 30 und 45 gekürzt werden, also 15. Außerdem kann man natürlich eine Reduktion um x 0.5 +1 und um ... Das haben wir:

b) In diesem Fall sind die gleichen Faktoren in Zähler und Nenner nicht sofort sichtbar. Um sie zu erhalten, müssen Sie vorläufige Transformationen durchführen. In diesem Fall bestehen sie darin, den Nenner gemäß der Formel für die Quadratdifferenz in Faktoren zu zerlegen:

Antworten:

ein)

B) .

Das Reduzieren von Brüchen auf einen neuen Nenner und das Reduzieren von Brüchen wird hauptsächlich verwendet, um Aktionen mit Brüchen auszuführen. Aktionen werden nach bekannten Regeln ausgeführt. Beim Addieren (Subtrahieren) von Brüchen werden sie auf einen gemeinsamen Nenner gebracht, danach werden die Zähler addiert (subtrahiert) und der Nenner bleibt gleich. Das Ergebnis ist ein Bruch, dessen Zähler das Produkt der Zähler und der Nenner das Produkt der Nenner ist. Die Division durch einen Bruch ist die Multiplikation mit dem Kehrwert des Bruchs.

Beispiel.

Folge den Schritten .

Lösung.

Zuerst subtrahieren wir die Brüche in Klammern. Dazu bringen wir sie auf einen gemeinsamen Nenner, nämlich , danach subtrahieren wir die Zähler:

Nun multiplizieren wir die Brüche:

Offensichtlich ist es möglich, mit einer Potenz von x 1/2 aufzuheben, wonach wir .

Sie können den Exponentialausdruck im Nenner auch vereinfachen, indem Sie die Quadratdifferenzformel verwenden: .

Antworten:

Beispiel.

Exponentialausdruck vereinfachen .

Lösung.

Offensichtlich kann dieser Bruch durch (x 2.7 +1) 2 aufgehoben werden, dies ergibt den Bruch ... Es ist klar, dass mit den Graden von x etwas anderes getan werden muss. Dazu wandeln wir den resultierenden Bruch in ein Produkt um. Dies gibt uns die Möglichkeit, die Eigenschaft, Grade mit gleichen Basen zu teilen, zu nutzen: ... Und am Ende des Prozesses gehen wir vom letzten Produkt zu einer Fraktion über.

Antworten:

Und wir fügen auch hinzu, dass es möglich und in vielen Fällen wünschenswert ist, Multiplikatoren mit negativen Exponenten vom Zähler auf den Nenner oder vom Nenner auf den Zähler zu übertragen und das Vorzeichen des Exponenten zu ändern. Solche Transformationen vereinfachen oft weitere Aktionen. Beispielsweise kann ein Exponentialausdruck ersetzt werden durch.

Umwandeln von Ausdrücken mit Wurzeln und Potenzen

In Ausdrücken, in denen einige Transformationen erforderlich sind, sind neben Potenzen mit gebrochenen Exponenten häufig auch Wurzeln vorhanden. Um einen solchen Ausdruck in die gewünschte Form zu bringen, reicht es in den meisten Fällen, nur zu den Wurzeln oder nur zu den Mächten zu gehen. Da es jedoch bequemer ist, mit Abschlüssen zu arbeiten, gehen sie normalerweise von Wurzeln zu Abschlüssen. Es ist jedoch ratsam, einen solchen Übergang durchzuführen, wenn der ODV der Variablen für den ursprünglichen Ausdruck es Ihnen ermöglicht, die Wurzeln durch Potenzen zu ersetzen, ohne auf das Modul verweisen oder den ODV in mehrere Intervalle aufteilen zu müssen (wir haben dies ausführlich in der Artikel der Übergang von Wurzeln zu Potenzen und zurück Es wird ein Grad mit einem irrationalen Indikator eingeführt, der es ermöglicht, von einem Grad mit einem willkürlichen reellen Indikator zu sprechen. Exponentialfunktion, die analytisch durch den Grad festgelegt wird, an dessen Basis die Zahl steht, und im Indikator - die Variable. Wir haben es also mit exponentiellen Ausdrücken zu tun, die Zahlen in der Basis des Grades enthalten, und im Exponenten - Ausdrücke mit Variablen, und natürlich besteht die Notwendigkeit, Transformationen solcher Ausdrücke durchzuführen.

