Die Formel zum Ermitteln der Koordinaten des Mittelpunkts eines Segments. So finden Sie die Koordinaten des Mittelpunkts einer Linie

Anfängliche geometrische Informationen

Das Konzept eines Segments bezieht sich wie das Konzept eines Punktes, einer Linie, eines Strahls und eines Winkels auf die anfängliche geometrische Information. Das Studium der Geometrie beginnt mit diesen Konzepten.

Unter "Anfangsinformation" wird gewöhnlich etwas Elementares und Einfaches verstanden. Im Verständnis ist das vielleicht so. Dennoch werden solche einfachen Konzepte oft gefunden und erweisen sich nicht nur in unserem täglichen Leben, sondern auch in Produktion, Konstruktion und anderen Bereichen unseres Lebens als notwendig.

Beginnen wir mit den Definitionen.

Definition 1

Ein Segment ist Teil einer geraden Linie, die von zwei Punkten (Enden) begrenzt wird.

Wenn die Enden des Segments Punkte $ A $ und $ B $ sind, wird das gebildete Segment als $ AB $ oder $ BA $ geschrieben. Dieses Segment enthält die Punkte $ A $ und $ B $ sowie alle Punkte der Geraden, die zwischen diesen Punkten liegen.

Definition 2

Der Mittelpunkt eines Segments ist der Punkt eines Segments, der es in zwei gleiche Segmente teilt.

Wenn dies der Punkt $ C $ ist, dann ist $ AC \u003d CB $.

Die Messung eines Segments erfolgt durch Vergleich mit einem bestimmten Segment als Maßeinheit. Am häufigsten wird ein Zentimeter verwendet. Wenn in einem bestimmten Segment ein Zentimeter genau viermal gestapelt ist, bedeutet dies, dass die Länge dieses Segments $ 4 $ cm beträgt.

Lassen Sie uns eine einfache Beobachtung einführen. Wenn ein Punkt ein Segment in zwei Segmente unterteilt, entspricht die Länge des gesamten Segments der Summe der Längen dieser Segmente.

Die Formel zum Ermitteln der Koordinaten des Mittelpunkts eines Segments

Die Formel zum Ermitteln der Koordinaten des Mittelpunkts eines Liniensegments bezieht sich auf den Verlauf der analytischen Geometrie in einer Ebene.

Definieren wir die Koordinaten.

Definition 3

Koordinaten sind definierte (oder geordnete) Zahlen, die die Position eines Punktes auf einer Ebene, Oberfläche oder einem Raum angeben.

In unserem Fall werden die Koordinaten in einer durch die Koordinatenachsen definierten Ebene markiert.

Abbildung 3. Koordinatenebene. Author24 - Online-Austausch von Studienarbeiten

Beschreiben wir das Bild. Ein Punkt, der als Ursprung bezeichnet wird, wird in der Ebene ausgewählt. Es wird mit dem Buchstaben $ O $ bezeichnet. Zwei gerade Linien (Koordinatenachsen) werden durch den Ursprung der Koordinaten gezogen und schneiden sich im rechten Winkel. Eine davon ist streng horizontal und die andere vertikal. Diese Situation wird als häufig angesehen. Die horizontale Linie heißt Abszissenachse und wird mit $ OX $ bezeichnet, die vertikale Linie heißt $ OY $ Ordinatenachse.

Somit definieren die Achsen die $ XOY $ -Ebene.

Die Koordinaten von Punkten in einem solchen System werden durch zwei Zahlen bestimmt.

Es gibt verschiedene Formeln (Gleichungen), die bestimmte Koordinaten bestimmen. Normalerweise werden im Verlauf der analytischen Geometrie verschiedene Formeln von Linien, Winkeln, Segmentlängen und anderen untersucht.

Gehen wir direkt zur Formel für die Koordinaten des Mittelpunkts des Segments.

