Graph der Funktion y sin 1. Graph der Funktion y=sin x
Die Videolektion „Funktion y = sinx, ee-Eigenschaften und Graph“ präsentiert Bildmaterial zu diesem Thema sowie Kommentare dazu. Während der Demonstration werden die Art der Funktion und ihre Eigenschaften berücksichtigt, das Verhalten auf verschiedenen Segmenten der Koordinatenebene, Merkmale des Diagramms detailliert beschrieben und ein Beispiel für eine grafische Lösung trigonometrischer Gleichungen beschrieben, die einen Sinus enthalten. Mit Hilfe einer Videolektion ist es für einen Lehrer einfacher, das Verständnis eines Schülers für diese Funktion zu formulieren und ihm beizubringen, Probleme grafisch zu lösen.
Die Videolektion verwendet Tools, um das Auswendiglernen und Verstehen von Bildungsinformationen zu erleichtern. Bei der Darstellung von Graphen und bei der Beschreibung der Lösung von Problemen werden Animationseffekte eingesetzt, die helfen, das Verhalten der Funktion zu verstehen und den Lösungsfortschritt sequentiell darzustellen. Außerdem wird der Stoff durch die Aussprache mit wichtigen Kommentaren ergänzt, die die Erklärung des Lehrers ersetzen. Somit kann dieses Material auch als visuelles Hilfsmittel verwendet werden. Und als eigenständiger Teil des Unterrichts anstelle der Erklärung des Lehrers zu einem neuen Thema.
Die Demonstration beginnt mit der Einführung in das Unterrichtsthema. Es wird die Sinusfunktion vorgestellt, deren Beschreibung in einem Kästchen zum Auswendiglernen hervorgehoben ist – s=sint, wobei das Argument t eine beliebige reelle Zahl sein kann. Die Beschreibung der Eigenschaften dieser Funktion beginnt mit dem Definitionsbereich. Es ist zu beachten, dass der Definitionsbereich der Funktion die gesamte numerische Achse der reellen Zahlen ist, d. h. D(f)=(- ∞;+∞). Die zweite Eigenschaft ist die Ungeradheit der Sinusfunktion. Die Schüler werden daran erinnert, dass diese Eigenschaft in der 9. Klasse untersucht wurde, als festgestellt wurde, dass für eine ungerade Funktion die Gleichheit f(-x)=-f(x) gilt. Für den Sinus wird die Bestätigung der Seltsamkeit der Funktion anhand des in Viertel unterteilten Einheitskreises demonstriert. Wenn man weiß, welches Vorzeichen die Funktion in verschiedenen Vierteln der Koordinatenebene annimmt, stellt man fest, dass für Argumente mit entgegengesetzten Vorzeichen am Beispiel der Punkte L(t) und N(-t) die Kuriositätsbedingung für den Sinus erfüllt ist. Daher ist s=sint eine ungerade Funktion. Das bedeutet, dass der Graph der Funktion symmetrisch zum Ursprung ist.
Die dritte Eigenschaft des Sinus zeigt die Intervalle zwischen steigenden und fallenden Funktionen. Es wird darauf hingewiesen, dass diese Funktion auf dem Segment zunimmt und auf dem Segment [π/2;π] abnimmt. Die Eigenschaft wird in der Abbildung veranschaulicht, die einen Einheitskreis zeigt. Wenn man sich von Punkt A gegen den Uhrzeigersinn bewegt, erhöht sich die Ordinate, d. h. der Wert der Funktion erhöht sich auf π/2. Bei der Bewegung von Punkt B nach C, also wenn sich der Winkel von π/2 auf π ändert, nimmt der Ordinatenwert ab. Im dritten Viertel des Kreises, beim Übergang von Punkt C zu Punkt D, nimmt die Ordinate von 0 auf -1 ab, d. h. der Sinuswert nimmt ab. Im letzten Viertel, beim Übergang von Punkt D zu Punkt A, steigt der Ordinatenwert von -1 auf 0. Somit können wir eine allgemeine Schlussfolgerung über das Verhalten der Funktion ziehen. Der Bildschirm zeigt die Ausgabe an, die sint auf dem Segment [-(π/2)+2πk; (π/2)+2πk], nimmt im Intervall [(π/2)+2πk; (3π/2)+2πk] für jede ganze Zahl k.
