Mengen Elemente der Mengenlehre. Operationen an Mengen

Ich kann mich nicht erinnern, wann ich zum ersten Mal etwas über Topologie gelernt habe, aber diese Wissenschaft hat mich sofort interessiert. Die Teekanne verwandelt sich in einen Donut, die Kugel dreht sich um. Viele haben davon gehört. Doch wer sich ernsthafter mit diesem Thema befassen möchte, hat oft Schwierigkeiten. Dies gilt insbesondere für die Beherrschung der grundlegendsten Konzepte, die von Natur aus sehr abstrakt sind. Darüber hinaus scheinen viele Quellen bewusst zu versuchen, den Leser zu verwirren. Nehmen wir an, das russische Wiki gibt eine sehr vage Formulierung dessen, was die Topologie bewirkt. Es heißt, dass es eine Wissenschaft ist, die studiert topologische Räume. Im Artikel über topologische Räume kann der Leser erfahren, dass topologische Räume Räume sind, die mit ausgestattet sind Topologie. Solche Erklärungen im Stil von Lemovs Sepules klären den Kern des Themas nicht wirklich. Ich werde weiterhin versuchen, die wichtigsten Grundkonzepte klarer darzulegen. In meiner Anmerkung wird es keine verwandelnden Teekannen und Bagels geben, aber es werden die ersten Schritte unternommen, die es Ihnen schließlich ermöglichen, diese Magie zu erlernen.

Da ich jedoch kein Mathematiker, sondern ein hundertprozentiger Humanist bin, ist es durchaus möglich, dass das, was unten steht, eine Lüge ist! Na ja, oder zumindest ein Teil davon.

Ich habe diese Notiz zunächst als Beginn einer Reihe von Artikeln über Topologie für meine humanitären Freunde geschrieben, aber keiner von ihnen begann, sie zu lesen. Ich habe beschlossen, die korrigierte und erweiterte Version auf Habr zu veröffentlichen. Es schien mir, dass hier ein gewisses Interesse an diesem Thema besteht und es bisher keine Artikel dieser Art gab. Vielen Dank im Voraus für alle Kommentare zu Fehlern und Ungenauigkeiten. Seien Sie gewarnt, dass ich viele Bilder verwende.

Beginnen wir mit einer kurzen Zusammenfassung der Mengenlehre. Ich denke, die meisten Leser sind damit vertraut, aber ich werde Sie dennoch an die Grundlagen erinnern.

Daher geht man davon aus, dass die Menge keine Definition hat und dass wir intuitiv verstehen, was sie ist. Kantor sagte dies: „Unter der „Menge“ verstehen wir die Kombination bestimmter gut unterschiedener Objekte m unserer Betrachtung oder unseres Denkens (die wir die „Elemente“ der Menge M nennen) zu einem bestimmten Ganzen M.“ Dies ist natürlich nur eine allegorische Beschreibung, keine mathematische Definition.
Die Mengenlehre ist für (entschuldigen Sie das Wortspiel) viele erstaunliche Paradoxien bekannt. Zum Beispiel . Es wird auch mit der Krise der Mathematik zu Beginn des 20. Jahrhunderts in Verbindung gebracht.

Die Mengenlehre existiert in mehreren Varianten wie ZFC oder NBG und anderen. Eine Variante der Theorie ist die Typentheorie, die für Programmierer sehr wichtig ist. Schließlich schlagen einige Mathematiker vor, die Kategorientheorie als Grundlage der Mathematik anstelle der Mengenlehre zu verwenden, über die viel über Habré geschrieben wurde. Typentheorie und Mengenlehre beschreiben mathematische Objekte wie „von innen“, während die Kategorientheorie nicht an ihrer inneren Struktur interessiert ist, sondern nur daran, wie sie interagieren, d. h. gibt ihre „äußeren“ Eigenschaften an.
Für uns sind nur die allergrundlegensten Grundlagen der Mengenlehre wichtig.

Mengen sind endlich.

Sie sind endlos. Zum Beispiel eine Menge von ganzen Zahlen, die durch den Buchstaben ℤ (oder einfach Z, wenn Sie keine geschweiften Buchstaben auf Ihrer Tastatur haben) gekennzeichnet sind.

Schließlich gibt es eine leere Menge. Es ist genau eins im gesamten Universum. Es gibt einen einfachen Beweis für diese Tatsache, aber ich werde ihn hier nicht angeben.

Wenn die Menge unendlich ist, passiert es zählbar. Abzählbar – jene Mengen, deren Elemente durch natürliche Zahlen neu nummeriert werden können. Die Menge der natürlichen Zahlen selbst ist, Sie haben es erraten, ebenfalls abzählbar. Hier erfahren Sie, wie Sie Ganzzahlen aufzählen.

Bei rationalen Zahlen ist es schwieriger, man kann sie aber auch nummerieren. Diese Methode heißt diagonaler Prozess und sieht aus wie auf dem Bild unten.

Wir durchlaufen rationale Zahlen im Zickzack, beginnend bei 1. Gleichzeitig wird jeder Zahl, die wir erhalten, eine gerade Zahl zugewiesen. Negative rationale Zahlen werden auf die gleiche Weise gezählt, nur dass die Zahlen ungerade sind und mit 3 beginnen. Traditionell erhält die Null die erste Zahl. Somit ist klar, dass alle rationalen Zahlen nummeriert werden können. Alle Zahlen wie 4,87592692976340586068 oder 1,00000000000001 oder -9092 oder auch 42 bekommen ihre Nummer in dieser Tabelle. Allerdings sind hier nicht alle Zahlen enthalten. Beispielsweise erhält √2 keine Zahl. Dies hat die Griechen einst sehr verärgert. Es heißt, der Typ, der irrationale Zahlen entdeckt hat, sei ertrunken.

Eine Verallgemeinerung des Größenbegriffs für Mengen ist Leistung. Die Kardinalität endlicher Mengen ist gleich der Anzahl ihrer Elemente. Die Kardinalität unendlicher Mengen wird durch den hebräischen Buchstaben Aleph mit Index bezeichnet. Die kleinste unendliche Kraft ist die Kraft ℵ 0 . Sie entspricht der Kardinalität abzählbarer Mengen. Wie wir sehen, gibt es also ebenso viele natürliche Zahlen wie ganze oder rationale Zahlen. Komisch aber wahr. Als nächstes kommt die Macht Kontinuum. Es wird mit dem kleinen gotischen Buchstaben c bezeichnet. Dies ist beispielsweise die Kardinalität der Menge der reellen Zahlen ℝ. Es gibt eine Hypothese, dass die Leistung des Kontinuums gleich der Leistung ist ℵ 1 . Das heißt, dass dies die nächste Kardinalität nach der Kardinalität abzählbarer Mengen ist und es keine Zwischenkardinalität zwischen abzählbaren Mengen und dem Kontinuum gibt.

Sie können verschiedene Operationen an Sets durchführen und neue Sets erhalten.

1. Sets können kombiniert werden.

3. Sie können nach dem Schnittpunkt von Mengen suchen.

Eigentlich geht es hier um Sets, die Sie für die Zwecke dieser Notiz kennen müssen. Jetzt können wir mit der Topologie selbst fortfahren.
Topologie ist die Wissenschaft, die Mengen mit einer bestimmten Struktur untersucht. Diese Struktur wird auch Topologie genannt.
Lassen Sie uns eine nicht leere Menge S haben.
Diese Menge soll eine Struktur haben, die durch eine Menge beschrieben wird, die wir T nennen. T ist eine Menge von Teilmengen der Menge S, so dass:

1. S selbst und ∅ gehören zu T.
2. Jede Vereinigung beliebiger Familien von Elementen T gehört zu T.
3. Schnittpunkt eines beliebigen Finale der Elementfamilie T gehört zu T.

Wenn diese drei Punkte gelten, dann ist unsere Struktur die Topologie von T auf der Menge S. Die Elemente der Menge T heißen offen Mengen auf S in der Topologie T. Das Komplement zu offenen Mengen sind geschlossen Sätze. Es ist wichtig zu beachten, dass eine offene Menge nicht bedeutet, dass sie nicht geschlossen ist und umgekehrt. Darüber hinaus kann es in einer gegebenen Menge im Hinblick auf eine bestimmte Topologie Teilmengen geben, die weder offen noch geschlossen sind.

Nehmen wir ein Beispiel. Angenommen, wir haben eine Menge bestehend aus drei farbigen Dreiecken.

Die einfachste Topologie heißt darauf antidiskrete Topologie. Da ist sie.

Diese Topologie wird auch Topologie genannt klebrige Punkte. Es besteht aus der Menge selbst und der leeren Menge. Dies erfüllt tatsächlich die Axiome der Topologie.

Auf einem Satz können mehrere Topologien definiert werden. Hier ist eine weitere sehr primitive Topologie, die auftritt. Es heißt diskret. Es handelt sich um eine Topologie, die aus allen Teilmengen einer gegebenen Menge besteht.

Und hier ist die Topologie. Gegeben ist es auf einem Set aus 7 mehrfarbigen Sternen S, die ich mit Buchstaben markiert habe. Stellen Sie sicher, dass es sich um eine Topologie handelt. Da bin ich mir nicht sicher, plötzlich habe ich eine Art Vereinigung oder Schnittmenge verpasst. Dieses Bild sollte die Menge S selbst enthalten, die leere Menge, die Schnittpunkte und Vereinigungen aller anderen Elemente der Topologie sollten ebenfalls im Bild sein.

Paar aus der Topologie und der Menge, auf der sie angegeben ist, aufgerufen wird topologischer Raum.

Wenn die Menge viele Punkte enthält (ganz zu schweigen von der Tatsache, dass es unendlich viele davon geben kann), kann die Auflistung aller offenen Mengen problematisch sein. Für eine diskrete Topologie auf einer Menge von drei Elementen müssen Sie beispielsweise eine Liste mit acht Mengen erstellen. Und für eine 4-Elemente-Menge hat die diskrete Topologie bereits 16, für 5 - 32, für 6 -64 und so weiter. Um nicht alle offenen Mengen aufzuzählen, wird eine Art Kurzschreibweise verwendet – es werden diejenigen Elemente ausgeschrieben, deren Vereinigungen alle offenen Mengen ergeben können. Das heißt Base Topologie. Beispielsweise handelt es sich bei einer diskreten Raumtopologie aus drei Dreiecken um drei Dreiecke, die einzeln betrachtet werden, da Sie durch ihre Kombination alle anderen offenen Mengen in dieser Topologie erhalten können. Die Basis soll die Topologie generieren. Eine Menge, deren Elemente eine Basis erzeugen, wird als Präbasis bezeichnet.

Nachfolgend finden Sie ein Beispiel für eine Basis für eine diskrete Topologie auf einer Gruppe von fünf Sternen. Wie Sie sehen, besteht die Basis in diesem Fall nur aus fünf Elementen, während die Topologie aus bis zu 32 Teilmengen besteht. Stimmen Sie zu, die Verwendung der Basis zur Beschreibung der Topologie ist viel bequemer.

Wozu dienen offene Sets? Sie vermitteln gewissermaßen eine Vorstellung von der „Nähe“ zwischen Punkten und dem Unterschied zwischen ihnen. Gehören die Punkte zu zwei verschiedenen offenen Mengen oder liegt ein Punkt in einer offenen Menge, die den anderen nicht enthält, dann sind sie topologisch unterschiedlich. In der antidiskreten Topologie sind alle Punkte in diesem Sinne nicht unterscheidbar, sie scheinen zusammenzuhalten. Umgekehrt in der diskreten Topologie Alle Punkte sind unterschiedlich.

Der Begriff einer offenen Menge ist untrennbar mit dem Begriff verbunden Nachbarschaft. Einige Autoren definieren Topologie nicht anhand offener Mengen, sondern anhand von Nachbarschaften. Die Umgebung des Punktes p ist die Menge, die die offene Kugel mit Mittelpunkt in diesem Punkt enthält. Die folgende Abbildung zeigt beispielsweise Nachbarschaften und Nicht-Nachbarschaften von Punkten. Die Menge S 1 ist eine Umgebung des Punktes p, die Menge S 2 jedoch nicht.

Die Beziehung zwischen offener Menge und Oktestität lässt sich wie folgt formulieren. Eine offene Menge ist eine solche Menge, bei der jedes Element eine Umgebung hat, die in der gegebenen Menge liegt. Oder umgekehrt kann man sagen, dass eine Menge offen ist, wenn sie eine Umgebung eines ihrer Punkte ist.

All dies sind die grundlegendsten Konzepte der Topologie. Von hier aus ist noch nicht klar, wie man die Kugeln umstülpt. Vielleicht kann ich mich in Zukunft mit solchen Themen befassen (wenn ich es selbst herausfinde).

