Polumjer kruga opisan oko njega. Kako pronaći polumjer kruga

  Ciljevi lekcije:

• Produbiti znanje o temi „Kruženje u trokutima“

Ciljevi lekcije:

• Sistematizovati znanje o ovoj temi
• Pripremite se za rješavanje problema povećane složenosti.

  Plan lekcije:

1. Uvod
2. Teorijski dio.
3. Za trougao.
4. Praktični dio.

Uvod

Tema „Upisani i obrisani krugovi u trokutima“ jedna je od najtežih tokom geometrije. Na časovima joj se daje vrlo malo vremena.

Geometrijski zadaci ove teme uključeni su u drugi dio ispitnog rada za srednjoškolski kurs.
Uspješan završetak ovih zadataka zahtijeva čvrsto poznavanje osnovnih geometrijskih činjenica i određeno iskustvo u rješavanju geometrijskih problema.

Teorijski dio.

Opisani krug poligona   - krug koji sadrži sve vrhove poligona. Središte je točka (uobičajeno označena s O) sjecišta srednjih okomica na stranice poligona.

Svojstva

Središte opisanog kruga konveksnog n-gna nalazi se na sjecištu srednjih okomica na njegove strane. Kao rezultat: ako je krug opisan u blizini n-gon-a, tada se svi srednji okomiti na njegove strane presijecaju u jednoj točki (središte kruga).
Oko bilo kojeg pravilnog poligona može se opisati krug.

Za trougao.

Krug se naziva obrezan oko trougla ako prolazi kroz sve njegove vrhove.

Oko bilo kojeg trokuta možete opisati krug samo jedan. Njeno središte bit će točka sjecišta srednjih okomica.

U trokuta s oštrim kutom leži središte opisanog kruga iznutra, u obtuci - izvan trougla, za pravougaoni - na sredini hipotenuze.

Polumjer opisanog kruga može se naći formulama:

Gde:
a, b, c   - stranice trougla,
α   - ugao leži na strani a,
S   je područje trougla.

Dokazati:

t.O - točka sjecišta srednjih okomica na strane ΔABC

Dokaz:

1. ΔAOC - isosceles, jer OA \u003d OS (kao polumjeri)
2. ΔAOC - isosceles, okomiti OD - medijan i visina, tj. T.O leži na sredini okomito na stranu zvučnika
3. Dokazano je na sličan način da T.O leži na srednjim okomicama na strane AB i BC

Što se tražilo da se dokaže.

Napomena.

Ravna linija koja prolazi kroz sredinu segmenta okomito na nju često se naziva srednja okomica. U vezi s tim, ponekad se kaže da središte kruga oko trokuta leži na sjecištu srednjih okomica na strane trougla.

  Predmeti\u003e Matematika\u003e Matematika 7. razred

Ulazni nivo

Opisani krug. Vizualni vodič (2019)

Prvo pitanje koje se može pojaviti: opisano - oko čega?

Pa, zapravo, ponekad se to dogodi oko bilo čega, ali govorit ćemo o krugu koji je okolo (ponekad oni kažu i „oko“) trokuta. Šta je ovo?

A sada, zamislite neverovatnu činjenicu:

Zašto je ta činjenica čudesna?

Ali trouglovi su različiti!

A za sve postoji krug koji će proći kroz sva tri vrhatj. krug koji je opisan.

Dokaz ove zadivljujuće činjenice možete pronaći na sljedećim nivoima teorije, ali ovdje primjećujemo samo da, ako uzmemo, primjerice, četverokutić, tada više ne postoji nijedan krug koji prolazi kroz četiri vrhova. Recimo, paralelogram je odličan četverokut, ali ne postoji nijedan krug koji prolazi kroz sve četiri njegove vrhove!

A postoji samo za pravougaonik:

Pa ovdje a svaki trokut uvijek ima svoj vlastiti ograničeni krug!   Pa čak i uvek je jednostavno jednostavno pronaći centar ovog kruga.

Znate li šta je to srednja okomito?

A sada da vidimo šta se događa ako pogledamo tri cijela srednja okomita na stranice trougla.

Ispada da (a to tek treba dokazati, iako nećemo) to   sve tri okomice se presijecaju u jednoj točki.   Pogledajte sliku - sve tri srednje okomice se presijecaju u jednoj točki.

Mislite li da središte opisanog kruga uvijek leži unutar trougla? Zamislite - ne uvijek!

Ali ako   oštro-ugaono, zatim - iznutra:

Šta učiniti s pravim trokutom?