Definition 4

Wenn die Koordinaten des Punktes $ E (x, y) $ der Mittelpunkt des Segments $ M_1M_2 $ sind, dann:

Abbildung 4. Die Formel zum Ermitteln der Koordinaten des Mittelpunkts des Segments. Author24 - Online-Austausch von Studienarbeiten

Praktischer Teil

Beispiele aus dem Schulgeometriekurs sind recht einfach. Betrachten wir einige der wichtigsten.

Schauen wir uns zum besseren Verständnis zunächst ein elementares visuelles Beispiel an.

Beispiel 1

Wir haben eine Zeichnung:

In der Abbildung sind die Segmente $ AC, CD, DE, EB $ gleich.

Was sind die Mittelpunkte von $ D $?
Wo liegt der Mittelpunkt des $ DB $ -Segments?

punkt $ D $ ist der Mittelpunkt der Segmente $ AB $ und $ CE $;
punkt $ E $.

Schauen wir uns ein weiteres einfaches Beispiel an, in dem Sie die Länge berechnen müssen.

Beispiel 2

Punkt $ B $ ist der Mittelpunkt des Segments $ AC $. $ AB \u003d 9 $ cm. Wie lang ist $ AC $?

Da m. $ B $ $ AC $ in zwei Hälften teilt, ist $ AB \u003d BC \u003d 9 $ siehe. Daher ist $ AC \u003d 9 + 9 \u003d 18 $ siehe.

Antwort: 18 cm.

Andere ähnliche Beispiele sind normalerweise identisch und konzentrieren sich auf die Fähigkeit, Längenwerte und ihre Darstellung mit algebraischen Aktionen zu vergleichen. Oft gibt es bei Aufgaben Fälle, in denen ein Zentimeter nicht gerade oft in ein Segment passt. Dann wird die Maßeinheit in gleiche Teile geteilt. In unserem Fall wird der Zentimeter durch 10 Millimeter geteilt. Der Rest wird separat durch Vergleich mit dem Millimeter gemessen. Lassen Sie uns ein Beispiel geben, um einen solchen Fall zu demonstrieren.

Nach sorgfältiger Arbeit bemerkte ich plötzlich, dass die Größe von Webseiten groß genug ist, und wenn es so weitergeht, können Sie ruhig und friedlich brutalisiert werden \u003d) Deshalb mache ich Sie auf einen kurzen Aufsatz über ein sehr häufiges geometrisches Problem aufmerksam - bei der Aufteilung eines Segments in dieser Hinsichtund als Sonderfall über ein Segment in zwei Hälften teilen.

Diese Aufgabe passte aus dem einen oder anderen Grund nicht in andere Lektionen, aber jetzt gibt es eine großartige Gelegenheit, sie detailliert und langsam zu betrachten. Die gute Nachricht ist, dass wir uns etwas Zeit für Vektoren nehmen und uns auf Punkte und Linien konzentrieren werden.

Linienunterteilungsformeln in dieser Hinsicht

Das Konzept der Aufteilung eines Segments in dieser Hinsicht

Oft muss man nicht auf das Versprechen warten, wir werden sofort ein paar Punkte und, das offensichtlich Unglaubliche - ein Segment betrachten:

Das betrachtete Problem gilt sowohl für Ebenensegmente als auch für Raumsegmente. Das heißt, das Demonstrationssegment kann beliebig in einem Flugzeug oder im Weltraum platziert werden. Zur Vereinfachung der Erklärung habe ich es horizontal gezeichnet.

Was machen wir mit diesem Segment? Diesmal verkürzt. Jemand sägt ein Budget, jemand sägt einen Ehepartner, jemand sägt Holz, und wir werden anfangen, ein Segment in zwei Teile zu sägen. Das Segment ist in zwei Teile unterteilt, wobei sich ein Punkt befindet, der sich natürlich direkt darauf befindet:

In diesem Beispiel teilt der Punkt die Linie so, dass die Linie die halbe Länge der Linie hat. MEHR können wir sagen, dass der Punkt das Segment im Verhältnis ("eins zu zwei") teilt und von oben zählt.

