Axiome reeller Zahlen. Studium der Axiome der Theorie der ganzen Zahlen System der ganzen Zahlen

Das gegebene Axiomensystem der Ganzzahltheorie ist nicht unabhängig, wie in Aufgabe 3.1.4 festgestellt.

Satz 1. Die axiomatische Theorie der ganzen Zahlen ist konsistent.

Nachweisen. Wir werden die Konsistenz der axiomatischen Theorie der ganzen Zahlen beweisen, basierend auf der Annahme, dass die axiomatische Theorie der natürlichen Zahlen konsistent ist. Dazu werden wir ein Modell aufbauen, auf dem alle Axiome unserer Theorie erfüllt sind.

Zuerst bauen wir einen Ring. Betrachten Sie das Set

N´ N = {(a, b)ï a, bÎ N}.

a, b) natürliche Zahlen. Unter einem solchen Paar verstehen wir den Unterschied der natürlichen Zahlen a–b. Aber bis die Existenz eines Systems ganzer Zahlen bewiesen ist, in dem ein solcher Unterschied besteht, haben wir kein Recht, eine solche Bezeichnung zu verwenden. Gleichzeitig gibt uns ein solches Verständnis die Möglichkeit, die Eigenschaften von Paaren nach Bedarf festzulegen.

Wir wissen, dass verschiedene Differenzen natürlicher Zahlen gleich derselben ganzen Zahl sein können. Lassen Sie uns dementsprechend am Set vorstellen N´ N Gleichheitsverhältnis:

(a, b) = (CD) Û a + d = b + c.

Es ist leicht zu erkennen, dass diese Beziehung reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Daher handelt es sich um eine Äquivalenzrelation und darf zu Recht als Gleichheit bezeichnet werden. Faktormenge von Mengen N´ N Z. Wir nennen seine Elemente ganze Zahlen. Sie stellen Äquivalenzklassen auf der Menge der Paare dar. Klasse, die ein Paar enthält
(a, b), bezeichnen mit [ a, b].

Z a, b] Wie wäre es mit dem Unterschied? a–b

[a, b] + [CD] = [a+c, b+d];

[a, b] × [ CD] = [ac+bd, ad+bc].

Es ist zu bedenken, dass die Verwendung von Bediensymbolen hier streng genommen nicht ganz korrekt ist. Das gleiche Symbol + bezeichnet die Addition natürlicher Zahlen und Paare. Da jedoch immer klar ist, in welcher Menge eine bestimmte Operation ausgeführt wird, werden wir hier keine separate Notation für diese Operationen einführen.

Es ist erforderlich, die Richtigkeit der Definitionen dieser Operationen zu überprüfen, nämlich dass die Ergebnisse nicht von der Wahl der Elemente abhängen A Und B, Definieren des Paares [ a, b]. In der Tat, lass

[a, b] = [A 1 , B 1 ], [s, d] = [Mit 1 , D 1 ].

Das bedeutet es a+b 1 = b+a 1 , c + d 1 =D + Mit 1 . Wenn wir diese Gleichheiten addieren, erhalten wir

a+b 1 + c + d 1 = b+a 1 +D + Mit 1 Þ[ a + b, c + d] = [A 1 +Mit 1 , B 1 + D 1] Þ

Þ [ a, b] + [CD] = [A 1 , B 1 ] + [C 1 , D 1 ].

Die Richtigkeit der Definition der Multiplikation wird auf ähnliche Weise bestimmt. Hier sollten Sie aber zunächst prüfen, ob [ a, b] × [ CD] = [A 1 , B 1 ] × [ CD].

Jetzt sollten wir überprüfen, ob die resultierende Algebra ein Ring ist, also die Axiome (Z1) – (Z6).

Überprüfen wir zum Beispiel die Kommutativität der Addition, also das Axiom (Z2). Wir haben

[CD] + [a, b] = = [a+c, b+d] = [a, b] + [CD].

Die Kommutativität der Addition für ganze Zahlen leitet sich aus der Kommutativität der Addition für natürliche Zahlen ab, die als bereits bekannt gilt.

Die Axiome (Z1), (Z5), (Z6) werden auf die gleiche Weise überprüft.

Die Rolle der Null spielt das Paar. Bezeichnen wir es mit 0 . Wirklich,

[a, b] + 0 = [a, b] + = [a+ 1,b+ 1] = [a, b].

Endlich, -[ a, b] = [b, a]. Wirklich,

[a, b] + [b, a] = [a+b, b+a] = = 0 .

Schauen wir uns nun die Erweiterungsaxiome an. Es ist zu bedenken, dass es im konstruierten Ring keine natürlichen Zahlen als solche gibt, da die Elemente des Rings Klassen von Paaren natürlicher Zahlen sind. Daher müssen wir eine Unteralgebra finden, die isomorph zum Halbring der natürlichen Zahlen ist. Hier noch einmal die Idee eines Paares [ a, b] Wie wäre es mit dem Unterschied? a–b. Natürliche Zahl N kann als Differenz zweier natürlicher Werte beispielsweise wie folgt dargestellt werden: N = (N+ 1) – 1. Daraus ergibt sich der Vorschlag, eine Korrespondenz herzustellen F: N ® Z nach der Regel

F(N) = [N + 1, 1].

Diese Korrespondenz ist injektiv:

F(N) = F(M) Þ [ N + 1, 1]= [M+ 1, 1] Þ ( N + 1) + 1= 1 + (M+ 1) Þ n = m.

Folglich haben wir eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen N und eine Teilmenge Z, was wir mit bezeichnen N*. Überprüfen wir, ob Vorgänge gespeichert werden:

F(N) + F(M) = [N + 1, 1]+ [M + 1, 1] = [N + m+ 2, 2]= [N + M+ 1, 1] = F(n+m);

F(N) × F(M) = [N+ 1, 1]× [ M + 1, 1] = [nm + n + m+ 2, n+m+ 2]= [nm+ 1, 1] = F(nm).

Das stellt das fest N* Formen in Z in Bezug auf die Operationen der Addition und Multiplikation eine isomorphe Unteralgebra N

Bezeichnen wir das Paar [ N+ 1, 1] von N* N, durch N a, b] wir haben

[a, b] = [A + 1, 1] + = [A + 1, 1] – [B + 1, 1] = A – B .

Dies untermauert endlich die Idee eines Paares [ a, b] als Differenz natürlicher Zahlen. Gleichzeitig wurde festgestellt, dass jedes Element aus der konstruierten Menge stammt Z wird als Differenz zweier natürlicher Werte dargestellt. Dies wird dazu beitragen, das Axiom der Minimalität zu überprüfen.

Lassen M - Teilmenge Z, enthaltend N* und zusammen mit beliebigen Elementen A Und B ihr Unterschied a – b. Beweisen wir das in diesem Fall M =Z. Tatsächlich jedes Element aus Z wird als Differenz zweier natürlicher Zahlen dargestellt, die bedingt dazugehören M zusammen mit seinen Unterschieden.

Z

Satz 2. Die axiomatische Theorie der ganzen Zahlen ist kategorisch.

Nachweisen. Lassen Sie uns beweisen, dass zwei beliebige Modelle, bei denen alle Axiome dieser Theorie erfüllt sind, isomorph sind.

Lass á Z 1 , +, ×, N 1 ñ und á Z 2 , +, ×, N 2 – zwei Modelle unserer Theorie. Streng genommen müssen die darin enthaltenen Vorgänge durch unterschiedliche Symbole gekennzeichnet sein. Wir werden von dieser Anforderung abrücken, um die Berechnungen nicht zu überladen: Es ist jedes Mal klar, um welche Operation es sich handelt. Zu den betrachteten Modellen gehörende Elemente werden mit den entsprechenden Indizes 1 oder 2 versehen.

Wir werden eine isomorphe Abbildung vom ersten Modell zum zweiten definieren. Als N 1 und N 2 Halbringe natürlicher Zahlen sind, dann gibt es eine isomorphe Abbildung j des ersten Halbrings auf den zweiten. Definieren wir die Zuordnung F: Z 1® Z 2. Jede Ganzzahl X 1 Î Z 1 wird als Differenz zweier natürlicher Werte dargestellt:
X 1 =a 1 - B 1 . Wir glauben

F (X 1) = j( A 1) – J( B 1).

Lasst uns das beweisen F– Isomorphismus. Die Zuordnung ist korrekt definiert: if X 1 = bei 1 wo j 1 = C 1 – D 1 also

A 1 - B 1 = C 1 – D 1 Þ A 1 +d 1 = B 1 + C 1 Þ j( A 1 +d 1) = j( B 1 + C 1) Þ

Þ j( A 1) + J( D 1) = j( B 1) + j( C 1) Þ j( A 1)– j( B 1)= j( C 1) – j( D 1) Þ F(X 1) =F (j 1).

Es folgt dem F - Eins-zu-eins-Zuordnung Z 1 in Z 2. Aber für jeden X 2 von Z 2 finden Sie natürliche Elemente A 2 und B 2 so dass X 2 =a 2 - B 2. Da j ein Isomorphismus ist, haben diese Elemente inverse Bilder A 1 und B 1 . Bedeutet, X 2 = j( A 1) – J( B 1) =
= F (A 1 - B 1) und für jedes Element von Z 2 ist ein Prototyp. Daher die Korrespondenz F eins zu eins. Überprüfen wir, ob dadurch Vorgänge gespeichert werden.

Wenn X 1 =a 1 - B 1 , j 1 =c 1 -D 1 also

X 1 + j 1 = (A 1 + C 1) – (B 1 +D 1),

F(X 1 + j 1) = j( A 1 + C 1) – J( B 1 +D 1) =j( A 1)+ j( C 1) – J( B 1) – J( D 1) =

J( A 1) – J( B 1)+ j( C 1)– J( D 1) =F(X 1) + F(j 1).

Ebenso wird überprüft, ob die Multiplikation erhalten bleibt. Das stellt das fest F ist ein Isomorphismus, und der Satz ist bewiesen.

Übungen

1. Beweisen Sie, dass jeder Ring, der ein System natürlicher Zahlen enthält, auch einen Ring ganzer Zahlen enthält.

2. Beweisen Sie, dass jeder minimal geordnete kommutative Ring mit Identität isomorph zum Ring der ganzen Zahlen ist.

3. Beweisen Sie, dass jeder geordnete Ring mit einem und keinem Nullteiler nur einen Teilring enthält, der isomorph zum Ring der ganzen Zahlen ist.

4. Beweisen Sie, dass der Ring der Matrizen zweiter Ordnung über dem Körper der reellen Zahlen unendlich viele Teilringe enthält, die zum Ring der ganzen Zahlen isomorph sind.

Feld der rationalen Zahlen

Die Definition und Konstruktion eines Systems rationaler Zahlen erfolgt auf die gleiche Weise wie bei einem System ganzer Zahlen.

Definition. Ein System rationaler Zahlen ist ein Minimalkörper, der eine Erweiterung des Rings der ganzen Zahlen darstellt.

Gemäß dieser Definition erhalten wir die folgende axiomatische Konstruktion des Systems der rationalen Zahlen.

Primärbegriffe:

Q– Menge rationaler Zahlen;

0, 1 – Konstanten;

+, × – binäre Operationen auf Q;

Z– Teilmenge Q, Menge von ganzen Zahlen;

Å, Ä – binäre Operationen auf Z.

Axiome:

ICH. Feldaxiome.

(Q1) A+ (b+c) = (a+b) + C.

(Q2) a + b = b + a.

(Q3) (" A) A + 0 = A.

(Q4) (" A)($(–A)) A + (–A) = 0.

(Q5) A× ( B× C) = (A× B) × C.

(Q6) A× b = b× A.

(F7) A× 1 = A.

(Q8) (" A¹ 0)($ A –1) A × A –1 = 1.

(F9) ( a+b) × c = a × c + b× C.

II. Erweiterungsaxiome.

(Q10) b Z, Å, Ä, 0, 1ñ – Ring der natürlichen Zahlen.

(F11) Z Í Q.

(Q12) (" a,bÎ Z) a + b = aÅ B.

(Q13) (" a,bÎ Z) A× b = aÄ B.

III. Axiom der Minimalität.

(F14) MÍ Q, ZÍ M, ("a, bÎ M)(B ¹ 0 ® A× B–1 О M)Þ M = Q.

Nummer A× B–1 heißt Zahlenquotient A Und B, bezeichnet A/B oder .

Satz 1. Jede rationale Zahl kann als Quotient zweier ganzen Zahlen dargestellt werden.

Nachweisen. Lassen M– eine Menge rationaler Zahlen, die als Quotient zweier ganzen Zahlen dargestellt werden können. Wenn N- also ganz n = n/1 gehört M, somit, ZÍ M. Wenn a, bÎ M, Das a = k/l, b = m/N, Wo k, l, m, nÎ Z. Somit, A/B=
= (kn) / (lm)Î M. Nach Axiom (Q14) M= Q, und der Satz ist bewiesen.

Satz 2. Der Körper der rationalen Zahlen kann auf einzigartige Weise linear und streng geordnet sein. Die Ordnung im Bereich der rationalen Zahlen ist archimedisch und setzt die Ordnung im Ring der ganzen Zahlen fort.

Nachweisen. Bezeichnen wir mit Q+ eine Menge von Zahlen, die als Bruch dargestellt werden können, wobei kl> 0. Es ist leicht zu erkennen, dass diese Bedingung nicht von der Art des Bruchs abhängt, der die Zahl darstellt.

Lassen Sie uns das überprüfen Q + – positiver Teil des Feldes Q. Da für eine ganze Zahl kl Drei Fälle sind möglich: kl = 0, klÎ N, –kl Î N, dann erhalten wir für a = eine von drei Möglichkeiten: a = 0, aО Q+ , –aО Q + . Wenn außerdem a = , b = gehören Q+ , dann kl > 0, mn> 0. Dann a + b = , und ( kn + ml)ln = kln 2 + mnl 2 > 0. Also a + bО Q + . Es kann auf ähnliche Weise überprüft werden wie abО Q + . Auf diese Weise, Q + – positiver Teil des Feldes Q.

Lassen Q++ – ein positiver Teil dieses Bereichs. Wir haben

l =.l 2 О Q ++ .

Von hier NÍ Q++. Nach Satz 2.3.4 gehören auch die Umkehrungen der natürlichen Zahlen dazu Q++. Dann Q + Í Q++. Aufgrund von Satz 2.3.6 Q + =Q++. Daher stimmen auch die durch die positiven Teile definierten Ordnungen überein Q+ und Q ++ .

Als Z + = NÍ Q+ , dann ist die Reihenfolge Q setzt die Ordnung fort Z.

Sei nun a => 0, b => 0. Da die Ordnung im Ring der archimedischen ganzen Zahlen gilt, dann für positiv kn Und ml es gibt etwas Natürliches Mit so dass Mit× kn>ml. Von hier Mit a = Mit> = b. Das bedeutet, dass die Ordnung im Bereich der rationalen Zahlen archimedisch ist.

Übungen

1. Beweisen Sie, dass der Körper der rationalen Zahlen dicht ist, d. h. für alle rationalen Zahlen A < B es gibt ein rationales R so dass A < R < B.

2. Beweisen Sie, dass die Gleichung X 2 = 2 enthält keine Lösungen Q.

3. Beweisen Sie, dass die Menge Q zählbar.

Satz 3. Die axiomatische Theorie der rationalen Zahlen ist konsistent.

Nachweisen. Die Konsistenz der axiomatischen Theorie der rationalen Zahlen wird auf die gleiche Weise wie für ganze Zahlen bewiesen. Dazu wird ein Modell aufgebaut, auf dem alle Axiome der Theorie erfüllt sind.

Als Basis nehmen wir das Set

Z´ Z* = {(a, b)ï a, bÎ Z, B ¹ 0}.

Die Elemente dieser Menge sind Paare ( a, b) ganze Zahlen. Unter einem solchen Paar verstehen wir den Quotienten ganzer Zahlen A/B. Dementsprechend legen wir die Eigenschaften der Paare fest.

Lassen Sie uns am Set vorstellen Z´ Z* Gleichheitsverhältnis:

(a, b) = (CD) Û ad = v. Chr.

Wir stellen fest, dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt und das Recht hat, als Gleichheit bezeichnet zu werden. Faktormenge von Mengen Z´ Z* Nach dieser Gleichheitsrelation bezeichnen wir mit Q. Wir werden seine Elemente rationale Zahlen nennen. Eine Klasse, die ein Paar enthält ( a, b), bezeichnen mit [ a, b].

Lassen Sie uns in die konstruierte Menge einführen Q Operationen der Addition und Multiplikation. Dies wird uns helfen, das Element zu verstehen [ a, b] als privat A/B. Dementsprechend gehen wir per Definition davon aus:

[a, b] + [CD] = [ad+bc, bd];

[a, b] × [ CD] = [ac, bd].