UPD. Aufgrund der Ungenauigkeit meiner Rede gab es einige Verwirrung über die Kardinalitäten der Mengen. Ich habe meinen Text leicht korrigiert und möchte hier eine Erläuterung geben. Kantor führte mit seiner Mengenlehre das Konzept der Kardinalität ein, das den Vergleich unendlicher Mengen ermöglichte. Cantor stellte fest, dass die Kardinalitäten abzählbarer Mengen (z. B. rationaler Zahlen) und Kontinuitäten (z. B. reeller Zahlen) unterschiedlich sind. Er schlug vor, dass die Kardinalität des Kontinuums nach der Kardinalität abzählbarer Mengen an zweiter Stelle steht, d. h. entspricht Aleph-Eins. Cantor versuchte diese Vermutung zu beweisen, jedoch ohne Erfolg. Später stellte sich heraus, dass diese Hypothese weder widerlegt noch bewiesen werden konnte.

Der Begriff einer Menge ist der ursprüngliche, nicht streng definierte Begriff. Hier ist die Definition einer Menge (genauer gesagt eine Erklärung der Idee einer Menge) von G. Cantor: „Mit Vielfalt oder Menge meine ich im Allgemeinen all die vielen Dinge, die man sich als ein einziges vorstellen kann.“ eins, d.h. eine solche Menge bestimmter Elemente, die durch ein Gesetz zu einem Ganzen verbunden werden können.“

Mengen werden in der Regel mit Großbuchstaben des lateinischen Alphabets und ihre Elemente mit Kleinbuchstaben bezeichnet, obwohl manchmal von dieser Konvention abgewichen werden muss, da die Elemente einer bestimmten Menge auch andere Mengen sein können. Die Tatsache, dass das Element a zur Menge gehört, wird als geschrieben.

In der Mathematik beschäftigen wir uns mit den unterschiedlichsten Mengen. Für die Elemente dieser Mengen verwenden wir zwei Hauptarten der Notation: Konstanten und Variablen.

Eine einzelne Konstante (oder einfach eine Konstante) mit einem Bereich bezeichnet ein festes Element einer Menge. Dies sind beispielsweise die Bezeichnungen (Datensätze in einem bestimmten Zahlensystem) reeller Zahlen:. Für zwei Konstanten und mit einem Wertebereich schreiben wir und meinen damit die Übereinstimmung der Elemente der durch sie bezeichneten Menge.

Eine einzelne Variable (oder auch nur eine Variable) mit Bereich bezeichnet ein beliebiges, nicht vorgegebenes Element der Menge. In diesem Fall sagt man, dass die Variable durch die Menge läuft oder dass die Variable beliebige Werte auf der Menge annimmt. Sie können den Wert einer Variablen festlegen, indem Sie schreiben, wobei es sich um eine Konstante mit demselben Bereich wie handelt. In diesem Fall heißt es, dass anstelle einer Variablen ihr spezifischer Wert ersetzt wurde oder stattdessen eine Ersetzung vorgenommen wurde oder die Variable den Wert angenommen hat.

Unter Variablengleichheit wird Folgendes verstanden: Immer wenn eine Variable einen beliebigen Wert annimmt, nimmt die Variable denselben Wert an und umgekehrt. Somit nehmen gleiche Variablen „synchron“ immer die gleichen Werte an.

Normalerweise werden Konstanten und Variablen, deren Bereich eine bestimmte numerische Menge ist, nämlich eine der Mengen und , natürliche, ganzzahlige (oder ganzzahlige), rationale, reelle und komplexe Konstanten und Variablen genannt. Im Rahmen der diskreten Mathematik werden wir verschiedene Konstanten und Variablen verwenden, deren Bereich nicht immer eine numerische Menge ist.

Um den Datensatz zu verkürzen, verwenden wir die logische Symbolik, die es uns ermöglicht, Aussagen kurz zu formulieren, etwa Formeln. Der Begriff einer Äußerung ist nicht definiert. Es wird lediglich darauf hingewiesen, dass jede Aussage wahr oder falsch sein kann (natürlich nicht beides gleichzeitig!).

Logische Operationen (Bindungen) auf Mengen

Um aus bestehenden Aussagen neue Aussagen zu bilden, werden die folgenden logischen Operationen (oder logischen Verknüpfungen) verwendet.

1. Disjunktion: Eine Aussage (sprich: „oder“) ist genau dann wahr, wenn mindestens eine der Aussagen und wahr ist.

2. Konjunktion: Eine Aussage (sprich: „und“) ist genau dann wahr, wenn beide Aussagen und wahr sind.

3. Negation: Eine Aussage (sprich: „nicht“) ist genau dann wahr, wenn sie falsch ist.

4. Implikation: Eine Aussage (sprich: „wenn, dann“ oder „impliziert“) ist genau dann wahr, wenn die Aussage wahr ist oder beide Aussagen falsch sind.

5. Äquivalenz (oder Äquivalenz): Eine Aussage (sprich: „wenn und nur wenn“) ist genau dann wahr, wenn beide Aussagen und entweder gleichzeitig wahr oder gleichzeitig falsch sind. Zwei beliebige Aussagen und solche, die wahr sind, heißen logisch äquivalent oder äquivalent.

Beim Schreiben von Anweisungen mit logischen Operationen gehen wir davon aus, dass die Reihenfolge, in der alle Operationen ausgeführt werden, durch die Anordnung der Klammern bestimmt wird. Zur Vereinfachung der Notation werden häufig Klammern weggelassen, wobei eine bestimmte Reihenfolge der Operationen („Prioritätskonvention“) akzeptiert wird.

Die Negationsoperation wird immer zuerst ausgeführt und ist daher nicht in Klammern eingeschlossen. Die zweite führt die Operation der Konjunktion, dann der Disjunktion und schließlich der Implikation und Äquivalenz durch. Eine Aussage wird zum Beispiel so geschrieben: Diese Aussage ist eine Disjunktion zweier Aussagen: Die erste ist eine Negation und die zweite eine. Im Gegensatz dazu ist der Satz die Negation der Disjunktion der Sätze und .

Beispielsweise erhält die Aussage nach dem Setzen von Klammern entsprechend den Prioritäten die Form

Lassen Sie uns einige Bemerkungen zu den oben eingeführten logischen Verknüpfungen machen. Die sinnvolle Interpretation von Disjunktion, Konjunktion und Negation bedarf keiner besonderen Erläuterungen. Eine Implikation ist per Definition immer dann wahr, wenn die Aussage wahr ist (unabhängig von der Wahrheit) und beide falsch sind. Wenn also die Implikation wahr ist, dann findet die Wahrheit statt, wenn sie wahr ist, aber das Gegenteil ist möglicherweise nicht wahr, d. h. Wenn sie falsch ist, kann die Aussage entweder wahr oder falsch sein. Dies motiviert dazu, die Implikation in der Form „wenn, dann“ zu lesen. Es ist auch leicht zu verstehen, dass der Satz äquivalent zum Satz ist und daher sinnvollerweise „wenn, dann“ mit „nicht oder“ identifiziert wird.

Äquivalenz ist nichts anderes als eine „zweiseitige Implikation“, d.h. ist gleichbedeutend mit . Das bedeutet, dass Wahrheit aus Wahrheit folgt und umgekehrt Wahrheit aus Wahrheit folgt.

Beispiel 1.1. Um die Wahrheit oder Falschheit einer komplexen Aussage zu bestimmen, werden Wahrheitstabellen verwendet, abhängig von der Wahrheit oder Falschheit der darin enthaltenen Aussagen.

Die ersten beiden Spalten der Tabelle enthalten alle möglichen Wertemengen, die die Anweisungen und annehmen können. Die Wahrheit der Aussage wird durch den Buchstaben „I“ oder die Zahl 1 und die Falschheit durch den Buchstaben „L“ oder die Zahl 0 angezeigt. Die restlichen Spalten werden von links nach rechts ausgefüllt. Suchen Sie also für jeden Wertesatz die entsprechenden Werte der Aussage.

Die Wahrheitstabellen logischer Operationen haben die einfachste Form (Tabellen 1.1-1.5).

Betrachten Sie eine komplexe Aussage. Zur Vereinfachung der Berechnungen bezeichnen wir die Aussage mit , die Aussage mit und schreiben die ursprüngliche Aussage als . Die Wahrheitstabelle dieser Aussage besteht aus den Spalten und (Tabelle 1.6).

Prädikate und Quantoren

Zusammengesetzte Aussagen werden nicht nur durch logische Verknüpfungen gebildet, sondern auch mit Hilfe von Prädikaten und Quantoren.

Ein Prädikat ist eine Aussage, die eine oder mehrere einzelne Variablen enthält. Zum Beispiel „Es gibt eine gerade Zahl“ oder „Es gibt einen Studenten der Moskauer Staatlichen Technischen Universität, benannt nach Bauman, der 1999 eintrat“. Im ersten Prädikat gibt es eine ganzzahlige Variable, im zweiten eine Variable, die sich durch die Menge der „menschlichen Individuen“ zieht. Ein Beispiel für ein Prädikat, das mehrere einzelne Variablen enthält, ist: „hat einen Sohn“, „und studiert in derselben Gruppe“, „ist geteilt durch“, „ist kleiner als“ usw. Prädikate werden in der Form geschrieben, wobei davon ausgegangen wird, dass alle im angegebenen Prädikat enthaltenen Variablen in Klammern aufgeführt sind.

Ersetzen Sie jede im Prädikat enthaltene Variable durch einen bestimmten Wert, d. h. Durch Festlegen der Werte, bei denen es sich um einige Konstanten mit dem entsprechenden Wertebereich handelt, erhalten wir eine Anweisung, die keine Variablen enthält. Zum Beispiel: „2 ist eine gerade Zahl“, „Isaac Newton ist ein Student der Moskauer Staatlichen Technischen Universität, benannt nach Bauman, der 1999 eintrat“, „Ivanov ist der Sohn von Petrov“, „5 ist durch 7 teilbar“, usw. Abhängig davon, ob die so erhaltene Aussage wahr oder falsch ist, wird das Prädikat auf der Wertemenge der Variablen als erfüllt oder nicht erfüllt bezeichnet. Ein Prädikat, das für jeden darin enthaltenen Satz von Variablen erfüllt ist, wird als identisch wahr bezeichnet, und ein Prädikat, das für keinen Satz von Werten seiner Variablen erfüllt ist, wird als identisch falsch bezeichnet.

Eine Aussage aus einem Prädikat kann nicht nur durch Ersetzen der Werte seiner Variablen, sondern auch mittels Quantoren gewonnen werden. Es werden zwei Quantoren eingeführt – Existenz und Universalität, die jeweils mit und bezeichnet werden.

Der Satz („für jedes Element in der Menge ist wahr“, oder kürzer: „für alles ist wahr“) ist per Definition genau dann wahr, wenn das Prädikat für jeden Wert der Variablen wahr ist.

Die Aussage („es gibt oder gibt es ein solches Element der Menge, das wahr ist“, auch „für einige ist wahr“) ist per Definition genau dann wahr, wenn das Prädikat für einige Werte von erfüllt ist Die Variable.

Verknüpfen von Prädikatvariablen mit Quantoren

Wenn eine Aussage aus einem Prädikat mittels eines Quantors gebildet wird, spricht man davon, dass die Variable des Prädikats durch den Quantor gebunden ist. Ebenso werden Variablen in Prädikaten gebunden, die mehrere Variablen enthalten. Im allgemeinen Fall Ausdrücke der Form

wobei jeder der Quantoren oder für jeden Buchstaben durch einen Index ersetzt werden kann.

Die Aussage lautet zum Beispiel so: „Für jeden gibt es das, was wahr ist.“ Wenn die Mengen, die durch die Variablen der Prädikate laufen, fest sind (d. h. „standardmäßig“), werden die Quantoren in abgekürzter Form geschrieben: oder .

Beachten Sie, dass viele mathematische Theoreme in einer ähnlichen Form wie die gerade gegebenen Aussagen mit Quantoren geschrieben werden können, zum Beispiel: „Es gilt für alle und für jeden: Wenn eine Funktion an einem Punkt differenzierbar ist, dann ist die Funktion an einem Punkt stetig.“ ein Punkt".

Möglichkeiten zur Angabe von Mengen

Nachdem wir die Merkmale der Verwendung logischer Symbolik besprochen haben, kehren wir zur Betrachtung von Mengen zurück.

Zwei Mengen gelten als gleich, wenn ein beliebiges Element der Menge ein Element der Menge ist und umgekehrt. Aus der obigen Definition gleicher Mengen folgt, dass eine Menge vollständig durch ihre Elemente bestimmt ist.