Die vierte Eigenschaft des Sinus berücksichtigt die Beschränktheit der Funktion. Es ist zu beachten, dass die Sint-Funktion sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist. Die Schüler werden an Informationen aus der Algebra der 9. Klasse erinnert, als sie in das Konzept der Beschränktheit einer Funktion eingeführt wurden. Auf dem Bildschirm wird die Bedingung einer nach oben beschränkten Funktion angezeigt, für die es eine bestimmte Zahl gibt, für die an jedem Punkt der Funktion die Ungleichung f(x)>=M gilt. Wir erinnern uns auch an die Bedingung einer nach unten begrenzten Funktion, für die es eine Zahl m gibt, die kleiner als jeder Punkt der Funktion ist. Für sint ist die Bedingung -1 erfüllt<= sint<=1. То есть данная функция ограничена сверху и снизу. То есть она является ограниченной.
Die fünfte Eigenschaft berücksichtigt den kleinsten und größten Wert der Funktion. Das Erreichen des kleinsten Wertes -1 an jedem Punkt t=-(π/2)+2πk und des größten an den Punkten t=(π/2)+2πk wird notiert.
Basierend auf den betrachteten Eigenschaften wird auf dem Segment ein Graph der Sint-Funktion erstellt. Zur Konstruktion der Funktion werden die Tabellenwerte des Sinus an den entsprechenden Punkten verwendet. Die Koordinaten der Punkte π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π werden auf der Koordinatenebene markiert. Indem wir an diesen Punkten die Tabellenwerte der Funktion markieren und sie mit einer glatten Linie verbinden, erstellen wir einen Graphen.
Um einen Graphen der Funktion sint auf dem Segment [-π;π] darzustellen, wird die Eigenschaft der Symmetrie der Funktion in Bezug auf den Koordinatenursprung verwendet. Die Abbildung zeigt, wie die als Ergebnis der Konstruktion erhaltene Linie reibungslos symmetrisch relativ zum Koordinatenursprung auf das Segment [-π;0] übertragen wird.
Unter Verwendung der Eigenschaft der Sint-Funktion, ausgedrückt in der Reduktionsformel sin(x+2π) = sin x, wird festgestellt, dass sich der Sinusgraph alle 2π wiederholt. Somit ist auf dem Intervall [π; 3π] wird der Graph derselbe sein wie auf [-π;π]. Somit stellt der Graph dieser Funktion sich wiederholende Fragmente [-π;π] im gesamten Definitionsbereich dar. Es wird gesondert darauf hingewiesen, dass ein solcher Funktionsgraph als Sinuskurve bezeichnet wird. Das Konzept einer Sinuswelle wird ebenfalls eingeführt – ein Fragment eines Diagramms, das auf dem Segment [-π;π] aufgebaut ist, und ein Sinusbogen, der auf dem Segment aufgebaut ist. Diese Fragmente werden zum Auswendiglernen noch einmal gezeigt.
Es wird darauf hingewiesen, dass die Sint-Funktion eine kontinuierliche Funktion über den gesamten Definitionsbereich ist und dass der Wertebereich der Funktion auch in der Wertemenge des Segments [-1;1] liegt.
Am Ende der Videolektion wird eine grafische Lösung der Gleichung sin x=x+π betrachtet. Offensichtlich ist die grafische Lösung der Gleichung der Schnittpunkt des Graphen der durch den Ausdruck auf der linken Seite gegebenen Funktion und der durch den Ausdruck auf der rechten Seite gegebenen Funktion. Um das Problem zu lösen, wird eine Koordinatenebene konstruiert, auf der die entsprechende Sinuskurve y=sin x skizziert wird, und eine gerade Linie entsprechend dem Graphen der Funktion y=x+π wird konstruiert. Die konstruierten Graphen schneiden sich in einem einzigen Punkt B(-π;0). Daher ist x=-π die Lösung der Gleichung.
Die Videolektion „Funktion y = sinx, ee-Eigenschaften und Graph“ wird dazu beitragen, die Effektivität eines traditionellen Mathematikunterrichts in der Schule zu steigern. Sie können bei der Durchführung des Fernunterrichts auch visuelles Material verwenden. Das Handbuch kann Schülern, die zusätzliche Lektionen für ein tieferes Verständnis des Materials benötigen, dabei helfen, sich mit dem Thema vertraut zu machen.
TEXTDEKODIERUNG:
Das Thema unserer Lektion ist „Die Funktion y = sin x, ihre Eigenschaften und ihr Graph“.