In trockener mathematischer Sprache wird diese Tatsache wie folgt geschrieben: oder häufiger in Form des üblichen Verhältnisses: Das Verhältnis der Segmente wird normalerweise mit dem griechischen Buchstaben "Lambda" bezeichnet, in diesem Fall:

Der Anteil lässt sich leicht in einer anderen Reihenfolge zusammenstellen: - Diese Notation bedeutet, dass das Segment doppelt so lang ist wie das Segment, aber keine grundlegende Bedeutung für die Lösung von Problemen hat. Sie können das tun, aber Sie können das tun.

Natürlich kann das Segment in anderer Hinsicht leicht unterteilt werden, und als Verstärkung des Konzepts das zweite Beispiel:

Hier ist das Verhältnis wahr: Wenn wir den Anteil im Gegenteil ausmachen, erhalten wir:

Nachdem wir herausgefunden haben, was es bedeutet, das Segment in dieser Hinsicht zu unterteilen, wollen wir uns mit praktischen Problemen befassen.

Wenn zwei Punkte der Ebene bekannt sind, werden die Koordinaten des Punktes, der das Segment in Beziehung teilt, durch die folgenden Formeln ausgedrückt:

Woher kommen diese Formeln? Im Verlauf der analytischen Geometrie werden diese Formeln streng mit Vektoren abgeleitet (wohin können wir ohne sie gehen? \u003d)). Darüber hinaus gelten sie nicht nur für das kartesische Koordinatensystem, sondern auch für ein beliebiges affines Koordinatensystem (siehe Lektion Lineare (Nicht-) Abhängigkeit von Vektoren. Vektorbasis). Das ist die universelle Aufgabe.

Beispiel 1

Finden Sie die Koordinaten eines Punktes, der ein Segment in einem Verhältnis teilt, wenn Punkte bekannt sind

Entscheidung: In diesem Problem. Unter Verwendung der Formeln zum Teilen eines Segments in dieser Hinsicht finden wir einen Punkt:

Antworten:

Beachten Sie die Berechnungstechnik: Zuerst müssen Sie den Zähler und den Nenner getrennt berechnen. Das Ergebnis ist oft (aber nicht immer) ein drei- oder vierstöckiger Bruchteil. Danach werden wir den mehrstöckigen Teil los und führen die endgültigen Vereinfachungen durch.

Für die Aufgabe muss keine Zeichnung erstellt werden. Es ist jedoch immer hilfreich, sie in einem Entwurf fertigzustellen:

In der Tat ist das Verhältnis erfüllt, dh das Segment ist dreimal kürzer als das Segment. Wenn der Anteil nicht offensichtlich ist, können die Segmente mit einem gewöhnlichen Lineal immer dumm gemessen werden.

Äquivalent zweite Lösung: darin beginnt die Zählung an einem Punkt und die Beziehung ist fair: (Mit menschlichen Worten ist das Segment dreimal länger als das Segment). Nach den diesbezüglichen Formeln zur Aufteilung eines Segments:

Antworten:

Beachten Sie, dass Sie in den Formeln die Koordinaten des Punkts an die erste Stelle verschieben müssen, da der kleine Thriller damit begann.

Sie können auch sehen, dass der zweite Weg aufgrund einfacherer Berechnungen rationaler ist. Dennoch wird dieses Problem häufig in der "traditionellen" Reihenfolge gelöst. Wenn zum Beispiel ein Segment durch die Bedingung gegeben ist, wird angenommen, dass Sie einen Anteil machen. Wenn ein Segment gegeben ist, bedeutet "stillschweigend" einen Anteil.

Und ich habe die zweite Methode mitgebracht, weil oft versucht wird, die Aufgabenbedingung absichtlich zu verwirren. Aus diesem Grund ist es sehr wichtig, eine grobe Zeichnung durchzuführen, um zum einen den Zustand korrekt zu analysieren und zum anderen zu Überprüfungszwecken. Es ist eine Schande, bei einer so einfachen Aufgabe Fehler zu machen.

Beispiel 2

Punkte werden vergeben ... Finden:

a) der Punkt, der das Segment in Beziehung teilt;
b) der Punkt, der das Segment in Beziehung teilt.

