Polumjer opisanog kruga sinusnim teoremom. Zaokruženi krug
Ulazni nivo
Opisani krug. Vizualni vodič (2019)
Prvo pitanje koje se može pojaviti: opisano - oko čega?
Pa, zapravo, ponekad se to dogodi oko bilo čega, ali govorit ćemo o krugu koji je okolo (ponekad oni kažu i „oko“) trokuta. Šta je ovo?
A sada, zamislite neverovatnu činjenicu:
Zašto je ta činjenica čudesna?
Ali trouglovi su različiti!
A za sve postoji krug koji će proći kroz sva tri vrhatj. krug koji je opisan.
Dokaz ove zadivljujuće činjenice možete pronaći na sljedećim nivoima teorije, ali ovdje primjećujemo samo da, ako uzmemo, primjerice, četverokutić, tada više ne postoji nijedan krug koji prolazi kroz četiri vrhova. Recimo, paralelogram je odličan četverokut, ali ne postoji nijedan krug koji prolazi kroz sve četiri njegove vrhove!
A postoji samo za pravougaonik:
Pa ovdje a svaki trokut uvijek ima svoj vlastiti ograničeni krug! Pa čak i uvek je jednostavno jednostavno pronaći centar ovog kruga.
Znate li šta je to srednja okomito?
A sada da vidimo šta se događa ako pogledamo tri cijela srednja okomita na stranice trougla.
Ispada da (a to tek treba dokazati, iako nećemo) to sve tri okomice se presijecaju u jednoj točki. Pogledajte sliku - sve tri srednje okomice se presijecaju u jednoj točki.
Mislite li da središte opisanog kruga uvijek leži unutar trougla? Zamislite - ne uvijek!
Ali ako oštro-ugaono, zatim - iznutra:
Šta učiniti s pravim trokutom?
Da, uz dodatni bonus:
Budući da govorimo o polumjeru nabrojenog kruga: čemu je to jednaki proizvoljnom trokutu? A na ovo pitanje postoji odgovor: tzv.
Naime:
Pa i naravno
1. Postojanje i središte opisanog kruga
Tada se postavlja pitanje: postoji li takav krug za bilo koji trokut? Ispada da da, za sve. I štaviše, sada ćemo formulirati teoremu koja takođe odgovara na pitanje gdje je središte zašiljenog kruga.
Pogledajte ovako:
Skupimo hrabrost i dokažemo ovu teoremu. Ako ste već pročitali temu „”, shvatili ste zašto se tri bisektoriraju u jednom trenutku, onda će vam biti lakše, ali ako je niste pročitali, ne brinite: sada ćemo to shvatiti.
Dokaz će se izvesti pomoću koncepta geometrijskog lokusa točaka (TTT).
Pa, na primer, da li je puno kugli "geometrijsko mesto" za okrugle predmete? Ne, naravno, jer postoje okrugle ... lubenice. Ima li puno ljudi, "geometrijskih mjesta" koji mogu govoriti? Ne, jer postoje bebe koje ne mogu govoriti. U životu je, generalno, teško pronaći primer stvarnog „geometrijskog mesta tačaka“. U geometriji je to lakše. Evo, na primjer, upravo ono što nam treba:
Ovdje je skup srednji okomiti, a svojstvo "" je "biti jednako udaljeno (točka) od krajeva segmenta."
Proveri? Dakle, trebate osigurati dvije stvari:
- Svaka točka koja je podjednako udaljena od krajeva segmenta smještena je na sredini okomito na nju.
Spojite sa i C. Zatim je linija medijan i visina u. Dakle, - isosceles - osigurali su da je bilo koja tačka koja leži na srednjem okomitom jednako udaljena od točaka i.
Uzmi sredinu i poveži i. Rezultat je bio medijan. Ali - prema stanju, izoscelesira ne samo srednju, već i visinu, odnosno srednju okomicu. Dakle, točka - tačno leži na srednjem okomitom.
To je sve! Potpuno je provjerio činjenicu da srednji okomiti na segment je geometrijski lokus točaka podjednako udaljenih od krajeva segmenta.