Zuvor haben wir bereits die Funktion s = sin t kennengelernt, wobei tϵR (es ist gleich Sinus te, wobei te zur Menge der reellen Zahlen gehört). Lassen Sie uns die Eigenschaften dieser Funktion untersuchen:
EIGENSCHAFTEN 1. Der Definitionsbereich ist die Menge der reellen Zahlen R (er), d. h. D(f) = (- ; +) (de von ef stellt das Intervall von minus Unendlich bis plus Unendlich dar).
EIGENSCHAFT 2. Die Funktion s = sin t ist ungerade.
Im Unterricht der 9. Klasse haben wir gelernt, dass die Funktion y = f (x), x ϵX (das y ist gleich ef von x, wobei x zur Menge x gehört) für jeden Wert x aus der Menge ungerade wenn heißt X die Gleichheit
f (- x) = - f (x) (eff von minus x ist gleich minus ef von x).
Und da die Ordinaten der Punkte L und N, die symmetrisch zur Abszissenachse sind, entgegengesetzt sind, dann ist sin(- t) = -sint.
Das heißt, s = sin t ist eine ungerade Funktion und der Graph der Funktion s = sin t ist symmetrisch in Bezug auf den Ursprung im rechtwinkligen Koordinatensystem tOs(te o es).
Betrachten wir EIGENSCHAFT 3. Auf dem Intervall [ 0; ] (von Null auf Pi um zwei) nimmt die Funktion s = sin t auf dem Segment [; ](von Pi um zwei auf Pi).
Dies ist in den Abbildungen deutlich zu erkennen: Wenn sich ein Punkt entlang des Zahlenkreises von Null auf Pi um zwei bewegt (von Punkt A nach B), erhöht sich die Ordinate allmählich von 0 auf 1, und wenn er sich von Pi um zwei auf Pi bewegt (von Punkt B nach C), nimmt die Ordinate allmählich von 1 auf 0 ab.
Wenn sich ein Punkt entlang des dritten Viertels bewegt (von Punkt C nach Punkt D), verringert sich die Ordinate des sich bewegenden Punkts von Null auf minus eins, und wenn er sich entlang des vierten Viertels bewegt, erhöht sich die Ordinate von minus eins auf Null. Daher können wir eine allgemeine Schlussfolgerung ziehen: Die Funktion s = sin t nimmt im Intervall zu
(von minus pi um zwei plus zwei pi ka zu pi um zwei plus zwei pi ka) und nimmt auf dem Segment [; (von Pi mal zwei plus zwei Pi Ka bis drei Pi mal zwei plus zwei Pi Ka), wo
(ka gehört zur Menge der ganzen Zahlen).
EIGENSCHAFT 4. Die Funktion s = sint ist nach oben und unten beschränkt.
Erinnern Sie sich aus dem Kurs der 9. Klasse an die Definition der Beschränktheit: Eine Funktion y = f (x) heißt von unten beschränkt, wenn alle Werte der Funktion nicht kleiner als eine bestimmte Zahl sind M M so dass für jeden Wert x aus dem Definitionsbereich der Funktion die Ungleichung f (x) ≥ gilt M(ef von x ist größer oder gleich em). Eine Funktion y = f(x) heißt nach oben beschränkt, wenn alle Werte der Funktion nicht größer als eine bestimmte Zahl sind M, das bedeutet, dass es eine Zahl gibt M so dass für jeden Wert x aus dem Definitionsbereich der Funktion die Ungleichung f (x) ≤ gilt M(eff von x ist kleiner oder gleich em). Eine Funktion heißt beschränkt, wenn sie sowohl nach unten als auch nach oben beschränkt ist.
Kehren wir zu unserer Funktion zurück: Die Beschränktheit folgt aus der Tatsache, dass für jedes te die Ungleichung wahr ist – 1 ≤ sint≤ 1. (Der Sinus von te ist größer oder gleich minus eins, aber kleiner oder gleich eins).
EIGENSCHAFT 5. Der kleinste Wert einer Funktion ist gleich minus eins und die Funktion erreicht diesen Wert an jedem Punkt der Form t = (te ist gleich minus pi um zwei plus zwei Spitzen, und der größte Wert der Funktion ist gleich zu eins und wird durch die Funktion an jedem Punkt der Form t = erreicht (te ist gleich pi mal zwei plus zwei pi ka).
Der größte und kleinste Wert der Funktion s = sin t bezeichnen s am meisten. und s max. .
Mithilfe der erhaltenen Eigenschaften erstellen wir einen Graphen der Funktion y = sin x (das y ist gleich dem Sinus x), da wir eher daran gewöhnt sind, y = f (x) als s = f (t) zu schreiben.
