So zerlegen Sie die Summe der Würfel. Abgekürzte Multiplikationsformeln
In früheren Lektionen haben wir zwei Möglichkeiten untersucht, ein Polynom in Faktoren zu zerlegen: Klammern und Gruppierung.
In dieser Lektion werden wir uns einen anderen Weg ansehen, um ein Polynom zu faktorisieren unter Verwendung abgekürzter Multiplikationsformeln.
Wir empfehlen, jede Formel mindestens 12 Mal zu verschreiben. Schreiben Sie zum besseren Auswendiglernen alle Formeln für die abgekürzte Multiplikation für sich selbst auf einen kleinen Spickzettel.
Erinnern wir uns, wie die Formel für den Unterschied der Würfel aussieht.
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)Die Formel für den Unterschied zwischen Würfeln ist nicht leicht zu merken, daher empfehlen wir, sie auf besondere Weise zu merken.
Es ist wichtig zu verstehen, dass jede Formel für die abgekürzte Multiplikation auch in funktioniert rückseite.
(a - b) (a 2 + ab + b 2) \u003d a 3 - b 3Schauen wir uns ein Beispiel an. Es ist notwendig, den Unterschied zwischen den Würfeln zu berücksichtigen.
Beachten Sie, dass "27a 3" "(3a) 3" ist, was bedeutet, dass für die Formel für die Differenz zwischen Würfeln anstelle von "a" "3a" verwendet wird.
Wir verwenden die Formel für die Differenz der Würfel. An Stelle "a 3" haben wir "27a 3" und an Stelle "b 3", wie in der Formel, gibt es "b 3".
Anwenden der Differenz der Würfel in die entgegengesetzte Richtung
Schauen wir uns ein anderes Beispiel an. Sie möchten das Produkt der Polynome mit der abgekürzten Multiplikationsformel in die Differenz der Würfel umwandeln.
Beachten Sie, dass das Produkt der Polynome "(x - 1) (x 2 + x + 1)" der rechten Seite der Formel für den Unterschied zwischen Würfeln "" ähnelt, nur anstelle von "a" gibt es "x" und stattdessen von "b" gibt es "1" ...
Wir verwenden für "(x - 1) (x 2 + x + 1)" die Formel der Differenz der Würfel in die entgegengesetzte Richtung.
Schauen wir uns ein komplizierteres Beispiel an. Es ist erforderlich, das Produkt von Polynomen zu vereinfachen.
Wenn wir "(y 2 - 1) (y 4 + y 2 + 1)" mit der rechten Seite der Würfeldifferenzformel vergleichen
« a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)", Dann können Sie verstehen, dass an der Stelle" a "aus der ersten Klammer" y 2 "und an der Stelle" b "" 1 "steht.
Abkürzungsmultiplikationsformeln (ACF) werden zur Exponentiation und Multiplikation von Zahlen und Ausdrücken verwendet. Mit diesen Formeln können Sie häufig Berechnungen kompakter und schneller durchführen.
In diesem Artikel werden wir die Grundformeln für die abgekürzte Multiplikation auflisten, sie in einer Tabelle gruppieren, Beispiele für die Verwendung dieser Formeln betrachten und auch auf die Prinzipien der Beweise für abgekürzte Multiplikationsformeln eingehen.
Zum ersten Mal wird das Thema FSU im Rahmen des "Algebra" -Kurses für die 7. Klasse behandelt. Nachfolgend finden Sie 7 Grundformeln.
Abgekürzte Multiplikationsformeln
- formel für das Quadrat der Summe: a + b 2 \u003d a 2 + 2 a b + b 2
- die Formel für das Quadrat der Differenz: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
- summenwürfelformel: a + b 3 \u003d a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
- differenzwürfelformel: a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
- quadratdifferenzformel: a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
- die Formel für die Summe der Würfel: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
- die Formel für die Differenz der Würfel: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2
Die Buchstaben a, b, c in diesen Ausdrücken können beliebige Zahlen, Variablen oder Ausdrücke sein. Zur Vereinfachung der Verwendung ist es am besten, die sieben Grundformeln auswendig zu lernen. Fassen wir sie in einer Tabelle zusammen und präsentieren sie unten mit einem Rahmen.
Mit den ersten vier Formeln können Sie jeweils das Quadrat oder den Würfel der Summe oder Differenz zweier Ausdrücke berechnen.