Betrachten wir Möglichkeiten zur Spezifizierung konkreter Mengen. Für eine endliche Menge, deren Anzahl relativ klein ist, kann die Methode der direkten Aufzählung von Elementen verwendet werden. Die Elemente einer endlichen Menge werden in geschweiften Klammern in einer willkürlichen festen Reihenfolge aufgelistet. Wir betonen, dass die Reihenfolge, in der ihre Elemente aufgelistet sind, bei der Angabe einer endlichen Menge keine Rolle spielt, da die Menge vollständig durch ihre Elemente bestimmt wird. Daher Einträge usw. alle definieren die gleiche Menge. Darüber hinaus werden bei der Notation von Mengen manchmal Wiederholungen von Elementen verwendet. Wir gehen davon aus, dass der Eintrag dieselbe Menge definiert wie der Eintrag.

Im allgemeinen Fall wird für eine endliche Menge die Notation verwendet. Auf Wiederholungen von Elementen wird grundsätzlich verzichtet. Dann besteht die durch die Notation gegebene endliche Menge aus Elementen. Man nennt sie auch n-elementige Menge.

Die Methode, eine Menge durch direkte Aufzählung ihrer Elemente zu spezifizieren, ist jedoch auf einen sehr engen Bereich endlicher Mengen anwendbar. Die allgemeinste Art, konkrete Mengen anzugeben, besteht darin, eine Eigenschaft anzugeben, die alle Elemente der beschriebenen Menge haben müssen, und zwar nur sie.

Diese Idee wird auf folgende Weise umgesetzt. Lassen Sie die Variable über eine Menge liegen, die als universelle Menge bezeichnet wird. Wir gehen davon aus, dass nur solche Mengen betrachtet werden, deren Elemente auch Elemente der Menge sind. In diesem Fall kann eine Eigenschaft, die nur die Elemente einer bestimmten Menge haben, durch ein Prädikat ausgedrückt werden, das genau dann ausgeführt wird, wenn die Variable einen beliebigen Wert aus der Menge annimmt. Mit anderen Worten, wahr genau dann, wenn die individuelle Konstante ersetzt wird.

Das Prädikat wird in diesem Fall als charakteristisches Prädikat der Menge bezeichnet, und die mit Hilfe dieses Prädikats ausgedrückte Eigenschaft wird als charakteristische Eigenschaft oder kollektivierende Eigenschaft bezeichnet.

Die durch das charakteristische Prädikat definierte Menge wird in der folgenden Form geschrieben:

Es bedeutet zum Beispiel, dass „es eine Menge gibt, die aus allen Elementen besteht, sodass jedes von ihnen eine gerade natürliche Zahl ist“.

Der Begriff „kollektivierendes Eigentum“ beruht auf der Tatsache, dass dieses Eigentum es ermöglicht, unterschiedliche Elemente zu einem einzigen Ganzen zusammenzufassen. Somit bildet die Eigenschaft, die eine Menge definiert (siehe unten), im wahrsten Sinne des Wortes eine Art „Kollektiv“:

Kehren wir zu Cantors Definition einer Menge zurück, dann ist das charakteristische Prädikat einer Menge das Gesetz, durch das eine Menge von Elementen zu einem einzigen Ganzen zusammengefasst wird. Ein Prädikat, das eine kollektivierende Eigenschaft angibt, kann gleichermaßen falsch sein. Eine auf diese Weise definierte Menge enthält keine Elemente. Sie wird als leere Menge bezeichnet und mit bezeichnet.

Im Gegensatz dazu definiert ein identisch wahres charakteristisches Prädikat eine universelle Menge.

Beachten Sie, dass nicht jedes Prädikat eine kollektivierende Eigenschaft ausdrückt.

Bemerkung 1.1. Der spezifische Inhalt des Konzepts einer universellen Menge wird durch den spezifischen Kontext bestimmt, in dem wir mengentheoretische Ideen anwenden. Wenn es sich beispielsweise nur um verschiedene Zahlenmengen handelt, kann die Menge aller reellen Zahlen als eine universelle Menge erscheinen. Jeder Zweig der Mathematik beschäftigt sich mit einer relativ begrenzten Menge von Mengen. Daher ist es bequem anzunehmen, dass die Elemente jeder dieser Mengen auch Elemente einer sie „umfassenden“ universellen Menge sind. Indem wir die Universalmenge festlegen, legen wir damit den Wertebereich aller Variablen und Konstanten fest, die in unserem mathematischen Denken vorkommen. In diesem Fall ist es durchaus möglich, in den Quantoren nicht die Menge anzugeben, die durch die durch den Quantor gebundene Variable verläuft. Im Folgenden werden wir verschiedene Beispiele für konkrete Universalmengen kennenlernen.

Definition 1.viele ist eine Sammlung einiger Objekte, die nach einem bestimmten ‒ oder Attribut zu einem Ganzen vereint sind.

Die Objekte, aus denen eine Menge besteht, werden „its“ genannt Elemente.

Sie werden mit Großbuchstaben des lateinischen Alphabets bezeichnet: A, B, …, X, Y, …, und ihre Elemente werden mit den entsprechenden Großbuchstaben bezeichnet: a, b, …, x, y.

Definition 1.1. Eine Menge, die kein Element enthält, wird aufgerufen leer und wird mit dem Symbol Ø bezeichnet.

Eine Menge kann durch Aufzählung und Beschreibung spezifiziert werden.

Beispiel:; .

Definition 1.2. viele A eine Teilmenge genannt B wenn jedes Element der Menge A ist ein Element der Menge B. Symbolisch ausgedrückt wird dies wie folgt: AB (A Enthalten in B).

Definition 1.3. Zwei Sets A Und B genannt gleich, wenn sie aus den gleichen Elementen bestehen :( A =B).

Operationen an Mengen.

Definition 1.4. Vereinigung oder Summe von Mengen A Und B ist eine Menge, die aus Elementen besteht, von denen jedes zu mindestens einer dieser Mengen gehört.

Die Vereinigung von Mengen wird bezeichnet AB(oder A +B). Kurz gesagt, man kann schreiben AB = .

AB= A +B

Wenn BA, Das A +B=A

Definition 1.5. Schnittpunkt oder Produkt von Mengen A Und B heißt eine Menge, die aus Elementen besteht, von denen jedes zur Menge gehört A und viele B gleichzeitig. Der Schnittpunkt von Mengen wird bezeichnet AB(oder A· B). Kurz gesagt können Sie schreiben:

AB= .

AB =A · B

Wenn B A, Das A · B=B

Definition 1.6. Differenz einstellen A Und B Man nennt eine Menge, deren jedes Element ein Element der Menge ist A und ist kein Element der Menge B. Die Differenz der Mengen wird bezeichnet A\B. A-Priorat A\B = .

A\B = A–B

Mengen, deren Elemente Zahlen sind, werden aufgerufen numerisch.

Beispiele für numerische Mengen sind:

N =ist die Menge der natürlichen Zahlen.

Z= - Menge von ganzen Zahlen.

Q=ist die Menge der rationalen Zahlen.

R ist die Menge der reellen Zahlen.

Ein Haufen R enthält rationale und irrationale Zahlen. Jede rationale Zahl wird entweder als endlicher Dezimalbruch oder als unendlicher periodischer Bruch ausgedrückt. Somit sind ;… rationale Zahlen.

Eine irrationale Zahl wird als unendlicher nichtperiodischer Dezimalbruch ausgedrückt. Also = 1,41421356...; = 3,14159265.... ist eine irrationale Zahl.

K ist die Menge der komplexen Zahlen (der Form Z=A+ Bi)

Definition 1.7.Ɛ ‒ Nachbarschaft eines Punktes X 0 heißt symmetrisches Intervall ( X 0 – Ɛ; X 0 + Ɛ) mit einem Punkt X 0 .

Insbesondere wenn das Intervall ( X 0 –Ɛ; X 0 +Ɛ), dann die Ungleichung X 0 –Ɛ<X<X 0 +Ɛ, oder gleichwertig, │ X– X 0 │<Ɛ. Letzteres umzusetzen bedeutet, den Punkt zu treffen X in Ɛ – Umgebung des Punktes X 0 .

Beispiel 1:

(2 - 0,1; 2 + 0,1) oder (1,9; 2,1) - Ɛ - Nachbarschaft.

│X– 2│< 0,1

–0,1<X – 2<0,1

2 –0,1<X< 2 + 0,1

1,9<X< 2,1

Beispiel 2:

A– Teilersatz 24;

B ist die Menge der Teiler 18.

Ich bin ausgebildeter theoretischer Physiker, habe aber einen guten mathematischen Hintergrund. Im Magistrat war Philosophie eines der Fächer, es galt, ein Thema auszuwählen und eine Arbeit darüber einzureichen. Da die meisten Optionen mehr als einmal obmusoleny waren, entschied ich mich für etwas Exotischeres. Ich behaupte nicht, neu zu sein, ich habe es einfach geschafft, die gesamte/fast die gesamte verfügbare Literatur zu diesem Thema zusammenzutragen. Philosophen und Mathematiker können mit Steinen auf mich werfen, für konstruktive Kritik bin ich nur dankbar.

P.S. Sehr „trockene Sprache“, aber nach dem Studium durchaus lesbar. Die Definitionen von Paradoxien wurden größtenteils aus Wikipedia übernommen (vereinfachte Formulierungen und vorgefertigtes TeX-Markup).

Einführung

Sowohl die Mengenlehre selbst als auch die ihr innewohnenden Paradoxien erschienen vor nicht allzu langer Zeit, vor etwas mehr als hundert Jahren. In dieser Zeit wurde jedoch ein langer Weg zurückgelegt, und die Mengenlehre wurde auf die eine oder andere Weise tatsächlich zur Grundlage der meisten Bereiche der Mathematik. Seine Paradoxien, die mit Cantors Unendlichkeit verbunden sind, wurden in einem halben Jahrhundert erfolgreich buchstäblich erklärt.

Sie sollten mit einer Definition beginnen.

Was ist eine Menge? Die Frage ist ganz einfach, die Antwort darauf ist ganz intuitiv. Eine Menge ist eine Menge von Elementen, die durch ein einzelnes Objekt dargestellt werden. Cantor gibt in seinem Werk „Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre“ eine Definition: Mit „Menge“ meinen wir die Kombination bestimmter wohldefinierter Objekte m unserer Betrachtung oder unseres Denkens (die wir „Elemente“ des nennen) zu einem bestimmten Ganzen M Satz M). Wie Sie sehen, hat sich das Wesentliche nicht geändert, der Unterschied besteht nur in dem Teil, der von der Weltanschauung der Determinante abhängt. Die Geschichte der Mengenlehre ist sowohl in der Logik als auch in der Mathematik äußerst umstritten. Tatsächlich legte Kantor im 19. Jahrhundert den Grundstein dafür, dann setzten Russell und die anderen die Arbeit fort.

Paradoxe (Logik und Mengenlehre) – (Griechisch – unerwartet) – formal-logische Widersprüche, die in der sinnvollen Mengenlehre und formalen Logik unter Wahrung der logischen Korrektheit der Argumentation entstehen. Paradoxien entstehen, wenn zwei sich gegenseitig ausschließende (widersprüchliche) Aussagen gleichermaßen beweisbar sind. Paradoxien können sowohl innerhalb der wissenschaftlichen Theorie als auch im gewöhnlichen Denken auftauchen (z. B. Russells Paradoxon über die Menge aller von Russell gegebenen Normalmengen: „Der Dorffriseur rasiert alle und nur die Bewohner seines Dorfes, die sich nicht selbst rasieren. Sollte er.“ rasierst du dich?"). Da der formale logische Widerspruch das Denken als Mittel zur Entdeckung und zum Beweis der Wahrheit zerstört (in einer Theorie, in der ein Paradoxon auftritt, ist jeder Satz, sowohl wahr als auch falsch, beweisbar), entsteht das Problem, die Quellen solcher Widersprüche zu identifizieren und zu finden Möglichkeiten, sie zu beseitigen. Das Problem des philosophischen Verständnisses spezifischer Paradoxienlösungen ist eines der wichtigen methodischen Probleme der formalen Logik und der logischen Grundlagen der Mathematik.

Der Zweck dieser Arbeit besteht darin, die Paradoxien der Mengenlehre als Erben antiker Antinomien und ganz logische Konsequenzen des Übergangs zu einer neuen Abstraktionsebene – der Unendlichkeit – zu untersuchen. Die Aufgabe besteht darin, die wichtigsten Paradoxien und ihre philosophische Interpretation zu betrachten.

Grundlegende Paradoxien der Mengenlehre

Der Friseur rasiert nur Menschen, die sich nicht selbst rasieren. Rasiert er sich?

Machen wir weiter mit einem kurzen Ausflug in die Geschichte.