Es sollte gesagt werden, dass die Transformation von Ausdrücken dieses Typs normalerweise durchgeführt werden muss, wenn Exponentialgleichungen und exponentielle Ungleichungen und diese Konvertierungen sind ziemlich einfach. Sie basieren in den allermeisten Fällen auf den Eigenschaften des Abschlusses und zielen hauptsächlich darauf ab, in Zukunft eine neue Variable einzuführen. Wir können sie durch die Gleichung 5 2 x + 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x − 1 = 0.

Zuerst werden die Grade, in denen die Summe einer Variablen (oder Ausdrücke mit Variablen) und einer Zahl gefunden wird, durch Produkte ersetzt. Dies gilt für den ersten und letzten Begriff des Ausdrucks auf der linken Seite:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 = 0,
5 5 2 x -3 5 x 7 x -2 7 2 x = 0.

Außerdem werden beide Seiten der Gleichheit durch den Ausdruck 7 2 x geteilt, der nur positive Werte auf der ODZ der Variablen x für die ursprüngliche Gleichung annimmt (dies ist eine Standardtechnik zum Lösen von Gleichungen dieser Art, wir sind nicht Wenn wir jetzt darüber sprechen, konzentrieren Sie sich also auf die nachfolgenden Transformationen von Ausdrücken mit Kräften ):

Brüche mit Potenzen werden jetzt annulliert, das gibt .

Schließlich wird das Verhältnis der Grade mit gleichen Exponenten durch die Grade der Relationen ersetzt, was auf die Gleichung was gleichbedeutend ist ... Die durchgeführten Transformationen erlauben uns, eine neue Variable einzuführen, die die Lösung der ursprünglichen Exponentialgleichung auf die Lösung der quadratischen Gleichung reduziert

I. V. Boykov, L. D. Romanova Aufgabensammlung zur Prüfungsvorbereitung. Teil 1. Pensa 2003.

Die arithmetische Operation, die bei der Berechnung des Werts des Ausdrucks zuletzt ausgeführt wird, ist die "Hauptoperation".

Das heißt, wenn Sie beliebige (beliebige) Zahlen anstelle von Buchstaben ersetzen und versuchen, den Wert des Ausdrucks zu berechnen, dann haben wir, wenn die letzte Aktion eine Multiplikation ist, ein Produkt (der Ausdruck wird faktorisiert).

Wenn die letzte Aktion eine Addition oder eine Subtraktion ist, bedeutet dies, dass der Ausdruck nicht faktorisiert wird (und daher nicht abgebrochen werden kann).

Um die Lösung selbst zu beheben, nehmen Sie ein paar Beispiele:

Beispiele:

Lösungen:

1. Ich hoffe, du hast dich nicht gleich geschnitten? Es reichte immer noch nicht aus, Einheiten wie diese zu "kürzen":

Die erste Aktion sollte faktorisieren:

4. Addition und Subtraktion von Brüchen. Brüche auf einen Nenner bringen.

Das Addieren und Subtrahieren von gewöhnlichen Brüchen ist eine sehr bekannte Operation: Wir suchen nach einem gemeinsamen Nenner, multiplizieren jeden Bruch mit dem fehlenden Faktor und addieren / subtrahieren die Zähler.

Lass uns erinnern:

Antworten:

1. Die Nenner und sind gegenseitig prim, dh sie haben keine gemeinsamen Faktoren. Daher ist die LCM dieser Zahlen gleich ihrem Produkt. Dies wird der gemeinsame Nenner sein:

2. Hier ist der gemeinsame Nenner:

3. Als erstes hier gemischte Brüche wir verwandeln sie in falsche und dann - nach dem üblichen Schema:

Ganz anders ist es, wenn die Brüche Buchstaben enthalten, zum Beispiel:

Fangen wir einfach an:

a) Nenner enthalten keine Buchstaben

Hier ist alles wie bei gewöhnlichen numerischen Brüchen: Finden Sie den gemeinsamen Nenner, multiplizieren Sie jeden Bruch mit dem fehlenden Faktor und addieren / subtrahieren Sie die Zähler:

Jetzt können Sie im Zähler ähnliche, falls vorhanden, hinzufügen und in Faktoren zerlegen:

Versuch es selber:

Antworten:

b) Nenner enthalten Buchstaben

Erinnern wir uns an das Prinzip, einen gemeinsamen Nenner ohne Buchstaben zu finden:

· Zunächst ermitteln wir die gemeinsamen Faktoren;

· Schreiben Sie dann alle gemeinsamen Faktoren einmal auf;

· Und multiplizieren Sie sie mit allen anderen Faktoren, die nicht üblich sind.