Die fünfte Formel berechnet die Differenz der Quadrate der Ausdrücke durch das Produkt ihrer Summe und der Differenz.
Die sechste und siebte Formel sind die Multiplikation der Summe und der Differenz der Ausdrücke mit dem unvollständigen Quadrat der Differenz und dem unvollständigen Quadrat der Summe.
Die abgekürzte Multiplikationsformel wird manchmal auch als abgekürzte Multiplikationsidentität bezeichnet. Dies ist nicht überraschend, da jede Gleichheit eine Identität ist.
Bei der Lösung praktischer Beispiele werden häufig abgekürzte Multiplikationsformeln mit neu angeordneten linken und rechten Seiten verwendet. Dies ist besonders praktisch, wenn eine Faktorisierung eines Polynoms stattfindet.
Zusätzliche abgekürzte Multiplikationsformeln
Wir werden uns nicht auf den Algebra-Kurs der 7. Klasse beschränken und unserer FSU-Tabelle einige weitere Formeln hinzufügen.
Betrachten Sie zunächst die Newton-Binomialformel.
a + b n \u003d C n 0 a n + C n 1 a n - 1 b + C n 2 a n - 2 b 2 +. ... + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n
Hier sind C n k die Binomialkoeffizienten, die in Zeile n im Pascal-Dreieck erscheinen. Binomialkoeffizienten werden nach folgender Formel berechnet:
C n k \u003d n! k! (N - k)! \u003d n (n - 1) (n - 2). ... (n - (k - 1)) k!
Wie Sie sehen können, ist die FSE für das Quadrat und den Würfel der Differenz und der Summe ein Sonderfall der Newton-Binomialformel für n \u003d 2 bzw. n \u003d 3.
Aber was ist, wenn die Summe mehr als zwei Begriffe enthält, die zur Macht erhoben werden sollen? Die Formel für das Quadrat der Summe von drei, vier oder mehr Begriffen ist nützlich.
a 1 + a 2 +. ... + a n 2 \u003d a 1 2 + a 2 2 +. ... + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 +. ... + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 +. ... + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n
Eine andere Formel, die nützlich sein kann, ist die Formel für die Differenz zwischen der n-ten Potenz zweier Terme.
a n - b n \u003d a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 +. ... + a 2 b n - 2 + b n - 1
Diese Formel wird normalerweise in zwei Formeln unterteilt - für gerade bzw. ungerade Grade.
Für gerade Indikatoren 2m:
a 2 m - b 2 m \u003d a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 +. ... + b 2 m - 2
Für ungerade Exponenten 2m + 1:
a 2 m + 1 - b 2 m + 1 \u003d a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 +. ... + b 2 m
Die Formeln für die Differenz der Quadrate und die Differenz der Würfel sind Sonderfälle dieser Formel für n \u003d 2 bzw. n \u003d 3. Für die Differenz der Würfel wird b auch durch - b ersetzt.
Wie lese ich abgekürzte Multiplikationsformeln?
Wir werden die entsprechenden Formulierungen für jede Formel angeben, aber zuerst werden wir das Prinzip des Lesens von Formeln verstehen. Der bequemste Weg, dies zu tun, ist ein Beispiel. Nehmen wir die allererste Formel für das Quadrat der Summe zweier Zahlen.
a + b 2 \u003d a 2 + 2 a b + b 2.
Sie sagen: Das Quadrat der Summe zweier Ausdrücke a und b ist gleich der Summe des Quadrats des ersten Ausdrucks, des doppelten Produkts der Ausdrücke und des Quadrats des zweiten Ausdrucks.
Alle anderen Formeln werden auf die gleiche Weise gelesen. Für das Quadrat der Differenz a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 schreiben wir:
das Quadrat der Differenz zwischen den beiden Ausdrücken a und b ist gleich der Summe der Quadrate dieser Ausdrücke minus dem doppelten Produkt des ersten und zweiten Ausdrucks.
Lesen Sie die Formel a + b 3 \u003d a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Der Würfel der Summe zweier Ausdrücke a und b ist gleich der Summe der Würfel dieser Ausdrücke, dreimal so groß wie das Quadrat des ersten Ausdrucks durch den zweiten und dreimal so groß wie das Quadrat des zweiten Ausdrucks durch den ersten Ausdruck.