Wählen wir zunächst einen Maßstab: Auf der Ordinatenachse nehmen wir zwei Zellen als Einheitssegment und auf der Abszissenachse sind zwei Zellen pi mal drei (da ≈ 1). Erstellen wir zunächst einen Graphen der Funktion y = sin x auf dem Segment. Wir benötigen eine Tabelle mit Funktionswerten für dieses Segment. Um sie zu erstellen, verwenden wir die Wertetabelle für die entsprechenden Kosinus- und Sinuswinkel:
Wenn Sie also eine Tabelle mit Argument- und Funktionswerten erstellen möchten, müssen Sie dies bedenken X(x) diese Zahl ist entsprechend gleich dem Winkel im Intervall von Null bis Pi, und bei(Griechisch) der Wert des Sinus dieses Winkels.
Markieren wir diese Punkte auf der Koordinatenebene. Laut EIGENTUM 3 im Segment
[ 0; ] (von Null auf Pi um zwei) nimmt die Funktion y = sin x auf dem Segment [; ](von pi mal zwei zu pi) und indem wir die resultierenden Punkte mit einer glatten Linie verbinden, erhalten wir einen Teil des Diagramms. (Abb. 1)
Unter Verwendung der Symmetrie des Graphen einer ungeraden Funktion relativ zum Ursprung erhalten wir einen Graphen der Funktion y = sin x bereits auf dem Segment
[-π; π ] (von minus pi zu pi). (Abb. 2)
Denken Sie daran, dass sin(x + 2π)= sinx
(Der Sinus von x plus zwei Pi ist gleich dem Sinus von x). Das bedeutet, dass im Punkt x + 2π die Funktion y = sin x den gleichen Wert annimmt wie im Punkt x. Und da (x + 2π)ϵ [π; 3π ](x plus zwei pi gehört zum Segment von pi bis drei pi), wenn xϵ[-π; π ], dann auf dem Segment [π; 3π ] Der Graph der Funktion sieht genauso aus wie auf dem Segment [-π; π]. Ebenso auf den Segmenten , , [-3π; -π ] usw., der Graph der Funktion y = sin x sieht genauso aus wie auf dem Segment
[-π; π].(Abb.3)
Die Linie, die den Graphen der Funktion y = sin x darstellt, wird Sinuswelle genannt. Der in Abbildung 2 dargestellte Teil der Sinuswelle wird als Sinuswelle bezeichnet, während er in Abbildung 1 als Sinuswelle oder Halbwelle bezeichnet wird.
Anhand des konstruierten Graphen schreiben wir noch einige weitere Eigenschaften dieser Funktion auf.
EIGENSCHAFT 6. Die Funktion y = sin x ist eine stetige Funktion. Das bedeutet, dass der Graph der Funktion stetig ist, also keine Sprünge oder Einbrüche aufweist.
EIGENSCHAFT 7. Der Wertebereich der Funktion y = sin x ist das Segment [-1; 1] (von minus eins zu eins) oder es kann so geschrieben werden: (e von ef ist gleich dem Segment von minus eins zu eins).
Schauen wir uns ein BEISPIEL an. Lösen Sie grafisch die Gleichung sin x = x + π (Sinus x gleich x plus pi).
Lösung. Lassen Sie uns Funktionsgraphen erstellen y = Sünde X Und y = x + π.
Der Graph der Funktion y = sin x ist eine Sinuskurve.
y = x + π ist eine lineare Funktion, deren Graph eine gerade Linie ist, die durch die Punkte mit den Koordinaten (0; π) und (- π ; 0) verläuft.
Die konstruierten Graphen haben einen Schnittpunkt – Punkt B(- π;0) (mit Koordinaten minus Pi, Null). Das bedeutet, dass diese Gleichung nur eine Wurzel hat – die Abszisse des Punktes B – -π. Antwort: X = - π.
Wir haben herausgefunden, dass das Verhalten trigonometrischer Funktionen und der Funktionen y = Sünde x insbesondere, auf dem gesamten Zahlenstrahl (oder für alle Werte des Arguments). X) wird vollständig durch sein Verhalten im Intervall bestimmt 0 < X < π / 2 .
Daher zeichnen wir zunächst die Funktion auf y = Sünde x genau in diesem Intervall.