Um die gemeinsamen Faktoren der Nenner zu bestimmen, zerlegen wir sie zunächst in Primfaktoren:

Lassen Sie uns die gemeinsamen Faktoren hervorheben:

Jetzt schreiben wir die gemeinsamen Faktoren einmal aus und addieren dazu alle nicht gemeinsamen (nicht unterstrichenen) Faktoren:

Dies ist der gemeinsame Nenner.

Kommen wir zurück zu den Briefen. Die Nenner werden genauso dargestellt:

· Wir zerlegen die Nenner in Faktoren;

· Bestimmen Sie gemeinsame (identische) Faktoren;

· Schreiben Sie alle gemeinsamen Faktoren einmal auf;

· Wir multiplizieren sie mit allen anderen Faktoren, die nicht üblich sind.

Also der Reihe nach:

1) Wir zerlegen die Nenner in Faktoren:

2) Wir bestimmen die gemeinsamen (identischen) Faktoren:

3) wir schreiben alle gemeinsamen Faktoren einmal auf und multiplizieren sie mit allen anderen (unbetonten) Faktoren:

Der gemeinsame Nenner ist also da. Der erste Bruch muss multipliziert werden mit, der zweite mit:

Es gibt übrigens einen Trick:

Zum Beispiel: .

Wir sehen die gleichen Faktoren in den Nennern, nur alle mit unterschiedlichen Indikatoren. Der gemeinsame Nenner wird sein:

soweit

im Grad.

Verkomplizieren wir die Aufgabe:

Wie macht man Brüche zum gleichen Nenner?

Erinnern wir uns an die grundlegende Eigenschaft eines Bruchs:

Nirgendwo wird gesagt, dass die gleiche Zahl vom Zähler und Nenner eines Bruchs subtrahiert (oder addiert) werden kann. Denn das stimmt nicht!

Überzeugen Sie sich selbst: Nehmen Sie zum Beispiel einen beliebigen Bruch und addieren Sie zum Beispiel eine Zahl zum Zähler und Nenner. Was hast du gelernt?

Also noch eine unerschütterliche Regel:

Wenn Sie Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen, verwenden Sie nur Multiplikation!

Aber womit muss man multiplizieren, um zu empfangen?

Hier auf und multiplizieren. Und multiplizieren mit:

Ausdrücke, die nicht faktorisiert werden können, werden als „Elementarfaktoren“ bezeichnet.

Ist zum Beispiel ein elementarer Faktor. - auch. Aber - nein: es ist faktorisiert.

Was halten Sie von Ausdruck? Ist es elementar?

Nein, da es faktorisiert werden kann:

(Sie haben bereits im Thema "Faktorisierung" gelesen).

Die elementaren Faktoren, zu denen Sie den Ausdruck mit Buchstaben erweitern, sind also analog zu den Primfaktoren, zu denen Sie die Zahlen erweitern. Und wir werden sie genauso behandeln.

Wir sehen, dass es in beiden Nennern einen Faktor gibt. Es wird auf den gemeinsamen Nenner der Macht gehen (erinnern Sie sich warum?).

Der Faktor ist elementar und für sie nicht üblich, was bedeutet, dass der erste Bruch einfach damit multipliziert werden muss:

Ein anderes Beispiel:

Lösung:

Bevor Sie diese Nenner in Panik multiplizieren, müssen Sie darüber nachdenken, wie Sie sie berücksichtigen können. Beide repräsentieren:

Bußgeld! Dann:

Ein anderes Beispiel:

Lösung:

Faktoriere wie üblich die Nenner. Im ersten Nenner setzen wir ihn einfach außerhalb der Klammern; in der zweiten - die Differenz der Quadrate:

Es scheint, dass es keine gemeinsamen Faktoren gibt. Aber wenn man genau hinschaut, dann sind sie sich so ähnlich... Und die Wahrheit:

Also schreiben wir:

Das heißt, es stellte sich so heraus: Innerhalb der Klammer haben wir die Stellen der Terme geändert und gleichzeitig das Vorzeichen vor dem Bruch in das Gegenteil geändert. Beachten Sie, dass Sie dies oft tun müssen.