Dies ist ein Beispiel für eine Do-it-yourself-Lösung. Komplette Lösung und Antwort am Ende des Tutorials.

Manchmal gibt es Probleme, bei denen eines der Enden des Segments unbekannt ist:

Beispiel 3

Der Punkt gehört zum Liniensegment. Es ist bekannt, dass das Segment doppelt so lang ist wie das Segment. Finde einen Punkt wenn .

Entscheidung: Es folgt aus der Bedingung, dass der Punkt das Segment in Beziehung teilt und von oben zählt, dh der Anteil ist fair: Nach den diesbezüglichen Formeln zur Aufteilung eines Segments:

Wir kennen derzeit die Koordinaten des Punktes nicht: Dies ist jedoch kein besonderes Problem, da sie aus den obigen Formeln leicht auszudrücken sind. Im Allgemeinen lohnt es sich nicht, etwas auszudrücken, es ist viel einfacher, bestimmte Zahlen zu ersetzen und die Berechnungen sorgfältig zu behandeln:

Antworten:

Zur Überprüfung können Sie die Enden des Segments nehmen und mithilfe der Formeln in direkter Reihenfolge sicherstellen, dass das Verhältnis tatsächlich zu einem Punkt führt. Und natürlich ist eine Zeichnung nicht überflüssig. Und um Sie endlich von den Vorteilen eines karierten Notizbuchs, eines einfachen Bleistifts und eines Lineals zu überzeugen, schlage ich ein kniffliges Problem für eine unabhängige Lösung vor:

Beispiel 4

Punkt. Das Segment ist eineinhalb Mal kürzer als das Segment. Suchen Sie einen Punkt, wenn die Koordinaten der Punkte bekannt sind .

Lösung am Ende der Lektion. Übrigens ist es nicht das einzige, wenn Sie anders als in der Stichprobe vorgehen, wird es kein Fehler sein, die Hauptsache ist, dass die Antworten übereinstimmen.

Bei räumlichen Segmenten ist alles genau gleich, es wird nur eine weitere Koordinate hinzugefügt.

Wenn zwei Raumpunkte bekannt sind, werden die Koordinaten des Punktes, der das Segment in Beziehung teilt, durch die folgenden Formeln ausgedrückt:
.

Beispiel 5

Punkte werden vergeben. Finden Sie die Koordinaten eines Punktes, der zu einem Segment gehört, wenn bekannt ist, dass .

Entscheidung: Aus der Bedingung folgt die Beziehung: ... Dieses Beispiel stammt aus einem echten Test, und sein Autor erlaubte sich einen kleinen Streich (plötzlich stolpert jemand) - es war rationaler, das Verhältnis in der Bedingung wie folgt zu schreiben: .

Nach den Formeln für die Koordinaten des Mittelpunkts des Segments:

Antworten:

3D-Zeichnungen zu Überprüfungszwecken sind viel schwieriger auszuführen. Sie können jedoch jederzeit eine schematische Zeichnung erstellen, um zumindest die Bedingung zu verstehen, welche Segmente korreliert werden müssen.

Was die Brüche in Ihrer Antwort betrifft, wundern Sie sich nicht, es ist üblich. Ich habe es oft gesagt, aber ich werde es wiederholen: In der höheren Mathematik ist es üblich, gewöhnliche richtige und falsche Brüche zu verwenden. Antworte im Formular wird tun, aber die Option mit falschen Brüchen ist mehr Standard.

Aufwärmaufgabe für eine unabhängige Lösung:

Beispiel 6

Punkte werden vergeben. Finden Sie die Koordinaten eines Punktes, wenn bekannt ist, dass er ein Segment in Beziehung teilt.

Lösung und Antwort am Ende der Lektion. Wenn es schwierig ist, durch die Proportionen zu navigieren, folgen Sie der schematischen Zeichnung.