Ovo je sve dobro, ali da li smo zaboravili na ograničeni krug? Uopšte, samo smo za sebe pripremili "odskočnu dasku za napad".
Razmotrite trokut. Nacrtajte dvije srednje okomice i recimo na segmente i. Oni se presijecaju u nekom trenutku koji ćemo nazvati.
A sada, pažnja!
Točka leži na srednjem okomitom;
točka leži na srednjem okomitom.
A to znači, i.
Odavde slijedi nekoliko stvari odjednom:
Prvo, točka mora ležati na trećoj sredini okomito na segment.
Odnosno, srednja okomica je također potrebna da bi prošla kroz točku, a sve tri srednje okomice se presijecaju u jednoj točki.
Drugo: ako nacrtamo krug centriran u točki i polumjeru, tada će i ovaj krug proći kroz točku i kroz točku, to će biti presječeni krug. Dakle, već postoji da je sjecište triju srednjih okomica središte opisanog kruga za bilo koji trokut.
I posljednje: o jedinstvenosti. Jasno je (skoro) da se tačka može dobiti na jedinstven način, stoga je i krug jedinstven. Pa, „skoro“ - ostavimo to na vama da mislite. To je dokazalo teoremu. Možete vikati "Ura!".
A ako je problem "pronaći polumjer opisanog kruga"? Ili obratno, dat je polumjer, ali je li potrebno pronaći nešto drugo? Postoji li formula koja povezuje polumjer opisanog kruga s drugim elementima trougla?
Obratite pažnju: teorem sinusa kaže da da biste pronašli polumjer zacrtanog kruga, potrebna vam je jedna strana (bilo koja!) i suprotni ugao. I to je to!
3. Središte kruga - iznutra ili izvana
A sada je pitanje: može li središte zašivenog kruga ležati izvan trougla.
Odgovor: čak i kao što može. Štaviše, ovo se uvijek događa u tupom trouglu.
I uopšte:
OPIS KRUGA. KRATAK O GLAVU
1. Krug opisan u blizini trougla
Ovo je krug koji prolazi kroz sve tri vrhove ovog trougla.
2. Postojanje i središte opisanog kruga
Pa, tema je gotova. Ako pročitate ove redove, onda ste veoma cool.
Jer samo 5% ljudi je u stanju savladati nešto sami. A ako pročitate do kraja, onda ste se upustili u ovih 5%!
Sada je najvažnija stvar.
Pronašli ste teoriju o ovoj temi. I opet, ovo ... jednostavno super! Već ste bolji od velike većine svojih vršnjaka.
Problem je što ovo možda nije dovoljno ...
Za šta?
Za uspješno polaganje ispita, za prijem u institut o budžetu i, NAJVAŽNIJE, za život.
Neću vas uvjeriti ni u šta, samo recite jednu stvar ...
Ljudi koji dobiju dobro obrazovanje zarađuju mnogo više od onih koji to nisu. Ovo je statistika.
Ali to nije glavno.
Glavno je da su VIŠE SRETNI (postoje i takve studije). Možda zato što se otvaraju puno više mogućnosti i život postaje svjetliji? Ne znam ...
Ali, razmislite sami ...
Šta je potrebno da bi zasigurno bio bolji od ostalih u USE-u i na kraju bio ... sretniji?
BUDITE SVOJOM RUKOM, REŠAVANJE PROBLEMA NA OVOJ TEMI.
Na ispitu se neće tražiti teorija.
Trebat će vam rešite probleme na vreme.
I, ako ih niste riješili (MNOGO!), Sigurno ćete negdje napraviti glupu grešku ili jednostavno nemate vremena.
To je kao u sportu - trebate ponavljati mnogo puta da biste sigurno pobijedili.
Pronađite gdje želite kolekciju, nužno s rješenjima, detaljnim analizama i odlučite, odlučite, odlučite!
Možete koristiti naše zadatke (nije potrebno) i svakako ih preporučujemo.
Da biste ispunili ruku uz pomoć naših zadataka, trebate pomoći da produžite život YouClever udžbenika koji sada čitate.