Wir überprüfen die Richtigkeit der Definitionen dieser Operationen, nämlich dass die Ergebnisse nicht von der Wahl der Elemente abhängen A Und B, Definieren des Paares [ a, b]. Dies geschieht auf die gleiche Weise wie im Beweis von Satz 3.2.1.

Die Rolle der Null spielt das Paar. Bezeichnen wir es mit 0 . Wirklich,

[a, b] + 0 = [a, b] + = [a× 1+0× b, b× 1] = [a, b].

Gegenüber [ a, b] ist das Paar –[ a, b] = [–a, b]. Wirklich,

[a, b] + [–a, b]= [ab – ab, bb] = = 0 .

Die Einheit ist das Paar = 1 . Umgekehrt zum Paar [ a, b] - Paar [ b, a].

Schauen wir uns nun die Erweiterungsaxiome an. Lassen Sie uns eine Korrespondenz herstellen
F: Z ® Q nach der Regel

F(N) = [N, 1].

Wir prüfen, ob es sich hierbei um eine Eins-zu-Eins-Entsprechung handelt Z und eine Teilmenge Q, was wir mit bezeichnen Z*. Wir überprüfen außerdem, ob Operationen erhalten bleiben, was bedeutet, dass ein Isomorphismus zwischen ihnen hergestellt wird Z und unter dem Ring Z* V Q. Dies bedeutet, dass die Erweiterungsaxiome verifiziert sind.

Bezeichnen wir das Paar [ N, 1] aus Z*, entsprechend einer natürlichen Zahl N, durch N . Dann gilt für ein beliebiges Paar [ a, b] wir haben

[a, b] = [A, 1] × = [ A, 1] / [B, 1] = A /B .

Dies rechtfertigt die Idee eines Paares [ a, b] als Quotient ganzer Zahlen. Gleichzeitig wurde festgestellt, dass jedes Element aus der konstruierten Menge stammt Q wird als Quotient zweier ganzen Zahlen dargestellt. Dies wird dazu beitragen, das Axiom der Minimalität zu überprüfen. Die Überprüfung erfolgt wie in Satz 3.2.1.

Also für das konstruierte System Q Alle Axiome der Theorie der ganzen Zahlen sind erfüllt, das heißt, wir haben ein Modell dieser Theorie erstellt. Der Satz ist bewiesen.

Satz 4. Die axiomatische Theorie der rationalen Zahlen ist kategorisch.

Der Beweis ähnelt dem von Satz 3.2.2.

Satz 5. Ein archimedisch geordneter Körper ist eine Erweiterung des Körpers der rationalen Zahlen.

Der Beweis ist eine Übung.

Satz 6. Lassen F– Archimedisch geordnetes Feld, A > B, Wo a, bÎ F. Es gibt eine rationale Zahl Î F so dass A > > B.

Nachweisen. Lassen A > B³ 0. Dann a–b> 0 und ( a–b) –1 > 0. Es gibt ein Natürliches T so dass M×1 > ( a–b) –1 , von wo M –1 < a–b £ A. Darüber hinaus gibt es eine natürliche k so dass k× M–1 ³ A. Lassen k ist die kleinste Zahl, für die diese Ungleichung gilt. Als k> 1, dann können wir sagen k = n + 1, N Î N. Dabei
(N+ 1)× M–1 ³ A, N× M –1 < A. Wenn N× M–1 £ B, Das A = B + (a–b) > b+m–1 ³ N× M –1 + M –1 =
= (N+ 1)× M-1 . Widerspruch. Bedeutet, A >N× M –1 > B.

Übungen

4. Beweisen Sie, dass jeder Körper, der den Ring der ganzen Zahlen enthält, auch den Körper der rationalen Zahlen enthält.

5. Beweisen Sie, dass jeder minimal geordnete Körper isomorph zum Körper der rationalen Zahlen ist.

Reale Nummern

Beim Aufbau einer axiomatischen Theorie der natürlichen Zahlen sind die primären Begriffe „Element“ oder „Zahl“ (die wir im Kontext dieses Handbuchs als Synonyme betrachten können) und „Menge“, die Hauptbeziehungen: „Zugehörigkeit“ (das Element). gehört zur Menge), „Gleichheit“ und „ nachverfolgen“, bezeichnet mit a / (lautet „die Zahl, auf die ein Strich der Zahl a folgt“, zum Beispiel folgt auf eine Zwei eine Drei, also 2 / = 3, auf die Zahl 10 folgt die Zahl 11, also 10 / = 11 usw.).

Die Menge der natürlichen Zahlen(natürliche Reihe, positive ganze Zahlen) ist eine Menge N mit der eingeführten „Follow After“-Beziehung, in der die folgenden 4 Axiome erfüllt sind:

Eine 1. In der Menge N gibt es ein Element namens Einheit, die keiner anderen Zahl folgt.

Eine 2. Für jedes Element der natürlichen Reihe gibt es nur eines daneben.

Eine 3. Jedes Element von N folgt höchstens einem Element der natürlichen Reihe.

A 4.( Axiom der Induktion) Wenn eine Teilmenge M einer Menge N eines enthält und außerdem zusammen mit jedem ihrer Elemente a auch das folgende Element a / enthält, dann stimmt M mit N überein.

Dieselben Axiome können mit mathematischen Symbolen kurz geschrieben werden:

A 1 ( 1  N) ( a  N) a / ≠ 1

A 2 ( a  N) ( a /  N) a = b => a / = b /

A 3 a / = b / => a = b

Wenn Element b auf Element a folgt (b = a /), dann sagen wir, dass Element a vor Element b liegt (oder vor b steht). Dieses Axiomensystem heißt Peano-Axiomsysteme(seit seiner Einführung im 19. Jahrhundert durch den italienischen Mathematiker Giuseppe Peano). Dies ist nur eine der möglichen Axiomenmengen, die es uns ermöglichen, die Menge der natürlichen Zahlen zu definieren; Es gibt andere gleichwertige Ansätze.

Die einfachsten Eigenschaften natürlicher Zahlen

Eigentum 1. Wenn die Elemente unterschiedlich sind, dann sind auch die darauf folgenden Elemente unterschiedlich

a  b => a /  b / .

Nachweisen wird durch Widerspruch ausgeführt: Angenommen, a / = b /, dann (nach A 3) a = b, was den Bedingungen des Satzes widerspricht.

Eigentum 2. Wenn die Elemente unterschiedlich sind, dann sind auch die ihnen vorangehenden (sofern vorhanden) unterschiedlich

a /  b / => a  b.

Nachweisen: Angenommen, a = b, dann gilt nach A 2 a / = b /, was den Bedingungen des Satzes widerspricht.

Eigentum 3. Keine natürliche Zahl ist gleich der nächsten.

Nachweisen: Betrachten wir die Menge M, bestehend aus solchen natürlichen Zahlen, für die diese Bedingung erfüllt ist

M = (a  N | a  a / ).

Den Beweis führen wir anhand des Induktionsaxioms durch. Per Definition ist die Menge M eine Teilmenge der Menge der natürlichen Zahlen. Weiter 1M, da man keiner natürlichen Zahl (A 1) folgt, was bedeutet, dass auch für a = 1 gilt: 1  1 / . Nehmen wir nun an, dass einige a  M. Das bedeutet, dass a  a / (nach Definition von M), woraus a /  (a /) / (Eigenschaft 1), also a /  M. Von allen Oben können wir basierend auf den Axiomen der Induktion schlussfolgern, dass M = N ist, das heißt, unser Satz gilt für alle natürlichen Zahlen.

Satz 4. Vor jeder natürlichen Zahl außer 1 steht eine Zahl.

Nachweisen: Betrachten Sie die Menge

M = (1)  (c N | ( a  N) c = a / ).

Dieses M ist eine Teilmenge der Menge der natürlichen Zahlen, man gehört eindeutig zu dieser Menge. Der zweite Teil dieser Menge sind die Elemente, für die es Vorgänger gibt. Wenn also a  M, dann gehört a / auch zu M (sein zweiter Teil, da a / einen Vorgänger hat – das ist a). Basierend auf dem Induktionsaxiom stimmt M also mit der Menge aller natürlichen Zahlen überein, was bedeutet, dass alle natürlichen Zahlen entweder 1 sind oder solche, denen ein vorangehendes Element vorausgeht. Der Satz ist bewiesen.

Konsistenz der axiomatischen Theorie der natürlichen Zahlen

Als intuitives Modell der Menge der natürlichen Zahlen können wir Mengen von Linien betrachten: Die Zahl 1 entspricht |, die Zahl 2 || usw., das heißt, die natürliche Reihe sieht folgendermaßen aus:

|, ||, |||, ||||, ||||| ….

Diese Linienreihen können als Modell natürlicher Zahlen dienen, wenn als „Follow After“-Beziehung „eine Linie einer Zahl zuordnen“ verwendet wird. Die Gültigkeit aller Axiome ist intuitiv offensichtlich. Natürlich ist dieses Modell nicht streng logisch. Um ein strenges Modell zu erstellen, benötigen Sie eine weitere offensichtlich konsistente axiomatische Theorie. Aber wie oben erwähnt, steht uns eine solche Theorie nicht zur Verfügung. Entweder sind wir gezwungen, uns auf die Intuition zu verlassen oder nicht auf die Methode der Modelle zurückzugreifen, sondern uns auf die Tatsache zu berufen, dass es seit mehr als 6.000 Jahren, in denen das Studium der natürlichen Zahlen durchgeführt wurde, keine Widersprüche gibt Diese Axiome wurden entdeckt.

Unabhängigkeit des Peano-Axiomsystems

Um die Unabhängigkeit des ersten Axioms zu beweisen, reicht es aus, ein Modell zu konstruieren, in dem Axiom A 1 falsch und die Axiome A 2, A 3, A 4 wahr sind. Betrachten wir die Zahlen 1, 2, 3 als primäre Begriffe (Elemente) und definieren wir die „Folge“-Beziehung durch die Beziehungen: 1 / = 2, 2 / = 3, 3 / = 1.

Es gibt in diesem Modell kein Element, das keinem anderen folgt (Axiom 1 ist falsch), aber alle anderen Axiome sind erfüllt. Somit hängt das erste Axiom nicht von den anderen ab.

Das zweite Axiom besteht aus zwei Teilen – Existenz und Einzigartigkeit. Die Unabhängigkeit dieses Axioms (in Bezug auf die Existenz) kann durch ein Modell zweier Zahlen (1, 2) veranschaulicht werden, wobei die „Folge“-Beziehung durch eine einzige Beziehung definiert ist: 1 / = 2:

Für zwei fehlt das nächste Element, aber die Axiome A 1, A 3, A 4 sind wahr.

Die Unabhängigkeit dieses Axioms im Hinblick auf die Einzigartigkeit wird durch ein Modell veranschaulicht, in dem die Menge N die Menge aller gewöhnlichen natürlichen Zahlen sowie aller Arten von Wörtern (Buchstabenmengen, die nicht unbedingt eine Bedeutung haben) ist aus Buchstaben des lateinischen Alphabets (nach dem Buchstaben z kommt als nächstes aa, dann ab ... az, dann ba ...; auf alle möglichen zweibuchstabigen Wörter, von denen das letzte zz ist, folgt das Wort aaa usw.). Wir führen die „follow“-Relation ein, wie in der Abbildung gezeigt:

Auch hier gelten die Axiome A 1, A 3, A 4, allerdings folgen auf 1 unmittelbar zwei Elemente 2 und a. Somit ist Axiom 2 nicht von den anderen abhängig.

Die Unabhängigkeit von Axiom 3 wird durch das Modell veranschaulicht:

wobei A 1, A 2, A 4 wahr sind, aber die Zahl 2 sowohl auf die Zahl 4 als auch auf die Zahl 1 folgt.

Um die Unabhängigkeit des Induktionsaxioms zu beweisen, verwenden wir die Menge N, bestehend aus allen natürlichen Zahlen, sowie drei Buchstaben (a, b, c). Die folgende Beziehung kann in dieses Modell eingeführt werden, wie in der folgenden Abbildung dargestellt:

Hier wird für natürliche Zahlen die übliche Folgebeziehung verwendet, und für Buchstaben wird die Folgebeziehung durch die folgenden Formeln definiert: a / = b, b / = c, c / = a. Es ist offensichtlich, dass 1 keiner natürlichen Zahl folgt, für jede gibt es eine nächste, und zwar nur eine, jedes Element folgt höchstens einem Element. Wenn wir jedoch eine Menge M betrachten, die aus gewöhnlichen natürlichen Zahlen besteht, dann ist dies eine Teilmenge dieser Menge, die eins sowie das nächste Element für jedes Element aus M enthält. Diese Teilmenge wird jedoch nicht mit dem gesamten untenstehenden Modell übereinstimmen Überlegung, da es keine Buchstaben a, b, c enthalten wird. Somit ist das Induktionsaxiom in diesem Modell nicht erfüllt und daher hängt das Induktionsaxiom nicht von den anderen Axiomen ab.

Die axiomatische Theorie der natürlichen Zahlen ist kategorisch(vollständig im engeren Sinne).

 (n /) =( (n)) / .

Prinzip der vollständigen mathematischen Induktion.

Induktionssatz. Es sei eine Aussage P(n) für alle natürlichen Zahlen formuliert, und es sei a) P(1) wahr, b) aus der Tatsache, dass P(k) wahr ist, folgt, dass auch P(k /) wahr ist. Dann gilt die Aussage P(n) für alle natürlichen Zahlen.

Um dies zu beweisen, führen wir eine Menge M natürlicher Zahlen n (M  N) ein, für die die Aussage P(n) wahr ist. Lassen Sie uns Axiom A 4 verwenden, das heißt, wir werden versuchen, Folgendes zu beweisen:

1. k  M => k /  M.

Wenn uns das gelingt, können wir gemäß Axiom A 4 schließen, dass M = N, also P(n) für alle natürlichen Zahlen gilt.

1) Gemäß Bedingung a) des Satzes ist P(1) wahr, also 1  M.

2) Wenn ein k  M, dann ist (nach Konstruktion von M) P(k) wahr. Gemäß Bedingung b) des Theorems folgt daraus die Wahrheit von P(k /), was bedeutet, dass k /  M.

Nach dem Induktionsaxiom (A 4) gilt also M = N, was bedeutet, dass P(n) für alle natürlichen Zahlen gilt.

Somit ermöglicht uns das Induktionsaxiom, eine Methode zum Beweis von Theoremen „durch Induktion“ zu schaffen. Diese Methode spielt eine Schlüsselrolle beim Beweis der Grundsätze der Arithmetik über natürliche Zahlen. Es besteht aus Folgendem:

1) Die Gültigkeit der Aussage wird überprüftN=1 (Induktionsbasis) ,

2) Die Gültigkeit dieser Aussage wird vorausgesetztN= k, Wok– beliebige natürliche Zahl(induktive Hypothese) , und unter Berücksichtigung dieser Annahme wird die Gültigkeit der Aussage festgestelltN= k / (Induktionsschritt ).

Ein Beweis, der auf einem bestimmten Algorithmus basiert, wird Beweis genannt durch mathematische Induktion .

Aufgaben zur eigenständigen Lösung

Nr. 1.1. Finden Sie heraus, welche der aufgeführten Systeme die Peano-Axiome erfüllen (sie sind Modelle der Menge der natürlichen Zahlen), und bestimmen Sie, welche Axiome erfüllt sind und welche nicht.

a) N =(3, 4, 5...), n / = n + 1;

b) N =(n  6, n  N), n / = n + 1;

c) N =(n  – 2, n  Z), n / = n + 1;

d) N =(n  – 2, n  Z), n / = n + 2;

e) ungerade natürliche Zahlen, n / = n +1;

f) ungerade natürliche Zahlen, n / = n +2;

g) Natürliche Zahlen mit dem Verhältnis n / = n + 2;

h) N =(1, 2, 3), 1 / = 3, 2 / = 3, 3 / = 2;

i) N =(1, 2, 3, 4, 5), 1 / = 2, 2 / = 3, 3 / = 4, 4 / = 5, 5 / = 1;

j) Natürliche Zahlen, Vielfache von 3 mit dem Verhältnis n / = n + 3

k) Gerade natürliche Zahlen mit dem Verhältnis n / = n + 2

m) Ganze Zahlen,
.

Ganzzahlsystem

Erinnern wir uns daran, dass die natürliche Reihe scheinbar Objekte auflistete. Wenn wir jedoch einige Aktionen mit Objekten ausführen möchten, benötigen wir arithmetische Operationen mit Zahlen. Das heißt, wenn wir Äpfel stapeln oder einen Kuchen teilen wollen, müssen wir diese Aktionen in die Sprache der Zahlen übersetzen.