Einige der logischen Paradoxien sind seit der Antike bekannt, aber da die mathematische Theorie allein auf Arithmetik und Geometrie beschränkt war, war es unmöglich, sie mit der Mengenlehre in Zusammenhang zu bringen. Im 19. Jahrhundert änderte sich die Situation radikal: Kantor erreichte in seinen Werken eine neue Ebene der Abstraktion. Er führte das Konzept der Unendlichkeit ein, schuf damit einen neuen Zweig der Mathematik und ermöglichte den Vergleich verschiedener Unendlichkeiten mithilfe des Konzepts der „Potenz einer Menge“. Dabei schuf er jedoch viele Paradoxien. Der erste ist der sogenannte Burali-Forti-Paradoxon. In der mathematischen Literatur gibt es verschiedene Formulierungen, die auf unterschiedlicher Terminologie und einem angenommenen Satz bekannter Theoreme basieren. Hier ist eine der formalen Definitionen.

Es kann bewiesen werden, dass, wenn x eine beliebige Menge von Ordnungszahlen ist, die Summenmenge eine Ordnungszahl ist, die größer oder gleich jedem der Elemente ist X. Nehmen wir nun an, dass dies die Menge aller Ordnungszahlen ist. Dann ist eine Ordnungszahl größer oder gleich einer der Zahlen in . Aber dann ist und eine Ordnungszahl, und sie ist bereits streng größer und daher keiner der Zahlen in gleich. Dies widerspricht jedoch der Bedingung, dass die Menge aller Ordnungszahlen vorliegt.

Der Kern des Paradoxons besteht darin, dass bei der Bildung der Menge aller Ordnungszahlen ein neuer Ordnungstyp gebildet wird, der noch nicht zu „allen“ transfiniten Ordnungszahlen gehörte, die vor der Bildung der Menge aller Ordnungszahlen existierten. Dieses Paradoxon wurde von Cantor selbst entdeckt, unabhängig vom italienischen Mathematiker Burali-Forti entdeckt und veröffentlicht, dessen Fehler von Russell korrigiert wurden, woraufhin die Formulierung ihre endgültige Form erhielt.

Unter allen Versuchen, solche Paradoxien zu vermeiden und teilweise zu erklären, verdient die Idee des bereits erwähnten Russell die größte Aufmerksamkeit. Er schlug vor, imprädikative Sätze aus der Mathematik und Logik auszuschließen, in denen die Definition eines Elements einer Menge von diesem abhängt, was zu Paradoxien führt. Die Regel lautet wie folgt: „Keine Menge C kann Elemente m enthalten, die nur durch die Menge C definiert sind, sowie Elemente n, die diese Menge in ihrer Definition annehmen.“ Eine solche Einschränkung der Definition einer Menge ermöglicht es uns, Paradoxien zu vermeiden, schränkt aber gleichzeitig den Anwendungsbereich in der Mathematik erheblich ein. Darüber hinaus reicht dies nicht aus, um ihre Natur und die Gründe für ihr Erscheinen zu erklären, die in der Dichotomie von Denken und Sprache, in den Merkmalen der formalen Logik verwurzelt sind. In gewisser Weise lässt sich diese Einschränkung auf eine Analogie zu dem zurückführen, was Kognitionspsychologen und Linguisten in einer späteren Zeit als „Kategorisierung auf grundlegender Ebene“ bezeichneten: Die Definition wird auf das am einfachsten zu verstehende und am besten zu studierende Konzept reduziert.

Nehmen Sie an, dass die Menge aller Mengen existiert. In diesem Fall ist es wahr, das heißt, jede Menge t ist eine Teilmenge von V. Daraus folgt jedoch, dass die Potenz jeder Menge die Potenz von V nicht überschreitet. Sondern aufgrund des Axioms der Menge aller Teilmengen, für V sowie für jede Menge gibt es eine Menge aller Teilmengen und nach dem Satz von Cantor, der der vorherigen Aussage widerspricht. Daher kann V nicht existieren, was im Widerspruch zur „naiven“ Hypothese steht, dass jede syntaktisch korrekte logische Bedingung eine Menge definiert, d. h. für jede Formel A, die y nicht frei enthält. Einen bemerkenswerten Beweis für das Fehlen solcher Widersprüche auf der Grundlage der axiomatisierten Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre liefert Potter.

Aus logischer Sicht sind beide oben genannten Paradoxien identisch mit dem „Lügner“ oder „Der Barbier“: Das geäußerte Urteil richtet sich nicht nur auf etwas Objektives in Bezug auf ihn, sondern auch auf ihn selbst. Allerdings sollte man nicht nur auf die logische Seite achten, sondern auch auf den hier vorhandenen Begriff der Unendlichkeit. Die Literatur bezieht sich auf das Werk von Poincaré, in dem er schreibt: „Der Glaube an die Existenz der tatsächlichen Unendlichkeit ... macht diese nicht-prädikativen Definitionen notwendig.“
Im Allgemeinen sind die Hauptpunkte:

in diesen Paradoxien wird die Regel verletzt, die „Sphären“ des Prädikats und des Subjekts klar zu trennen; der Grad der Verwirrung kommt dem Ersetzen eines Begriffs durch einen anderen nahe;
Normalerweise wird in der Logik davon ausgegangen, dass Subjekt und Prädikat im Prozess des Denkens ihren Umfang und Inhalt behalten, in diesem Fall
Übergang von einer Kategorie in eine andere, was zu einer Nichtübereinstimmung führt;
Das Vorhandensein des Wortes „alle“ macht für eine endliche Anzahl von Elementen Sinn, aber im Falle einer unendlichen Anzahl von Elementen ist es möglich, dass eines davon vorhanden ist
um sich selbst zu definieren, wäre die Definition einer Menge erforderlich;
grundlegende logische Gesetze werden verletzt:
- das Gesetz der Identität wird verletzt, wenn die Nichtidentität von Subjekt und Prädikat aufgedeckt wird;
- das Gesetz des Widerspruchs – wenn zwei widersprüchliche Urteile mit demselben Recht abgeleitet werden;
- das Gesetz des ausgeschlossenen Dritten – wenn dieser Dritte anerkannt und nicht ausgeschlossen werden muss, da weder der Erste noch der Zweite ohne den Anderen erkannt werden können, weil sie sind gleichermaßen gültig.

Das dritte Paradoxon trägt Russells Namen.. Nachfolgend finden Sie eine Definition.
Sei K die Menge aller Mengen, die sich selbst nicht als Element enthalten. Enthält K sich selbst als Element? Wenn ja, dann sollte es per Definition von K kein Element von K sein – ein Widerspruch. Wenn nicht – dann muss es per Definition von K ein Element von K sein – wiederum ein Widerspruch. Diese Aussage leitet sich logisch aus Cantors Paradoxon ab, das ihre Beziehung zeigt. Das philosophische Wesen kommt jedoch deutlicher zum Ausdruck, da die „Selbstbewegung“ von Begriffen direkt „vor unseren Augen“ stattfindet.

Tristram Shandys Paradoxon:
In Sterns „The Life and Opinions of Tristram Shandy, Gentleman“ stellt der Held fest, dass er ein ganzes Jahr brauchte, um die Ereignisse des ersten Tages seines Lebens zu erzählen, und ein weiteres Jahr, um den zweiten Tag zu beschreiben. In diesem Zusammenhang beklagt der Held, dass sich der Stoff seiner Biografie schneller ansammelt, als er ihn verarbeiten kann, und dass er ihn nie zu Ende bringen kann. „Jetzt behaupte ich“, wendet Russell ein, „dass kein Teil seiner Biografie übrig bleiben würde, wenn er ewig leben würde und seine Arbeit ihm nicht zur Last fallen würde, selbst wenn sein Leben weiterhin so ereignisreich wäre wie am Anfang.“ ungeschrieben.
Tatsächlich konnte Shandy die Ereignisse des x-ten Tages für das x-te Jahr beschreiben und so würde in seiner Autobiografie jeder Tag festgehalten.

Mit anderen Worten: Wenn das Leben unbegrenzt dauern würde, dann hätte es so viele Jahre wie Tage.

Russell zieht eine Analogie zwischen diesem Roman und Zeno mit seiner Schildkröte. Seiner Meinung nach liegt die Lösung darin, dass das Ganze seinem Teil im Unendlichen entspricht. Diese. lediglich das „Axiom des gesunden Menschenverstandes“ führt zu einem Widerspruch. Die Lösung des Problems liegt jedoch im Bereich der reinen Mathematik. Offensichtlich gibt es zwei Mengen – Jahre und Tage, zwischen deren Elementen eine Eins-zu-eins-Entsprechung – eine Bijektion – besteht. Dann gibt es unter der Bedingung des unendlichen Lebens des Protagonisten zwei unendliche Mengen gleicher Macht, was das Paradox auflöst, wenn wir Macht als eine Verallgemeinerung des Konzepts der Anzahl der Elemente in einer Menge betrachten.

Paradoxon (Satz) von Banach-Tarski oder Verdoppelung des Kugelparadoxons- ein Satz der Mengenlehre, der besagt, dass eine dreidimensionale Kugel gleichmäßig aus zwei ihrer Kopien besteht.
Zwei Teilmengen des euklidischen Raums heißen gleich zusammengesetzt, wenn die eine in endlich viele Teile zerlegt, verschoben und aus ihnen die zweite zusammengesetzt werden kann.
Genauer gesagt sind zwei Mengen A und B gleich zusammengesetzt, wenn sie als endliche Vereinigung disjunkter Teilmengen dargestellt werden können, sodass für jedes i die Teilmenge kongruent ist.

Wenn wir den Auswahlsatz verwenden, dann klingt die Definition so:
Das Auswahlaxiom impliziert, dass die Oberfläche einer Einheitskugel in eine endliche Anzahl von Teilen unterteilt ist, die durch Transformationen des dreidimensionalen euklidischen Raums, die die Form dieser Komponenten nicht verändern, in zwei Teile zusammengesetzt werden können Kugeln mit Einheitsradius.

Angesichts der Anforderung, dass diese Teile messbar sein müssen, ist diese Aussage natürlich nicht machbar. Der berühmte Physiker Richard Feynman erzählte in seiner Biografie, wie es ihm einst gelang, den Streit darüber zu gewinnen, eine Orange in endlich viele Teile zu spalten und wieder zusammenzusetzen.

An bestimmten Stellen wird dieses Paradoxon verwendet, um das Auswahlaxiom zu widerlegen, aber das Problem besteht darin, dass das, was wir als Elementargeometrie betrachten, nicht wesentlich ist. Die Konzepte, die wir für intuitiv halten, sollten auf die Ebene der Eigenschaften transzendentaler Funktionen erweitert werden.

Um das Vertrauen derjenigen, die glauben, dass das Auswahlaxiom falsch ist, weiter zu schwächen, sollte man den Satz von Mazurkiewicz und Sierpinski erwähnen, der besagt, dass es eine nichtleere Teilmenge E der euklidischen Ebene gibt, die jeweils zwei disjunkte Teilmengen hat die in endlich viele Teile zerlegt werden können, so dass sie durch Isometrien in eine Überdeckung der Menge E übersetzt werden können.
Der Beweis erfordert nicht die Verwendung des Auswahlaxioms.
Weitere Konstruktionen, die auf dem Axiom der Gewissheit basieren, lösen das Banach-Tarski-Paradoxon auf, sind aber nicht von derartigem Interesse.

Richards Paradoxon: Es ist erforderlich, „die kleinste Zahl zu nennen, die in diesem Buch nicht genannt wird“. Der Widerspruch besteht darin, dass dies einerseits möglich ist, da in diesem Buch die kleinste Zahl genannt wird. Davon ausgehend kann man auch die kleinsten Unbenannten benennen. Aber hier entsteht ein Problem: Das Kontinuum ist überabzählbar, zwischen zwei beliebigen Zahlen kann man unendlich viele Zwischenzahlen einfügen. Wenn wir diese Nummer hingegen benennen könnten, würde sie automatisch von der im Buch nicht erwähnten Klasse in die genannte Klasse verschoben.
Das Grelling-Nilson-Paradoxon: Wörter oder Zeichen können eine Eigenschaft bezeichnen und sie gleichzeitig haben oder nicht. Die trivialste Formulierung klingt so: Ist das Wort „heterologisch“ (was „nicht auf sich selbst anwendbar“ bedeutet) heterologisch? Es ist Russells Paradoxon aufgrund des Vorhandenseins eines dialektischen Widerspruchs sehr ähnlich: der Dualität von Form und Inhalt wird verletzt. Bei Wörtern mit einem hohen Abstraktionsgrad kann nicht entschieden werden, ob diese Wörter heterologisch sind.
Skolems Paradoxon: Unter Verwendung des Gödelschen Vollständigkeitssatzes und des Satzes von Löwenheim-Skolem erhalten wir, dass die axiomatische Mengenlehre auch dann wahr bleibt, wenn für ihre Interpretation nur eine abzählbare Menge von Mengen angenommen (verfügbar) wird. Gleichzeitig
Die axiomatische Theorie beinhaltet den bereits erwähnten Satz von Cantor, der uns zu unzähligen unendlichen Mengen führt.