Kako? Postoje dve mogućnosti:
- Otključajte sve skrivene zadatke u ovom članku - 299 rub
- Otvoreni pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka udžbenika - 499 rub
Da, imamo 99 takvih članaka u udžbeniku i možete odmah otvoriti pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima.
Pristup svim skrivenim zadacima osiguran je ZA SVE postojanje stranice.
I u zaključku ...
Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo se ne zaustavljajte na teoriji.
„Razumijem“ i „Mogu odlučiti“ su potpuno različite vještine. Treba vam oboje.
Nađite zadatke i riješite!
Vrlo često se prilikom rješavanja geometrijskih problema mora izvoditi radnja s pomoćnim figurama. Na primjer, pronađite polumjer upisanog ili ograničenog kruga itd. Ovaj članak će vam pokazati kako pronaći polumjer kruga koji je opisan oko trougla. Ili, drugim riječima, polumjer kruga u koji je upisan trokut.
Kako pronaći polumjer kruga koji je opisan oko trougla - opća formula
Općenita formula je sljedeća: R \u003d abc / 4√p (p - a) (p - b) (p - c), gdje je R polumjer opisanog kruga, p je perimetar trokuta podijeljen s 2 (pola perimetra). a, b, c su stranice trougla.
Pronađite polumjer opisanog kruga trougla ako je a \u003d 3, b \u003d 6, c \u003d 7.
Dakle, na osnovu gornje formule izračunavamo polovinu perimetra:
p \u003d (a + b + c) / 2 \u003d 3 + 6 + 7 \u003d 16. \u003d\u003e 16/2 \u003d 8.
Zamijenite vrijednosti u formuli i dobijete:
R \u003d 3 × 6 × 7 / 4√8 (8 - 3) (8 - 6) (8 - 7) \u003d 126 / 4√ (8 × 5 × 2 × 1) \u003d 126 / 4√80 \u003d 126/16 √5.
Odgovor: R \u003d 126 / 16√5
Kako pronaći polumjer kruga opisanog u blizini jednakostraničnog trougla
Da bismo pronašli polumjer kruga opisanog u blizini jednakostraničnog trokuta, postoji prilično jednostavna formula: R \u003d a / √3, gdje je a veličina njegove strane.
Primjer: Strana jednakostraničnog trokuta je 5. Pronađite radijus opisane kružnice.
Budući da su jednakostranični trokut sve strane jednake, za rješenje problema jednostavno morate unijeti njegovu vrijednost u formulu. Dobijamo: R \u003d 5 / √3.
Odgovor: R \u003d 5 / √3.
Kako pronaći polumjer kruga koji je opisan u blizini pravog trougla
Formula je sljedeća: R \u003d 1/2 × √ (a² + b²) \u003d c / 2, gdje su a i b noge, a c je hipotenuza. Ako kvadratima nogu dodamo u pravom trokutu, dobićemo kvadrat hipotenuze. Kao što se vidi iz formule, taj je izraz pod korijenom. Izračunavanjem korijena kvadrata hipotenuze, dobijamo samu dužinu. Pomnožavanje dobivenog izraza sa 1/2 na kraju nas vodi do izraza 1/2 × c \u003d c / 2.
Primjer: Izračunajte polumjer opisanog kruga ako su noge trougla 3 i 4. Zamijenite vrijednosti u formuli. Dobijamo: R \u003d 1/2 × √ (3² + 4²) \u003d 1/2 × √25 \u003d 1/2 × 5 \u003d 2.5.
U ovom izrazu 5 je dužina hipotenuze.
Odgovor: R \u003d 2,5.
Kako pronaći polumjer kruga koji je okružen jednakokračanim trouglom
Formula je sljedeća: R \u003d a² / √ (4a² - b²), gdje je a duljina kuka trokuta i b je duljina osnove.
Primjer: Izračunajte polumjer kruga ako je njegov kuk \u003d 7, a baza \u003d 8.