In unabhängigen Arbeiten und Kontrollarbeiten werden die betrachteten Beispiele sowohl für sich als auch als integraler Bestandteil größerer Aufgaben gefunden. In diesem Sinne ist das Problem, den Schwerpunkt eines Dreiecks zu finden, typisch.

Eine Art von Aufgabe, bei der eines der Enden des Segments unbekannt ist, sehe ich beim Zerlegen nicht viel Sinn, da alles wie ein flacher Fall aussehen wird, außer dass es etwas mehr Berechnungen gibt. Erinnern wir uns besser an die Schuljahre:

Linienmittelpunktformeln

Selbst ungeübte Leser können sich daran erinnern, wie man ein Segment in zwei Hälften teilt. Das Problem der Aufteilung eines Segments in zwei gleiche Teile ist ein Sonderfall der Aufteilung eines Segments in dieser Hinsicht. Die Zweihandsäge funktioniert auf demokratischste Weise, und jeder Nachbar am Schreibtisch bekommt den gleichen Stock:

Zu dieser feierlichen Stunde schlugen die Trommeln und begrüßten den bedeutenden Anteil. Und allgemeine Formeln auf wundersame Weise in etwas Vertrautes und Einfaches verwandeln:

Ein bequemer Moment ist die Tatsache, dass die Koordinaten der Enden des Segments schmerzlos neu angeordnet werden können:

Im Allgemeinen funktioniert eine solche luxuriöse Zahl, wie Sie wissen, nicht. Und hier besteht keine besondere Notwendigkeit dafür, also eine angenehme Kleinigkeit.

Eine offensichtliche Analogie gilt für den räumlichen Fall. Wenn die Enden eines Segments angegeben sind, werden die Koordinaten seines Mittelpunkts durch die folgenden Formeln ausgedrückt:

Beispiel 7

Das Parallelogramm wird durch die Koordinaten seiner Eckpunkte angegeben. Finden Sie den Schnittpunkt seiner Diagonalen.

Entscheidung: Interessenten können zeichnen. Ich empfehle Graffiti besonders für diejenigen, die den Schulgeometriekurs völlig vergessen haben.

Durch eine bekannte Eigenschaft werden die Diagonalen eines Parallelogramms um ihren Schnittpunkt halbiert, sodass das Problem auf zwei Arten gelöst werden kann.

Methode eins: Betrachten Sie entgegengesetzte Eckpunkte ... Mit den Formeln zum Teilen eines Segments in zwei Hälften finden wir den Mittelpunkt der Diagonale:

In dem folgenden Artikel werden die Probleme beim Ermitteln der Koordinaten des Mittelpunkts eines Segments hervorgehoben, wenn Koordinaten seiner Extrempunkte als Anfangsdaten vorhanden sind. Bevor wir uns jedoch mit dem Thema befassen, führen wir eine Reihe von Definitionen ein.

Definition 1

Sektion - eine gerade Linie, die zwei beliebige Punkte verbindet, die als Enden der Linie bezeichnet werden. Als Beispiel seien es die Punkte A und B und dementsprechend das Segment A B.

Wenn sich das Segment A B von den Punkten A und B in beide Richtungen fortsetzt, erhalten wir die Linie A B. Dann ist das Segment A B ein Teil der resultierenden Linie, die durch die Punkte A und B begrenzt ist. Das Segment A B vereint die Punkte A und B, die seine Enden sind, sowie eine Reihe von Punkten, die dazwischen liegen. Wenn wir zum Beispiel einen beliebigen Punkt K nehmen, der zwischen den Punkten A und B liegt, können wir sagen, dass der Punkt K auf dem Segment A B liegt.

Definition 2

Segmentlänge - der Abstand zwischen den Enden des Segments in einem bestimmten Maßstab (Segment mit Längeneinheit). Die Länge des Segments A B wird wie folgt bezeichnet: A B.

Definition 3

Mittelpunkt - ein Punkt, der auf einem Segment liegt und von seinen Enden gleich weit entfernt ist. Wenn der Mittelpunkt des Segments A B mit Punkt C bezeichnet wird, ist die Gleichheit wahr: A C \u003d C B.