Wir lesen die Formel für die Differenz zwischen den Würfeln a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Der Würfel der Differenz zweier Ausdrücke a und b ist gleich dem Würfel des ersten Ausdrucks minus dem Dreifachen des Quadrats des ersten und des zweiten Ausdrucks plus dem Dreifachen des Quadrats des zweiten Ausdrucks und des ersten Ausdrucks abzüglich des Würfels des zweiten Ausdrucks.
Die fünfte Formel a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (Differenz der Quadrate) lautet wie folgt: Die Differenz der Quadrate zweier Ausdrücke ist gleich dem Produkt aus der Differenz und der Summe der beiden Ausdrücke.
Ausdrücke wie a 2 + a b + b 2 und a 2 - a b + b 2 werden der Einfachheit halber als unvollständiges Quadrat der Summe bzw. unvollständiges Quadrat der Differenz bezeichnet.
In diesem Sinne werden die Formeln für die Summe und Differenz der Würfel wie folgt gelesen:
Die Summe der Würfel zweier Ausdrücke ist gleich dem Produkt der Summe dieser Ausdrücke durch das unvollständige Quadrat ihrer Differenz.
Die Differenz zwischen den Würfeln zweier Ausdrücke ist gleich dem Produkt der Differenz zwischen diesen Ausdrücken und dem unvollständigen Quadrat ihrer Summe.
Nachweis des BFS
Es ist ziemlich einfach, das BFS zu beweisen. Basierend auf den Multiplikationseigenschaften multiplizieren wir die Teile der Formeln in Klammern.
Betrachten Sie beispielsweise die Formel für das Quadrat der Differenz.
a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.
Um einen Ausdruck auf die zweite Potenz zu heben, müssen Sie diesen Ausdruck mit sich selbst multiplizieren.
a - b 2 \u003d a - b a - b.
Erweitern wir die Klammern:
a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.
Die Formel ist bewiesen. Der Rest der BFS wird auf ähnliche Weise bewiesen.
Beispiele für die FSU-Anwendung
Der Zweck der Verwendung von abgekürzten Multiplikationsformeln besteht darin, Ausdrücke schnell und präzise zu multiplizieren und zu potenzieren. Dies ist jedoch nicht der gesamte Geltungsbereich des BFS. Sie werden häufig verwendet, um Ausdrücke abzukürzen, Brüche zu reduzieren und Polynome zu berücksichtigen. Hier sind einige Beispiele.
Beispiel 1. BFS
Vereinfachen Sie den Ausdruck 9 y - (1 + 3 y) 2.
Wir wenden die Formel für die Summe der Quadrate an und erhalten:
9 y - (1 + 3 y) 2 \u003d 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) \u003d 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 \u003d 3 y - 1 - 9 y 2
Beispiel 2. BFS
Reduzieren Sie den Bruch 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4.
Beachten Sie, dass der Ausdruck im Zähler die Differenz zwischen den Würfeln und der Nenner die Differenz zwischen den Quadraten ist.
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.
Wir verkürzen und bekommen:
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z
BFS helfen auch bei der Berechnung der Werte von Ausdrücken. Die Hauptsache ist, erkennen zu können, wo die Formel angewendet werden soll. Lassen Sie uns dies anhand eines Beispiels zeigen.
Quadrieren wir die Zahl 79. Anstelle umständlicher Berechnungen schreiben wir:
79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .
Es scheint, dass eine komplexe Berechnung schnell durchgeführt wurde, indem nur die abgekürzten Multiplikationsformeln und die Multiplikationstabelle verwendet wurden.
Ein weiterer wichtiger Punkt ist die Auswahl des Quadrats des Binomials. Der Ausdruck 4 x 2 + 4 x - 3 kann in 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 - 4 \u003d 2 x + 1 2 - 4 umgewandelt werden. Solche Transformationen werden häufig bei der Integration verwendet.
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Abgekürzte Multiplikationsformeln.
Untersuchung abgekürzter Multiplikationsformeln: das Quadrat der Summe und das Quadrat der Differenz zweier Ausdrücke; Differenz der Quadrate zweier Ausdrücke; der Würfel der Summe und der Würfel der Differenz zweier Ausdrücke; Summe und Differenz der Würfel zweier Ausdrücke.
Anwendung abgekürzter Multiplikationsformeln bei der Lösung von Beispielen.
Um Ausdrücke zu vereinfachen, Polynome zu faktorisieren und Polynome in eine Standardform zu bringen, werden abgekürzte Multiplikationsformeln verwendet. Abgekürzte Multiplikationsformeln müssen auswendig bekannt sein.