Auflösung von Paradoxien

Die Entstehung der Mengenlehre führte zu der sogenannten dritten Krise der Mathematik, die noch nicht für alle zufriedenstellend gelöst ist.
Historisch gesehen war der erste Ansatz mengentheoretisch. Es basierte auf der Verwendung der tatsächlichen Unendlichkeit, wobei davon ausgegangen wurde, dass jede unendliche Folge im Unendlichen abgeschlossen ist. Die Idee dahinter war, dass man in der Mengenlehre oft mit Mengen operieren musste, die Teile anderer, größerer Mengen sein könnten. Erfolgreiche Aktionen waren in diesem Fall nur in einem Fall möglich: Die gegebenen Mengen (endlich und unendlich) sind vervollständigt. Ein gewisser Erfolg war erkennbar: Zermelo-Fraenkels axiomatische Mengenlehre, eine ganze Schule der Mathematik von Nicolas Bourbaki, die seit mehr als einem halben Jahrhundert existiert und immer noch für viel Kritik sorgt.

Der Logismus war ein Versuch, die gesamte bekannte Mathematik auf die Begriffe der Arithmetik und dann die Begriffe der Arithmetik auf die Konzepte der mathematischen Logik zu reduzieren. Frege ging intensiv darauf ein, aber nachdem er die Arbeit an dem Werk beendet hatte, war er gezwungen, auf seine Inkonsistenz hinzuweisen, nachdem Russell auf die Widersprüche in der Theorie hingewiesen hatte. Derselbe Russell versuchte, wie bereits erwähnt, mit Hilfe der „Typentheorie“ die Verwendung imprädikativer Definitionen zu eliminieren. Seine Konzepte von Menge und Unendlichkeit sowie das Axiom der Reduzierbarkeit erwiesen sich jedoch als unlogisch. Das Hauptproblem bestand darin, dass die qualitativen Unterschiede zwischen formaler und mathematischer Logik nicht berücksichtigt wurden und überflüssige Konzepte, auch intuitiver Natur, vorhanden waren.
Infolgedessen konnte die Theorie des Logizismus die dialektischen Widersprüche der mit der Unendlichkeit verbundenen Paradoxien nicht beseitigen. Es gab lediglich Prinzipien und Methoden, die es ermöglichten, zumindest nicht-prädikative Definitionen loszuwerden. Seiner eigenen Argumentation zufolge war Russell Cantors Erbe.

Ende des 19. – Anfang des 20. Jahrhunderts. Die Verbreitung des formalistischen Standpunkts zur Mathematik war mit der Entwicklung der axiomatischen Methode und des von D. Hilbert vorgeschlagenen Programms zur Begründung der Mathematik verbunden. Die Bedeutung dieser Tatsache wird durch die Tatsache deutlich, dass das erste der dreiundzwanzig Probleme, die er der mathematischen Gemeinschaft vorlegte, das Problem der Unendlichkeit war. Die Formalisierung sei notwendig, um die Konsistenz der klassischen Mathematik zu beweisen, „unter Ausschluss jeglicher Metaphysik“. Angesichts der von Hilbert eingesetzten Mittel und Methoden erwies sich sein Ziel als grundsätzlich unmöglich, doch sein Programm hatte großen Einfluss auf die gesamte weitere Entwicklung der Grundlagen der Mathematik. Hilbert beschäftigte sich lange mit diesem Problem, nachdem er als Erster die Axiomatik der Geometrie konstruiert hatte. Da sich die Lösung des Problems als recht erfolgreich herausstellte, entschloss er sich, die axiomatische Methode auf die Theorie der natürlichen Zahlen anzuwenden. Dazu schrieb er: „Ich verfolge ein wichtiges Ziel: Ich möchte mich mit den Fragen der Grundlagen der Mathematik als solcher befassen und jede mathematische Aussage in eine streng ableitbare Formel verwandeln.“ Gleichzeitig war geplant, die Unendlichkeit abzuschaffen, indem man sie auf eine bestimmte endliche Anzahl von Operationen reduziert. Dazu griff er auf die Physik mit ihrem Atomismus zurück, um die ganze Widersprüchlichkeit unendlicher Größen aufzuzeigen. Tatsächlich stellte Hilbert die Frage nach dem Verhältnis zwischen Theorie und objektiver Realität.

Eine mehr oder weniger vollständige Vorstellung von endlichen Methoden liefert Hilberts Schüler J. Herbran. Unter endlichem Denken versteht er ein solches Denken, das folgende Bedingungen erfüllt: logische Paradoxien „- es wird immer nur eine endliche und bestimmte Anzahl von Objekten und Funktionen berücksichtigt;

Funktionen haben eine genaue Definition, und diese Definition ermöglicht es uns, ihren Wert zu berechnen;

Es wird niemals behauptet, dass dieses Objekt existiert, es sei denn, es ist bekannt, wie es konstruiert werden kann.

Die Menge aller Objekte X einer unendlichen Sammlung wird niemals berücksichtigt;

Wenn bekannt ist, dass eine Argumentation oder ein Satz für alle diese X gilt, bedeutet dies, dass diese allgemeine Argumentation für jedes spezifische X wiederholt werden kann und diese allgemeine Argumentation selbst nur als Modell für diese spezifische Argumentation betrachtet werden sollte.

Zum Zeitpunkt der letzten Veröffentlichung auf diesem Gebiet hatte Gödel jedoch bereits seine Ergebnisse erhalten, im Wesentlichen entdeckte und bestätigte er erneut das Vorhandensein der Dialektik im Erkenntnisprozess. Im Wesentlichen zeigte die Weiterentwicklung der Mathematik das Scheitern von Hilberts Programm.

Was genau hat Gödel bewiesen? Es gibt drei Hauptergebnisse:

1. Gödel zeigte die Unmöglichkeit eines mathematischen Beweises für die Konsistenz eines Systems auf, das groß genug ist, um die gesamte Arithmetik einzuschließen, ein Beweis, der keine anderen Schlussregeln als die im System selbst gefundenen verwenden würde. Ein solcher Beweis, der eine leistungsfähigere Inferenzregel verwendet, kann nützlich sein. Wenn diese Schlussfolgerungsregeln jedoch stärker sind als die logischen Mittel der arithmetischen Berechnung, besteht kein Vertrauen in die Konsistenz der im Beweis verwendeten Annahmen. In jedem Fall wird sich Hilberts Programm als undurchführbar erweisen, wenn die verwendeten Methoden nicht finitistisch sind. Gödel zeigt lediglich die Inkonsistenz von Berechnungen auf, um einen finitistischen Beweis für die Konsistenz der Arithmetik zu finden.
2. Gödel wies auf die grundlegenden Grenzen der Möglichkeiten der axiomatischen Methode hin: Das Principia Mathematica-System ist wie jedes andere System, mit dem die Arithmetik aufgebaut wird, im Wesentlichen unvollständig, d. h. für jedes konsistente System arithmetischer Axiome gibt es wahre arithmetische Sätze, die es sind nicht aus den Axiomen dieses Systems abgeleitet.
3. Der Satz von Gödel zeigt, dass keine Erweiterung eines arithmetischen Systems es vervollständigen kann, und selbst wenn wir es mit einer unendlichen Menge von Axiomen füllen, wird es im neuen System immer wahre, aber nicht durch dieses System ableitbare geben, Positionen. Der axiomatische Ansatz zur Arithmetik natürlicher Zahlen ist nicht in der Lage, den gesamten Bereich wahrer arithmetischer Sätze abzudecken, und was wir unter dem Prozess des mathematischen Beweises verstehen, beschränkt sich nicht auf die Verwendung der axiomatischen Methode. Nach Gödels Theorem wurde es bedeutungslos, zu erwarten, dass das Konzept eines überzeugenden mathematischen Beweises ein für alle Mal in abgegrenzten Formen gegeben werden könnte.

Der jüngste in dieser Reihe von Erklärungsversuchen der Mengenlehre war der Intuitionismus.

Er durchlief in seiner Entwicklung eine Reihe von Phasen – Semi-Intuitionismus, eigentlicher Intuitionismus, Ultra-Intuitionismus. In verschiedenen Phasen beschäftigten sich Mathematiker mit unterschiedlichen Problemen, aber eines der Hauptprobleme der Mathematik ist das Problem der Unendlichkeit. Die mathematischen Konzepte von Unendlichkeit und Kontinuität sind seit ihrer Entstehung Gegenstand philosophischer Analysen (Ideen der Atomisten, Aporien des Zenon von Elea, Infinitesimalmethoden der Antike, Infinitesimalrechnung der Neuzeit usw.). Die größte Kontroverse wurde durch die Verwendung verschiedener Arten von Unendlichkeiten (potenzielle, tatsächliche) als mathematische Objekte und deren Interpretation ausgelöst. All diese Probleme wurden unserer Meinung nach durch ein tieferes Problem verursacht – die Rolle des Subjekts in der wissenschaftlichen Erkenntnis. Tatsache ist, dass der Krisenzustand der Mathematik durch die erkenntnistheoretische Unsicherheit des Vergleichs der Welt des Objekts (Unendlichkeit) und der Welt des Subjekts erzeugt wird. Der Mathematiker als Fach hat die Möglichkeit, die Mittel der Erkenntnis zu wählen – entweder die potentielle oder die tatsächliche Unendlichkeit. Die Nutzung der potenziellen Unendlichkeit als Werden gibt ihm die Möglichkeit, eine unendliche Reihe von Konstruktionen auszuführen, die auf endlichen Konstruktionen aufgebaut werden können, ohne einen endlichen Schritt zu haben, ohne die Konstruktion abzuschließen, das ist nur möglich. Die Verwendung der tatsächlichen Unendlichkeit gibt ihm die Möglichkeit, mit der Unendlichkeit als bereits realisierbar, in ihrer Konstruktion vollendet, als gleichzeitig tatsächlich gegeben zu arbeiten.

Auf der Stufe des Halbintuitionismus war das Problem der Unendlichkeit noch nicht unabhängig, sondern mit dem Problem der Konstruktion mathematischer Objekte und der Möglichkeiten zu ihrer Rechtfertigung verwoben. Der Halbintuitionismus von A. Poincaré und den Vertretern der Pariser Schule der Funktionentheorie Baire, Lebesgue und Borel richtete sich gegen die Annahme des Axioms der freien Wahl, mit dessen Hilfe der Satz von Zermelo bewiesen wird, der das besagt Jede Menge kann vollständig geordnet werden, ohne jedoch einen theoretischen Weg zur Bestimmung der Elemente einer Teilmenge der erforderlichen Mengen anzugeben. Es gibt keine Möglichkeit, ein mathematisches Objekt zu konstruieren, und es gibt kein mathematisches Objekt selbst. Mathematiker glaubten, dass das Vorhandensein oder Fehlen einer theoretischen Methode zur Konstruktion einer Folge von Untersuchungsobjekten als Grundlage für die Begründung oder Widerlegung dieses Axioms dienen kann. In der russischen Version wurde das semi-intuitionistische Konzept in den philosophischen Grundlagen der Mathematik in eine Richtung entwickelt, wie der von N.N. entwickelte Effektivismus. Luzin. Der Effektivismus ist ein Gegensatz zu den Hauptabstraktionen von Cantors Lehre vom Unendlichen – Aktualität, Wahl, transfinite Induktion usw.