Anfangsdaten: Koordinatenlinie O x und nicht übereinstimmende Punkte darauf: A und B. Diese Punkte entsprechen reellen Zahlen x A und x B. Punkt C - Mittelpunkt des Segments A B: Die Koordinate muss bestimmt werden x C.

Da Punkt C der Mittelpunkt des Segments A B ist, gilt folgende Gleichheit: | A C | \u003d | C B | ... Der Abstand zwischen Punkten wird durch das Modul der Differenz zwischen ihren Koordinaten bestimmt, d.h.

| A C | \u003d | C B | ⇔ x C - x A \u003d x B - x C.

Dann sind zwei Gleichungen möglich: x C - x A \u003d x B - x C und x C - x A \u003d - (x B - x C)

Aus der ersten Gleichheit leiten wir die Formel für die Koordinaten des Punktes C ab: x C \u003d x A + x B 2 (die halbe Summe der Koordinaten der Enden des Segments).

Aus der zweiten Gleichheit erhalten wir: x A \u003d x B, was seitdem unmöglich ist in den Originaldaten nicht übereinstimmende Punkte. Auf diese Weise, formel zur Bestimmung der Koordinaten des Mittelpunkts eines Segments A B mit den Enden A (x A) und B (x B):

Die resultierende Formel ist die Grundlage für die Bestimmung der Koordinaten des Mittelpunkts eines Segments in einer Ebene oder im Raum.

Anfangsdaten: Rechteckkoordinatensystem in der Ebene O x y, zwei beliebige nicht übereinstimmende Punkte mit den angegebenen Koordinaten A x A, y A und B x B, y B. Punkt C ist der Mittelpunkt von Segment A B. Es ist notwendig, die Koordinaten x C und y C für Punkt C zu bestimmen.

Nehmen wir zur Analyse den Fall, in dem die Punkte A und B nicht zusammenfallen und nicht auf derselben Koordinatenlinie oder einer geraden Linie senkrecht zu einer der Achsen liegen. A x, A y; B x, B y und C x, C y - Projektionen der Punkte A, B und C auf den Koordinatenachsen (Geraden O x und O y).

Entsprechend der Konstruktion sind die Linien A A x, B B x, C C x parallel; Gerade Linien sind auch parallel zueinander. Zusammen damit ergeben sich nach dem Thales-Theorem aus der Gleichheit A C \u003d C B die folgenden Gleichungen: A x C x \u003d C x B x und A y C y \u003d C y In y, und sie geben wiederum an, dass der Punkt C x ist die Mitte des Segments A x B x und C y ist der Mittelpunkt des Segments A y B y. Und dann erhalten wir basierend auf der zuvor erhaltenen Formel:

x C \u003d x A + x B 2 und y C \u003d y A + y B 2

Dieselben Formeln können verwendet werden, wenn die Punkte A und B auf derselben Koordinatenlinie oder einer geraden Linie senkrecht zu einer der Achsen liegen. Wir werden keine detaillierte Analyse dieses Falls durchführen, sondern nur grafisch betrachten:

Zusammenfassend alle oben genannten, koordinaten des Mittelpunkts des Segments A B in der Ebene mit den Koordinaten der Enden A (x A, y A) und B (x B, y B) definiert als:

(x A + x B 2, y A + y B 2)

Anfangsdaten: Koordinatensystem О x y z und zwei beliebige Punkte mit gegebenen Koordinaten A (x A, y A, z A) und B (x B, y B, z B). Es ist notwendig, die Koordinaten von Punkt C zu bestimmen, der der Mittelpunkt von Segment A B ist.

A x, A y, A z; B x, B y, B z und C x, C y, C z - Projektionen aller angegebenen Punkte auf der Achse des Koordinatensystems.