Bitte beachten Sie, dass zur Einführung der Operationen + und * in die Sprache der natürlichen Zahlen Axiome hinzugefügt werden müssen, die die Eigenschaften dieser Operationen definieren. Aber dann ist es auch die Menge der natürlichen Zahlen selbst expandieren.

Sehen wir uns an, wie sich die Menge der natürlichen Zahlen erweitert. Die einfachste Operation, die als eine der ersten erforderlich war, ist die Addition. Wenn wir die Additionsoperation definieren wollen, müssen wir ihre Umkehrung definieren – die Subtraktion. Wenn wir tatsächlich wissen, was das Ergebnis der Addition sein wird, zum Beispiel 5 und 2, dann sollten wir in der Lage sein, Probleme zu lösen wie: Was muss zu 4 addiert werden, um 11 zu erhalten. Das heißt, Probleme im Zusammenhang mit der Addition werden definitiv gelöst erfordern die Fähigkeit, die umgekehrte Aktion durchzuführen – die Subtraktion. Aber wenn die Addition natürlicher Zahlen wieder eine natürliche Zahl ergibt, dann liefert die Subtraktion natürlicher Zahlen ein Ergebnis, das nicht in N passt. Es waren einige andere Zahlen erforderlich. In Analogie zur verständlichen Subtraktion einer kleineren Zahl von einer größeren Zahl wurde die Regel eingeführt, eine größere Zahl von einer kleineren Zahl zu subtrahieren – so entstanden negative ganze Zahlen.

Indem wir die natürliche Reihe mit den Operationen + und - ergänzen, gelangen wir zur Menge der ganzen Zahlen.

Z=N+Operationen(+-)

Das System der rationalen Zahlen als Sprache der Arithmetik

Betrachten wir nun die nächstkomplexere Aktion – die Multiplikation. Im Wesentlichen handelt es sich hierbei um eine wiederholte Addition. Und das Produkt ganzer Zahlen bleibt eine ganze Zahl.

Aber die Umkehroperation zur Multiplikation ist die Division. Es werden jedoch nicht immer die besten Ergebnisse erzielt. Und wieder stehen wir vor einem Dilemma – entweder zu akzeptieren, dass das Ergebnis der Division möglicherweise „nicht existiert“, oder Zahlen eines neuen Typs zu finden. So entstanden rationale Zahlen.

Nehmen wir ein System ganzer Zahlen und ergänzen es durch Axiome, die die Operationen der Multiplikation und Division definieren. Wir erhalten ein System rationaler Zahlen.

Q=Z+Operationen(*/)

Die Sprache der rationalen Zahlen ermöglicht es uns also, zu produzieren alle arithmetischen Operationenüber die Zahlen. Die Sprache der natürlichen Zahlen reichte hierfür nicht aus.

Lassen Sie uns eine axiomatische Definition des Systems der rationalen Zahlen geben.

Definition. Eine Menge Q heißt eine Menge rationaler Zahlen, und ihre Elemente werden rationale Zahlen genannt, wenn die folgende Menge von Bedingungen, die Axiomatik rationaler Zahlen genannt wird, erfüllt ist:

Axiome der Additionsoperation. Für jedes bestellte Paar x,y Elemente aus Q ein Element ist definiert x+yОQ, Summe genannt X Und bei. In diesem Fall sind folgende Bedingungen erfüllt:

1. (Existenz von Null) Es gibt ein Element 0 (Null), so dass für jedes XÎQ

X+0=0+X=X.

2. Für jedes Element XО Q es gibt ein Element - XО Q (Gegenteil X) so dass

X+ (-X) = (-X) + X = 0.

3. (Kommutativität) Für alle x,yО F

4. (Assoziativität) Für jedes x,y,zО Q

x + (y + z) = (x + y) + z

Axiome der Multiplikationsoperation.

Für jedes bestellte Paar x, y Elemente aus Q ist ein Element definiert xyО Q, nannte das Produkt X Und u. In diesem Fall sind folgende Bedingungen erfüllt:

5. (Existenz eines Einheitselements) Es gibt ein Element 1 О Q, so dass für jedes XО F

X . 1 = 1. x = x

6. Für jedes Element XО Q , ( X≠ 0) gibt es ein inverses Element X-1 ≠0 so dass

X. x -1 = x -1. x = 1

7. (Assoziativität) Für alle x, y, zО F

X . (j . z) = (x . y) . z

8. (Kommutativität) Für alle x, yО F

Axiom des Zusammenhangs zwischen Addition und Multiplikation.

9. (Distributivität) Für alle x, y, zО F

(x+y) . z = x . z+y . z

Ordnungsaxiome.

Zwei beliebige Elemente x, y,О Q geht eine Vergleichsrelation ≤ ein. In diesem Fall sind folgende Bedingungen erfüllt:

10. (X≤bei)L ( bei≤X) ó x=y

11. (X≤y) L ( y≤ z) => X≤z

12. Für jeden x, yО Q oder x< у, либо у < x .

Attitüde< называется строгим неравенством,

Die Beziehung = heißt die Gleichheit der Elemente aus Q.

Axiom vom Zusammenhang zwischen Addition und Ordnung.

13. Für jedes x, y, z ОQ, (x £ y) Þ x+z £ y+z

Axiom des Zusammenhangs zwischen Multiplikation und Ordnung.

14. (0 £ x)Ç(0 £ y) Þ (0 £ x´y)

Das Kontinuitätsaxiom des Archimedes.

15. Für jedes a > b > 0 gibt es m О N und n О Q mit m ³ 1, n< b и a= mb+n.

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Somit ist das System der rationalen Zahlen die Sprache der Arithmetik.

Diese Sprache reicht jedoch nicht aus, um praktische Rechenprobleme zu lösen.

Axiomatische Methode in der Mathematik.

Grundbegriffe und Beziehungen der axiomatischen Theorie der natürlichen Reihen. Definition einer natürlichen Zahl.

Addition natürlicher Zahlen.

Multiplikation natürlicher Zahlen.

Eigenschaften der Menge der natürlichen Zahlen

Subtraktion und Division natürlicher Zahlen.

Axiomatische Methode in der Mathematik

Bei der axiomatischen Konstruktion jeder mathematischen Theorie werden die folgenden Regeln beachtet: bestimmte Regeln:

1. Einige Konzepte der Theorie werden als ausgewählt hauptsächlich und werden ohne Definition akzeptiert.

2. Sind formuliert Axiome, die in dieser Theorie ohne Beweis akzeptiert werden, offenbaren sie die Eigenschaften grundlegender Konzepte.

3. Jedes Konzept der Theorie, das nicht in der Liste der Grundkonzepte enthalten ist, wird angegeben Definition, erklärt es seine Bedeutung mit Hilfe der Haupt- und Vorbegriffe.

4. Jeder Satz einer Theorie, der nicht in der Axiomenliste enthalten ist, muss bewiesen werden. Solche Vorschläge werden aufgerufen Theoreme und beweisen Sie sie anhand der Axiome und Theoreme, die dem betrachteten vorausgehen.

Das Axiomensystem sollte sein:

a) konsistent: Wir müssen sicher sein, dass wir niemals zu einem Widerspruch kommen, wenn wir alle möglichen Schlussfolgerungen aus einem gegebenen Axiomensystem ziehen.

b) unabhängig: Kein Axiom sollte eine Folge anderer Axiome dieses Systems sein.

V) voll, wenn es in seinem Rahmen immer möglich ist, entweder eine gegebene Aussage oder ihre Negation zu beweisen.

Als erste Erfahrung axiomatischer Theoriebildung kann die Darstellung der Geometrie durch Euklid in seinen „Elementen“ (3. Jahrhundert v. Chr.) angesehen werden. Einen wesentlichen Beitrag zur Entwicklung der axiomatischen Methode zur Konstruktion von Geometrie und Algebra leistete N.I. Lobatschewski und E. Galois. Ende des 19. Jahrhunderts. Der italienische Mathematiker Peano entwickelte ein Axiomensystem für die Arithmetik.

Grundbegriffe und Beziehungen der axiomatischen Theorie der natürlichen Zahlen. Definition einer natürlichen Zahl.

Als grundlegendes (undefiniertes) Konzept in einer bestimmten Menge N ist ausgewählt Attitüde und verwendet auch mengentheoretische Konzepte sowie die Regeln der Logik.

Das Element, das dem Element unmittelbar folgt A, bezeichnen A".

Die Beziehung „Direkt folgen“ erfüllt die folgenden Axiome:

Peanos Axiome:

Axiom 1. In Hülle und Fülle N Es gibt ein Element direkt nicht weiter nicht für irgendein Element dieser Menge. Rufen wir ihn an Einheit und durch das Symbol gekennzeichnet 1 .

Axiom 2. Für jedes Element A aus N es gibt nur ein Element A" , unmittelbar im Anschluss A .

Axiom 3. Für jedes Element A aus N Es gibt höchstens ein Element, auf das unmittelbar folgt A .

Axiom 4. Beliebige Teilmenge M Sätze N fällt zusammen mit N , wenn es die folgenden Eigenschaften hat: 1) 1 Enthalten in M ; 2) aus der Tatsache, dass A Enthalten in M , es folgt dem A" Enthalten in M.

Definition 1. Ein Haufen N , für deren Elemente die Beziehung hergestellt wird „Direkt folgen", das die Axiome 1-4 erfüllt, heißt Menge natürlicher Zahlen, und seine Elemente sind natürliche Zahlen.

Diese Definition sagt nichts über die Natur der Elemente der Menge aus N . Es kann also alles sein. Auswahl als Set N Wir erhalten eine bestimmte Menge, auf der eine bestimmte Beziehung „direkt folgen“ gegeben ist, die die Axiome 1–4 erfüllt Modell dieses Systems Axiom.

Das Standardmodell des Peano-Axiomsystems ist eine Zahlenreihe, die im Verlauf der historischen Entwicklung der Gesellschaft entstanden ist: 1,2,3,4,... Die natürliche Reihe beginnt mit der Zahl 1 (Axiom 1); Auf jede natürliche Zahl folgt unmittelbar eine einzelne natürliche Zahl (Axiom 2); jede natürliche Zahl folgt unmittelbar höchstens einer natürlichen Zahl (Axiom 3); Ausgehend von der Zahl 1 und weitergehend zu den unmittelbar aufeinander folgenden natürlichen Zahlen erhalten wir die gesamte Menge dieser Zahlen (Axiom 4).

Also begannen wir mit der axiomatischen Konstruktion eines Systems natürlicher Zahlen, indem wir die Grundzahlen wählten „Direkt folgen“-Beziehung und Axiome, die seine Eigenschaften beschreiben. Der weitere Aufbau der Theorie beinhaltet die Berücksichtigung der bekannten Eigenschaften natürlicher Zahlen und deren Operationen. Sie müssen in Definitionen und Theoremen offengelegt werden, d.h. ergeben sich rein logisch aus der Relation „direkt folgen“ und den Axiomen 1-4.

Das erste Konzept, das wir nach der Definition einer natürlichen Zahl einführen werden, ist Attitüde „geht unmittelbar voraus“ , was häufig bei der Betrachtung der Eigenschaften der natürlichen Reihe verwendet wird.

Definition 2. Wenn eine natürliche Zahl B folgt direkt natürliche Zahl A, diese Zahl A angerufen unmittelbar vor(oder früher) Nummer b .

Die Relation „precedes“ hat eine Reihe von Eigenschaften.

Satz 1. Einheit hat keine vorangehende natürliche Zahl.

Satz 2. Jede natürliche Zahl A, außer 1, hat eine einzelne vorangehende Zahl B, so dass B"= A.

Die axiomatische Konstruktion der Theorie der natürlichen Zahlen wird weder in der Grundschule noch in der weiterführenden Schule berücksichtigt. Die Eigenschaften der Relation „direkt folgen“, die sich in Peanos Axiomen widerspiegeln, sind jedoch Gegenstand des Studiums im Grundstudium der Mathematik. Bereits in der ersten Klasse wird bei der Betrachtung der Zahlen der ersten Zehn deutlich, wie die einzelnen Zahlen ermittelt werden können. Es werden die Begriffe „folgt“ und „voran“ verwendet. Jede neue Zahl fungiert als Fortsetzung des untersuchten Abschnitts der natürlichen Zahlenreihe. Die Schüler sind davon überzeugt, dass auf jede Zahl die nächste folgt, und darüber hinaus nur eines, nämlich dass die natürliche Zahlenreihe unendlich ist.

Addition natürlicher Zahlen

Gemäß den Regeln zur Konstruktion einer axiomatischen Theorie muss die Definition der Addition natürlicher Zahlen nur anhand der Beziehung eingeführt werden „Direkt folgen“ und Konzepte "natürliche Zahl" Und „vorhergehende Nummer“.

Lassen Sie uns der Definition der Addition die folgenden Überlegungen voranstellen. Wenn zu einer natürlichen Zahl A Addiere 1, wir erhalten die Zahl A", unmittelbar im Anschluss A, d.h. A+ 1= ein" und daher erhalten wir die Regel für die Addition von 1 zu jeder natürlichen Zahl. Aber wie addiert man zu einer Zahl? A natürliche Zahl B, verschieden von 1? Nutzen wir die folgende Tatsache: Wenn wir wissen, dass 2 + 3 = 5, dann ist die Summe 2 + 4 = 6, die unmittelbar auf die Zahl 5 folgt. Dies geschieht, weil in der Summe 2 + 4 der zweite Term die unmittelbar folgende Zahl ist die Zahl 3. Somit ist 2 + 4 =2+3 " =(2+3)". Im Allgemeinen haben wir , .

Diese Tatsachen bilden die Grundlage für die Definition der Addition natürlicher Zahlen in der axiomatischen Theorie.

Definition 3. Addieren natürlicher Zahlen ist eine algebraische Operation mit den folgenden Eigenschaften:

Nummer a + b angerufen Summe der Zahlen A Und B , und die Zahlen selbst A Und B - Bedingungen.

STAATLICHE PÄDAGOGISCHE UNIVERSITÄT OMSK
ZWEIG DER Staatlichen Pädagogischen Universität Omsk in der TAR
BBK Herausgegeben durch Redaktions- und Verlagsbeschluss
22ya73-Sektor der Zweigstelle der Staatlichen Pädagogischen Universität Omsk in Tara
Kapitel 67

Die Empfehlungen richten sich an Studierende pädagogischer Hochschulen der Fachrichtung „Algebra und Zahlentheorie“. Im Rahmen dieser Disziplin wird gemäß Landesstandard im 6. Semester der Abschnitt „Numerische Systeme“ studiert. Diese Empfehlungen enthalten Material zur axiomatischen Konstruktion von Systemen natürlicher Zahlen (das Peano-Axiomensystem), Systemen ganzer Zahlen und rationaler Zahlen. Diese Axiomatik ermöglicht es uns, besser zu verstehen, was eine Zahl ist, was eines der Grundkonzepte eines Schulmathematikkurses ist. Zur besseren Aufnahme des Stoffes werden Aufgaben zu relevanten Themen gestellt. Am Ende der Empfehlungen stehen Antworten, Anleitungen und Problemlösungen.

Gutachter: Doktor der Pädagogischen Wissenschaften, Prof. Dalinger V.A.

(c) Mozhan N.N.

Zur Veröffentlichung unterzeichnet – 22.10.98

Zeitungspapier
Auflage 100 Exemplare.
Die Druckmethode ist betriebsbereit
Staatliche Pädagogische Universität Omsk, 644099, Omsk, Emb. Tuchatschewski, 14
Filiale, 644500, Tara, st. Shkolnaya, 69

1. NATÜRLICHE ZAHLEN.

Bei der axiomatischen Konstruktion eines Systems natürlicher Zahlen gehen wir davon aus, dass der Mengenbegriff, Relationen, Funktionen und andere mengentheoretische Konzepte bekannt sind.