Lassen Sie a, b R. Dann:
1. Das Quadrat der Summe der beiden Ausdrücke ist das Quadrat des ersten Ausdrucks plus das doppelte Produkt des ersten Ausdrucks durch den zweiten plus das Quadrat des zweiten Ausdrucks.
(a + b) 2 \u003d a 2 + 2ab + b 2
2. Die quadratische Differenz der beiden Ausdrücke beträgt das Quadrat des ersten Ausdrucks minus das doppelte Produkt des ersten Ausdrucks durch den zweiten plus das Quadrat des zweiten Ausdrucks.
(a - b) 2 \u003d a 2 - 2ab + b 2
3. Unterschied der Quadratezwei Ausdrücke sind gleich dem Produkt der Differenz zwischen diesen Ausdrücken und ihrer Summe.
a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)
4. Summenwürfelvon zwei Ausdrücken ist gleich dem Würfel des ersten Ausdrucks plus dem dreifachen Quadrat des ersten Ausdrucks und dem zweiten plus dem dreifachen Produkt des ersten Ausdrucks und dem Quadrat des zweiten plus dem Würfel des zweiten Ausdrucks.
(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. Differenzwürfelzwei Ausdrücke sind gleich dem Würfel des ersten Ausdrucks minus dem dreifachen Quadrat des ersten Ausdrucks und dem zweiten plus dem dreifachen Produkt des ersten Ausdrucks und dem Quadrat des zweiten Ausdrucks minus dem Würfel des zweiten Ausdrucks.
(a - b) 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Summe der Würfelzwei Ausdrücke sind gleich dem Produkt der Summe der ersten und zweiten Ausdrücke durch das unvollständige Quadrat der Differenz dieser Ausdrücke.
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Unterschied der Würfel zwei Ausdrücke sind gleich dem Produkt der Differenz des ersten und des zweiten Ausdrucks durch das unvollständige Quadrat der Summe dieser Ausdrücke.
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Anwendung abgekürzter Multiplikationsformeln bei der Lösung von Beispielen.
Beispiel 1.
Berechnung
a) Unter Verwendung der Formel für das Quadrat der Summe zweier Ausdrücke haben wir
(40 + 1) 2 \u003d 40 2 + 2 40 1 + 1 2 \u003d 1600 + 80 + 1 \u003d 1681
b) Unter Verwendung der Formel für das Quadrat der Differenz zweier Ausdrücke erhalten wir
98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 \u003d 9604
Beispiel 2.
Berechnung
Unter Verwendung der Formel für die Differenz zwischen den Quadraten der beiden Ausdrücke erhalten wir
Beispiel 3.
Ausdruck vereinfachen
(x - y) 2 + (x + y) 2
Wir verwenden die Formeln für das Quadrat der Summe und das Quadrat der Differenz zweier Ausdrücke
(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2
Abgekürzte Multiplikationsformeln in einer Tabelle:
(a + b) 2 \u003d a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 \u003d a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)
(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Unterschied der Quadrate
Lassen Sie uns die Formel für die Differenz der Quadrate $ a ^ 2-b ^ 2 $ ableiten.
Beachten Sie dazu die folgende Regel:
Wenn wir dem Ausdruck ein Monom hinzufügen und dasselbe Monom subtrahieren, erhalten wir die richtige Identität.
Fügen wir unserem Ausdruck hinzu und subtrahieren das Monom $ ab $ davon:
Insgesamt erhalten wir:
Das heißt, die Differenz zwischen den Quadraten zweier Monome ist gleich dem Produkt ihrer Differenz durch ihre Summe.
Beispiel 1
Stellen Sie als Produkt $ (4x) ^ 2-y ^ 2 $ dar
\\ [(4x) ^ 2-y ^ 2 \u003d ((2x)) ^ 2-y ^ 2 \\]
\\ [((2x)) ^ 2-y ^ 2 \u003d \\ left (2x-y \\ right) (2x + y) \\]
Summe der Würfel
Wir leiten die Formel für die Summe der Würfel $ a ^ 3 + b ^ 3 $ ab.
Berücksichtigen Sie die gemeinsamen Faktoren:
Nehmen wir $ \\ left (a + b \\ right) $ außerhalb der Klammern heraus:
Insgesamt erhalten wir:
Das heißt, die Summe der Würfel zweier Monome ist gleich dem Produkt ihrer Summe durch das unvollständige Quadrat ihrer Differenz.