Da, uz dodatni bonus:

Budući da govorimo o polumjeru nabrojenog kruga: čemu je to jednaki proizvoljnom trokutu? A na ovo pitanje postoji odgovor: tzv.

Naime:

Pa i naravno

1. Postojanje i središte opisanog kruga

Tada se postavlja pitanje: postoji li takav krug za bilo koji trokut? Ispada da da, za sve. I štaviše, sada ćemo formulirati teoremu koja takođe odgovara na pitanje gdje je središte zašiljenog kruga.

Pogledajte ovako:

Skupimo hrabrost i dokažemo ovu teoremu. Ako ste već pročitali temu "", shvatili ste zašto se tri bisektori presijecaju u jednom trenutku, biće vam lakše, ali ako niste pročitali, ne brinite: sada ćemo to shvatiti.

Dokaz će se izvesti pomoću koncepta geometrijskog lokusa točaka (TTT).

Pa, na primer, da li je puno kugli "geometrijsko mesto" za okrugle predmete? Ne, naravno, jer postoje okrugle ... lubenice. Ima li puno ljudi, "geometrijskih mjesta" koji mogu govoriti? Ne, jer postoje bebe koje ne mogu govoriti. U životu je, generalno, teško pronaći primer stvarnog „geometrijskog mesta tačaka“. U geometriji je to lakše. Evo, na primjer, upravo ono što nam treba:

Ovdje je skup srednji okomiti, a svojstvo "" je "biti jednako udaljeno (točka) od krajeva segmenta."

Proveri? Dakle, trebate osigurati dvije stvari:

1. Svaka točka koja je podjednako udaljena od krajeva segmenta smještena je na sredini okomito na nju.

Spojite sa i C. Zatim je linija medijan i visina u. Dakle, - isosceles - osigurali su da je bilo koja tačka koja leži na srednjem okomitom jednako udaljena od točaka i.

Uzmi sredinu i poveži i. Rezultat je bio medijan. Ali - prema stanju, izoscelesira ne samo srednju, već i visinu, odnosno srednju okomicu. Dakle, točka - tačno leži na srednjem okomitom.

To je sve! Potpuno je provjerio činjenicu da srednji okomiti na segment je geometrijski lokus točaka podjednako udaljenih od krajeva segmenta.

Ovo je sve dobro, ali da li smo zaboravili na ograničeni krug? Uopšte, samo smo za sebe pripremili "odskočnu dasku za napad".

Razmotrite trokut. Nacrtajte dvije srednje okomice i recimo na segmente i. Oni se presijecaju u nekom trenutku koji ćemo nazvati.

A sada, pažnja!

Točka leži na srednjem okomitom;
  točka leži na srednjem okomitom.
  A to znači, i.

Odavde slijedi nekoliko stvari odjednom:

Prvo, točka mora ležati na trećoj sredini okomito na segment.

Odnosno, srednja okomica je također potrebna da bi prošla kroz točku, a sve tri srednje okomice se presijecaju u jednoj točki.

Drugo: ako nacrtamo krug centriran u točki i polumjeru, tada će i ovaj krug proći kroz točku i kroz točku, to će biti presječeni krug. Dakle, već postoji da je sjecište triju srednjih okomica središte opisanog kruga za bilo koji trokut.

I posljednje: o jedinstvenosti. Jasno je (skoro) da se tačka može dobiti na jedinstven način, stoga je i krug jedinstven. Pa, „skoro“ - ostavimo to na vama da mislite. To je dokazalo teoremu. Možete vikati "Ura!".

A ako je problem "pronaći polumjer opisanog kruga"? Ili obratno, dat je polumjer, ali je li potrebno pronaći nešto drugo? Postoji li formula koja povezuje polumjer opisanog kruga s drugim elementima trougla?

Obratite pažnju: teorem sinusa kaže da da biste pronašli polumjer zacrtanog kruga, potrebna vam je jedna strana (bilo koja!) i suprotni ugao. I to je to!

3. Središte kruga - iznutra ili izvana

A sada je pitanje: može li središte zašivenog kruga ležati izvan trougla.
  Odgovor: čak i kao što može. Štaviše, ovo se uvijek događa u tupom trouglu.

I uopšte:

OPIS KRUGA. KRATAK O GLAVU

1. Krug opisan u blizini trougla

Ovo je krug koji prolazi kroz sve tri vrhove ovog trougla.