Jetzt bringen wir auf einen gemeinsamen Nenner:

Ich habs? Lass es uns jetzt überprüfen.

Aufgaben für eine eigenständige Lösung:

Antworten:

Hier müssen wir uns noch an einen erinnern - den Unterschied zwischen den Würfeln:

Bitte beachten Sie, dass der Nenner des zweiten Bruches nicht die "Quadrat der Summe"-Formel ist! Das Quadrat der Summe würde so aussehen:

A ist das sogenannte unvollständige Quadrat der Summe: Der zweite Term darin ist das Produkt des ersten und des letzten und nicht ihr verdoppeltes Produkt. Das unvollständige Quadrat der Summe ist einer der Faktoren bei der Entwicklung der Würfeldifferenz:

Was ist, wenn es bereits drei Brüche gibt?

Ja das Gleiche! Stellen wir zunächst sicher, dass die maximale Anzahl von Faktoren in den Nennern gleich ist:

Achtung: Wenn Sie die Vorzeichen innerhalb einer Klammer ändern, ändert sich das Vorzeichen vor dem Bruch ins Gegenteil. Wenn wir die Vorzeichen in der zweiten Klammer ändern, wird das Vorzeichen vor dem Bruch wieder umgekehrt. Als Ergebnis hat es (das Vorzeichen vor dem Bruch) sich nicht geändert.

Wir schreiben den ersten Nenner vollständig in den gemeinsamen Nenner und addieren dann alle noch nicht geschriebenen Faktoren vom zweiten und dann vom dritten (und so weiter, wenn es mehr Brüche gibt). Das heißt, es stellt sich so heraus:

Hmm ... Mit Brüchen ist klar, was zu tun ist. Aber was ist mit der Zwei?

Es ist ganz einfach: Sie können Brüche hinzufügen, oder? Das bedeutet, dass wir den Zweier zu einem Bruch machen müssen! Denken Sie daran: Ein Bruch ist eine Division (der Zähler wird durch den Nenner geteilt, falls Sie es plötzlich vergessen haben). Und es gibt nichts einfacheres, als eine Zahl zu dividieren. In diesem Fall ändert sich die Zahl selbst nicht, sondern wird zu einem Bruch:

Genau das, was benötigt wird!

5. Multiplikation und Division von Brüchen.

Nun, der schwierigste Teil ist jetzt vorbei. Und vor uns liegt das Einfachste, aber gleichzeitig das Wichtigste:

Verfahren

Wie wird ein numerischer Ausdruck berechnet? Denken Sie daran, die Bedeutung eines solchen Ausdrucks zu zählen:

Hast du gezählt?

Es sollte klappen.

Also erinnere ich dich daran.

Der erste Schritt besteht darin, den Grad zu berechnen.

Die zweite ist Multiplikation und Division. Wenn mehrere Multiplikationen und Divisionen gleichzeitig erfolgen, können diese in beliebiger Reihenfolge durchgeführt werden.

Und schließlich machen wir Addition und Subtraktion. Wieder in beliebiger Reihenfolge.

Aber: der Ausdruck in Klammern wird falsch ausgewertet!

Wenn mehrere Klammern miteinander multipliziert oder dividiert werden, berechnen wir zuerst den Ausdruck in jeder der Klammern und multiplizieren oder dividieren sie dann.

Was ist, wenn sich innerhalb der Klammern mehr Klammern befinden? Nun, denken wir darüber nach: Ein Ausdruck wird in die Klammern geschrieben. Und was ist bei der Auswertung eines Ausdrucks als Erstes zu tun? Das ist richtig, berechnen Sie die Klammern. Nun, wir haben es herausgefunden: Zuerst berechnen wir die inneren Klammern, dann alles andere.