Für den Effektivismus ist die Abstraktion der potenziellen Machbarkeit erkenntnistheoretisch wertvoller als die Abstraktion der tatsächlichen Unendlichkeit. Dadurch wird es möglich, das Konzept der transfiniten Ordnungszahlen (unendlichen Ordnungszahlen) auf der Grundlage des effektiven Konzepts des Wachstums von Funktionen einzuführen. Der erkenntnistheoretische Rahmen des Effektivismus zur Darstellung des Kontinuums (Kontinuum) basierte auf diskreten Mitteln (Arithmetik) und der beschreibenden Mengentheorie (Funktionen) von N.N. Luzin. Der Intuitionismus der Niederländer L. E. Ya. Brouwer, G. Weyl, A. Heiting sieht frei entstehende Sequenzen unterschiedlicher Art als traditionellen Untersuchungsgegenstand. In dieser Phase der Lösung mathematischer Probleme, einschließlich der Neustrukturierung der gesamten Mathematik, stellten Intuitionisten die philosophische Frage nach der Rolle eines Mathematikers als erkennendes Subjekt. In welcher Position ist er freier und aktiver bei der Wahl der Erkenntnismittel? Intuitionisten waren die ersten (und auf der Stufe des Halbintuitionismus), die das Konzept der tatsächlichen Unendlichkeit, Cantors Mengenlehre, kritisierten und darin eine Beeinträchtigung der Fähigkeit des Subjekts sahen, den Prozess der wissenschaftlichen Suche nach einer Lösung für ein konstruktives Problem zu beeinflussen . Bei der Nutzung der potentiellen Unendlichkeit täuscht sich das Subjekt nicht selbst, da für ihn die Idee der potentiellen Unendlichkeit intuitiv viel klarer ist als die Idee der tatsächlichen Unendlichkeit. Für einen Intuitionisten gilt ein Objekt als existent, wenn es einem Mathematiker direkt gegeben wird oder wenn die Methode zu seiner Konstruktion bekannt ist. In jedem Fall kann das Subjekt damit beginnen, die Konstruktion einer Reihe von Elementen seines Sets abzuschließen. Für Intuitionisten existiert das unkonstruierte Objekt nicht. Gleichzeitig wird das Subjekt, das mit der tatsächlichen Unendlichkeit arbeitet, dieser Möglichkeit beraubt und wird die doppelte Verletzlichkeit der eingenommenen Position spüren:

1) Es ist niemals möglich, diese unendliche Konstruktion auszuführen;
2) er beschließt, mit der tatsächlichen Unendlichkeit wie mit einem endlichen Objekt zu operieren, und verliert in diesem Fall seine Spezifität des Konzepts der Unendlichkeit. Der Intuitionismus schränkt die Möglichkeiten eines Mathematikers bewusst dadurch ein, dass er mathematische Objekte ausschließlich mit Mitteln konstruieren kann, die zwar mit Hilfe abstrakter Begriffe gewonnen, aber wirksam, überzeugend, beweisbar, funktional konstruktiv gerade praktisch und selbst als Konstruktionen intuitiv klar sind, Konstruktionen, an deren Zuverlässigkeit in der Praxis kein Zweifel besteht. Der Intuitionismus, der sich auf das Konzept der potentiellen Unendlichkeit und konstruktive Forschungsmethoden stützt, befasst sich mit der Mathematik des Werdens, die Mengenlehre bezieht sich auf die Mathematik des Seins.

Für den Intuitionisten Brouwer als Vertreter des mathematischen Empirismus ist die Logik zweitrangig; er kritisiert sie und das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte.

In seinen teils mystischen Werken leugnet er nicht die Existenz der Unendlichkeit, lässt aber nicht deren Verwirklichung zu, sondern nur deren Potentialisierung. Im Vordergrund steht für ihn die Interpretation und Begründung praktisch eingesetzter logischer Mittel und mathematischer Überlegungen. Die von den Intuitionisten übernommene Einschränkung überwindet die Unsicherheit bei der Verwendung des Konzepts der Unendlichkeit in der Mathematik und drückt den Wunsch aus, die Krise in den Grundlagen der Mathematik zu überwinden.

Ultra-Intuitionismus (A.N. Kolmogorov, A.A. Markov und andere) ist die letzte Stufe in der Entwicklung des Intuitionismus, in der seine Hauptideen modernisiert, erheblich ergänzt und transformiert werden, ohne sein Wesen zu verändern, aber Mängel zu überwinden und positive Aspekte zu stärken, geleitet von die Kriterien mathematischer Strenge. Die Schwäche des intuitionistischen Ansatzes bestand in einem engen Verständnis der Rolle der Intuition als einziger Rechtfertigungsquelle für die Richtigkeit und Wirksamkeit mathematischer Methoden. Indem sie „intuitive Klarheit“ als Kriterium für die Wahrheit in der Mathematik betrachteten, verarmten Intuitionisten methodisch die Möglichkeiten eines Mathematikers als Wissenssubjekt, reduzierten seine Tätigkeit nur auf mentale Operationen, die auf Intuition beruhten, und bezogen die Praxis nicht in den Prozess des mathematischen Wissens ein. Das ultra-intuitionistische Programm zur Begründung der Mathematik ist eine russische Priorität. Daher akzeptierten einheimische Mathematiker, die die Grenzen des Intuitionismus überwanden, die wirksame Methodik der materialistischen Dialektik und erkannten die menschliche Praxis als Quelle der Bildung sowohl mathematischer Konzepte als auch mathematischer Methoden (Schlussfolgerungen, Konstruktionen). Das Problem der Existenz mathematischer Objekte wurde von Ultraintuitionisten gelöst, die sich nicht auf das undefinierte subjektive Konzept der Intuition stützten, sondern auf mathematische Praxis und einen spezifischen Mechanismus zur Konstruktion eines mathematischen Objekts – einen Algorithmus, der durch eine berechenbare, rekursive Funktion ausgedrückt wird.

Der Ultra-Intuitionismus verstärkt die Vorteile des Intuitionismus, die in der Möglichkeit bestehen, die von Mathematikern aller Richtungen verwendeten Methoden zur Lösung konstruktiver Probleme zu ordnen und zu verallgemeinern. Daher steht der Intuitionismus der letzten Stufe (Ultraintuitionismus) dem Konstruktivismus in der Mathematik nahe. Im erkenntnistheoretischen Aspekt sind die Hauptideen und Prinzipien des Ultraintuitionismus folgende: Kritik an der klassischen Axiomatik der Logik; die Nutzung und deutliche Stärkung (auf ausdrückliche Anweisung von A.A. Markov) der Rolle der Abstraktion der Identifikation (mentale Abstraktion von den unterschiedlichen Eigenschaften von Objekten und gleichzeitige Isolierung der allgemeinen Eigenschaften von Objekten) als eine Möglichkeit, Abstraktionen zu konstruieren und konstruktiv zu verstehen Konzepte, mathematische Urteile; Beweis der Konsistenz konsistenter Theorien. Im formalen Aspekt wird die Anwendung der Abstraktion der Identifikation durch ihre drei Eigenschaften (Axiome) der Gleichheit – Reflexivität, Transitivität und Symmetrie – gerechtfertigt.

Um den Hauptwiderspruch in der Mathematik zum Problem der Unendlichkeit zu lösen, der zu einer Krise seiner Grundlagen führte, auf der Stufe des Ultra-Intuitionismus in den Werken von A.N. Kolmogorov schlug Auswege aus der Krise vor, indem er das Problem der Beziehungen zwischen klassischer und intuitionistischer Logik, klassischer und intuitionistischer Mathematik löste. Brouwers Intuitionismus als Ganzes leugnete die Logik, aber da kein Mathematiker ohne Logik auskommen kann, blieb die Praxis des logischen Denkens im Intuitionismus erhalten, einige Prinzipien der klassischen Logik wurden zugelassen, wobei die Axiomatik als Grundlage diente. S.K. Kleene und R. Wesley stellen sogar fest, dass intuitionistische Mathematik als eine Art Infinitesimalrechnung beschrieben werden kann und Infinitesimalrechnung eine Möglichkeit ist, mathematisches Wissen auf der Grundlage von Logik, Formalisierung und ihrer Form – der Algorithmisierung – zu organisieren. Eine neue Version der Beziehung zwischen Logik und Mathematik im Rahmen intuitionistischer Anforderungen an intuitive Klarheit von Urteilen, insbesondere solchen, die Negation beinhalteten, A.N. Kolmogorov schlug Folgendes vor: Er präsentierte die intuitionistische Logik, die eng mit der intuitionistischen Mathematik verwandt ist, in Form einer axiomatischen impliziten Minimalrechnung von Sätzen und Prädikaten. Damit präsentierte der Wissenschaftler ein neues Modell mathematischen Wissens, das die Grenzen des Intuitionismus, der nur die Intuition als Erkenntnismittel anerkennt, und die Grenzen des Logizismus, der die Möglichkeiten der Logik in der Mathematik verabsolutiert, überwindet. Diese Position ermöglichte es, die Synthese des Intuitiven und Logischen als Grundlage flexibler Rationalität und ihrer konstruktiven Wirksamkeit in mathematischer Form darzustellen.

Schlussfolgerungen. Somit ermöglicht uns der erkenntnistheoretische Aspekt des mathematischen Wissens, die revolutionären Veränderungen im Stadium der Krise der Grundlagen der Mathematik an der Wende vom 19. zum 20. Jahrhundert zu bewerten. aus neuen Positionen im Verständnis des Erkenntnisprozesses, der Natur und Rolle des Subjekts darin. Das erkenntnistheoretische Subjekt der traditionellen Erkenntnistheorie, das der Zeit der Vorherrschaft des mengentheoretischen Ansatzes in der Mathematik entspricht, ist ein abstraktes, unvollständiges, „partielles“ Subjekt, dargestellt in Subjekt-Objekt-Beziehungen, zerrissen durch Abstraktionen, Logik, Formalismus von der Realität, rational, theoretisch seinen Gegenstand kennend und als Spiegel verstanden, der die Realität genau widerspiegelt und kopiert. Tatsächlich wurde das Subjekt als realer Prozess und Ergebnis der Interaktion mit dem Objekt von der Wahrnehmung ausgeschlossen. Der Eintritt des Intuitionismus in die Arena des Kampfes philosophischer Strömungen in der Mathematik führte zu einem neuen Verständnis des Mathematikers als Wissenssubjekt – eines wissenden Menschen, dessen philosophische Abstraktion sozusagen neu aufgebaut werden muss. Der Mathematiker erschien als empirisches Subjekt, das bereits als integrale reale Person verstanden wurde, einschließlich aller Eigenschaften, von denen im erkenntnistheoretischen Subjekt abstrahiert wurde – empirische Konkretheit, Variabilität, Historizität; es ist ein Handeln und Erkennen in realer Erkenntnis, ein schöpferisches, intuitives, erfinderisches Subjekt. Die Philosophie der intuitionistischen Mathematik ist zur Grundlage des modernen erkenntnistheoretischen Paradigmas geworden, das auf dem Konzept der flexiblen Rationalität aufbaut, in der der Mensch ein integraler (ganzheitlicher) Erkenntnissubjekt ist, der über neue kognitive Qualitäten, Methoden und Verfahren verfügt; er synthetisiert seine abstrakt-erkenntnistheoretische und logisch-methodische Natur und Form und erhält gleichzeitig eine existentiell-anthropologische und „historisch-metaphysische“ Erfassung.

Ein wichtiger Punkt ist auch die Intuition beim Erkennen und insbesondere bei der Bildung mathematischer Konzepte. Auch hier gibt es einen Kampf mit der Philosophie, Versuche, das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte auszuschließen, da es in der Mathematik keine Bedeutung hat und aus der Philosophie kommt. Die übermäßige Betonung der Intuition und das Fehlen klarer mathematischer Begründungen erlaubten es jedoch nicht, die Mathematik auf eine solide Grundlage zu stellen.

Nach dem Aufkommen eines strengen Algorithmuskonzepts in den 1930er Jahren wurde der Staffelstab vom Intuitionismus jedoch vom mathematischen Konstruktivismus übernommen, dessen Vertreter einen wesentlichen Beitrag zur modernen Berechenbarkeitstheorie leisteten. Darüber hinaus wurden in den 1970er und 1980er Jahren bedeutende Verbindungen zwischen einigen Ideen der Intuitionisten (auch solchen, die zuvor absurd erschienen) und der mathematischen Theorie des Topos entdeckt. Die in manchen Topoi gefundene Mathematik ist der Mathematik, die die Intuitionisten zu schaffen versuchten, sehr ähnlich.

Als Ergebnis kann man eine Aussage treffen: Die meisten der oben genannten Paradoxien existieren in der Theorie der Mengen mit Selbstbesitz einfach nicht. Ob ein solcher Ansatz endgültig ist, ist fraglich, weitere Arbeiten in diesem Bereich werden zeigen.

Abschluss

Die dialektisch-materialistische Analyse zeigt, dass Paradoxien eine Folge der Dichotomie von Sprache und Denken sind, Ausdruck tiefer dialektischer (Gödels Theorem ermöglichte die Manifestation der Dialektik im Erkenntnisprozess) und erkenntnistheoretischer Schwierigkeiten, die mit den Konzepten eines Objekts und eines Subjekts verbunden sind Bereich in der formalen Logik, eine Menge (Klasse) in der Logik und Mengenlehre, unter Verwendung des Abstraktionsprinzips, das die Einführung neuer (abstrakter) Objekte (Unendlichkeit) ermöglicht, mit Methoden zur Definition abstrakter Objekte in der Wissenschaft usw. Daher Es kann kein universeller Weg zur Beseitigung aller Paradoxien gegeben werden.