1.1 Das Peano-Axiomensystem und die einfachsten Konsequenzen.

Die anfänglichen Konzepte in Peanos axiomatischer Theorie sind die Menge N (die wir die Menge der natürlichen Zahlen nennen werden), die daraus abgeleitete spezielle Zahl Null (0) und die auf N „folgende“ binäre Relation, bezeichnet mit S(a) (oder A()).
AXIOME:
1. ((a(N) a"(0 (Es gibt eine natürliche Zahl 0, die keiner Zahl folgt.)
2. a=b (a"=b" (Auf jede natürliche Zahl a folgt eine natürliche Zahl a", und zwar nur eine.)
3. a"=b" (a=b (Jede natürliche Zahl folgt höchstens einer Zahl.)
4. (Induktionsaxiom) Wenn die Menge M(N und M zwei Bedingungen erfüllt:
A) 0(M;
B) ((a(N) a(M ® a"(M, dann M=N.
In der funktionalen Terminologie bedeutet dies, dass die Abbildung S:N®N injektiv ist. Aus Axiom 1 folgt, dass die Abbildung S:N®N nicht surjektiv ist. Axiom 4 ist die Grundlage für den Beweis von Aussagen „durch die Methode der mathematischen Induktion“.
Beachten wir einige Eigenschaften natürlicher Zahlen, die sich direkt aus den Axiomen ergeben.
Eigenschaft 1. Auf jede natürliche Zahl a(0 folgt eine und nur eine Zahl.
Nachweisen. M bezeichne die Menge der natürlichen Zahlen, die Null enthalten, und alle diese natürlichen Zahlen, denen jeweils eine Zahl folgt. Es genügt zu zeigen, dass M=N, Eindeutigkeit folgt aus Axiom 3. Wenden wir Induktionsaxiom 4 an:
A) 0(M – durch Konstruktion der Menge M;
B) wenn a(M, dann a"(M, weil a" auf a folgt.
Das bedeutet nach Axiom 4, M=N.
Eigenschaft 2. Wenn a(b, dann a"(b".
Die Eigenschaft wird durch Widerspruch mit Axiom 3 bewiesen. Die folgende Eigenschaft 3 wird auf ähnliche Weise mit Axiom 2 bewiesen.
Eigenschaft 3. Wenn a"(b", dann a(b.
Eigenschaft 4. ((a(N)a(a". (Keine natürliche Zahl folgt sich selbst.)
Nachweisen. Sei M=(x (x(N, x(x")). Es genügt zu zeigen, dass M=N. Da nach Axiom 1 ((x(N)x"(0, dann insbesondere 0"(0 , und somit ist Bedingung A) von Axiom 4 0(M - erfüllt. Wenn x(M, also x(x", dann nach Eigenschaft 2 x"((x")", was bedeutet, dass Bedingung B) x ( M ® x"(M. Aber dann ist nach Axiom 4 M=N.
Sei ( eine Eigenschaft natürlicher Zahlen. Die Tatsache, dass eine Zahl a die Eigenschaft ( hat, schreiben wir ((a).
Aufgabe 1.1.1. Beweisen Sie, dass Axiom 4 aus der Definition der Menge der natürlichen Zahlen der folgenden Aussage entspricht: für jede Eigenschaft (, if ((0) und, then.
Aufgabe 1.1.2. Auf einer dreielementigen Menge A=(a,b,c) ist die unäre Operation ( wie folgt definiert: a(=c, b(=c, c(=a. Welche der Peano-Axiome sind auf der Menge wahr? A mit der Operation (?
Aufgabe 1.1.3. Sei A=(a) eine Singleton-Menge, a(=a. Welche der Peano-Axiome gelten für die Menge A mit der Operation (?
Aufgabe 1.1.4. Auf der Menge N definieren wir eine unäre Operation, vorausgesetzt für jede. Finden Sie heraus, ob die in Bezug auf die Operation formulierten Aussagen der Peano-Axiome in N wahr sind.
Aufgabe 1.1.5. Lassen. Beweisen Sie, dass A unter der Operation ( abgeschlossen ist. Überprüfen Sie die Wahrheit der Peano-Axiome auf der Menge A mit der Operation (.
Aufgabe 1.1.6. Lassen, . Definieren wir eine unäre Operation für A, Einstellung. Welche der Peano-Axiome gelten für die Menge A mit der Operation?

1.2. Konsistenz und Kategorizität des Peano-Axiomsystems.

Ein Axiomensystem heißt konsistent, wenn es aus seinen Axiomen unmöglich ist, den Satz T und seine Negation (T) zu beweisen. Es ist klar, dass widersprüchliche Axiomensysteme in der Mathematik keine Bedeutung haben, weil man in einer solchen Theorie alles und so etwas beweisen kann Die Theorie spiegelt nicht die Gesetze der realen Welt wider. Daher ist die Konsistenz des Axiomensystems eine zwingende Voraussetzung.
Wenn der Satz T und seine Negationen (T) nicht in einer axiomatischen Theorie zu finden sind, bedeutet dies nicht, dass das Axiomensystem konsistent ist; solche Theorien können in der Zukunft auftauchen. Daher muss die Konsistenz des Axiomensystems nachgewiesen werden. Die Der gebräuchlichste Weg, Konsistenz zu beweisen, ist die Methode der Interpretation, die auf der Tatsache basiert, dass, wenn es eine Interpretation des Axiomensystems in einer offensichtlich konsistenten Theorie S gibt, das Axiomensystem selbst konsistent ist. Wenn das Axiomensystem tatsächlich inkonsistent wäre, dann wären die Theoreme T und (T darin beweisbar, aber dann wären diese Theoreme auch in ihrer Interpretation gültig, und dies widerspricht der Konsistenz der Theorie S. Die Interpretationsmethode erlaubt es, nur die relative Konsistenz der Theorie zu beweisen.
Für das Peano-Axiomensystem können viele verschiedene Interpretationen konstruiert werden. Besonders reich an Interpretationen ist die Mengenlehre. Lassen Sie uns eine dieser Interpretationen angeben. Wir betrachten die Mengen (, ((), ((()), (((())),... als natürliche Zahlen; wir betrachten Null als eine spezielle Zahl (. Die Beziehung „folgt“ wird wie folgt interpretiert werden: Auf die Menge M folgt die Menge (M), deren einziges Element M selbst ist. Somit ist ("=((), (()"=((()), usw. Die Machbarkeit von Die Axiome 1-4 lassen sich leicht verifizieren. Die Wirksamkeit einer solchen Interpretation ist jedoch gering: Sie zeigt, dass das Peano-Axiomensystem konsistent ist, wenn die Mengenlehre konsistent ist. Der Beweis der Konsistenz des mengentheoretischen Axiomensystems ist jedoch noch schwieriger Aufgabe. Die überzeugendste Interpretation des Peano-Axiomsystems ist die intuitive Arithmetik, deren Konsistenz durch jahrhundertelange Entwicklungserfahrung bestätigt wird.
Ein konsistentes Axiomensystem heißt unabhängig, wenn nicht jedes Axiom dieses Systems als Satz auf der Grundlage anderer Axiome bewiesen werden kann. Um zu beweisen, dass das Axiom (nicht von anderen Axiomen des Systems abhängt
(1, (2, ..., (n, ((1)
Es reicht aus, die Konsistenz des Axiomensystems zu beweisen
(1, (2, ..., (n, (((2)
Wenn (auf der Grundlage der übrigen Axiome des Systems (1) bewiesen würde, dann wäre System (2) widersprüchlich, da darin der Satz (und das Axiom ((.
Um also die Unabhängigkeit des Axioms (von den anderen Axiomen des Systems (1)) zu beweisen, reicht es aus, eine Interpretation des Axiomensystems (2) zu konstruieren.
Die Unabhängigkeit des Axiomensystems ist eine optionale Voraussetzung. Um den Beweis „schwieriger“ Theoreme zu vermeiden, wird manchmal ein bewusst redundantes (abhängiges) Axiomensystem konstruiert. Allerdings erschweren „zusätzliche“ Axiome die Untersuchung der Rolle von Axiomen in der Theorie sowie der internen logischen Verbindungen zwischen verschiedenen Abschnitten der Theorie. Darüber hinaus ist die Konstruktion von Interpretationen für abhängige Axiomensysteme viel schwieriger als für unabhängige; Schließlich müssen wir die Gültigkeit der „zusätzlichen“ Axiome überprüfen. Aus diesen Gründen wird der Frage der Abhängigkeit zwischen Axiomen seit der Antike höchste Bedeutung beigemessen. Zu einer Zeit versuchten Versuche zu beweisen, dass Postulat 5 in Euklids Axiomen „Es gibt höchstens eine Gerade, die durch Punkt A parallel zur Geraden verläuft“ ein Satz ist (d. h. von den übrigen Axiomen abhängt) und zur Entdeckung von Lobatschewski führte Geometrie.
Ein konsistentes System heißt deduktiv vollständig, wenn jede Aussage A einer gegebenen Theorie entweder bewiesen oder widerlegt werden kann, das heißt, entweder A oder (A ist ein Theorem dieser Theorie. Wenn es eine Aussage gibt, die weder bewiesen noch widerlegt werden kann, dann heißt das Axiomensystem deduktiv unvollständig. Auch deduktive Vollständigkeit ist keine zwingende Voraussetzung. Beispielsweise sind die Axiomensysteme der Gruppentheorie, Ringtheorie, Feldtheorie unvollständig; da es sowohl endliche als auch unendliche Gruppen, Ringe, Felder gibt , dann ist es in diesen Theorien unmöglich, den Satz zu beweisen oder zu widerlegen: „Eine Gruppe (Ring, Körper) enthält eine endliche Anzahl von Elementen.“
Es ist zu beachten, dass in vielen axiomatischen Theorien (nämlich in nicht formalisierten) die Menge der Sätze nicht als genau definiert angesehen werden kann und es daher unmöglich ist, die deduktive Vollständigkeit des Axiomensystems einer solchen Theorie zu beweisen. Ein anderes Gefühl der Vollständigkeit wird Kategorisierung genannt. Ein System von Axiomen heißt kategorisch, wenn zwei seiner Interpretationen isomorph sind, d. Kategorizität ist ebenfalls eine optionale Bedingung. Beispielsweise ist das Axiomensystem der Gruppentheorie nicht kategorisch. Dies folgt aus der Tatsache, dass eine endliche Gruppe nicht isomorph zu einer unendlichen Gruppe sein kann. Bei der Axiomatisierung der Theorie eines numerischen Systems ist jedoch die Kategorisierung zwingend erforderlich. Beispielsweise bedeutet die kategorische Natur des Axiomensystems, das die natürlichen Zahlen definiert, dass es bis zur Isomorphie nur eine natürliche Reihe gibt.
Lassen Sie uns die kategorische Natur des Peano-Axiomsystems beweisen. Seien (N1, s1, 01) und (N2, s2, 02) zwei beliebige Interpretationen des Peano-Axiomsystems. Es ist erforderlich, eine bijektive (eins-zu-eins) Zuordnung f:N1®N2 anzugeben, für die die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
a) f(s1(x)=s2(f(x)) für jedes x aus N1;
b) f(01)=02
Wenn beide unären Operationen s1 und s2 mit derselben Primzahl bezeichnet werden, wird Bedingung a) umgeschrieben als
a) f(x()=f(x)(.
Definieren wir eine binäre Beziehung f auf der Menge N1(N2) durch die folgenden Bedingungen:
1) 01f02;
2) wenn xfy, dann x(fy(.
Stellen wir sicher, dass diese Beziehung eine Abbildung von N1 auf N2 ist, also für jedes x von N1
(((y(N2) xfy (1)
M1 bezeichne die Menge aller Elemente x aus N1, für die Bedingung (1) erfüllt ist. Dann
A) 01(M1 wegen 1);
B) x(M1 ® x((M1 aufgrund von 2) und Eigenschaften 1 von Absatz 1.
Daraus schließen wir gemäß Axiom 4, dass M1=N1 ist, und das bedeutet, dass die Beziehung f eine Abbildung von N1 in N2 ist. Darüber hinaus folgt aus 1) f(01)=02. Bedingung 2) wird in der Form geschrieben: Wenn f(x)=y, dann f(x()=y(. Daraus folgt, dass f(x()=f(x)(). Um f Bedingung a anzuzeigen ) und b) erfüllt sind. Es bleibt zu beweisen, dass die Abbildung f bijektiv ist.
Bezeichnen wir mit M2 die Menge derjenigen Elemente aus N2, von denen jedes das Bild eines und nur eines Elements aus N1 unter der Abbildung f ist.
Da f(01)=02 ist, ist 02 ein Bild. Wenn außerdem x(N2 und x(01), dann folgt durch Eigenschaft 1 von Punkt 1 x ein Element c aus N1 und dann f(x)=f(c()=f(c)((02. Das bedeutet 02 ist das Bild des einzigen Elements 01, also 02(M2.
Sei weiterhin y(M2 und y=f(x), wobei x das einzige inverse Bild des Elements y ist. Dann gilt nach Bedingung a) y(=f(x)(=f(x()), d. h. y(ist das Bild des Elements x (. Sei c ein beliebiges inverses Bild des Elements y(, d. h. f(c)=y(. Da y((02, dann ist c(01 und für c ist das Vorhergehende Element, das wir mit d bezeichnen. Dann ist y(=f( c)=f(d()=f(d)(), woraus nach Axiom 3 y=f(d). Aber da y(M2, dann d= x, woraus c=d(=x(. Wir haben bewiesen, dass, wenn y das Bild eines eindeutigen Elements ist, y(das Bild eines eindeutigen Elements ist, d. h. y(M2 ® y((M2. Beides Die Bedingungen von Axiom 4 sind erfüllt und daher ist M2=N2, womit der Beweis der Kategorizität abgeschlossen ist.
Die gesamte vorgriechische Mathematik war empirischer Natur. Einzelne Elemente der Theorie gingen in der Masse empirischer Methoden zur Lösung praktischer Probleme unter. Die Griechen unterzogen dieses empirische Material einer logischen Verarbeitung und versuchten, Zusammenhänge zwischen verschiedenen empirischen Informationen herzustellen. In diesem Sinne spielten Pythagoras und seine Schule (5. Jahrhundert v. Chr.) eine wichtige Rolle in der Geometrie. Die Ideen der axiomatischen Methode waren in den Werken von Aristoteles (4. Jahrhundert v. Chr.) deutlich zu hören. Die praktische Umsetzung dieser Ideen erfolgte jedoch durch Euklid in seinen Elementen (3. Jahrhundert v. Chr.).
Derzeit lassen sich drei Formen axiomatischer Theorien unterscheiden.
1). Eine sinnvolle Axiomatik, die bis zur Mitte des letzten Jahrhunderts die einzige war.
2). Halbformale Axiomatik, die im letzten Viertel des letzten Jahrhunderts entstand.
3). Formale (oder formalisierte) Axiomatik, deren Geburtsdatum als 1904 angesehen werden kann, als D. Hilbert sein berühmtes Programm über die Grundprinzipien der formalisierten Mathematik veröffentlichte.
Jede neue Form leugnet die vorherige nicht, sondern ist ihre Weiterentwicklung und Klärung, so dass der Grad der Strenge jeder neuen Form höher ist als der der vorherigen.
Die intensive Axiomatik zeichnet sich dadurch aus, dass die Ausgangsbegriffe bereits vor der Formulierung der Axiome eine intuitiv klare Bedeutung haben. In Euklids Elementen bedeutet ein Punkt also genau das, was wir intuitiv unter diesem Konzept verstehen. In diesem Fall werden gewöhnliche Sprache und gewöhnliche intuitive Logik verwendet, die auf Aristoteles zurückgehen.
Semiformale axiomatische Theorien verwenden auch gewöhnliche Sprache und intuitive Logik. Im Gegensatz zur sinnvollen Axiomatik erhalten die ursprünglichen Konzepte jedoch keine intuitive Bedeutung, sondern werden nur durch Axiome charakterisiert. Dies erhöht die Genauigkeit, da die Intuition in gewissem Maße die Genauigkeit beeinträchtigt. Darüber hinaus wird Allgemeingültigkeit erlangt, da jeder in einer solchen Theorie bewiesene Satz in jeder Interpretation gültig ist. Ein Beispiel für eine semiformale axiomatische Theorie ist Hilberts Theorie, dargelegt in seinem Buch „Foundations of Geometry“ (1899). Beispiele für semiformale Theorien sind auch die Ringtheorie und eine Reihe anderer Theorien, die in einem Algebra-Kurs vorgestellt werden.
Ein Beispiel für eine formalisierte Theorie ist die Aussagenrechnung, die in einem Kurs über mathematische Logik untersucht wird. Im Gegensatz zur substantiellen und semiformalen Axiomatik verwendet die formalisierte Theorie eine spezielle symbolische Sprache. Es wird nämlich das Alphabet der Theorie vorgegeben, also ein bestimmter Satz von Symbolen, die die gleiche Rolle spielen wie Buchstaben in der gewöhnlichen Sprache. Jede endliche Folge von Zeichen wird Ausdruck oder Wort genannt. Unter den Ausdrücken wird eine Klasse von Formeln unterschieden und ein genaues Kriterium angegeben, anhand dessen für jeden Ausdruck festgestellt werden kann, ob es sich um eine Formel handelt. Formeln spielen die gleiche Rolle wie Sätze in der gewöhnlichen Sprache. Einige der Formeln sind deklarierte Axiome. Darüber hinaus werden logische Inferenzregeln angegeben; Jede dieser Regeln bedeutet, dass eine bestimmte Formel direkt aus einem bestimmten Satz von Formeln folgt. Der Beweis des Satzes selbst ist eine endliche Formelkette, in der die letzte Formel der Satz selbst ist und jede Formel entweder ein Axiom oder ein zuvor bewiesener Satz ist oder gemäß einer der folgenden Formeln direkt aus den vorherigen Formeln der Kette folgt die Regeln der Schlussfolgerung. Daher besteht absolut kein Zweifel an der Aussagekraft der Beweise: Entweder ist eine bestimmte Kette ein Beweis oder nicht; es gibt keinen zweifelhaften Beweis. In diesem Zusammenhang wird die formalisierte Axiomatik in besonders subtilen Fragen der Begründung mathematischer Theorien eingesetzt, wenn die gewöhnliche intuitive Logik zu falschen Schlussfolgerungen führen kann, die hauptsächlich auf die Ungenauigkeiten und Mehrdeutigkeiten unserer Alltagssprache zurückzuführen sind.
Da man in einer formalisierten Theorie zu jedem Ausdruck sagen kann, ob es sich um eine Formel handelt, kann die Menge der Sätze einer formalisierten Theorie als eindeutig angesehen werden. In diesem Zusammenhang kann man grundsätzlich die Frage nach dem Nachweis der deduktiven Vollständigkeit sowie des Nachweises der Konsistenz stellen, ohne auf Interpretation zurückgreifen zu müssen. In einigen einfachen Fällen kann dies erreicht werden. Beispielsweise wird die Konsistenz der Aussagenrechnung ohne Interpretation bewiesen.
In nicht formalisierten Theorien sind viele Aussagen nicht klar definiert, daher ist es sinnlos, die Frage des Konsistenznachweises aufzuwerfen, ohne auf Interpretationen zurückzugreifen. Gleiches gilt für die Frage des Nachweises der deduktiven Vollständigkeit. Wenn man jedoch auf einen Vorschlag einer unformalisierten Theorie stößt, der weder bewiesen noch widerlegt werden kann, dann ist die Theorie offensichtlich deduktiv unvollständig.
Die axiomatische Methode wird seit langem nicht nur in der Mathematik, sondern auch in der Physik eingesetzt. Die ersten Versuche in dieser Richtung wurden von Aristoteles unternommen, aber die axiomatische Methode fand ihre eigentliche Anwendung in der Physik erst in Newtons Werken zur Mechanik.
Im Zusammenhang mit dem raschen Prozess der Mathematisierung der Wissenschaften gibt es auch einen Prozess der Axiomatisierung. Derzeit wird die axiomatische Methode sogar in einigen Bereichen der Biologie eingesetzt, beispielsweise in der Genetik.
Dennoch sind die Möglichkeiten der axiomatischen Methode nicht unbegrenzt.
Zunächst stellen wir fest, dass es auch in formalisierten Theorien nicht möglich ist, die Intuition vollständig zu vermeiden. Die formalisierte Theorie selbst hat ohne Interpretationen keine Bedeutung. Daher stellen sich zahlreiche Fragen zum Verhältnis zwischen einer formalisierten Theorie und ihrer Interpretation. Darüber hinaus werden, wie in formalisierten Theorien, Fragen nach der Konsistenz, Unabhängigkeit und Vollständigkeit des Axiomensystems aufgeworfen. Die Gesamtheit aller dieser Fragen bildet den Inhalt einer anderen Theorie, die Metatheorie einer formalisierten Theorie genannt wird. Im Gegensatz zu einer formalisierten Theorie ist die Sprache der Metatheorie eine gewöhnliche Alltagssprache, und logisches Denken erfolgt nach den Regeln der gewöhnlichen intuitiven Logik. So taucht die aus der formalisierten Theorie völlig verdrängte Intuition in ihrer Metatheorie wieder auf.
Dies ist jedoch nicht die Hauptschwäche der axiomatischen Methode. Wir haben bereits das Programm von D. Hilbert erwähnt, das die Grundlage für die formalisierte axiomatische Methode legte. Hilberts Hauptidee bestand darin, die klassische Mathematik als formalisierte axiomatische Theorie auszudrücken und dann ihre Konsistenz zu beweisen. Dieses Programm erwies sich jedoch in seinen Grundzügen als utopisch. 1931 bewies der österreichische Mathematiker K. Gödel seine berühmten Theoreme, woraus folgte, dass beide von Hilbert gestellten Hauptprobleme unmöglich waren. Mit seiner Kodierungsmethode gelang es ihm, einige wahre Annahmen der Metatheorie mithilfe von Formeln der formalen Arithmetik auszudrücken und zu beweisen, dass diese Formeln in der formalen Arithmetik nicht ableitbar sind. Somit erwies sich die formalisierte Arithmetik als deduktiv unvollständig. Aus Gödels Ergebnissen folgte, dass es, wenn diese unbeweisbare Formel in die Anzahl der Axiome aufgenommen wird, eine weitere unbeweisbare Formel geben wird, die eine wahre Aussage ausdrückt. Dies alles führte dazu, dass nicht nur die gesamte Mathematik, sondern auch die Arithmetik – ihr einfachster Teil – nicht vollständig formalisiert werden konnte. Insbesondere konstruierte Gödel eine Formel entsprechend dem Satz „Formalisierte Arithmetik ist konsistent“ und zeigte, dass diese Formel ebenfalls nicht ableitbar ist. Diese Tatsache bedeutet, dass die Konsistenz der formalisierten Arithmetik nicht innerhalb der Arithmetik selbst nachgewiesen werden kann. Natürlich ist es möglich, eine stärker formalisierte Theorie zu konstruieren und ihre Mittel zu nutzen, um die Konsistenz der formalisierten Arithmetik zu beweisen, aber dann stellt sich eine schwierigere Frage nach der Konsistenz dieser neuen Theorie.
Gödels Ergebnisse zeigen die Grenzen der axiomatischen Methode. Und doch gibt es in der Erkenntnistheorie keinerlei Grundlage für pessimistische Schlussfolgerungen, dass es unerkennbare Wahrheiten gibt. Die Tatsache, dass es arithmetische Wahrheiten gibt, die in der formalen Arithmetik nicht bewiesen werden können, bedeutet nicht, dass es unerkennbare Wahrheiten gibt und bedeutet nicht, dass das menschliche Denken begrenzt ist. Es bedeutet nur, dass die Möglichkeiten unseres Denkens nicht auf vollständig formalisierte Verfahren beschränkt sind und dass die Menschheit noch neue Beweisprinzipien entdecken und erfinden muss.