Nach dem Thales'schen Theorem sind die folgenden Gleichungen wahr: A x C x \u003d C x B x, A y C y \u003d C y B y, A z C z \u003d C z B z

Daher sind die Punkte C x, C y, C z die Mittelpunkte der Segmente A x B x, A y B y bzw. A z B z. Dann, um die Koordinaten des Mittelpunkts eines Segments im Raum zu bestimmen, sind die folgenden Formeln gültig:

x C \u003d x A + x B 2, y c \u003d y A + y B 2, z c \u003d z A + Z B 2

Die erhaltenen Formeln sind auch in Fällen anwendbar, in denen die Punkte A und B auf einer der Koordinatenlinien liegen; auf einer geraden Linie senkrecht zu einer der Achsen; in einer Koordinatenebene oder einer Ebene senkrecht zu einer der Koordinatenebenen.

Bestimmen der Koordinaten des Mittelpunkts eines Segments durch die Koordinaten der Radiusvektoren seiner Enden

Die Formel zum Finden der Koordinaten des Mittelpunkts eines Segments kann auch gemäß der algebraischen Interpretation von Vektoren abgeleitet werden.

Anfangsdaten: rechteckiges kartesisches Koordinatensystem O x y, Punkte mit gegebenen Koordinaten A (x A, y A) und B (x B, x B). Punkt C ist der Mittelpunkt von Segment A B.

Gemäß der geometrischen Definition von Aktionen auf Vektoren gilt die folgende Gleichheit: O C → \u003d 1 2 · O A → + O B →. Punkt C ist in diesem Fall der Schnittpunkt der Diagonalen des Parallelogramms, das auf der Basis der Vektoren O A → und O B → aufgebaut ist, d.h. Mittelpunkt der Diagonalen. Die Koordinaten des Radiusvektors des Punktes sind gleich den Koordinaten des Punktes, dann sind die Gleichungen wahr: O A → \u003d (x A, y A), O B → \u003d (x B, y B). Lassen Sie uns einige Operationen an Vektoren in Koordinaten ausführen und erhalten:

O C → \u003d 1 2 O A → + O B → \u003d x A + x B 2, y A + y B 2

Daher hat Punkt C Koordinaten:

x A + x B 2, y A + y B 2

In Analogie wird eine Formel zum Ermitteln der Koordinaten des Mittelpunkts eines Segments im Raum bestimmt:

C (x A + x B 2, y A + y B 2, z A + z B 2)

Beispiele für die Lösung von Problemen beim Ermitteln der Koordinaten des Mittelpunkts eines Segments

Unter den Aufgaben, die die Verwendung der oben erhaltenen Formeln beinhalten, gibt es sowohl solche, bei denen die Frage der Berechnung der Koordinaten des Mittelpunkts eines Segments direkt eine Rolle spielt, als auch solche, bei denen die gegebenen Bedingungen zu dieser Frage gebracht werden: Der Begriff "Median" wird häufig verwendet, das Ziel besteht darin, die Koordinaten einer zu finden von den Enden des Segments, und auch häufige Probleme der Symmetrie, deren Lösung im Allgemeinen auch nach dem Studium dieses Themas keine Schwierigkeiten verursachen sollte. Betrachten wir typische Beispiele.

Beispiel 1

Ausgangsdaten: auf der Ebene - Punkte mit gegebenen Koordinaten A (- 7, 3) und B (2, 4). Es ist notwendig, die Koordinaten des Mittelpunkts des Segments A B zu finden.

Entscheidung

Bezeichnen Sie den Mittelpunkt des Segments A B mit Punkt C. Seine Koordinaten werden als die halbe Summe der Koordinaten der Enden des Segments definiert, d.h. Punkte A und B.

x C \u003d x A + x B 2 \u003d - 7 + 2 2 \u003d - 5 2 y C \u003d y A + y B 2 \u003d 3 + 4 2 \u003d 7 2

Antworten: Koordinaten der Mitte des Segments A B - 5 2, 7 2.

Beispiel 2

Ausgangsdaten: Die Koordinaten des Dreiecks A B C sind bekannt: A (- 1, 0), B (3, 2), C (9, - 8). Es ist notwendig, die Länge des Medians A M zu finden.