Ob die dritte Krise der Mathematik vorbei ist (weil sie in einem kausalen Zusammenhang mit Paradoxien stand; jetzt sind Paradoxien ein integraler Bestandteil) – hier gehen die Meinungen auseinander, obwohl formal bekannte Paradoxien bis 1907 beseitigt wurden. Allerdings gibt es in der Mathematik mittlerweile andere Umstände, die entweder als Krise oder als Vorbote einer Krise angesehen werden können (z. B. das Fehlen einer strengen Begründung für das Pfadintegral).

Was Paradoxien betrifft, so spielte das bekannte Lügnerparadoxon in der Mathematik eine sehr wichtige Rolle, ebenso wie eine ganze Reihe von Paradoxien in der sogenannten naiven (vorhergehenden axiomatischen) Mengenlehre, die eine Krise der Grundlagen verursachten (eines dieser Paradoxien spielte). eine fatale Rolle im Leben von H. Frege). Aber eines der vielleicht am meisten unterschätzten Phänomene der modernen Mathematik, das sowohl als paradox als auch als krisenhaft bezeichnet werden kann, ist Paul Cohens Lösung von Hilberts erstem Problem im Jahr 1963. Genauer gesagt, nicht die Tatsache der Entscheidung selbst, sondern die Art dieser Entscheidung.

Literatur

Georg Cantor. Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre. Mathematische Annalen, 46:481-512, 1895.
IN. Burova. Paradoxien der Mengenlehre und Dialektik. Wissenschaft, 1976.
M.D. Töpfer. Mengenlehre und ihre Philosophie: eine kritische Einführung. Oxford University Press, Incorporated, 2004.
Schukow N.I. Philosophische Grundlagen der Mathematik. Minsk: Universitetskoe, 1990.
Feynman R.F., S. Ilyin. Natürlich machen Sie Witze, Mr. Feynman!: Die Abenteuer eines erstaunlichen Mannes, die er R. Layton erzählt hat. Kolibri, 2008.
O. M. Mischewitsch. Zwei Wege zur Überwindung von Paradoxien in der Mengenlehre von G. Kantor. Logische und philosophische Studien, (3):279–299, 2005.
S. I. Masalova. PHILOSOPHIE DER INTUITIONISTISCHEN MATHEMATIK. Bulletin der DSTU, (4), 2006.
Tschechulin V.L. Mengentheorie mit Selbsteigentum (Grundlagen und einige Anwendungen). Dauerwelle. Zustand un-t. – Dauerwelle, 2012.
S. N. Tronin. Eine kurze Zusammenfassung der Vorlesungen zur Disziplin „Philosophie der Mathematik“. Kasan, 2012.
Grishin V.N., Bochvar D.A. Studien zur Mengenlehre und nichtklassischen Logik. Wissenschaft, 1976.
Hofstadter D. Gödel, Escher, Bach: diese endlose Girlande. Bahrakh-M, 2001.
Kabakov F.A., Mendelson E. Einführung in die mathematische Logik. Verlag „Nauka“, 1976.
JA. Bochvar. Zur Frage der Paradoxien der mathematischen Logik und Mengenlehre. Mathematische Sammlung, 57(3):369–384, 1944.

I. Grundbegriffe und Axiome der Mengenlehre

Im Laufe der Jahrtausende ihres Bestehens hat die Mathematik von den einfachsten Vorstellungen über Zahlen und Zahlen viele neue Konzepte und Methoden hervorgebracht. Es ist zu einem leistungsstarken Werkzeug für das Studium der Natur und zu einem flexiblen Instrument für die Praxis geworden. Das 20. Jahrhundert brachte neue Ideen und Theorien in die Mathematik und der Anwendungsbereich erweiterte sich. Die Mathematik nimmt im System der Wissenschaften eine Sonderstellung ein – sie lässt sich weder den Geistes- noch den Naturwissenschaften zuordnen. Aber sie stellte die grundlegenden Konzepte vor, die darin verwendet werden. Ein solcher Begriff ist der Begriff „Menge“, der erstmals in der Mathematik entstand und heute allgemeinwissenschaftlich ist.

Der erste Entwurf der Mengenlehre stammt von Bernard Bolzano (Paradoxes of the Infinite, 1850). In dieser Arbeit werden beliebige (numerische) Mengen betrachtet und für deren Vergleich das Konzept der Eins-zu-eins-Korrespondenz definiert.

Ende des 19. Jahrhunderts gab Georg Cantor, der deutsche Mathematiker und Begründer der Mengenlehre, eine intuitive Definition des Begriffs „Menge“ wie folgt: „Viele sind viele als Ganzes gedacht“. Eine solche Definition einer Menge erforderte die Einführung drei Zeichen.

Erste von ihnen muss die Menge als etwas „Einziges“ darstellen, d.h. repräsentativ für die Menge sein. Als solches Symbol ist es üblich, jeden Großbuchstaben eines beliebigen Alphabets zu verwenden: zum Beispiel zur Bezeichnung von Mengen mit Großbuchstaben des lateinischen Alphabets A, B, ..., X oder eines anderen nach Vereinbarung.

Zweite Das Symbol muss „viele“ darstellen, also als Element einer Menge betrachtet werden. Als dieses Symbol werden üblicherweise Kleinbuchstaben desselben Alphabets verwendet: a, b, ..., z.

Dritte Ein Symbol muss ein Element eindeutig einer Menge zuordnen. Das Zeichen wird als entsprechendes Symbol definiert, das aus dem ersten Buchstaben des griechischen Wortes (sein) stammt. Der Eintrag definiert die Beziehung: x ist ein Element von X. Um anzuzeigen, dass x kein Element von X ist, schreiben Sie .

Es ist zu beachten, dass eine solche Definition des Mengenbegriffs zu einer Reihe interner Widersprüche der Theorie führt – den sogenannten Paradoxien.

Betrachten Sie zum Beispiel Russells Paradoxon. Friseur
(Element x), die in einem Dorf leben und sich nicht rasieren (X sei die Menge aller und nur derjenigen Bewohner des gegebenen Dorfes, die sich nicht rasieren). Rasiert sich der Friseur? Das heißt, oder? Es ist unmöglich, die Frage zu beantworten, denn wenn wir beispielsweise davon ausgehen, dass wir sofort auf einen Widerspruch stoßen: und umgekehrt.

Im schulischen Mathematikunterricht betrachten die Schüler den Begriff einer Menge als einen undefinierbaren Begriff, der als eine Menge von Objekten der uns umgebenden Realität verstanden wird, die als ein einziges Ganzes verstanden werden. Und jedes Objekt dieser Sammlung wird aufgerufen Element dieses Sets.

Derzeit gibt es mehrere axiomatische Systeme der Mengenlehre:

Zermelos Axiomensystem. Dieses Axiomensystem wird oft durch das Auswahlaxiom ergänzt und wird als Zermelo-Fraenkel-System mit dem Auswahlaxiom (ZFC) bezeichnet.

Axiome der NBG-Theorie. Dieses von Neumann vorgeschlagene Axiomensystem wurde später von Robinson, Bernays und Gödel überarbeitet und vereinfacht.

Das Zermelo-System (Z-System) besteht aus 7 Axiomen. Beschreiben wir diese Axiome in dem Rahmen, in dem sie im schulischen Mathematikunterricht verwendet werden.

Axiom des Volumens (Z1). Wenn alle Elemente der Menge A zur Menge B gehören und alle Elemente der Menge B auch zur Menge A gehören, dann ist A=B.

Um dieses Axiom zu verdeutlichen, müssen wir den Begriff „Teilmenge“ verwenden: Wenn jedes Element der Menge A ein Element der Menge Z ist, dann sagen wir, dass A es ist Teilmenge Z, und schreibe . Das Symbol heißt „on“. Wenn die Möglichkeit einer Situation, in der Z=A ist, nicht ausgeschlossen ist, schreiben sie, um sich darauf zu konzentrieren.

Indem wir den Begriff „Teilmenge“ einführen, formulieren wir Axiom 1 in symbolischer Form: .

Paaraxiom (Z2). Für beliebige a und b gibt es eine Menge, deren einzige Elemente (a,b) sind.

Dieses Axiom wird verwendet, um das kartesische Produkt von Mengen zu erklären, wobei das Ausgangskonzept ein „geordnetes Paar“ ist. Unter geordnetes Paar die Gesamtheit zweier Elemente verstehen, von denen jedes einen bestimmten Platz in der Aufzeichnung einnimmt. Ein geordnetes Paar wird wie folgt bezeichnet: (a, b).

Das Summenaxiom (Z3). Für beliebige Mengen A und B gibt es eine eindeutige Menge C, deren Elemente alle Elemente der Menge A und alle Elemente der Menge B sind und die keine anderen Elemente mehr enthält.

In symbolischer Form kann Axiom Z3 wie folgt geschrieben werden: . Basierend auf diesem Axiom und den daraus folgenden Theoremen werden die Eigenschaften von Mengenoperationen angegeben, deren Beschreibung in Abschnitt 3 vorgestellt wird. Die Axiome Z1 und Z2 ermöglichen uns die Einführung des Konzepts der Operation der Vereinigung, Schnittmenge, Addition , Differenz der Mengen.

Gradaxiom (Z4). Für jede Menge X gibt es eine Menge aller ihrer Teilmengen P(X).

Axiom der Unendlichkeit (Z6). Es gibt mindestens eine unendliche Menge – die natürliche Zahlenreihe.

Axiom der Wahl (Z7). Für jede Familie nicht leerer Mengen gibt es eine Funktion, die jeder Menge der Familie eines der Elemente dieser Menge zuordnet. Die Funktion wird aufgerufen Auswahlfunktion für eine bestimmte Familie.

Es ist erwähnenswert, wie wichtig die entsprechenden Axiome sind, da Mengen und Beziehungen zwischen ihnen Gegenstand der Untersuchung jeder mathematischen Disziplin sind.

Wir weisen auf eine weitere wichtige Entdeckung der Mengenlehre hin – das Bild von Beziehungen zwischen Teilmengen zur visuellen Darstellung. Einer der ersten, der diese Methode anwendete, war der herausragende deutsche Mathematiker und Philosoph Gottfried Wilhelm Leibniz. Dann wurde diese Methode von Leonhard Euler recht gründlich entwickelt. Nach Euler wurde die gleiche Methode vom tschechischen Mathematiker Bernard Bolzano entwickelt. Nur zeichnete er im Gegensatz zu Euler keine kreisförmigen, sondern rechteckige Diagramme. Die Euler-Kreis-Methode wurde auch vom deutschen Mathematiker Ernest Schröder verwendet. Ihre größte Blüte erlebten die grafischen Methoden jedoch in den Schriften des englischen Logikers John Venn. Zu Ehren von Venn werden die entsprechenden Figuren manchmal anstelle von Euler-Kreisen als Venn-Diagramme bezeichnet, in manchen Büchern auch als Euler-Venn-Diagramme. Euler-Venn-Diagramme werden nicht nur in der Mathematik und Logik, sondern auch im Management und anderen Anwendungsbereichen verwendet.

II. Beziehungen zwischen Mengen und Möglichkeiten, sie zu definieren

Unter Mengen versteht man also eine Menge beliebiger Objekte, die als Ganzes denkbar sind. Sets können aus Objekten sehr unterschiedlicher Natur bestehen. Ihre Elemente können Buchstaben, Atome, Zahlen, Gleichungen, Punkte, Winkel usw. sein. Dies erklärt die extreme Breite der Mengenlehre und ihre Anwendung auf die unterschiedlichsten Wissensgebiete (Mathematik, Physik, Wirtschaftswissenschaften, Linguistik usw.).

Es wird angenommen, dass eine Menge durch ihre Elemente definiert wird, das heißt, eine Menge ist gegeben, wenn man sagen kann, dass ein Objekt zu dieser Menge gehört oder nicht. Es gibt zwei Möglichkeiten, Mengen anzugeben.

Elementaufzählungen.

Besteht die Menge A beispielsweise aus den Elementen a, b, c, dann schreiben sie: A = (a, b, c).

Nicht jede Menge kann mithilfe einer Aufzählung von Elementen angegeben werden. Mengen, deren Elemente alle aufgezählt werden können, heißen endlich. Mengen, deren Elemente nicht alle aufgezählt werden können, heißen unendlich. Sie können nicht durch eine Aufzählung von Elementen angegeben werden. Die Ausnahme bilden unendliche Mengen, bei denen die Reihenfolge der Bildung jedes nächsten Elements auf der Grundlage des vorherigen klar ist. Beispielsweise ist die Menge der natürlichen Zahlen eine unendliche Menge. Es ist jedoch bekannt, dass darin jede nächste Zahl, beginnend mit der zweiten, um 1 größer ist als die vorherige. Daher können Sie N = (1, 2, 3, 4, ...) wie folgt festlegen.