Rješenje: Ove vrijednosti zamjenjujemo formulom i dobivamo: R \u003d 7² / √ (4 × 7² - 8²).
R \u003d 49 / √ (196 - 64) \u003d 49 / √132. Odgovor se može napisati direktno ovako.
Odgovor: R \u003d 49 / √132
Online resursi za izračunavanje poluprečnika kruga
U sve ove se formule možete lako zbuniti. Stoga ako je potrebno, možete koristiti internetske kalkulatore koji će vam pomoći u rješavanju problema pronalaska radijusa. Princip rada takvih mini programa je vrlo jednostavan. Zamijenite vrijednost strane u odgovarajućem polju i dobijete spreman odgovor. Možete odabrati nekoliko opcija zaokruživanja odgovora: na decimalne, stotine, hiljade itd.
Može se vidjeti kako je svaka strana trougao, okomica izvučena iz njene sredine i segmenti koji povezuju točku sjecišta okomica s vrhovima formiraju dva jednaka pravokutnika trougao. Segmenti MA, MB, MC su jednaki.
Dobili ste trougao. Pronađite sredinu svake strane - uzmite ravnalo i izmjerite njegove stranice. Podijelite rezultirajuće veličine na pola. Na svaku polovicu njegove veličine izdvojite vrhove. Označite rezultate točkama.
Od svake tačke položite okomito na stranu. Točka preseka ovih okomica bit će središte opisanog kruga. Dvije okomice su dovoljne da se pronađe središte kruga. Treća se gradi za samotestiranje.
Napomena - u trouglu, gde su svi uglovi oštri, preseci su unutra trougao. U pravom trouglu - leži na hipotenuzi. U - se nalazi vani. Osim toga, okomica na stranu nasuprot tupom kutu nije prema sredini trougaoali napolje.
Obratite pažnju
Postoji sinusna teorema koja uspostavlja odnos između strana trokuta, njegovih uglova i radijusa opisane kružnice. Ta se ovisnost izražava formulom: a / sina \u003d b / sinb \u003d c / sinc \u003d 2R, gdje su a, b, c strane trougla; sina, sinb, sinc - kutovi suprotni ovim stranama; R je polumjer kruga koji se može opisati oko trokuta.
Izvori:
- kako opisati opseg četverostrana
Prema opisanoj definiciji opseg mora proći kroz sve vrhove uglova određenog poligona. Štaviše, nije važno koji je poligon - trokut, kvadrat, pravokutnik, trapez ili nešto treće. Takođe nije važno da li je poligon, ispravan ili pogrešan. Potrebno je samo uzeti u obzir da oko njih postoje poligoni opseg ne mogu se opisati. Uvijek možete opisati opseg oko trougla. Što se tiče četverokuta, onda opseg mogu se opisati oko kvadrata ili pravougaonika ili izosceleskog trapeza.
Trebat će vam
- Poligona unaprijed
- Vladar
- Kvadrat
- Olovka
- Kompas
- Nosač
- Tablice s kosom i kosom
- Matematički pojmovi i formule
- Pitagorejska teorema
- Sineorema
- Kozine teorema
- Znakovi sličnosti trouglova
Uputstvo za upotrebu
Izgradite poligon sa zadanim parametrima i je li moguće opisati oko njega opseg. Ako vam je dodan četverokut, računajte zbroj njegovih suprotnih uglova. Svaki od njih trebao bi biti jednak 180 °.
Da bismo opisali opseg, morate izračunati njegov polumjer. Sjetite se gdje se središte kruga nalazi u različitim mnogokutima. U trouglu je na preseku svih visina datog trougla. U obliku kvadrata i pravokutnika - na sjecištu dijagonala, za trapez - na sjecištu osi simetrije prema liniji koja povezuje srednje točke strana, a za bilo koji drugi konveksni mnogokut - na sjecištu srednjih okomica na strane.
Prečnik kruga koji je okružen kvadratom i pravougaonikom izračunava se pitagorejskim teoremom. Ona će biti jednaka kvadratnom korijenu zbroja kvadrata strana pravokutnika. Za kvadrat u kojem su sve strane jednake, dijagonala je jednaka kvadratnom korijenu dvostrukom kvadratu strane. Podelijući prečnik sa 2, dobićete radijus.