Das Verfahren für den obigen Ausdruck ist also wie folgt (die aktuelle Aktion ist rot markiert, d. h. die Aktion, die ich gerade ausführe):

Okay, es ist alles einfach.

Aber das ist nicht dasselbe wie ein Ausdruck mit Buchstaben?

Nein, es ist das gleiche! Nur anstelle von arithmetischen Operationen müssen Sie algebraische Operationen ausführen, dh die im vorherigen Abschnitt beschriebenen Aktionen: Ähnliches bringen, Addition von Brüchen, Reduzierung von Brüchen usw. Der einzige Unterschied ist der Effekt der Faktorisierung von Polynomen (die wir oft verwenden, wenn wir mit Brüchen arbeiten). In den meisten Fällen müssen Sie für die Faktorisierung i verwenden oder einfach den gemeinsamen Faktor außerhalb der Klammern setzen.

Normalerweise ist es unser Ziel, einen Ausdruck in Form eines Werkes oder einer Einzelheit zu präsentieren.

Zum Beispiel:

Vereinfachen wir den Ausdruck.

1) Die erste besteht darin, den Ausdruck in Klammern zu vereinfachen. Da haben wir die Differenz von Brüchen, und unser Ziel ist es, sie als Produkt oder Quotienten darzustellen. Also bringen wir die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner und fügen hinzu:

Es ist unmöglich, diesen Ausdruck mehr zu vereinfachen, alle Faktoren hier sind elementar (erinnern Sie sich noch, was das bedeutet?).

2) Wir erhalten:

Multiplikation von Brüchen: Was könnte einfacher sein.

3) Jetzt können Sie kürzen:

Das ist also alles. Nichts kompliziertes, oder?

Ein anderes Beispiel:

Den Ausdruck vereinfachen.

Versuchen Sie zuerst, es selbst zu lösen, und sehen Sie erst dann die Lösung.

Lösung:

Zunächst definieren wir die Reihenfolge der Aktionen.

Zuerst fügen wir die Brüche in Klammern hinzu, wir erhalten einen statt zwei Brüche.

Dann teilen wir die Brüche. Nun, addiere das Ergebnis mit dem letzten Bruch.

Ich werde die Aktionen schematisch nummerieren:

Jetzt zeige ich den gesamten Prozess und färbe die aktuelle Aktion rot:

1. Wenn es ähnliche gibt, müssen sie sofort mitgebracht werden. In jedem Moment, in dem wir ähnliche haben, ist es ratsam, sie sofort mitzubringen.

2. Gleiches gilt für die Kürzung von Bruchteilen: Sobald sich eine Möglichkeit zur Kürzung ergibt, muss diese genutzt werden. Die Ausnahme bilden Brüche, die Sie addieren oder subtrahieren: Wenn sie jetzt den gleichen Nenner haben, sollte die Kürzung für später aufgehoben werden.

Hier sind einige Aufgaben, die Sie selbst lösen können:

Und gleich zu Beginn versprochen:

Antworten:

Lösungen (in Kürze):

Wenn Sie mindestens die ersten drei Beispiele bewältigt haben, dann beherrschen Sie das Thema.

Freuen Sie sich jetzt auf das Lernen!

TRANSFORMATION VON AUSDRÜCKEN. ZUSAMMENFASSUNG UND GRUNDFORMELN

Grundlegende Vereinfachungsoperationen:

Ähnliches bringen: Um solche Begriffe hinzuzufügen (zu bringen), müssen Sie ihre Koeffizienten hinzufügen und den Buchstabenteil zuweisen.
Faktorisierung: Herausrechnen des gemeinsamen Faktors, Anwenden usw.
Fraktionsreduktion: Zähler und Nenner eines Bruchs können mit derselben Zahl ungleich Null multipliziert oder dividiert werden, was den Wert des Bruchs nicht ändert.
1) Zähler und Nenner Faktor
2) Wenn Zähler und Nenner gemeinsame Faktoren aufweisen, können diese durchgestrichen werden.
WICHTIG: Es können nur Multiplikatoren reduziert werden!
Addition und Subtraktion von Brüchen:
;
Multiplikation und Division von Brüchen:
;