Die Menge kann mit angegeben werden Hinweis auf eine charakteristische Eigenschaft.

charakteristische Eigenschaft einer gegebenen Menge ist eine Eigenschaft, die alle Elemente dieser Menge haben und keines der Elemente, die nicht zu ihr gehören. Es wird mit A = (x|…) bezeichnet, wobei nach dem vertikalen Balken die charakteristische Eigenschaft der Elemente dieser Menge geschrieben wird.

Beispiel: B=(1,2,3). Es ist leicht zu erkennen, dass jedes Element der Menge B eine natürliche Zahl kleiner als 4 ist. Diese Eigenschaft der Elemente der Menge B ist für sie charakteristisch. В этом случае пишут: и читают: «Множество В состоит из таких элементов х, что х принадлежит множеству натуральных чисел и х меньше четырех» или множество В состоит из натуральных чисел, меньших 4. Множество В можно задать и по - другому: или , usw.

Wenn ein Element außerdem nicht der charakteristischen Eigenschaft der Menge entspricht, gehört es nicht zu dieser Menge. Es gibt Mengen, die nur durch Angabe einer charakteristischen Eigenschaft spezifiziert werden können, zum Beispiel .

Von besonderer Bedeutung im Schulunterricht sind Mathematik Zahlensätze, d.h. eine Menge, deren Elemente Zahlen sind. Für die Bezeichnung numerischer Mengen in der Mathematik wird eine spezielle Schreibweise akzeptiert:

N = (1, 2, 3, 4, …) – Menge natürlicher Zahlen;

Z = (…,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …) – eine Menge von ganzen Zahlen (enthält alle natürlichen Zahlen und ihre Gegenzahlen);

Q = (x | x=p/q, wobei p∈Z, q∈N) – die Menge der rationalen Zahlen (besteht aus Zahlen, die als gewöhnlicher Bruch dargestellt werden können);

J – eine Menge irrationaler Zahlen (eine Menge bestehend aus unendlichen dezimalen nichtperiodischen Brüchen, zum Beispiel: 1,23456342 …;, usw.)

R = (-∞; +∞) – die Menge der reellen Zahlen.

Die Menge aller reellen Zahlen wird von L. Euler anhand von Kreisen dargestellt. (Abb. 1)

Es ist zu beachten, dass alle beliebigen numerischen Mengen mithilfe eines numerischen Intervalls angegeben werden können. (Abb. 2)

Arten von numerischen Bereichen

Die oben besprochene Menge C ist eine numerische Menge und kann mithilfe einer numerischen Lücke angegeben werden (Abb. 3).

Abbildung 3 – Numerische Lücke

Lassen Sie uns noch auf eine weitere wichtige Regel zur Angabe von Zahlenmengen hinweisen: Endliche Zahlenmengen werden auf der reellen Linie durch einzelne Punkte dargestellt.

In der Mathematik muss man manchmal Mengen berücksichtigen, die nur ein Element enthalten, und sogar Mengen, die kein einziges Element haben. Eine Menge, die kein Element enthält, wird aufgerufen leer. Es wird mit dem Zeichen ∅ bezeichnet. Zum Beispiel sei eine Menge A=(x|x∈N∧-2 gegeben

Es ist erwähnenswert, dass bei zwei oder mehr Sätzen möglicherweise eine Beziehung zwischen ihnen besteht oder auch nicht. Stehen die Mengen in irgendeiner Beziehung, dann sprechen wir von einer Beziehung Gleichwertigkeit oder Beziehung Aufnahme.

Stellen Sie A ein anmachen zur Menge B, wenn jedes Element der Menge A zur Menge B gehört. Diese Beziehung wird wie folgt bezeichnet: A⊂B. Oder anders gesagt: Menge A sei eine Teilmenge von Menge B.

Die Mengen A und B werden aufgerufen gleich, genau dann, wenn jedes Element der Menge A zur Menge B gehört und gleichzeitig jedes Element der Menge B zur Menge A gehört. Diese Beziehung wird wie folgt bezeichnet: A \u003d B

Zum Beispiel:

1) A=(a,b,c,d) und B=(b,d), diese Mengen stehen im Zusammenhang mit der Inklusion B⊂A, weil Jedes Element der Menge B gehört zur Menge A.

2) M=(x|x∈R∧x<6}=(-∞;6) и K{x|x∈R∧x≤8}=(-∞;8], эти множества находятся в отношении включения M⊂K, т.к. каждый элемент множества M принадлежит множеству K (Рис. 4)

Abbildung 4 – Numerische Lücke

3) A=(x|x∈N∧x:2)=(2,4,6,8,10,...) und B=(x|x∈N∧x:3)=(3,6 ,9,12,...) stehen diese beiden Mengen in keiner Beziehung A⊄B, da die Menge A ein Element 2 hat, das nicht zur Menge B gehört

und B⊄A, weil In der Menge B gibt es ein Element 3, das nicht zur Menge A gehört.

Daher stehen diese Mengen in keiner Beziehung zueinander.

III. Operationen und Eigenschaften von Operationen auf Mengen

Def.1. Kreuzung Mengen A und B ist eine Operation, deren Ergebnis eine Menge ist, die nur aus den Elementen besteht, die gleichzeitig zu A und B gehören.

A∩B=(x|x∈A∧x∈B)

Def.2.Verband Bei den Mengen A und B handelt es sich um eine Operation, deren Ergebnis eine Menge ist, die nur aus den Elementen besteht, die zur Menge A oder zur Menge B (d. h. mindestens einer dieser Mengen) gehören.

A∪B=(x|x∈A∨x∈B)

Def.3. Unterschied Die Mengen A und B werden als Operation bezeichnet, deren Ergebnis eine Menge ist, die nur aus den Elementen besteht, die zu A und nicht gleichzeitig zu B gehören.

A\ B =(x∈A∧x∉B)

Def.4. Ergänzung der Menge A zur Universalmenge Als Menge wird eine Menge bezeichnet, deren jedes Element zum Universellen gehört und nicht zu A gehört.

Ausdrücke festlegen

Aus Mengen, Zeichen von Operationen auf ihnen und möglicherweise Klammern können Ausdrücke gebildet werden. Zum Beispiel A∩B\C.

Sie müssen die Reihenfolge der Operationen in solchen Ausdrücken kennen und sie lesen können.

Reihenfolge der Operationen

wenn keine Klammern vorhanden sind, wird zunächst die Addition einer einfachen Menge zur Universalmenge durchgeführt, dann der Schnittpunkt und die Vereinigung (sie sind einander gleich) und zuletzt die Differenz;

Wenn der Ausdruck Klammern enthält, führen Sie zuerst die Operationen in den Klammern in der in Absatz 1 angegebenen Reihenfolge aus und dann alle Operationen außerhalb der Klammern.

Zum Beispiel: a) A∩B\C; b) A∩(B\C); c) A∩(B\C)" .

Das Lesen des Ausdrucks beginnt mit dem Ergebnis der letzten Operation. Ausdruck a) lautet beispielsweise wie folgt: die Differenz zweier Mengen, von denen die erste der Schnittpunkt der Mengen A und B und die zweite die Menge C ist.

Euler-Kreise

Operationen an Mengen und Beziehungen zwischen ihnen können mithilfe von Eulerkreisen dargestellt werden. Hierbei handelt es sich um spezielle Zeichnungen, in denen gewöhnliche Mengen durch Kreise dargestellt werden, die universelle Menge durch ein Rechteck.

Aufgabe. Zeichnen Sie die Menge (A∪B)"∩C unter Verwendung von Eulerkreisen.

Lösung. Ordnen wir die Reihenfolge der Ausführung der Operationen in diesem Ausdruck an: (A∪B) "∩C. Schattieren Sie die Ergebnisse der Operationen entsprechend der Reihenfolge ihrer Ausführung

Legen Sie die Operationseigenschaften fest(Abb.5)

Die Eigenschaften I - 8 und 1 0 - 8 0 sind durch das sogenannte Dualitätsprinzip miteinander verbunden:

Wenn in einer der beiden Eigenschaftsspalten die Vorzeichen ∩→∪, ∪→∩, ∅→U, U→∅ vertauscht sind, erhält man eine weitere Eigenschaftsspalte.

IV. Eine Menge in Klassen unterteilen

Man geht davon aus, dass die Menge X in paarweise disjunkte Teilmengen oder Klassen unterteilt ist, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1) der Schnittpunkt zweier beliebiger Teilmengen ist leer;

2) Die Vereinigung aller Teilmengen fällt mit der Menge X zusammen.

Die Einteilung einer Menge in Klassen wird als Klassifikation bezeichnet.

V. Kartesisches Produkt von Mengen

Das kartesische Produkt der Mengen A und B ist eine Menge von Paaren, deren erste Komponente jeweils zur Menge A und die zweite zur Menge B gehört. Das kartesische Produkt der Mengen A und B wird mit A x B bezeichnet. Somit gilt: A×B=((x,y)|x ∈A˄y∈B). Die Operation zum Ermitteln des kartesischen Produkts der Mengen A und B wird als kartesische Multiplikation dieser Mengen bezeichnet. Wenn A und B numerische Mengen sind, dann sind die Elemente des kartesischen Produkts dieser Mengen geordnete Zahlenpaare.

VI. Summen- und Produktregeln

Bezeichnen Sie die Anzahl der Elemente einer endlichen Menge A mit n(A). Wenn sich die Mengen A und B nicht schneiden, dann ist n(AUB)= n(A) + n(B). Wenn sich die Mengen A und B schneiden, dann ist n(A U B) = n (A) + n (B) - n (A ∩ B).

Die Anzahl der Elemente des kartesischen Produkts der Mengen A und B wird durch die Formel n (A X B) = n (A) berechnet. n(B).

Die Regel zum Zählen der Anzahl der Elemente der Vereinigung disjunkter endlicher Mengen in der Kombinatorik heißt Summenregel, wenn das Element x auf k Arten und das Element y auf m Arten gewählt werden kann und keine der Möglichkeiten zur Auswahl besteht Wenn das Element x mit der Art der Auswahl des Elements y übereinstimmt, kann die Auswahl „x oder y“ auf k + m Arten erfolgen.

Die Regel zum Zählen der Anzahl der Elemente eines kartesischen Produkts endlicher Mengen in der Kombinatorik wird Produktregel genannt: Wenn ein Element x auf k Arten und ein Element y auf m Arten ausgewählt werden kann, dann ist das Paar (x, y) kann in km-Schritten gewählt werden.

VII. Liste der verwendeten Quellen

Aseev G.G. Abramov O.M., Sitnikov D.E. Diskrete Mathematik: Lehrbuch. - Rostow n/a: „Phoenix“, Charkow: „Torsing“, 2003, -144s.

Vilenkin N. Ya. Algebra. Lehrbuch für die Klassenstufen IX – X weiterführender Schulen mit mathematischer Spezialisierung, 1968

Vilenkin N.Ya. Geschichten festlegen. M.: Verlag „Wissenschaft“. - 1965. - 128s

Euler-Diagramme - Venn.URL: http://studopedia.net/1_5573_diagrammi-eylera-venna.html

Kireenko S.G., Grinshpon I.E. Elemente der Mengenlehre (Lehrbuch). - Tomsk, 2003. - 42 S.

Kuratovsky K., Mostovsky A. Mengenlehre. - M.: Mir, 1970, - 416s.

Teilen Sie diesen Artikel mit Ihren Freunden:

Ähnliche Artikel

Politische Karte der östlichen Hemisphäre

N.V. Gogol „Der Regierungsinspektor“: Beschreibung, Charaktere, Comedy-Analyse. Aufdeckung der Laster der Bürokratie in der Komödie „Generalinspekteur“ Die Geschichte des Schreibens „Der Generalinspekteur“

Und die Morgendämmerung hier ist still in der Reduktion

Diskutieren:

Lenskys Duell mit Onegin (Analyse einer Episode aus dem sechsten Kapitel des Romans A: Er setzt sich, fliegt zur Mühle. In Eile. Er erzählt dem Diener Lepage Trunks ...
Was ist der Vorschlag: Wo sitzt Kolobok? Auf einem Baumstumpf. Präposition NA. Reis. 6. Lebkuchenmann auf einem Baumstumpf () ...
Struktur, innere Systeme, Vergleich mit anderen Wurmarten: Allgemeine Merkmale der Art Spulwürmer. Spulwürmer oder Nematoden, ...
Zählt die Präposition „für“ als Wort?: Wie Sie wissen, ist die russische Sprache unglaublich reich an lexikalischen und...