Lassen Sie uns die folgende Wertetabelle unserer Funktion erstellen;
Indem wir die entsprechenden Punkte auf der Koordinatenebene markieren und sie mit einer glatten Linie verbinden, erhalten wir die in der Abbildung gezeigte Kurve
Die resultierende Kurve könnte auch geometrisch konstruiert werden, ohne eine Tabelle mit Funktionswerten zu erstellen y = Sünde x .
1. Teilen Sie das erste Viertel eines Kreises mit dem Radius 1 in 8 gleiche Teile. Die Ordinaten der Teilungspunkte des Kreises sind die Sinuswerte der entsprechenden Winkel.
2. Das erste Viertel des Kreises entspricht Winkeln von 0 bis π / 2 . Daher auf der Achse X Nehmen wir ein Segment und teilen es in 8 gleiche Teile.
3. Zeichnen wir gerade Linien parallel zu den Achsen X, und aus den Teilungspunkten konstruieren wir Senkrechte, bis sie sich mit horizontalen Linien schneiden.
4. Verbinden Sie die Schnittpunkte mit einer glatten Linie.
Schauen wir uns nun das Intervall an π /
2
<
X <
π
.
Jeder Argumentwert X aus diesem Intervall kann dargestellt werden als
X = π / 2 + φ
Wo 0 < φ < π / 2 . Nach Reduktionsformeln
Sünde( π / 2 + φ ) = cos φ = Sünde ( π / 2 - φ ).
Achsenpunkte X mit Abszissen π / 2 + φ Und π / 2 - φ symmetrisch zueinander um den Achsenpunkt X mit Abszisse π / 2 , und die Sinuswerte an diesen Punkten sind gleich. Dadurch können wir einen Graphen der Funktion erhalten y = Sünde x im Intervall [ π / 2 , π ] durch einfache symmetrische Darstellung des Graphen dieser Funktion im Intervall relativ zur Geraden X = π / 2 .
Jetzt die Immobilie nutzen ungerade Paritätsfunktion y = Sünde x,
Sünde(- X) = - Sünde X,
Es ist einfach, diese Funktion im Intervall [- π , 0].
Die Funktion y = sin x ist periodisch mit einer Periode von 2π ;. Um den gesamten Graphen dieser Funktion zu konstruieren, reicht es daher aus, die in der Abbildung gezeigte Kurve nach links und rechts periodisch mit einem Punkt fortzusetzen 2π .
Die resultierende Kurve heißt Sinusoid . Es stellt den Graphen der Funktion dar y = Sünde x.
Die Abbildung veranschaulicht gut alle Eigenschaften der Funktion y = Sünde x , was wir bereits bewiesen haben. Erinnern wir uns an diese Eigenschaften.
1) Funktion y = Sünde x für alle Werte definiert X , daher ist ihr Definitionsbereich die Menge aller reellen Zahlen.
2) Funktion y = Sünde x begrenzt. Alle akzeptierten Werte liegen zwischen -1 und 1, einschließlich dieser beiden Zahlen. Folglich wird der Variationsbereich dieser Funktion durch die Ungleichung -1 bestimmt < bei < 1. Wann X = π / 2 + 2k π die Funktion nimmt die größten Werte gleich 1 an und für x = - π / 2 + 2k π - die kleinsten Werte gleich - 1.
3) Funktion y = Sünde x ist ungerade (die Sinuskurve ist symmetrisch zum Ursprung).
4) Funktion y = Sünde x periodisch mit Periode 2 π .
5) In 2n Intervallen π < X < π + 2n π (n ist eine beliebige ganze Zahl) ist positiv und in Intervallen π + 2k π < X < 2π + 2k π (k ist eine beliebige ganze Zahl) ist negativ. Bei x = k π Die Funktion geht auf Null. Daher sind diese Werte des Arguments x (0; ± π ; ±2 π ; ...) heißen Funktionsnullstellen y = Sünde x
6) In Abständen - π / 2 + 2n π < X < π / 2 + 2n π Funktion y = Sünde X steigt monoton und in Intervallen an π / 2 + 2k π < X < 3π / 2 + 2k π es nimmt monoton ab.
Besonderes Augenmerk sollten Sie auf das Verhalten der Funktion legen y = Sünde x in der Nähe des Punktes X = 0 .
Zum Beispiel sin 0,012 ≈ 0,012; Sünde(-0,05) ≈ -0,05;
Sünde 2° = Sünde π 2 / 180 = Sünde π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.
Gleichzeitig ist zu beachten, dass für alle Werte von x
| Sünde X| < | x | . (1)
Tatsächlich sei der Radius des in der Abbildung gezeigten Kreises gleich 1,
A /
AOB = X.