Izračunajte polumjer opisanog kruga za trougao. Budući da su parametri trougla dati u uslovima, izračunajte radijus formulom R \u003d a / (2 · sinA), gde je a jedna od strana trougla,? - suprotnog ugla prema njoj. Umjesto ove strane, možete uzeti stranu i suprotni ugao na nju.
Izračunajte polumjer kruga koji je opisan oko trapeza. R \u003d a * d * c / 4 v (p * (pa) * (pd) * (pc)) U ovoj formuli su a i b trapezi koji su poznati pod uslovima baze, h je visina, d je dijagonala, p \u003d 1 / 2 * (a + d + c). Izračunajte nedostajuće vrijednosti. Visina se može izračunati teoremom sinusa ili kosinusa, dužine stranica trapeza i uglovi su date u uslovima. Znajući visinu i uzimajući u obzir sličnosti trouglova, izračunajte dijagonalu. Nakon toga ostaje izračunati polumjer prema gornjoj formuli.
Srodni videozapisi
Korisni savjeti
Da biste izračunali polumjer kruga koji je opisan oko drugog poligona, izvedite niz dodatnih konstrukcija. Nabavite jednostavnije oblike čije parametre poznajete.
Savet 3: Kako nacrtati pravi trokut duž akutnog ugla i hipotenuze
Pravougaonik se naziva trokut, čiji je kut u jednoj od vrhova 90 °. Strana nasuprot ovom kutu naziva se hipotenuza, a stranice suprotne dva oštra ugla trougla nazivaju se nogama. Ako su poznata duljina hipotenuze i veličina jednog od akutnih uglova, onda su ovi podaci dovoljni da se konstruiše trokut na najmanje dva načina.
Trokut se naziva upisan ako sve njegove vrhove leže na krugu. U ovom se slučaju naziva krug opisano oko trougla. Udaljenost od njegovog središta do svake verzije trokuta bit će jednaka i jednaka polumjeru ovog kruga. Oko bilo kojeg trokuta možete opisati krug, ali samo jedan.
Sredina opisanog kruga lećiće na sjecištu srednjih okomica, izvučenih na svaku stranu trokuta. Ako je krug zaokružen pravim trokutom, tada će njegov centar ležati na sredini hipotenuze. Za bilo koji trokut oko kojeg je opisana kružnica vrijedi formula za površinu trokuta kroz polumjer opisanog kruga:
u kojima su a, b, c stranice trougla, a R je polumjer opisane kružnice.
Primjer izračunavanja površine trokuta kroz polumjer opisanog kruga:
Neka je dodijeljen trokut sa stranicama a \u003d 5 cm, b \u003d 6 cm, c \u003d 4 cm, a oko njega je opisan krug s R \u003d 3 cm. Pronađite područje.
Posjedujući sve potrebne podatke, jednostavno zamjenjujemo vrijednosti u formuli: 
Površina trougla bit će 10 četvornih metara. vidi
Često, pod uvjetima, možete pronaći dano područje opisanog kruga, koje morate koristiti za pronalaženje područja upisanog trokuta. Formula za područje trokuta kroz područje opisanog kruga nalazi se nakon izračuna polumjera. Može se izračunati na više načina. Za početak, razmotrite formulu za područje kruga:
Transformirajući ovu formulu, dobivamo da je polumjer:
Koristeći ovu formulu, dobijamo da, znajući područje opisanog kruga, možemo pronaći područje trokuta na sljedeći način:
Poznavajući sve tri strane određenog trokuta, možete se prijaviti za pronalaženje područja. Iz njega se može naći i polumjer obrezane kružnice. To jest, ako su u uvjetima dane sve strane trokuta i traži se traženje područja kroz polumjer opisanog kruga, prvo ga moramo izračunati formulom:
Odnosno, znajući duljine svih strana trokuta, možemo pronaći područje trougla kroz polumjer opisane kružnice.