1.3.Addition natürlicher Zahlen

Die Operationen der Addition und Multiplikation natürlicher Zahlen werden vom Peano-Axiomensystem nicht postuliert; wir werden diese Operationen definieren.
Definition. Die Addition natürlicher Zahlen ist eine binäre algebraische Operation + auf der Menge N, die die folgenden Eigenschaften hat:
1s. ((a(N) a+0=a;
2c. ((a,b(N) a+b(=(a+b)(.
Es stellt sich die Frage: Gibt es eine solche Operation und wenn ja, ist sie die einzige?
Satz. Es gibt nur eine Addition natürlicher Zahlen.
Nachweisen. Eine binäre algebraische Operation auf der Menge N ist die Abbildung (:N(N®N. Es muss nachgewiesen werden, dass es eine eindeutige Abbildung (:N(N®N) mit den Eigenschaften: 1) ((x(N) ( (x,0)=x ; 2) ((x,y(N) ((x,y()=((x,y)(). Wenn wir für jede natürliche Zahl x die Existenz einer Abbildung beweisen fx:N®N mit den Eigenschaften 1() fx(0 )=x; 2() fx(y()=fx(y)(), dann ist die Funktion ((x,y), definiert durch die Gleichheit ((x ,y) (fx(y), erfüllt die Bedingungen 1) und 2).
Auf der Menge N definieren wir die binäre Beziehung fx durch die Bedingungen:
a) 0fxx;
b) wenn yfxz, dann y(fxz(.
Stellen wir sicher, dass diese Beziehung eine Abbildung von N auf N ist, also für jedes y von N
(((z(N) yfxz (1)
Es sei M die Menge der natürlichen Zahlen y, für die Bedingung (1) erfüllt ist. Aus Bedingung a) folgt dann, dass 0(M, und aus Bedingung b) und Eigenschaft 1 von Satz 1 folgt, dass wenn y(M, dann y((M. Daher schließen wir basierend auf Axiom 4, dass M = N , und das bedeutet, dass die Relation fx eine Abbildung von N auf N ist. Für diese Abbildung sind folgende Bedingungen erfüllt:
1() fx(0)=x - wegen a);
2() fx((y)=fx(y() - aufgrund von b).
Somit ist die Existenz einer Addition bewiesen.
Lassen Sie uns Einzigartigkeit beweisen. Seien + und ( zwei beliebige binäre algebraische Operationen auf der Menge N mit den Eigenschaften 1c und 2c. Das müssen wir beweisen
((x,y(N) x+y=x(y
Legen wir eine beliebige Zahl x fest und bezeichnen mit S die Menge derjenigen natürlichen Zahlen y, für die die Gleichheit gilt
x+y=x(y (2)
durchgeführt. Da nach 1c x+0=x und x(0=x, dann
A) 0(S
Sei nun y(S, d. h. die Gleichung (2) ist erfüllt. Da x+y(=(x+y)(, x(y(=(x(y)(und x+y=x(y), dann ist nach Axiom 2 x+y(=x(y(, d. h. die Bedingung ist erfüllt
B) y(S ® y((S.
Daher ist gemäß Axiom 4 S=N, womit der Beweis des Theorems abgeschlossen ist.
Lassen Sie uns einige Eigenschaften der Addition beweisen.
1. Die Zahl 0 ist ein neutrales Additionselement, d. h. a+0=0+a=a für jede natürliche Zahl a.
Nachweisen. Aus Bedingung 1c folgt die Gleichheit a+0=a. Beweisen wir die Gleichheit 0+a=a.
Bezeichnen wir mit M die Menge aller Zahlen, für die es gilt. Offensichtlich ist 0+0=0 und daher 0(M. Sei a(M, also 0+a=a. Dann ist 0+a(=(0+a)(=a(und daher a((M . Das bedeutet M=N, was bewiesen werden musste.
Als nächstes brauchen wir ein Lemma.
Lemma. a(+b=(a+b)(.
Nachweisen. Sei M die Menge aller natürlichen Zahlen b, für die die Gleichheit a(+b=(a+b) für jeden Wert von a gilt. Dann:
A) 0(M, da a(+0=(a+0)(;
B) b(M ® b((M. Aufgrund der Tatsache, dass b(M und 2c, gilt tatsächlich
a(+b(=(a(+b)(=((a+b)()(=(a+b())(,
das heißt, b((M. Das bedeutet M=N, was bewiesen werden musste.
2. Die Addition natürlicher Zahlen ist kommutativ.
Nachweisen. Sei M=(a(a(N(((b(N)a+b=b+a). Es genügt zu beweisen, dass M=N. Wir haben:
A) 0(M - aufgrund der Eigenschaft 1.
B) a(M ® a((M. Tatsächlich erhalten wir unter Anwendung des Lemmas und der Tatsache, dass a(M:
a(+b=(a+b)(=(b+a)(=b+a(.
Das bedeutet a((M, und nach Axiom 4 ist M=N.
3. Die Addition ist assoziativ.
Nachweisen. Lassen
M=(c(c(N(((a,b(N)(a+b)+c=a+(b+c))
Es muss nachgewiesen werden, dass M=N ist. Da (a+b)+0=a+b und a+(b+0)=a+b, dann 0(M. Sei c(M, also (a+b)+c=a+(b+c) . Dann
(a+b)+c(=[(a+b)+c](=a+(b+c)(=a+(b+c().
Das bedeutet c((M und nach Axiom 4 M=N.
4. a+1=a(, wobei 1=0(.
Nachweisen. a+1=a+0(=(a+0)(=a(.
5. Wenn b(0, dann ((a(N)a+b(a.
Nachweisen. Sei M=(a(a(N(a+b(a). Da 0+b=b(0, dann 0(M. Wenn a(M, also a+b(a), dann by Eigenschaft 2 Element 1 (a+b)((a(oder a(+b(a(. Also a((M und M=N.
6. Wenn b(0, dann ((a(N)a+b(0.
Nachweisen. Wenn a=0, dann 0+b=b(0, aber wenn a(0 und a=c(, dann a+b=c(+b=(c+b)(0. Also auf jeden Fall a + b(0.
7. (Gesetz der Trichotomie der Addition). Für alle natürlichen Zahlen a und b gilt nur eine von drei Beziehungen:
1) a=b;
2) b=a+u, wobei u(0;
3) a=b+v, wobei v(0.
Nachweisen. Wir legen eine beliebige Zahl a fest und bezeichnen mit M die Menge aller natürlichen Zahlen b, für die mindestens eine der Beziehungen 1), 2), 3) gilt. Es muss nachgewiesen werden, dass M=N ist. Sei b=0. Wenn dann a=0, dann ist Beziehung 1 wahr, und wenn a(0, dann ist Beziehung 3 wahr), da a=0+a. Also 0(M.
Nehmen wir nun an, dass b(M), also für das gewählte a, eine der Beziehungen 1), 2), 3) erfüllt ist. Wenn a=b, dann b(=a(=a+1, d. h. für b( gilt die Beziehung 2). Wenn b=a+u, dann b(=a+u(, d. h. für b( die Beziehung 2). Wenn a=b+v, dann sind zwei Fälle möglich: v=1 und v(1. Wenn v=1, dann a=b+v=b", d. h. für b" gelten Beziehungen 1 erfüllt). Wenn dasselbe v(1, dann v=c", wobei c(0 und dann a=b+v=b+c"=(b+c)"=b"+c, wobei c(0, das ist für b" Beziehung 3 erfüllt). Wir haben also bewiesen, dass b(M®b"(M, und daher M=N, d. h. für jedes a und b mindestens eine der Beziehungen 1), 2), 3 ist erfüllt. Stellen wir sicher, dass nicht zwei davon gleichzeitig erfüllt sein können. Tatsächlich: Wenn die Beziehungen 1) und 2) erfüllt wären, dann hätten sie b=b+u, wobei u(0, und dies widerspricht der Eigenschaft 5. Die Unmöglichkeit der Erfüllbarkeit von 1) und 3). Wenn schließlich die Beziehungen 2) und 3) erfüllt wären, dann hätten wir a=(a+u)+v = a+ +(u+v), und das ist aufgrund der Eigenschaften 5 und 6 unmöglich. Eigenschaft 7 ist vollständig bewiesen.
Aufgabe 1.3.1. Sei 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9). Beweisen Sie, dass 3+5=8, 2+4=6.