Beispiel 2
Stellen Sie als Produkt $ (8x) ^ 3 + y ^ 3 $ dar
Dieser Ausdruck kann wie folgt umgeschrieben werden:
\\ [(8x) ^ 3 + y ^ 3 \u003d ((2x)) ^ 3 + y ^ 3 \\]
Unter Verwendung der Formel für die Differenz der Quadrate erhalten wir:
\\ [((2x)) ^ 3 + y ^ 3 \u003d \\ left (2x + y \\ right) (4x ^ 2-2xy + y ^ 2) \\]
Unterschied der Würfel
Wir leiten die Formel für die Differenz der Würfel $ a ^ 3-b ^ 3 $ ab.
Hierfür verwenden wir die gleiche Regel wie oben.
Fügen Sie unserem Ausdruck hinzu und subtrahieren Sie die Monome $ a ^ 2b \\ und \\ (ab) ^ 2 $ davon:
Berücksichtigen Sie die gemeinsamen Faktoren:
Nehmen wir $ \\ left (a-b \\ right) $ außerhalb der Klammern heraus:
Insgesamt erhalten wir:
Das heißt, die Differenz zwischen den Würfeln zweier Monome ist gleich dem Produkt ihrer Differenz durch das unvollständige Quadrat ihrer Summe.
Beispiel 3
Stellen Sie als Produkt $ (8x) ^ 3-y ^ 3 $ dar
Dieser Ausdruck kann wie folgt umgeschrieben werden:
\\ [(8x) ^ 3-y ^ 3 \u003d ((2x)) ^ 3-y ^ 3 \\]
Unter Verwendung der Formel für die Differenz der Quadrate erhalten wir:
\\ [((2x)) ^ 3-y ^ 3 \u003d \\ left (2x-y \\ right) (4x ^ 2 + 2xy + y ^ 2) \\]
Ein Beispiel für Probleme bei der Verwendung der Formeln für die Differenz der Quadrate und die Summe und Differenz der Würfel
Beispiel 4
Faktorisieren.
a) $ ((a + 5)) ^ 2-9 $
c) $ -x ^ 3 + \\ frac (1) (27) $
Entscheidung:
a) $ ((a + 5)) ^ 2-9 $
\\ [(((a + 5)) ^ 2-9 \u003d (a + 5)) ^ 2-3 ^ 2 \\]
Wenn wir die Formel für die Differenz der Quadrate anwenden, erhalten wir:
\\ [((a + 5)) ^ 2-3 ^ 2 \u003d \\ links (a + 5-3 \\ rechts) \\ links (a + 5 + 3 \\ rechts) \u003d \\ links (a + 2 \\ rechts) (a +8) \\]
Schreiben wir diesen Ausdruck in der Form:
Wenden wir die Formel der Kuma-Würfel an:
c) $ -x ^ 3 + \\ frac (1) (27) $
Schreiben wir diesen Ausdruck in der Form:
\\ [- x ^ 3 + \\ frac (1) (27) \u003d (\\ left (\\ frac (1) (3) \\ right)) ^ 3-x ^ 3 \\]
Wenden wir die Formel der Kuma-Würfel an:
\\ [(\\ left (\\ frac (1) (3) \\ right)) ^ 3-x ^ 3 \u003d \\ left (\\ frac (1) (3) -x \\ right) \\ left (\\ frac (1) ( 9) + \\ frac (x) (3) + x ^ 2 \\ rechts) \\]
Formeln oder Regeln der abgekürzten Multiplikation werden in der Arithmetik bzw. in der Algebra verwendet, um die Berechnung großer algebraischer Ausdrücke zu beschleunigen. Die Formeln selbst leiten sich aus den in der Algebra existierenden Regeln zum Multiplizieren mehrerer Polynome ab.
Die Verwendung dieser Formeln bietet eine ziemlich schnelle Lösung für verschiedene mathematische Probleme und hilft auch, Ausdrücke zu vereinfachen. Die Regeln für algebraische Transformationen ermöglichen es Ihnen, einige Manipulationen mit Ausdrücken durchzuführen. Anschließend können Sie den Ausdruck auf der linken Seite der Gleichheit auf der rechten Seite oder die rechte Seite der Gleichheit transformieren (um den Ausdruck auf der linken Seite zu erhalten nach dem Gleichheitszeichen).