Dann Sünde X= Wechselstrom. Aber AC< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. Die Länge dieses Bogens ist offensichtlich gleich X, da der Radius des Kreises 1 ist. Also bei 0< X < π / 2
Sünde x< х.
Daher aufgrund der Seltsamkeit der Funktion y = Sünde x Es ist leicht zu zeigen, dass wenn – π / 2 < X < 0
| Sünde X| < | x | .
Endlich wann X = 0
| Sünde x | = | x |.
Also für | X | < π / 2 Ungleichung (1) ist bewiesen. Tatsächlich gilt diese Ungleichung auch für | X | > π / 2 aufgrund der Tatsache, dass | Sünde X | < 1, a π / 2 > 1
Übungen
1. Gemäß dem Diagramm der Funktion y = Sünde x Bestimmen Sie: a) Sünde 2; b) Sünde 4; c) Sünde (-3).
2. Gemäß dem Funktionsgraphen y = Sünde x
Bestimmen Sie welche Zahl aus dem Intervall
[ - π /
2 ,
π /
2
] hat einen Sinus von: a) 0,6; b) -0,8.
3. Gemäß dem Diagramm der Funktion y = Sünde x
Bestimmen Sie, welche Zahlen einen Sinus haben,
gleich 1/2.
4. Finden Sie ungefähr (ohne Verwendung von Tabellen): a) sin 1°; b) Sünde 0,03;
c) Sünde (-0,015); d) Sünde (-2°30").
Funktionj = SündeX
Der Graph der Funktion ist eine Sinuskurve.
Der gesamte sich nicht wiederholende Teil einer Sinuswelle wird Sinuswelle genannt.
Eine halbe Sinuswelle wird Halbsinuswelle (oder Bogen) genannt.
Funktionseigenschaftenj =
SündeX:
3) Dies ist eine seltsame Funktion. 4) Dies ist eine stetige Funktion.
6) Auf dem Segment [-π/2; π/2]-Funktion nimmt im Intervall [π/2; 3π/2] – nimmt ab. 7) Bei Intervallen nimmt die Funktion positive Werte an. 8) Intervalle der steigenden Funktion: [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn]. 9) Minimale Punkte der Funktion: -π/2 + 2πn. |
Eine Funktion grafisch darstellen j= Sünde X Es ist zweckmäßig, die folgenden Skalen zu verwenden:
Auf einem Blatt Papier mit einem Quadrat nehmen wir die Länge von zwei Quadraten als Segmenteinheit.
Auf Achse X Messen wir die Länge π. Gleichzeitig stellen wir 3,14 der Einfachheit halber in der Form 3 dar, also ohne Bruch. Dann beträgt auf einem Blatt Papier in einer Zelle π 6 Zellen (dreimal 2 Zellen). Und jede Zelle erhält ihren eigenen natürlichen Namen (von der ersten bis zur sechsten): π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. Das sind die Bedeutungen X.
Auf der y-Achse markieren wir 1, die zwei Zellen umfasst.
Lassen Sie uns mithilfe unserer Werte eine Tabelle mit Funktionswerten erstellen X:
√3 | √3 |
Als nächstes erstellen wir einen Zeitplan. Das Ergebnis ist eine Halbwelle, deren höchster Punkt (π/2; 1) ist. Dies ist der Graph der Funktion j= Sünde X auf dem Segment. Fügen wir dem konstruierten Graphen eine symmetrische Halbwelle hinzu (symmetrisch relativ zum Ursprung, also auf der Strecke -π). Der Scheitelpunkt dieser Halbwelle liegt unter der x-Achse mit den Koordinaten (-1; -1). Das Ergebnis wird eine Welle sein. Dies ist der Graph der Funktion j= Sünde X auf dem Segment [-π; π].
Sie können die Welle fortsetzen, indem Sie sie auf dem Segment [π; 3π], [π; 5π], [π; 7π] usw. Auf all diesen Segmenten sieht der Graph der Funktion genauso aus wie auf dem Segment [-π; π]. Sie erhalten eine durchgehende Wellenlinie mit identischen Wellen.
Funktionj = cosX.
Der Graph einer Funktion ist eine Sinuswelle (manchmal auch Kosinuswelle genannt).