1.4. MULTIPLIKATION NATÜRLICHER ZAHLEN.

Definition 1. Die Multiplikation natürlicher Zahlen ist eine solche binäre Operation (auf der Menge N, für die die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
1у. ((x(N) x(0=0;
2u. ((x,y(N) x(y"=x(y+x.
Es stellt sich erneut die Frage: Gibt es eine solche Operation und wenn es sie gibt, ist sie die einzige?
Satz. Es gibt nur eine Operation zum Multiplizieren natürlicher Zahlen.
Der Beweis erfolgt fast genauso wie bei der Addition. Es ist erforderlich, eine Zuordnung (:N(N®N) zu finden, die die Bedingungen erfüllt
1) ((x(N) ((x,0)=0;
2) ((x,y(N) ((x,y")= ((x,y)+x.
Lassen Sie uns die Zahl x willkürlich festlegen. Wenn wir für jedes x(N die Existenz einer Abbildung fx: N®N mit den Eigenschaften beweisen
1") fx(0)=0;
2") ((y(N) fx(y")=fx(y)+x,
dann ist die Funktion ((x,y), definiert durch die Gleichheit ((x,y)=fx(y) und erfüllt die Bedingungen 1) und 2).
Der Beweis des Theorems reduziert sich also auf den Nachweis der Existenz und Eindeutigkeit für jedes x der Funktion fx(y) mit den Eigenschaften 1") und 2"). Stellen wir eine Korrespondenz auf der Menge N gemäß der folgenden Regel her:
a) die Zahl Null ist mit der Zahl 0 vergleichbar,
b) Wenn die Zahl y mit der Zahl c verknüpft ist, dann ist die Zahl y (verknüpfe die Zahl c+x.
Stellen wir sicher, dass bei einem solchen Vergleich jede Zahl y ein eindeutiges Bild hat: Dies bedeutet, dass die Entsprechung eine Abbildung von N auf N ist. Bezeichnen wir mit M die Menge aller natürlichen Zahlen y, die ein eindeutiges Bild haben. Aus Bedingung a) und Axiom 1 folgt, dass 0(M. Sei y(M. Dann folgt aus Bedingung b) und Axiom 2, dass y((M. Das bedeutet M=N, d. h. unsere Korrespondenz ist eine Abbildung N in N ; bezeichnen wir es mit fx. Dann ist fx(0)=0 aufgrund der Bedingung a) und fx(y()=fx(y)+x - aufgrund der Bedingung b).
Damit ist die Existenz der Multiplikationsoperation bewiesen. Seien nun (und ( zwei beliebige binäre Operationen auf der Menge N mit den Eigenschaften 1û und 2Î. Es bleibt noch zu beweisen, dass ((x,y(N) x(y=x(y. Lassen Sie uns eine beliebige Zahl x festlegen und sei
S=(y?y(N (x(y=x(y)
Da aufgrund von 1y x(0=0 und x(0=0), dann 0(S. Sei y(S, also x(y=x(y. Dann
x(y(=x(y+x=x(y+x=x(y(
und daher y((S. Dies bedeutet S=N, womit der Beweis des Satzes abgeschlossen ist.
Beachten wir einige Eigenschaften der Multiplikation.
1. Das neutrale Element bezüglich der Multiplikation ist die Zahl 1=0(, also ((a(N) a(1=1(a=a.
Nachweisen. a(1=a(0(=a(0+a=0+a=a. Damit ist die Gleichheit a(1=a bewiesen. Es bleibt noch die Gleichheit 1(a=a zu beweisen. Sei M=(a ?a(N (1(a=a). Da 1(0=0, dann 0(M. Sei a(M, also 1(a=a. Dann ist 1(a(=1(a+1= a+1= a( und daher a((M. Dies bedeutet nach Axiom 4, dass M=N ist, was bewiesen werden musste.
2. Für die Multiplikation gilt das Rechtsverteilungsgesetz
((a,b,c(N) (a+b)c=ac+bc.
Nachweisen. Sei M=(c (c(N (((a,b(N) (a+b)c=ac+bc). Da (a+b)0=0 und a(0+b(0=0 , dann 0(M. Wenn c(M, also (a+b)c=ac+bc, dann ist (a + b)(c(= (a + b)c +(a + b) = ac + bc + a+b=(ac+a)+(bc+b)=ac(+bc(. Also, c((M und M=N.
3. Die Multiplikation natürlicher Zahlen ist kommutativ, d. h. ((a,b(N) ab=ba.
Nachweisen. Beweisen wir zunächst für jedes b(N die Gleichheit 0(b=b(0=0. Die Gleichheit b(0=0 folgt aus Bedingung 1y. Sei M=(b (b(N (0(b=0). Da 0( 0=0, dann 0(M. Wenn b(M, also 0(b=0, dann 0(b(=0(b+0=0 und daher b((M. Also M =N, das heißt, die Gleichheit 0(b=b(0 ist für alle b(N bewiesen. Sei weiterhin S=(a (a(N (ab=ba). Da 0(b=b(0, dann 0(S. Sei a (S, also ab=ba. Dann ist a(b=(a+1)b=ab+b=ba+b=ba(, also a((S. Das bedeutet S =N, was bewiesen werden musste.
4. Die Multiplikation ist relativ zur Addition verteilend. Diese Eigenschaft ergibt sich aus den Eigenschaften 3 und 4.
5. Die Multiplikation ist assoziativ, das heißt ((a,b,c(N) (ab)c=a(bc).
Der Beweis erfolgt wie bei der Addition durch Induktion über c.
6. Wenn a(b=0, dann ist a=0 oder b=0, d. h. N hat keine Nullteiler.
Nachweisen. Sei b(0 und b=c(. Wenn ab=0, dann ac(=ac+a=0, was aufgrund der Eigenschaft 6 von Klausel 3 bedeutet, dass a=0.
Aufgabe 1.4.1. Sei 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9). Beweisen Sie, dass 2(4=8, 3(3=9.
Seien n, a1, a2,...,an natürliche Zahlen. Die Summe der Zahlen a1, a2,...,an ist eine Zahl, die durch die Bedingungen bezeichnet und bestimmt wird; für jede natürliche Zahl k
Das Produkt der Zahlen a1, a2,...,an ist eine natürliche Zahl, die durch die Bedingungen bezeichnet und bestimmt wird: ; für jede natürliche Zahl k
Wenn, dann wird die Zahl mit an bezeichnet.
Aufgabe 1.4.2. Beweise das
A) ;
B) ;
V) ;
G) ;
D) ;
e) ;
Und) ;
H) ;
Und) .

1.5. Ordnung des natürlichen Zahlensystems.

Die Relation „folgt“ ist antireflexiv und antisymmetrisch, aber nicht transitiv und daher keine Ordnungsrelation. Wir werden eine Ordnungsrelation definieren, die auf der Addition natürlicher Zahlen basiert.
Definition 1. a
Definition 2. a(b (((x(N) b=a+x.
Stellen wir sicher, dass die Beziehung vorliegt. Beachten wir einige Eigenschaften natürlicher Zahlen, die mit den Beziehungen von Gleichheit und Ungleichheit verbunden sind.
1.
1.1 a=b (a+c=b+c.
1.2 a=b (ac=bc.
1.3a
1.4a
1,5 a+c=b+c (a=b.
1,6 ac=bc (c(0 (a=b.
1,7 a+c
1,8ac
1.9a
1.10a
Nachweisen. Die Eigenschaften 1.1 und 1.2 ergeben sich aus der Eindeutigkeit der Additions- und Multiplikationsoperationen. Wenn ein
2. ((a(N)a
Nachweisen. Da a(=a+1, dann a
3. Das kleinste Element in N ist 0 und das kleinste Element in N\(0) ist die Zahl 1.
Nachweisen. Da ((a(N) a=0+a, dann 0(a, und daher ist 0 das kleinste Element in N. Wenn außerdem x(N\(0), dann x=y(, y(N , oder x=y+1. Daraus folgt, dass ((x(N\(0)) 1(x, d. h. 1 ist das kleinste Element in N\(0).
4. Beziehung ((a,b(N)((n(N)b(0 (nb > a.
Nachweisen. Offensichtlich gibt es zu jeder natürlichen Zahl a eine natürliche Zahl n, so dass
a Eine solche Zahl ist zum Beispiel n=a(. Wenn außerdem b(N\(0), dann nach Eigenschaft 3
1(b(2)
Aus (1) und (2) erhalten wir basierend auf den Eigenschaften 1.10 und 1.4 aa.

1.6. VOLLSTÄNDIGE ORDNUNG DES SYSTEMS DER NATÜRLICHEN ZAHLEN.

Definition 1. Wenn jede nichtleere Teilmenge einer geordneten Menge (M; Stellen wir sicher, dass die Gesamtordnung linear ist. Seien a und b zwei beliebige Elemente aus einer vollständig geordneten Menge (M; Lemma . 1)a
Nachweisen.
1) a((b (b=a(+k, k(N (b=a+k(, k((N\(0) (a
2) a(b (b=a+k, k(N (b(=a+k(, k((N\(0) (a
Satz 1. Die natürliche Ordnung auf der Menge der natürlichen Zahlen ist die Gesamtordnung.
Nachweisen. Sei M eine beliebige nichtleere Menge natürlicher Zahlen und S die Menge ihrer Untergrenzen in N, also S=(x (x(N (((m(M) x(m). Aus Eigenschaft 3 aus Klausel 5 folgt daraus, dass 0(S. Wenn die zweite Bedingung von Axiom 4 n(S (n((S) ebenfalls erfüllt wäre, dann hätten wir S=N. Tatsächlich ist S(N; nämlich, wenn a( M, dann a((S aufgrund der Ungleichung a
Satz 2. Jede nicht leere Menge der oben begrenzten natürlichen Zahlen hat ein größtes Element.
Nachweisen. Sei M eine beliebige nichtleere Menge der oben begrenzten natürlichen Zahlen und S die Menge ihrer Obergrenzen, d. h. S=(x(x(N (((m(M) m(x). Sei x0 die kleinstes Element in S. Dann gilt die Ungleichung m(x0 für alle Zahlen m aus M und die strikte Ungleichung m
Aufgabe 1.6.1. Beweise das
A) ;
B) ;
V) .
Aufgabe 1.6.2. Sei ( eine Eigenschaft natürlicher Zahlen und k eine beliebige natürliche Zahl. Beweisen Sie das
a) Jede natürliche Zahl hat die Eigenschaft (, sobald 0 diese Eigenschaft für jedes n (0 hat
b) Jede natürliche Zahl größer oder gleich k hat die Eigenschaft (, sobald k diese Eigenschaft hat und für jedes n (k(n) aus der Annahme, dass n die Eigenschaft ( hat, folgt, dass die Zahl n+1 hat auch diese Eigenschaft;
c) Jede natürliche Zahl größer oder gleich k hat die Eigenschaft (, sobald k diese Eigenschaft hat und für jedes n (n>k) unter der Annahme, dass alle durch die Bedingung k(t) definierten Zahlen t

1.7. PRINZIP DER INDUKTION.

Anhand der vollständigen Ordnung des Systems der natürlichen Zahlen kann man den folgenden Satz beweisen, auf dem eine der Beweismethoden basiert, die sogenannte Methode der mathematischen Induktion.
Satz (Prinzip der Induktion). Alle Aussagen aus der Folge A1, A2, ..., An, ... sind wahr, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
1) Aussage A1 ist wahr;
2) wenn die Aussagen Ak für k wahr sind
Nachweisen. Nehmen wir das Gegenteil an: Die Bedingungen 1) und 2) sind erfüllt, aber der Satz ist nicht wahr, das heißt, die Menge M=(m(m(N\(0), Am ist falsch) ist nicht leer). Entsprechend Nach Satz 1 von Satz 6 gibt es ein kleinstes Element, das wir mit n bezeichnen. Da gemäß Bedingung 1) A1 wahr und An falsch ist, ist 1(n, also 1
Beim Beweis durch Induktion können zwei Stufen unterschieden werden. Im ersten Schritt, der sogenannten Induktionsbasis, wird die Durchführbarkeit der Bedingung 1) geprüft. Im zweiten Schritt, dem sogenannten Induktionsschritt, wird die Durchführbarkeit der Bedingung 2) bewiesen. In diesem Fall gibt es am häufigsten Fälle, in denen zum Beweis der Wahrheit von Aussagen An keine Notwendigkeit besteht, die Wahrheit von Aussagen Ak für k zu verwenden
Beispiel. Beweisen Sie die Ungleichung Put =Sk. Es ist erforderlich, die Wahrheit der Aussagen Ak=(Sk zu beweisen. Die in Satz 1 genannte Folge von Aussagen kann aus dem Prädikat A(n) erhalten werden, das auf der Menge N oder auf ihrer Teilmenge Nk=(x (x(N) definiert ist , x(k), wobei k eine beliebige feste natürliche Zahl ist.
Insbesondere wenn k=1, dann ist N1=N\(0), und die Nummerierung der Aussagen kann mithilfe der Gleichungen A1=A(1), A2=A(2), ..., An=A erfolgen (n), ... Wenn k(1, dann kann die Folge von Aussagen mithilfe der Gleichungen A1=A(k), A2=A(k+1), ..., An=A(k+n) erhalten werden -1), .. In Übereinstimmung mit dieser Notation kann Satz 1 in einer anderen Form formuliert werden.
Satz 2. Das Prädikat A(m) ist auf der Menge Nk identisch wahr, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
1) die Aussage A(k) ist wahr;
2) wenn die Aussagen A(m) für m wahr sind
Aufgabe 1.7.1. Beweisen Sie, dass die folgenden Gleichungen keine Lösungen im Bereich der natürlichen Zahlen haben:
a) x+y=1;
b) 3x=2;
c) x2=2;
d) 3x+2=4;
e) x2+y2=6;
f) 2x+1=2y.
Aufgabe 1.7.2. Beweisen Sie mit dem Prinzip der mathematischen Induktion:
a) (n3+(n+1)3+(n+2)3)(9;
B) ;
V) ;
G) ;
D) ;
e) .

1.8. SUBTRAHIEREN UND DIVISION NATÜRLICHER ZAHLEN.

Definition 1. Die Differenz der natürlichen Zahlen a und b ist eine natürliche Zahl x mit b+x=a. Die Differenz zwischen den natürlichen Zahlen a und b wird mit a-b bezeichnet, und die Operation zum Ermitteln der Differenz wird Subtraktion genannt. Subtraktion ist keine algebraische Operation. Dies folgt aus dem folgenden Satz.
Satz 1. Die Differenz a-b existiert genau dann, wenn b(a. Wenn die Differenz existiert, dann gibt es nur eine.
Nachweisen. Wenn b(a, dann gibt es per Definition der Beziehung (eine natürliche Zahl x mit b+x=a. Das bedeutet aber auch, dass x=a-b. Umgekehrt, wenn die Differenz a-b existiert, dann gibt es per Definition 1 a natürliche Zahl x, dass b+x=a. Das bedeutet aber auch, dass b(a.
Lassen Sie uns die Eindeutigkeit der Differenz a-b beweisen. Sei a-b=x und a-b=y. Dann ist gemäß Definition 1 b+x=a, b+y=a. Daher ist b+x=b+y und daher x=y.
Definition 2. Der Quotient zweier natürlicher Zahlen a und b(0) ist eine natürliche Zahl c mit a=bc. Die Operation zum Finden eines Quotienten wird Division genannt. Die Frage nach der Existenz eines Quotienten wird in der Theorie von gelöst Teilbarkeit.
Satz 2. Wenn ein Quotient existiert, dann gibt es nur einen.
Nachweisen. Sei =x und =y. Dann ist gemäß Definition 2 a=bx und a=by. Daher ist bx=by und daher x=y.
Beachten Sie, dass die Operationen Subtraktion und Division fast wörtlich auf die gleiche Weise wie in Schulbüchern definiert sind. Dies bedeutet, dass in den Absätzen 1-7, basierend auf Peanos Axiomen, eine solide theoretische Grundlage für die Arithmetik natürlicher Zahlen gelegt wird und deren weitere Darstellung konsequent im Schulmathematikkurs und im Universitätskurs „Algebra und Zahlentheorie“ erfolgt. .
Aufgabe 1.8.1. Beweisen Sie die Gültigkeit der folgenden Aussagen unter der Annahme, dass alle in ihren Formulierungen auftretenden Unterschiede bestehen:
a) (a-b)+c=(a+c)-b;
b) (a-b)(c=a(c-b(c;
c) (a+b)-(c+b)=a-c;
d) a-(b+c)=(a-b)-c;
e) (a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d);
e) (a-b)-(c-d)=a-c;
g) (a+b)-(b-c)=a+c;
h) (a-b)-(c-d)=(a+d)-(b+c);
i) a-(b-c)=(a+c)-b;
j) (a-b)-(c+d)=(a-c)-(b+d);
k) (a-b)(c+d)=(ac+ad)-(bc+bd);
m) (a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc);
m) (a-b)2=(a2+b2)-2ab;
o) a2-b2=(a-b)(a+b).
Aufgabe 1.8.2. Beweisen Sie die Gültigkeit der folgenden Aussagen unter der Annahme, dass alle in ihren Formulierungen vorkommenden Quotienten existieren.
A) ; B) ; V) ; G) ; D) ; e) ; Und) ; H) ; Und) ; Zu) ; l) ; M) ; N) ; Ö) ; P) ; R) .
Aufgabe 1.8.3. Beweisen Sie, dass die folgenden Gleichungen nicht zwei verschiedene natürliche Lösungen haben können: a) ax2+bx=c (a,b,c(N); b) x2=ax+b (a,b(N); c) 2x=ax2 + b (a,b(N).
Aufgabe 1.8.4. Lösen Sie die folgenden Gleichungen in natürlichen Zahlen:
a) x2+(x+1)2=(x+2)2; b) x+y=x(y; c) ; d) x2+2y2=12; e) x2-y2=3; e) x+y+z=x(y(z.
Aufgabe 1.8.5. Beweisen Sie, dass die folgenden Gleichungen im Bereich der natürlichen Zahlen keine Lösungen haben: a) x2-y2=14; b) x-y=xy; V) ; G) ; e) x2=2x+1; e) x2=2y2.
Aufgabe 1.8.6. Lösen Sie die folgenden Ungleichungen in natürlichen Zahlen: a) ; B) ; V) ; d) x+y2 Aufgabe 1.8.7. Beweisen Sie, dass im Bereich der natürlichen Zahlen die folgenden Beziehungen gelten: a) 2ab(a2+b2; b) ab+bc+ac(a2+b2+c2; c) c2=a2+b2 (a2+b2+c2 1.9 . QUANTITATIVE BEDEUTUNG NATÜRLICHE ZAHLEN.
In der Praxis werden natürliche Zahlen hauptsächlich zum Zählen von Elementen verwendet, und hierfür ist es notwendig, die quantitative Bedeutung natürlicher Zahlen in der Peano-Theorie zu ermitteln.
Definition 1. Die Menge (x (x(N, 1(x(n))) wird als Segment der natürlichen Reihe bezeichnet und mit (1;n() bezeichnet.
Definition 2. Eine endliche Menge ist jede Menge, die einem bestimmten Segment der natürlichen Reihe entspricht, sowie eine leere Menge. Eine Menge, die nicht endlich ist, heißt unendlich.
Satz 1. Eine endliche Menge A ist keiner ihrer eigenen Teilmengen (d. h. einer von A verschiedenen Teilmenge) äquivalent.
Nachweisen. Wenn A=(, dann ist der Satz wahr, da die leere Menge keine echten Teilmengen hat. Seien A((und A gleich stark (1,n((A((1,n()). Wir werden den Satz beweisen durch Induktion über n. Wenn n= 1, also A((1,1(, dann ist die einzig echte Teilmenge der Menge A die leere Menge. Es ist klar, dass A(und daher für n=1 die Satz ist wahr. Angenommen, der Satz gilt für n=m, das heißt, alle endlichen Mengen, die dem Segment (1,m() äquivalent sind, haben keine äquivalenten echten Teilmengen. Sei A eine beliebige Menge, die dem Segment (1,m) entspricht +1(und (:(1,m+1(®A – eine bijektive Abbildung des Segments (1,m+1(in A. Wenn ((k) mit ak bezeichnet wird, ist k=1,2,.. .,m+1, dann kann die Menge A als A=(a1, a2, ... , am, am+1) geschrieben werden. Unsere Aufgabe ist es zu beweisen, dass A keine äquivalenten echten Teilmengen hat. Nehmen Sie das Gegenteil an; Sei B(A, B(A, B(A und f: A®B eine bijektive Abbildung. Wir können bijektive Abbildungen wie diese wählen (und f so, dass am+1(B und f(am+1)=am+ 1.
Betrachten Sie die Mengen A1=A\(am+1) und B1=B\(am+1). Da f(am+1)=am+1 ist, führt die Funktion f eine bijektive Abbildung der Menge A1 auf die Menge B1 durch. Somit ist die Menge A1 gleich ihrer eigenen Teilmenge B1. Da aber A1((1,m(, widerspricht dies der Induktionsannahme.
Folgerung 1. Die Menge der natürlichen Zahlen ist unendlich.
Nachweisen. Aus den Peano-Axiomen folgt, dass die Abbildung S:N®N\(0), S(x)=x( bijektiv ist. Das bedeutet, dass N gleich seiner eigenen Teilmenge N\(0) ist und aufgrund des Satzes 1, ist nicht endlich.
Folgerung 2. Jede nicht leere endliche Menge A ist äquivalent zu einem und nur einem Segment der natürlichen Reihe.
Nachweisen. Sei A((1,m(und A((1,n(. Dann (1,m(((1,n(, woraus nach Satz 1 folgt, dass m=n. In der Tat, wenn wir das annehmen M
Korollar 2 ermöglicht uns die Einführung einer Definition.
Definition 3. Wenn A((1,n(, dann heißt die natürliche Zahl n die Anzahl der Elemente der Menge A und der Prozess der Herstellung einer Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen den Mengen A und (1,n( nennt man das Zählen der Elemente der Menge A. Es ist natürlich, die Anzahl der Elemente der leeren Menge als Zahl Null zu betrachten.
Es ist unnötig, über die enorme Bedeutung des Zählens im praktischen Leben zu sprechen.
Beachten Sie, dass es bei Kenntnis der quantitativen Bedeutung einer natürlichen Zahl möglich wäre, die Multiplikationsoperation durch Addition zu definieren, nämlich:
.
Wir haben diesen Weg bewusst nicht eingeschlagen, um zu zeigen, dass die Arithmetik selbst keinen quantitativen Sinn benötigt: Der quantitative Sinn einer natürlichen Zahl wird nur in Anwendungen der Arithmetik benötigt.