Primjer izračunavanja kvadrata trokuta kroz područje opisanog kruga:
Daje se trokut, oko kojeg je opisan krug s površinom od 8 četvornih metara. vidi. Stranice trougla a \u003d 4cm, b \u003d 3 cm, c \u003d 5 cm. Prvo pronađite polumjer kruga kroz njegovo područje: 
Pokušajmo pronaći polumjer pomoću druge formule koju smo zaključili iz metode pronalaženja
Trebat će vam
- Trougao sa unaprijed postavljenim parametrima
- Kompas
- Vladar
- Kvadrat
- Tabela sinusa i kosinusa
- Matematički pojmovi
- Određivanje visine trougla
- Formule sinusa i kosinusa
- Formula kvadratnog trougla
Uputstvo za upotrebu
Nacrtajte trokut sa željenim parametrima. Trokut je ili sa tri strane, ili sa dvije strane, i ugla između njih, ili sa strane i dva ugla koji se nalaze uz nju. Označite vrhove trougla kao A, B i C, uglove kao α, β i γ, a suprotne stranice vrhova sa uglom strane kao a, b i c.
Prijeđite prstom do svih strana trokuta i pronađite točku sjecišta. Označite visine kao h odgovarajućim bočnim indeksima. Pronađite tačku njihovog sjecišta i označite je O. Bit će to središte kruga. Dakle, poluprečnici ovog kruga će biti segmenti OA, OB i OS.
Polumjer se nalazi u dvije formule. Za jedan morate prvo izračunati. Svim je stranama trougla jednak sinusu bilo kojeg od uglova podijeljenih s 2.
U ovom se slučaju radijus opisanog kruga izračunava formulom
Za ostale su dovoljne dužina jedne strane i sinus suprotnog ugla.
Izračunajte polumjer i opišite kružnicu trokuta.
Korisni savjeti
Sjetite se koja je visina trougla. Ovo je okomica povučena iz ugla u suprotnu stranu.
Područje trokuta također se može predstaviti kao proizvod kvadrata jedne od strana i sinusa dvaju susjednih uglova, podijeljenih udvojenim sinusom zbroja ovih uglova.
S \u003d a2 * sinβ * sinγ / 2sinγ
Izvori:
- tablica s radijusima opisanog kruga
- Polumjer kruga opisan blizu jednakostraničnog
Smatra se da je opkoljen oko poligona ako dodiruje sve njegove vrhove. Ono što je važno je centar sličnog krugove podudara se s točkom sjecišta okomica izvučenih iz srednjih strana strana poligona. Radijus opisano krugove potpuno zavisi od poligona oko kojeg je opisan.
Trebat će vam
- Znajte strane poligona, njegovo područje / obod.
Uputstvo za upotrebu
Obratite pažnju
Krug oko poligona može se opisati samo ako je pravilan, tj. sve su mu stranice jednake i svi su mu uglovi jednaki.
Teza da je središte kruga zaokruženo oko poligona sjecište njegovih srednjih perpendikulara vrijedi za sve pravilne poligone.
Izvori:
- kako pronaći polumjer poligona
Ako je moguće konstruirati krug koji je opisan za poligon, tada je površina ovog poligona manja od područja opisanog kruga, ali veća od površine upisanog kruga. Za neke poligone formule za pronalaženje radijus upisani i okruženi krugovi.
Uputstvo za upotrebu
Krug uklesan u poligon koji dodiruje sve strane poligona. Za trougao radijus krugovi: r \u003d ((p-a) (p-b) (p-c) / p) ^ 1/2, gdje je p polovica; a, b, c su stranice trougla. Za formulu je pojednostavljena: r \u003d a / (2 * 3 ^ 1/2), i - strana trougla.
Krug koji je opisan oko poligona naziva se krug na kojem leže sve vrhovi poligona. Za trokut, polumjer se nalazi formulom: R \u003d abc / (4 (p (p-a) (p-b) (p-c)) ^ 1/2), gdje je p polovica; a, b, c su stranice trougla. Za ispravnu je jednostavnija: R \u003d a / 3 ^ 1/2.