Funktionseigenschaftenj = cosX:
1) Der Definitionsbereich einer Funktion ist die Menge der reellen Zahlen. 2) Der Bereich der Funktionswerte ist das Segment [–1; 1] 3) Dies ist eine gerade Funktion. 4) Dies ist eine stetige Funktion. 5) Koordinaten der Schnittpunkte des Diagramms: 6) Auf dem Segment nimmt die Funktion ab, auf dem Segment [π; 2π] – nimmt zu. 7) Auf Intervallen [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn]-Funktion nimmt positive Werte an. 8) Zunehmende Intervalle: [-π + 2πn; 2πn]. 9) Minimale Punkte der Funktion: π + 2πn. 10) Die Funktion ist nach oben und unten eingeschränkt. Der kleinste Wert der Funktion ist –1, 11) Dies ist eine periodische Funktion mit einer Periode von 2π (T = 2π) |
Funktionj = mf(X).
Nehmen wir die vorherige Funktion j=cos X. Wie Sie bereits wissen, ist sein Diagramm eine Sinuswelle. Wenn wir den Kosinus dieser Funktion mit einer bestimmten Zahl m multiplizieren, dehnt sich die Welle von der Achse aus aus X(oder schrumpft, abhängig vom Wert von m).
Diese neue Welle wird der Graph der Funktion y = mf(x) sein, wobei m eine beliebige reelle Zahl ist.
Somit ist die Funktion y = mf(x) die bekannte Funktion y = f(x) multipliziert mit m.
WennM< 1, то синусоида сжимается к оси X durch den KoeffizientenM. Wennm > 1, dann wird die Sinuskurve von der Achse aus gestrecktX durch den KoeffizientenM.
Beim Dehnen oder Komprimieren können Sie zunächst nur eine Halbwelle einer Sinuswelle zeichnen und dann das gesamte Diagramm vervollständigen.
Funktiony = F(kx).
Wenn die Funktion y =mf(X) führt zu einer Streckung der Sinuskurve von der Achse X oder Kompression zur Achse hin X, dann führt die Funktion y = f(kx) zur Streckung von der Achse j oder Kompression zur Achse hin j.
Darüber hinaus ist k eine beliebige reelle Zahl.
Bei 0< k< 1 синусоида растягивается от оси j durch den Koeffizientenk. Wennk > 1, dann wird die Sinuskurve zur Achse hin gestauchtj durch den Koeffizientenk.
Wenn Sie diese Funktion grafisch darstellen, können Sie zunächst eine Halbwelle einer Sinuswelle erstellen und diese dann zum Vervollständigen des gesamten Diagramms verwenden.
Funktionj = tgX.
Funktionsgraph j= tg X ist eine Tangente.
Es reicht aus, einen Teil des Graphen im Intervall von 0 bis π/2 zu erstellen, und dann können Sie ihn im Intervall von 0 bis 3π/2 symmetrisch fortsetzen.
Funktionseigenschaftenj = tgX:
Funktionj = ctgX
Funktionsgraph j=ctg X ist auch ein Tangentoid (manchmal wird es auch Cotangentoid genannt).
Funktionseigenschaftenj = ctgX:
Wie zeichnet man die Funktion y=sin x grafisch auf? Schauen wir uns zunächst den Sinusgraphen des Intervalls an.
Wir nehmen ein einzelnes Segment mit einer Länge von 2 Zellen im Notizbuch. Auf der Oy-Achse markieren wir eins.
Der Einfachheit halber runden wir die Zahl π/2 auf 1,5 (und nicht auf 1,6, wie es die Rundungsregeln erfordern). In diesem Fall entspricht ein Segment der Länge π/2 3 Zellen.
Auf der Ox-Achse markieren wir nicht einzelne Segmente, sondern Segmente der Länge π/2 (alle 3 Zellen). Dementsprechend entspricht ein Segment der Länge π 6 Zellen und ein Segment der Länge π/6 entspricht 1 Zelle.
Bei dieser Wahl eines Einheitssegments entspricht der auf einem Notizbuchblatt in einem Kasten dargestellte Graph weitestgehend dem Graphen der Funktion y=sin x.
Lassen Sie uns eine Tabelle mit Sinuswerten im Intervall erstellen:
Wir markieren die resultierenden Punkte auf der Koordinatenebene:
Da y=sin x eine ungerade Funktion ist, ist der Sinusgraph symmetrisch in Bezug auf den Ursprungspunkt O(0;0). Unter Berücksichtigung dieser Tatsache zeichnen wir den Graphen links weiter und dann die Punkte -π:
Die Funktion y=sin x ist periodisch mit der Periode T=2π. Daher wird der Graph einer Funktion im Intervall [-π;π] unendlich oft nach rechts und links wiederholt.