1.10. System natürlicher Zahlen als diskrete, vollständig geordnete Menge.

Wir haben gezeigt, dass die Menge der natürlichen Zahlen relativ zur natürlichen Ordnung vollständig geordnet ist. Darüber hinaus ist ((a(N) a
1. Für jede Zahl a(N gibt es eine Nachbarzahl, die ihr in der Beziehung folgt. 2. Für jede Zahl a(N\(0) gibt es eine Nachbarzahl, die ihr in der Beziehung A vollständig geordnete Menge (A;()) vorausgeht. mit den Eigenschaften 1 und 2 nennen wir diskrete vollständig geordnete Menge. Es stellt sich heraus, dass die vollständige Ordnung mit den Eigenschaften 1 und 2 eine charakteristische Eigenschaft des Systems natürlicher Zahlen ist. Tatsächlich sei A=(A;() jede vollständig geordnete Menge mit den Eigenschaften 1 und 2. Definieren wir auf der Menge A die Beziehung „folgt“ wie folgt: a(=b, wenn b ein Nachbarelement ist, das a in der Beziehung folgt (. Es ist klar, dass das kleinste Element der Menge A folgt keinem Element und daher ist Peanos Axiom 1 erfüllt.
Da es sich bei der Beziehung um eine lineare Ordnung handelt, gibt es für jedes Element a ein eindeutiges Folgeelement und höchstens ein vorangehendes Nachbarelement. Dies impliziert die Gültigkeit der Axiome 2 und 3. Sei nun M eine beliebige Teilmenge der Menge A für die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
1) a0(M, wobei a0 das kleinste Element in A ist;
2) a(M (a((M.
Beweisen wir, dass M=N ist. Nehmen wir das Gegenteil an, also A\M((. Bezeichnen wir mit b das kleinste Element in A\M. Da a0(M, dann b(a0 und daher gibt es ein Element c, so dass c( =b. Da c
Damit haben wir die Möglichkeit einer anderen Definition des Systems der natürlichen Zahlen bewiesen.
Definition. Ein System natürlicher Zahlen ist jede wohlgeordnete Menge, für die die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
1. Auf jedes Element folgt ein benachbartes Element.
2. Für jedes Element außer dem kleinsten gibt es ein benachbartes Element davor.
Es gibt andere Ansätze zur Definition des Systems der natürlichen Zahlen, auf die wir hier nicht näher eingehen.

2. GANZZAHLEN UND RATIONALE ZAHLEN.

2.1. DEFINITION UND EIGENSCHAFTEN DES GANZEN SYSTEMS.
Es ist bekannt, dass die Menge der ganzen Zahlen in ihrem intuitiven Verständnis ein Ring in Bezug auf Addition und Multiplikation ist, und dieser Ring enthält alle natürlichen Zahlen. Es ist auch klar, dass es im Ring der ganzen Zahlen keinen richtigen Teilring gibt, der alle natürlichen Zahlen enthalten würde. Es stellt sich heraus, dass diese Eigenschaften als Grundlage für eine strenge Definition des Systems der ganzen Zahlen verwendet werden können. In den Abschnitten 2.2 und 2.3 wird die Richtigkeit dieser Definition nachgewiesen.
Definitionen 1. Ein System ganzer Zahlen ist ein algebraisches System, für das die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
1. Das algebraische System ist ein Ring;
2. Die Menge der natürlichen Zahlen ist in enthalten, und Addition und Multiplikation in einem Ring auf einer Teilmenge fallen mit Addition und Multiplikation natürlicher Zahlen zusammen, d. h
3. (Minimalitätsbedingung). Z ist eine Inklusionsminimalmenge mit den Eigenschaften 1 und 2. Mit anderen Worten: Wenn ein Teilring eines Rings alle natürlichen Zahlen enthält, dann ist Z0=Z.
Definition 1 kann einen erweiterten axiomatischen Charakter erhalten. Die ersten Konzepte dieser axiomatischen Theorie werden sein:
1) Die Menge Z, deren Elemente ganze Zahlen genannt werden.
2) Eine spezielle ganze Zahl namens Null, die mit 0 bezeichnet wird.
3) Ternäre Beziehungen + und (.
Wie üblich bezeichnet N die Menge der natürlichen Zahlen mit Addition (und Multiplikation (). Gemäß Definition 1 ist ein System ganzer Zahlen ein algebraisches System (Z; +, (, N), für das die folgenden Axiome gelten:
1. (Ringaxiome.)
1.1.
Dieses Axiom bedeutet, dass + eine binäre algebraische Operation auf der Menge Z ist.
1.2. ((a,b,c(Z) (a+b)+c=a+(b+c).
1.3. ((a,b(Z) a+b=b+a.
1.4. ((a(Z) a+0=a, d. h. die Zahl 0 ist ein neutrales Element bezüglich der Addition.
1.5. ((a(Z)((a((Z) a+a(=0, d. h. zu jeder ganzen Zahl gibt es eine Gegenzahl a(.
1.6. ((a,b(Z)((! d(Z) a(b=d.
Dieses Axiom bedeutet, dass die Multiplikation eine binäre algebraische Operation auf der Menge Z ist.
1.7. ((a,b,c(Z) (a(b)(c=a((b(c).
1.8. ((a,b,c(Z) (a+b)(c=a(c+b(c, c((a+b)=c(a+c(b.
2. (Axiome, die den Ring Z mit dem System der natürlichen Zahlen in Beziehung setzen.)
2.1. N(Z.
2.2. ((a,b(N) a+b=a(b.
2.3. ((a,b(N) a(b=a(b.
3. (Axiom der Minimalität.)
Wenn Z0 ein Unterring des Rings Z und N(Z0) ist, dann ist Z0=Z.
Beachten wir einige Eigenschaften des Ganzzahlsystems.
1. Jede ganze Zahl kann als Differenz zweier natürlicher Zahlen dargestellt werden. Diese Darstellung ist mehrdeutig, mit z=a-b und z=c-d, wobei a,b,c,d(N, genau dann, wenn a+d=b+c.
Nachweisen. Mit Z0 bezeichnen wir die Menge aller ganzen Zahlen, die jeweils als Differenz zweier natürlicher Zahlen dargestellt werden können. Offensichtlich ist ((a(N) a=a-0 und daher N(Z0.
Als nächstes sei x,y(Z0, also x=a-b, y=c-d, wobei a,b,c,d(N. Dann ist x-y=(a-b)-(c-d)=(a+d)--( b +c)=(a(d)-(b(c), x(y=(a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc)=(a(c(b(d)- ( a(d(b(c). Von hier aus ist klar, dass x-y, x(y(Z0 und daher Z0 ein Teilring des Rings Z ist, der die Menge N enthält. Aber dann ist nach Axiom 3 Z0=Z und damit ist der erste Teil der Eigenschaft 1 bewiesen. Die zweite Aussage dieser Eigenschaft ist offensichtlich.
2. Der Ring der ganzen Zahlen ist ein kommutativer Ring mit Einheit, und die Nullstelle dieses Rings ist die natürliche Zahl 0, und die Einheit dieses Rings ist die natürliche Zahl 1.
Nachweisen. Sei x,y(Z. Gemäß Eigenschaft 1 x=a-b, y=c-d, wobei a,b,c,d(N. Dann ist x(y=(a-b)((c-d)=(ac+bd)-( ad +bc)=(a(c(b(d)-(a(d(b(c), y(x=(c-d)(a-b)=(ca+db)-(da+cb)=(c ( a(d(b)-(d(a(c(b). Aufgrund der Kommutativität der Multiplikation natürlicher Zahlen schließen wir daher, dass xy=yx. Die Kommutativität der Multiplikation im Ring Z wurde bewiesen. Die Die restlichen Aussagen der Eigenschaft 2 ergeben sich aus den folgenden offensichtlichen Gleichungen, in denen 0 und 1 die natürlichen Zahlen Null und Eins bezeichnen: x+0=(a-b)+0=(a+(-b))+0=(a+0) +(-b)=(a(0)+ (-b)=a-b=x. x(1=(a-b)(1=a(1-b(1=a(1-b(1=a-b=x .

2.2. EXISTENZ EINES SYSTEMS GANZER ZAHLEN.

Das Ganzzahlsystem wird in 2.1 als der minimale Einschlussring definiert, der alle natürlichen Zahlen enthält. Es stellt sich die Frage: Gibt es einen solchen Ring? Mit anderen Worten: Ist das Axiomensystem aus 2.1 konsistent? Um die Konsistenz dieses Axiomensystems zu beweisen, ist es notwendig, seine Interpretation in einer offensichtlich konsistenten Theorie aufzubauen. Eine solche Theorie kann als Arithmetik der natürlichen Zahlen betrachtet werden.
Beginnen wir also mit der Konstruktion einer Interpretation des Axiomensystems 2.1. Wir betrachten das Set als das erste. Auf dieser Menge definieren wir zwei binäre Operationen und eine binäre Beziehung. Da sich die Addition und Multiplikation von Paaren auf die Addition und Multiplikation natürlicher Zahlen reduziert, sind Addition und Multiplikation von Paaren wie bei natürlichen Zahlen kommutativ, assoziativ und die Multiplikation ist relativ zur Addition verteilend. Überprüfen wir zum Beispiel die Kommutativität der Addition von Paaren: +===+.
Betrachten wir die Eigenschaften der Beziehung ~. Da a+b=b+a ist ~, also die Relation ~, reflexiv. Wenn ~, also a+b1=b+a1, dann a1+b=b1+a, also ~. Dies bedeutet, dass die Beziehung symmetrisch ist. Lass weiter ~ und ~. Dann sind die Gleichungen a+b1=b+a1 und a1+b2=b1+a2 wahr. Wenn wir diese Gleichungen addieren, erhalten wir a+b2=b+a2, also ~. Dies bedeutet, dass die Relation ~ ebenfalls transitiv und daher eine Äquivalenz ist. Die Äquivalenzklasse, die ein Paar enthält, wird mit bezeichnet. Somit kann eine Äquivalenzklasse durch jedes ihrer Paare und gleichzeitig bezeichnet werden
(1)
Wir bezeichnen die Menge aller Äquivalenzklassen mit. Unsere Aufgabe besteht darin zu zeigen, dass diese Menge mit der entsprechenden Definition der Additions- und Multiplikationsoperationen eine Interpretation des Axiomensystems aus 2.1 sein wird. Wir definieren Operationen auf einer Menge durch die Gleichungen:
(2)
(3)
Wenn und, das heißt, auf der Menge N die Gleichungen a+b(=b+a(, c+d(=a+c()) wahr sind, dann ist die Gleichheit (a+c)+(b(+d( )=(b +d)+(a(+c()), woraus wir aufgrund von (1) Folgendes erhalten. Dies bedeutet, dass Gleichheit (2) eine eindeutige Additionsoperation auf einer Menge definiert, unabhängig von der Auswahl von Paaren, die die hinzugefügten Klassen bezeichnen. Auf ähnliche Weise wird die Eindeutigkeit der Klassenmultiplikation überprüft. Somit definieren die Gleichungen (2) und (3) binäre algebraische Operationen auf der Menge.
Da sich die Addition und Multiplikation von Klassen auf die Addition und Multiplikation von Paaren reduziert, sind diese Operationen kommutativ, assoziativ und die Klassenmultiplikation ist in Bezug auf die Addition distributiv. Aus den Gleichungen schließen wir, dass die Klasse ein neutrales Element in Bezug auf die Addition ist und es zu jeder Klasse eine Klasse gibt, die ihr gegenübersteht. Dies bedeutet, dass die Menge ein Ring ist, das heißt, die Axiome der Gruppe 1 aus 2.1 sind erfüllt.
Betrachten Sie eine Teilmenge eines Rings. Wenn a(b, dann durch (1) , und wenn a
Auf der Menge definieren wir die binäre Beziehung (folgt (; nämlich, dass auf eine Klasse eine Klasse folgt, wobei x(eine natürliche Zahl ist, die auf x folgt. Die Klasse, die natürlich folgt, wird mit ( bezeichnet. Es ist klar, dass eine Klasse nicht folgt Jede Klasse und jede Klasse hat eine Klasse, die ihr folgt, und zwar nur eine. Letzteres bedeutet, dass die Beziehung (folgt (eine unäre algebraische Operation auf der Menge N ist.
Betrachten wir die Zuordnung. Offensichtlich ist diese Abbildung bijektiv und die Bedingungen f(0)= , f(x()==(=f(x)(). Das bedeutet, dass die Abbildung f ein Isomorphismus der Algebra (N;0,() auf die Algebra (;, (). Mit anderen Worten, die Algebra (;,() ist eine Interpretation des Peano-Axiomsystems. Durch die Identifizierung dieser isomorphen Algebren, d. h. durch die Annahme, dass die Menge N selbst eine Teilmenge der ist Ring. Dieselbe Identifizierung in offensichtlichen Gleichungen führt zu den Gleichungen a(c =a+c, a(c=ac), was bedeutet, dass Addition und Multiplikation in einem Ring auf einer Teilmenge N mit Addition und Multiplikation natürlicher Zahlen zusammenfallen. Somit gilt: Die Erfüllbarkeit der Axiome der Gruppe 2 ist festgestellt. Es bleibt noch die Erfüllbarkeit des Minimalitätsaxioms zu überprüfen.
Sei Z0 ein beliebiger Teilring des Rings, der die Menge N und enthält. Beachten Sie, dass und daher . Da Z0 aber ein Ring ist, gehört die Differenz dieser Klassen auch zum Ring Z0. Aus den Gleichungen -= (= schließen wir, dass (Z0 und damit Z0=. Die Konsistenz des Axiomensystems in Abschnitt 2.1 ist bewiesen.