Es ist zweckmäßig, die Formeln zu kennen, die für die reduzierte Multiplikation mit dem Speicher verwendet werden, da sie häufig zur Lösung von Problemen und Gleichungen verwendet werden. Nachfolgend sind die in dieser Liste enthaltenen Hauptformeln und ihr Name aufgeführt.
Summe im Quadrat
Um das Quadrat der Summe zu berechnen, müssen Sie die Summe finden, die aus dem Quadrat des ersten Terms, dem doppelten Produkt des ersten Terms durch den zweiten und dem Quadrat des zweiten Terms besteht. Als Ausdruck wird diese Regel wie folgt geschrieben: (a + c) ² \u003d a² + 2ac + c².
Unterschied im Quadrat
Um das Quadrat der Differenz zu berechnen, müssen Sie die Summe berechnen, die aus dem Quadrat der ersten Zahl, dem doppelten Produkt der ersten Zahl für die Sekunde (mit dem entgegengesetzten Vorzeichen) und dem Quadrat der zweiten Zahl besteht. Als Ausdruck sieht diese Regel wie folgt aus: (a - c) ² \u003d a² - 2ac + c².
Unterschied der Quadrate
Die Formel für die Differenz zwischen zwei quadratischen Zahlen ist gleich dem Produkt der Summe dieser Zahlen durch ihre Differenz. In Form eines Ausdrucks sieht diese Regel wie folgt aus: a² - c² \u003d (a + c) · (a - c).
Summenwürfel
Um den Würfel aus der Summe zweier Terme zu berechnen, muss die Summe berechnet werden, die aus dem Würfel des ersten Terms, dem Dreifachprodukt des Quadrats des ersten Terms und dem zweiten, dem Dreifachprodukt des ersten Terms und dem zweiten besteht im Quadrat, sowie der Würfel des zweiten Terms. In Form eines Ausdrucks sieht diese Regel wie folgt aus: (a + c) ³ \u003d a³ + 3a²c + 3ac² + c³.
Summe der Würfel
Nach der Formel wird es dem Produkt der Summe dieser Terme durch ihr unvollständiges Quadrat der Differenz gleichgesetzt. In Form eines Ausdrucks sieht diese Regel wie folgt aus: a³ + c³ \u003d (a + c) · (a² - ac + c²).
Beispiel. Es ist notwendig, das Volumen einer Figur zu berechnen, die durch Hinzufügen von zwei Würfeln gebildet wird. Es sind nur die Größen ihrer Seiten bekannt.
Wenn die Seitenwerte klein sind, sind die Berechnungen einfach.
Wenn die Längen der Seiten in umständlichen Zahlen ausgedrückt werden, ist es in diesem Fall einfacher, die Formel "Würfelsumme" anzuwenden, was die Berechnungen erheblich vereinfacht.
Differenzwürfel
Der Ausdruck für die kubische Differenz lautet wie folgt: Verdreifachen Sie als Summe der dritten Potenz des ersten Terms das negative Produkt des Quadrats des ersten Terms um den zweiten, verdreifachen Sie das Produkt des ersten Terms um das Quadrat des zweiten Terms und der negative Würfel des zweiten Terms. In Form eines mathematischen Ausdrucks sieht der Würfel der Differenz folgendermaßen aus: (a - c) ³ \u003d a³ - 3a²c + 3ac² - c³.
Unterschied der Würfel
Die Formel für die Differenz der Würfel unterscheidet sich von der Summe der Würfel in nur einem Vorzeichen. Die Differenz zwischen den Würfeln ist also eine Formel, die dem Produkt der Differenz dieser Zahlen durch ihr unvollständiges Quadrat der Summe entspricht. In der Form ist der Unterschied der Würfel wie folgt: a 3 - c 3 \u003d (a - c) (a 2 + ac + c 2).
Beispiel. Es ist notwendig, das Volumen der Figur zu berechnen, das nach dem Subtrahieren der gelben Volumenzahl vom Volumen des blauen Würfels, der auch ein Würfel ist, verbleibt. Es ist nur die Größe der Seite des kleinen und großen Würfels bekannt.
Wenn die Seitenwerte klein sind, sind die Berechnungen ziemlich einfach. Und wenn die Längen der Seiten in signifikanten Zahlen ausgedrückt werden, lohnt es sich, eine Formel mit dem Titel "Differenzwürfel" (oder "Differenzwürfel") zu verwenden, die die Berechnungen erheblich vereinfacht.