In dieser Lektion werfen wir einen detaillierten Blick auf die Funktion y = sin x, ihre grundlegenden Eigenschaften und ihren Graphen. Zu Beginn der Lektion geben wir die Definition der trigonometrischen Funktion y = sin t auf dem Koordinatenkreis und betrachten den Graphen der Funktion auf dem Kreis und der Geraden. Lassen Sie uns die Periodizität dieser Funktion im Diagramm zeigen und die Haupteigenschaften der Funktion betrachten. Am Ende der Lektion werden wir einige einfache Probleme mithilfe des Graphen einer Funktion und ihrer Eigenschaften lösen.
Thema: Trigonometrische Funktionen
Lektion: Funktion y=sinx, ihre grundlegenden Eigenschaften und Graph
Bei der Betrachtung einer Funktion ist es wichtig, jeden Argumentwert einem einzelnen Funktionswert zuzuordnen. Das Gesetz der Korrespondenz und heißt Funktion.
Definieren wir das Korrespondenzgesetz für .
Jede reelle Zahl entspricht einem einzelnen Punkt auf dem Einheitskreis. Ein Punkt hat eine einzelne Ordinate, die Sinus der Zahl genannt wird (Abb. 1).
Jeder Argumentwert ist einem einzelnen Funktionswert zugeordnet.
Offensichtliche Eigenschaften ergeben sich aus der Definition von Sinus.
Das zeigt die Abbildung 
Weil ist die Ordinate eines Punktes auf dem Einheitskreis.
Betrachten Sie den Graphen der Funktion. Erinnern wir uns an die geometrische Interpretation des Arguments. Das Argument ist der Zentralwinkel, gemessen im Bogenmaß. Entlang der Achse tragen wir reelle Zahlen oder Winkel im Bogenmaß ein, entlang der Achse die entsprechenden Werte der Funktion.
Beispielsweise entspricht ein Winkel auf dem Einheitskreis einem Punkt im Diagramm (Abb. 2).
Wir haben einen Graphen der Funktion in der Fläche erhalten. Aber wenn wir die Periode des Sinus kennen, können wir den Graphen der Funktion über den gesamten Definitionsbereich darstellen (Abb. 3).
Die Hauptperiode der Funktion ist Dies bedeutet, dass der Graph auf einem Segment erhalten und dann im gesamten Definitionsbereich fortgesetzt werden kann.
Betrachten Sie die Eigenschaften der Funktion:
1) Definitionsbereich:
2) Wertebereich: 
3) Ungerade Funktion:
4) Kleinster positiver Zeitraum:
5) Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen mit der Abszissenachse: 
6) Koordinaten des Schnittpunkts des Diagramms mit der Ordinatenachse:
7) Intervalle, in denen die Funktion positive Werte annimmt:
8) Intervalle, in denen die Funktion negative Werte annimmt:
9) Zunehmende Intervalle:
10) Abnehmende Intervalle:
11) Mindestpunktzahl: 
12) Mindestfunktionen:
13) Maximale Punktzahl: 
14) Maximale Funktionen:
Wir haben uns die Eigenschaften der Funktion und ihres Graphen angesehen. Die Eigenschaften werden bei der Lösung von Problemen wiederholt verwendet.
Referenzliste
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2. Algebra und Beginn der Analysis, Klasse 10 (in zwei Teilen). Problembuch für Bildungseinrichtungen (Profilebene), hrsg. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra und mathematische Analyse für die 10. Klasse (Lehrbuch für Schüler von Schulen und Klassen mit vertieftem Mathematikstudium). - M.: Prosveshchenie, 1996.
4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Eingehendes Studium der Algebra und mathematischen Analyse.-M.: Bildung, 1997.
5. Sammlung von Problemen in der Mathematik für Bewerber an Hochschulen (herausgegeben von M.I. Skanavi). - M.: Higher School, 1992.
6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebraischer Simulator.-K.: A.S.K., 1997.
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8. Karp A.P. Sammlung von Problemen zur Algebra und Prinzipien der Analyse: Lehrbuch. Zulage für die Klassen 10-11. mit Tiefgang studiert Mathematik.-M.: Bildung, 2006.
Hausaufgaben
Algebra und Beginn der Analysis, Klasse 10 (in zwei Teilen). Problembuch für Bildungseinrichtungen (Profilebene), hrsg.
A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
Zusätzliche Webressourcen
3. Bildungsportal zur Prüfungsvorbereitung ().