2.3. Einzigartigkeit des Systems der ganzen Zahlen.

Es gibt nur ein System ganzer Zahlen, wie sie intuitiv verstanden werden. Das bedeutet, dass das Axiomensystem, das die ganzen Zahlen definiert, kategorisch sein muss, das heißt, dass zwei beliebige Interpretationen dieses Axiomensystems isomorph sein müssen. Kategorisch bedeutet, dass es bis zum Isomorphismus nur ein System ganzer Zahlen gibt. Stellen wir sicher, dass dies wirklich der Fall ist.
Seien (Z1;+,(,N) und (Z2;(,(,N)) zwei beliebige Interpretationen des Axiomensystems in Abschnitt 2.1. Es reicht aus, die Existenz einer solchen bijektiven Abbildung f:Z1®Z2 zu beweisen für die die natürlichen Zahlen fest bleiben und außer Darüber hinaus gelten für alle Elemente x und y aus dem Ring Z1 die folgenden Gleichungen:
(1)
. (2)
Beachten Sie, dass, da N(Z1 und N(Z2), dann
, a(b=a(b. (3)
Sei x(Z1 und x=a-b, wobei a,b(N. Ordnen wir diesem Element x=a-b das Element u=a(b zu, wobei (Subtraktion im Ring Z2. Wenn a-b=c-d, dann a+d =b+c, ​​woraus aufgrund von (3) a(d=b(c und daher a(b=c(d) folgt. Dies bedeutet, dass unsere Entsprechung nicht vom Repräsentanten des Elements x in der abhängt Form der Differenz zweier natürlicher Zahlen und damit die Abbildung f bestimmt: Z1®Z2, f(a-b)=a(b. Es ist klar, dass wenn v(Z2 und v=c(d, dann v=f(c-d). ). Das bedeutet, dass jedes Element aus Z2 ein Bild unter der Abbildung f ist und daher die Abbildung f surjektiv ist.
Wenn x=a-b, y=c-d, wobei a,b,c,d(N und f(x)=f(y), dann a(b=c(d. Aber dann a(d=b(d, in Kraft (3) a+d=b+c, ​​​​das heißt a-b=c-d Wir haben bewiesen, dass die Gleichheit f(x)=f(y) die Gleichheit x=y impliziert, das heißt, die Abbildung f ist injektiv .
Wenn a(N, dann a=a-0 und f(a)=f(a-0)=a(0=a. Das bedeutet, dass die natürlichen Zahlen unter der Abbildung f festgelegt sind. Wenn außerdem x=a-b, y=c-d, wobei a,b,c,d(N, dann x+y=(a+c)- und f(x+y) = (a+c)((b+d)=(a(c )((b (d)=(a(b)((c(d)=f(x)+f(y). Die Gültigkeit der Gleichheit (1) ist bewiesen. Überprüfen wir die Gleichheit (2). Da f( xy)=(ac+bd )((ad+bc)=(a(c(b(d)(a(d(b(c)) und andererseits f(x)(f(y)=( a(b)((c (d)=(a(c(b(d)((a(d(b(c). Das bedeutet f(xy)=f(x)(f(y), was vervollständigt der Beweis der Kategorizität des Axiomensystems S. 2.1.

2.4. DEFINITION UND EIGENSCHAFTEN DES SYSTEMS DER RATIONALEN ZAHLEN.

Die Menge Q der rationalen Zahlen ist in ihrem intuitiven Verständnis ein Körper, für den die Menge Z der ganzen Zahlen ein Unterring ist. Es ist offensichtlich, dass Q0=Q gilt, wenn Q0 ein Unterfeld des Feldes Q ist, das alle ganzen Zahlen enthält. Wir werden diese Eigenschaften als Grundlage für eine strenge Definition des Systems rationaler Zahlen verwenden.
Definition 1. Ein System rationaler Zahlen ist ein algebraisches System (Q;+,(;Z), für das die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
1. algebraisches System (Q;+,() ist ein Körper;
2. der Ring Z der ganzen Zahlen ist ein Unterring des Körpers Q;
3. (Minimalitätsbedingung) Wenn ein Unterfeld Q0 eines Feldes Q einen Unterring Z enthält, dann ist Q0=Q.
Kurz gesagt ist das System der rationalen Zahlen ein minimaler Inklusionskörper, der einen Unterring ganzer Zahlen enthält. Es ist möglich, das System der rationalen Zahlen detaillierter axiomatisch zu definieren.
Satz. Jede rationale Zahl x kann als Quotient zweier ganzen Zahlen dargestellt werden
, wobei a,b(Z, b(0. (1)
Diese Darstellung ist mehrdeutig und wobei a,b,c,d(Z, b(0, d(0.
Nachweisen. Bezeichnen wir mit Q0 die Menge aller rationalen Zahlen, die in der Form (1) darstellbar sind. Es reicht aus, sicherzustellen, dass Q0=Q. Sei a,b,c,d(Z, b(0, d(0. Dann gilt aufgrund der Eigenschaften des Feldes: , und für c(0. Das bedeutet, dass Q0 unter Subtraktion und Division durch Zahlen nicht abgeschlossen ist gleich Null und ist daher ein Unterfeld des Feldes Q. Da jede ganze Zahl a in der Form darstellbar ist, gilt Z(Q0. Von hier aus folgt aufgrund der Minimalitätsbedingung, dass Q0=Q. Der Beweis von Der zweite Teil des Satzes ist offensichtlich.

2.5. Existenz eines Systems rationaler Zahlen.

Das System der rationalen Zahlen ist als Minimalkörper definiert, der einen Teilring von ganzen Zahlen enthält. Es stellt sich natürlich die Frage: Gibt es ein solches Feld, das heißt, ist das Axiomensystem, das rationale Zahlen definiert, konsistent? Um die Konsistenz zu beweisen, ist es notwendig, eine Interpretation dieses Axiomensystems zu konstruieren. In diesem Fall kann man sich auf die Existenz eines Systems ganzer Zahlen verlassen. Bei der Konstruktion einer Interpretation betrachten wir die Menge Z(Z\(0) als Ausgangspunkt. Auf dieser Menge definieren wir zwei binäre algebraische Operationen
, (1)
(2)
und binäre Beziehung
(3)
Die Zweckmäßigkeit genau dieser Definition von Operationen und Beziehungen ergibt sich aus der Tatsache, dass in der Interpretation, die wir aufbauen, das Paar das Besondere ausdrücken wird.
Es lässt sich leicht überprüfen, dass die Operationen (1) und (2) kommutativ und assoziativ sind und die Multiplikation in Bezug auf die Addition distributiv ist. Alle diese Eigenschaften werden anhand der entsprechenden Eigenschaften der Addition und Multiplikation ganzer Zahlen getestet. Überprüfen wir zum Beispiel die Assoziativität multiplizierender Paare: .
Ebenso wird verifiziert, dass die Beziehung ~ eine Äquivalenz ist, und daher wird die Menge Z(Z\(0) in Äquivalenzklassen unterteilt. Wir bezeichnen die Menge aller Klassen mit und die Klasse, die ein Paar enthält, mit. Somit , eine Klasse kann durch jedes ihrer Paare bezeichnet werden und Aufgrund der Bedingung (3) erhalten wir:
. (4)
Unsere Aufgabe besteht darin, die Operation der Addition und Multiplikation auf einer Menge so zu definieren, dass es sich um einen Körper handelt. Wir definieren diese Operationen durch Gleichheiten:
, (5)
(6)
Wenn also ab1=ba1 und cd1=dc1 gilt, dann erhalten wir durch Multiplikation dieser Gleichungen (ac)(b1d1)=(bd)(a1c1), was bedeutet, dass dies uns davon überzeugt, dass die Gleichheit (6) tatsächlich gilt definiert eine eindeutige Operation für eine Reihe von Klassen, unabhängig von der Auswahl der Vertreter in jeder Klasse. Die Eindeutigkeit der Operation (5) wird auf die gleiche Weise überprüft.
Da sich die Addition und Multiplikation von Klassen auf die Addition und Multiplikation von Paaren reduziert, sind die Operationen (5) und (6) kommutativ, assoziativ und die Multiplikation ist relativ zur Addition verteilend.
Aus den Gleichheiten schließen wir, dass die Klasse neutrale Elemente in Bezug auf die Addition ist und es für jede Klasse ein ihr entgegengesetztes Element gibt. Ebenso folgt aus den Gleichungen, dass eine Klasse ein neutrales Element in Bezug auf die Multiplikation ist und es zu jeder Klasse eine inverse Klasse gibt. Dies bedeutet, dass es sich um ein Feld bezüglich der Operationen (5) und (6) handelt; die erste Bedingung in der Definition von Abschnitt 2.4 ist erfüllt.
Betrachten wir als nächstes die Menge. Offensichtlich, . Die Menge ist durch Subtraktion und Multiplikation abgeschlossen und daher ein Teilring des Körpers. Wirklich, . Betrachten wir als nächstes die Abbildung. Die Surjektivität dieser Abbildung ist offensichtlich. Wenn f(x)=f(y), also x(1=y(1 oder x=y. Daher ist die Abbildung f auch injektiv. Darüber hinaus ist die Abbildung f ein Isomorphismus eines Rings in ein Ring. Da es sich hierbei um isomorphe Ringe handelt, können wir annehmen, dass der Ring Z ein Unterring des Körpers ist, d. h. Bedingung 2 in der Definition von Abschnitt 2.4 ist erfüllt. Es bleibt die Minimalität des Körpers zu beweisen. Sei beliebig Unterfeld des Feldes und, und let. Da, ein, dann. Aber da - Feld, dann gehört auch der Quotient dieser Elemente zum Feld. Damit ist bewiesen, dass wenn , dann, das heißt. Die Existenz eines Systems der rationalen Zahlen ist bewiesen.

2.6. Einzigartigkeit des Systems der rationalen Zahlen.

Da es nach ihrem intuitiven Verständnis nur ein System rationaler Zahlen gibt, muss die hier vorgestellte axiomatische Theorie rationaler Zahlen kategorisch sein. Kategorisch bedeutet, dass es bis zum Isomorphismus nur ein System rationaler Zahlen gibt. Zeigen wir, dass dies tatsächlich der Fall ist.
Seien (Q1;+, (; Z) und (Q2; (, (; Z)) zwei beliebige Systeme rationaler Zahlen. Es reicht aus, die Existenz einer bijektiven Abbildung zu beweisen, unter der alle ganzen Zahlen fest bleiben und darüber hinaus , die Bedingungen sind erfüllt
(1)
(2)
für alle Elemente x und y aus dem Feld Q1.
Der Quotient der Elemente a und b im Feld Q1 wird mit und im Feld Q2 mit a:b bezeichnet. Da Z ein Teilring jedes der Felder Q1 und Q2 ist, gelten die Gleichungen für alle ganzen Zahlen a und b
, . (3)
Lass und, wo, . Ordnen wir diesem Element x das Element y=a:b aus dem Feld Q2 zu. Wenn die Gleichheit im Feld Q1 wahr ist, wo, dann gilt nach Satz 2.4 im Ring Z die Gleichheit ab1=ba1, oder aufgrund von (3) gilt die Gleichheit und dann nach demselben Satz die Gleichheit a:b= a1:b1 gilt im Feld Q2 . Das bedeutet, dass wir durch die Verknüpfung des Elements y=a:b aus dem Feld Q2 mit einem Element aus dem Feld Q1 eine Zuordnung definieren.
Jedes Element aus Feld Q2 kann als a:b dargestellt werden, wobei und daher das Bild eines Elements aus Feld Q1 ist. Das bedeutet, dass die Abbildung f surjektiv ist.
Wenn, dann im Feld Q1 und dann. Somit ist die Abbildung f bijektiv und alle ganzen Zahlen bleiben fest. Es bleibt noch die Gültigkeit der Gleichungen (1) und (2) zu beweisen. Sei und, wobei a,b,c,d(Z, b(0, d(0). Dann und, woraus, aufgrund von (3) f(x+y)=f(x)(f(y). Ebenso und wo.
Der Isomorphismus der Interpretationen (Q1;+, (; Z) und (Q2; (, (; Z)) ist bewiesen.

ANTWORTEN, ANLEITUNGEN, LÖSUNGEN.

1.1.1. Lösung. Die Bedingung von Axiom 4 sei wahr (eine Eigenschaft natürlicher Zahlen mit ((0) und. Sei. Dann erfüllt M die Prämisse von Axiom 4, da ((0)(0(M und. Daher ist M=N, d. h. jede natürliche Zahl hat die Eigenschaft (. Umgekehrt. Nehmen wir an, dass für jede Eigenschaft (aus der Tatsache, dass ((0) und folgt. Es sei M eine Teilmenge von N, so dass 0(M und. Zeigen wir das M = N. Lassen Sie uns die Eigenschaft ( einführen, vorausgesetzt. Dann ((0), da, und. Somit ist also M=N.
1.1.2. Antwort: Die Aussagen des 1. und 4. Peano-Axioms sind wahr. Die Aussage des 2. Axioms ist falsch.
1.1.3. Antwort: Die Aussagen 2,3,4 von Peanos Axiomen sind wahr. Die Aussage des 1. Axioms ist falsch.
1.1.4. Die Aussagen 1, 2, 3 von Peanos Axiomen sind wahr. Die Aussage des 4. Axioms ist falsch. Richtung: Beweisen Sie, dass die Menge die Prämisse von Axiom 4 erfüllt, formuliert in Bezug auf die Operation but.
1.1.5. Hinweis: Um die Wahrheit der Aussage von Axiom 4 zu beweisen, betrachten Sie eine Teilmenge M von A, die die Bedingungen erfüllt: a) 1((M, b) , und die Menge. Beweisen Sie das. Dann ist M=A.
1.1.6. Die Aussagen des 1., 2. und 3. Peano-Axioms sind wahr. Die Aussage von Peanos 4. Axiom ist falsch.
1.6.1. a) Lösung: Beweisen Sie zunächst, dass wenn 1 Uhr morgens. Zurück. Lass mich
1.6.2. a) Lösung: Nehmen wir das Gegenteil an. Sei M die Menge aller Zahlen, die nicht die Eigenschaft ( haben. Nach Annahme ist M((. Nach Satz 1 hat M das kleinste Element n(0. Jede Zahl x
1.8.1. f) Verwenden Sie die Elemente e) und c): (a-c)+(c-b)=(a+c)-(c+b)=a-b, also (a-b)-(c-b)=a-c.
h) Nutzen Sie die Immobilie.
k) Verwenden Sie Punkt b).
m) Verwenden Sie die Punkte b) und h).
1.8.2. c) Wir haben also . Also, .
d) Wir haben. Somit, .
Und) .
1.8.3. a) Wenn (und (unterschiedliche Lösungen der Gleichung ax2+bx=c sind, dann a(2+b(=a(2+b()). Wenn andererseits zum Beispiel (b) Sei (und ( verschiedene Lösungen der Gleichung sein. Wenn ((. Allerdings (2=a(+b>a(, also (>a. Wir haben einen Widerspruch.
c) Seien (und ( verschiedene Wurzeln der Gleichung und (>(. Dann ist 2((-()=(a(2+b)-(a(2+b)=a((-())(( (+( ) Also a((+()=2, aber (+(>2, also a((+()>2, was unmöglich ist.
1.8.4. a) x=3; b) x=y=2. Hinweis: Da und gilt x=y; c) x=y(y+2), y – jede natürliche Zahl; d) x=y=2; e) x=2, y=1; f) Bis zu den Permutationen x=1, y=2, z=3. Lösung: Sei zum Beispiel x(y(z. Dann ist xyz=x+y+z(3z, also xy(3. Wenn xy=1, dann x=y=1 und z=2+z, was unmöglich ist. Wenn xy=2, dann x=1, y=2. In diesem Fall 2z=3+z, also z=3. Wenn xy=3, dann x=1, y=3. Dann 3z= 4+z, d.h. z=2, was der Annahme y(z) widerspricht.
1.8.5. b) Wenn x=a, y=b eine Lösung der Gleichung ist, dann ist ab+b=a, d.h. a>ab, was unmöglich ist. d) Wenn x=a, y=b eine Lösung der Gleichung ist, dann ist b
1.8.6. a) x=ky, wobei k,y beliebige natürliche Zahlen sind und y(1. b) x eine beliebige natürliche Zahl ist, y=1. c) x ist eine beliebige natürliche Zahl, y=1. d) Es gibt keine Lösung. e) x1=1; x2=2; x3=3. e) x>5.
1.8.7. a) Wenn a=b, dann 2ab=a2+b2. Lassen Sie zum Beispiel a

LITERATUR

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