Za poligone nije uvijek moguće saznati omjer radijusa upisanih i dužina njegovih strana. Češće se ograničava na izgradnju takvih krugova oko poligona, a zatim i fizičkih radijus krugovi s mjernim instrumentima ili vektorskim prostorom.
Da bi se konstruirao kružni krug konveksnog poligona, grade se bisektori njegovih dvaju uglova, središte opisanog kruga nalazi se na njihovom sjecištu. Polumjer će biti udaljenost od točke sjecišta bisektora do vrha bilo kojeg ugla poligona. Središte natpisa na sjecištu perpendikulara ugrađenih unutar poligona sa središta bočnih stranica (ove okomice su srednje). Dovoljno je izgraditi dvije takve okomice. Polumjer upisanog kruga je udaljenost od točke sjecišta srednjih okomica na stranu poligona.
Srodni videozapisi
Obratite pažnju
Krug se ne može upisati u proizvoljno dani poligon i krug oko njega se može opisati.
Korisni savjeti
Krug se može upisati u četverokut ako je a + c \u003d b + d, a a, b, c, d su stranice četverokuta po redu. Krug se može opisati oko četverokuta ako se njegovi suprotni uglovi dodaju do 180 stepeni;
Za trougao takvi krugovi uvijek postoje.
Savjet 4: Pronađite područje trokuta na tri strane
Pronalaženje područja trokuta jedan je od najčešćih zadataka školskog planimetrije. Poznavanje triju strana trougla je dovoljno da se odredi područje bilo kojeg trougla. U posebnim slučajevima i jednakostraničnim trokutima dovoljno je znati duljine dva, odnosno jedna strana.
Trebat će vam
- dužine stranica trouglova, Heronova formula, kosinutna teorema
Uputstvo za upotrebu
Heronova formula za područje trougla je sljedeća: S \u003d sqrt (p (p-a) (p-b) (p-c)). Ako slikamo polu-obod p, dobit ćemo: S \u003d sqrt (((a + b + c) / 2) ((b + ca) / 2) ((a + cb) / 2) ((a + bc) / 2) ) \u003d (sqrt ((a + b + c) (a + bc) (a + cb) (b + ca))) / 4.
Formulu za područje trokuta možemo izvesti iz, primjerice, primjene kosinaste teoreme.
Prema kosinaskoj teoremi AC ^ 2 \u003d (AB ^ 2) + (BC ^ 2) -2 * AB * BC * cos (ABC). Koristeći unesenu notaciju, oni mogu biti u obliku: b ^ 2 \u003d (a ^ 2) + (c ^ 2) -2a * c * cos (ABC). Dakle, cos (ABC) \u003d ((a ^ 2) + (c ^ 2) - (b ^ 2)) / (2 * a * c)
Područje trokuta nalazi se i formulom S \u003d a * c * sin (ABC) / 2 kroz dvije strane i ugao između njih. Sineus kuta ABC kroz njega se može izraziti pomoću osnovnog trigonometrijskog identiteta: sin (ABC) \u003d sqrt (1 - ((cos (ABC)) ^ 2). Zamijenivši sinus u formulu za područje i slikajući ga, možemo doći do formule za područje trokuta ABC.
Srodni videozapisi
Tri točke koje jedinstveno definiraju trokut u kartezijanskom koordinatnom sustavu su njegove vrhove. Znajući njihov položaj u odnosu na svaku od koordinatnih osi, možete izračunati bilo koje parametre ove ravne figure, uključujući ograničene njenim perimetrom područje. Postoji nekoliko načina da se to postigne.