Entscheidung

Durch die Bedingung des Problems ist M der Median und daher ist M der Mittelpunkt des Segments B C. Zunächst finden wir die Koordinaten des Mittelpunkts des Segments B C, d.h. Punkt M:

x M \u003d x B + x C 2 \u003d 3 + 9 2 \u003d 6 y M \u003d y B + y C 2 \u003d 2 + (- 8) 2 \u003d - 3

Da wir jetzt die Koordinaten beider Enden des Medians (Punkte A und M) kennen, können wir die Formel verwenden, um den Abstand zwischen den Punkten zu bestimmen und die Länge des Medians A M zu berechnen:

A M \u003d (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 \u003d 58

Antworten: 58

Beispiel 3

Ausgangsdaten: In einem rechteckigen Koordinatensystem des dreidimensionalen Raums ist ein Parallelepiped A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 gegeben. Die Koordinaten des Punktes C 1 (1, 1, 0) sind angegeben, und es ist auch der Punkt M definiert, der die Mitte der Diagonale B D 1 ist und die Koordinaten M (4, 2, - 4) hat. Es ist notwendig, die Koordinaten von Punkt A zu berechnen.

Entscheidung

Die Diagonalen des Parallelepipeds haben an einem Punkt einen Schnittpunkt, der der Mittelpunkt aller Diagonalen ist. Basierend auf dieser Aussage kann berücksichtigt werden, dass der Punkt M, der aus den Bedingungen des Problems bekannt ist, der Mittelpunkt des Segments A C 1 ist. Basierend auf der Formel zum Finden der Koordinaten des Mittelpunkts eines Segments im Raum finden wir die Koordinaten von Punkt A: x M \u003d x A + x C 1 2 ⇒ x A \u003d 2 x M - x C 1 \u003d 2 4 - 1 + 7 y M \u003d y A + y C 1 2 ⇒ y A \u003d 2 y M - y C 1 \u003d 2 2 - 1 \u003d 3 z M \u003d z A + z C 1 2 ⇒ z A \u003d 2 z M - z C 1 \u003d 2 (- 4) - 0 \u003d - 8

Antworten: Koordinaten von Punkt A (7, 3, - 8).

Wenn Sie einen Fehler im Text bemerken, wählen Sie ihn aus und drücken Sie Strg + Eingabetaste

So finden Sie die Koordinaten des Mittelpunkts einer Linie
Lassen Sie uns zunächst herausfinden, wie die Mitte eines Segments ist.
Der Mittelpunkt eines Segments ist ein Punkt, der zu diesem Segment gehört und sich im gleichen Abstand von seinen Enden befindet.

Die Koordinaten eines solchen Punktes sind leicht zu finden, wenn die Koordinaten der Enden dieses Segments bekannt sind. In diesem Fall sind die Koordinaten des Mittelpunkts des Segments gleich der Hälfte der Summe der entsprechenden Koordinaten der Enden des Segments.
Die Koordinaten des Mittelpunkts eines Segments werden häufig durch Lösen von Problemen für den Median, die Mittellinie usw. ermittelt.
Betrachten Sie die Berechnung der Koordinaten des Mittelpunkts des Segments für zwei Fälle: Wenn das Segment in einer Ebene und im Raum angegeben ist.
Ein Segment in einer Ebene sei durch zwei Punkte mit Koordinaten und gegeben. Dann werden die Koordinaten der Mitte des PH-Segments durch die Formel berechnet:

Das Segment sei im Raum durch zwei Punkte mit Koordinaten und gegeben. Dann werden die Koordinaten der Mitte des PH-Segments durch die Formel berechnet:

Beispiel.
Finden Sie die Koordinaten des Punktes K - der Mitte des MO, wenn M (-1; 6) und O (8; 5).

Entscheidung.
Da die Punkte zwei Koordinaten haben, bedeutet dies, dass das Segment in der Ebene definiert ist. Wir verwenden die entsprechenden Formeln:

Folglich hat die Mitte des MO die Koordinaten K (3,5; 5,5).

Antworten. K (3,5; 5,5).