Uputstvo za upotrebu
Za izračunavanje površine koristite Heronovu formulu trougao. Dimenzije tri strane slike su uključene u nju, pa počnite s izračunom. Duljina svake strane treba biti jednaka korijenu zbroja kvadrata duljina njegovih projekcija na koordinatnim osovinama. Ako označimo koordinate A (X₁, Y₁, Z₁), B (X₂, Y₂, Z₂) i C (X₃, Y₃, Z₃), duljine njihovih strana mogu se izraziti na sljedeći način: AB \u003d √ ((X₁-X₂) ² + (Y₁ -Y₂) ² + (Z₁-Z₂) ²), BC \u003d √ ((X₂-X₃) ² + (Y₂-Y₃) ² + (Z₂-Z₃) ²), AC \u003d √ ((X₁-X₃) ² + (Y₁-Y₃) ² + (Z₁-Z₃) ²).
Za pojednostavljenje izračuna unesite pomoćnu varijablu - pola perimetra (P). Od toga je upola zbroj dužina svih strana: P \u003d ½ * (AB + BC + AC) \u003d ½ * (√ ((X₁-X₂) ² + (Y₁-Y₂) ² + (Z₁-Z₂) ²) + √ ((X₂-X₃) ² + (Y₂-Y₃) ² + (Z₂-Z₃) ²) + √ ((X₁-X₃) ² + (Y₁-Y₃) ² + (Z₁-Z₃) ²).
Izračunajte područje (S) prema Heronovoj formuli - uzmite koren iz produkta polovine perimetra prema razlici između njega i dužine svake strane. Općenito se može napisati na sljedeći način: S \u003d √ (P * (P-AB) * (P-BC) * (P-AC)) \u003d √ (P * (P-√ ((X₁-X₂) ² + ( Y₁-Y₂) ² + (Z₁-Z₂) ²)) * (P-√ ((X₂-X₃) ² + (Y₂-Y₃) ² + (Z₂-Z₃) ²)) * (P-√ ((X₁ -X₃) ² + (Y₁-Y₃) ² + (Z₁-Z₃) ²)).
Za praktične proračune prikladno je koristiti specijalizirane kalkulatore. Ovo su skripte koje se nalaze na poslužiteljima nekih web lokacija koje će na osnovu koordinata koje ste unijeli u odgovarajući obrazac izvršiti sve potrebne proračune. Jedina takva usluga je da ne daje objašnjenja i opravdanja za svaki korak izračuna. Stoga, ako vas zanima samo krajnji rezultat, a ne općeniti proračuni, idite na primjer na stranicu http://planetcalc.ru/218/.
U polja obrasca unesite koordinat svakog vrha trougao - oni su ovde kao Axe, Ay, Az, itd. Ako je trokut određen dvodimenzionalnim koordinatama, u poljima - Az, Bz i Cz - piše nula. U polju "Točnost izračuna" postavite željeni broj decimalnih mjesta klikom miša plus ili minus. Nije potrebno kliknuti narančasto dugme „Izračunaj“ smješteno ispod obrasca, proračuni će se izvoditi bez njega. Odgovor ćete pronaći pored „Trga trougao"- nalazi se odmah ispod narančaste tipke.
Izvori:
- pronađite područje trokuta s vrhovima u točkama
Ponekad se oko konveksnog poligona može nacrtati na takav način da na njemu leže vrhovi svih uglova. Takav se krug u odnosu na poligon mora nazvati opisanim. Njen centar ne mora biti unutar oboda upisane figure, nego koristeći opisana svojstva krugove, pronalaženje ove točke obično nije vrlo teško.
Trebat će vam
- Linija, olovka, nosač ili kvadrat, kompas.
Uputstvo za upotrebu
Ako je poligon oko kojeg želite opisati krug crta se na papiru da biste ga pronašli centara krug s ravnalom, olovkom i nosačem ili kvadratom dovoljan je. Izmjerite duljinu bilo koje strane figure, odredite njenu sredinu i stavite pomoćnu točku na ovo mjesto crteža. Pomoću kvadrata ili nosača povucite liniju okomitu na ovu stranu poligona dok se ne presiječe sa suprotnom stranom.
Isto radite s bilo kojom drugom stranom poligona. Sjecište dvaju izgrađenih segmenata bit će željena točka. Ovo proizlazi iz opisane glavne osobine krugove - nju centar u konveksnom poligonu s bilo koje strane uvijek leži na sjecištu srednjih okomica koje su povučene na njih