2. Postojanje i središte opisanog kruga

Pa, tema je gotova. Ako pročitate ove redove, onda ste veoma cool.

Jer samo 5% ljudi je u stanju savladati nešto sami. A ako pročitate do kraja, onda ste se upustili u ovih 5%!

Sada je najvažnija stvar.

Pronašli ste teoriju o ovoj temi. I opet, ovo ... jednostavno super! Već ste bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što ovo možda nije dovoljno ...

Za šta?

Za uspješno polaganje ispita, za prijem u institut o budžetu i, NAJVAŽNIJE, za život.

Neću vas uvjeriti ni u šta, samo recite jednu stvar ...

Ljudi koji dobiju dobro obrazovanje zarađuju mnogo više od onih koji to nisu. Ovo je statistika.

Ali to nije glavno.

Glavno je da su VIŠE SRETNI (postoje i takve studije). Možda zato što se otvaraju puno više mogućnosti i život postaje svjetliji? Ne znam ...

Ali, razmislite sami ...

Šta je potrebno da bi zasigurno bio bolji od ostalih u USE-u i na kraju bio ... sretniji?

BUDITE SVOJOM RUKOM, REŠAVANJE PROBLEMA NA OVOJ TEMI.

Na ispitu se neće tražiti teorija.

Trebat će vam rešite probleme na vreme.

I, ako ih niste riješili (MNOGO!), Sigurno ćete negdje napraviti glupu grešku ili jednostavno nemate vremena.

To je kao u sportu - trebate ponavljati mnogo puta da biste sigurno pobijedili.

Pronađite gdje želite kolekciju, nužno s rješenjima, detaljnim analizama   i odlučite, odlučite, odlučite!

Možete koristiti naše zadatke (nije potrebno) i svakako ih preporučujemo.

Da biste ispunili ruku uz pomoć naših zadataka, trebate pomoći da produžite život YouClever udžbenika koji sada čitate.

Kako? Postoje dve mogućnosti:

1. Otključajte sve skrivene zadatke u ovom članku - 299 rub
2. Otvoreni pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka udžbenika - 499 rub

Da, imamo 99 takvih članaka u udžbeniku i možete odmah otvoriti pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima.

Pristup svim skrivenim zadacima osiguran je ZA SVE postojanje stranice.

I u zaključku ...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo se ne zaustavljajte na teoriji.

„Razumijem“ i „Mogu odlučiti“ su potpuno različite vještine. Treba vam oboje.

Nađite zadatke i riješite!

Polumjer je linija koja povezuje bilo koju točku na krugu sa njenim središtem. Ovo je jedna od najvažnijih karakteristika ove brojke, jer se na temelju nje mogu izračunati svi ostali parametri. Ako znate kako pronaći polumjer kruga, tada možete izračunati njegov promjer, dužinu i područje. U slučaju kada je ta brojka upisana ili opisana oko druge, tada se može riješiti čitav niz zadataka. Danas ćemo analizirati osnovne formule i značajke njihove primjene.

Poznate vrijednosti

Ako znate kako pronaći polumjer kruga koji je obično označen slovom R, onda se on može izračunati iz jedne karakteristike. Ove vrijednosti uključuju:

• opseg (C);
• promjer (D) - segment (ili bolje rečeno, akord) koji prolazi kroz središnju točku;
• područje (S) - prostor koji je ograničen ovom slikom.

Kružnica

Ako je vrijednost C poznata u problemu, tada je R \u003d C / (2 * P). Ova formula je derivat. Ako znamo šta je obim, onda ga više ne treba pamtiti. Pretpostavimo da je u problemu C \u003d 20 m. Kako pronaći polumjer kruga u ovom slučaju? Samo zamijenite poznatu vrijednost u gornjoj formuli. Imajte na umu da se u takvim problemima podrazumijeva znanje broja P. Uvijek se za praktičnost izračuna uzima njegova vrijednost kao 3,14. Rješenje u ovom slučaju je sljedeće: zapišite koje su količine date, izvucite formulu i izvršite proračune. U odgovoru pišemo da je polumjer 20 / (2 * 3.14) \u003d 3.19 m. Važno je ne zaboraviti na ono što smo računali i spomenuti naziv jedinica.

U prečniku

Odmah naglašavamo da je to najjednostavnija vrsta problema koji postavlja pitanje kako pronaći polumjer kruga. Ako vam se takav primjer našao u kontroli, onda možete biti mirni. Ne treba vam ni kalkulator! Kao što smo već rekli, promjer je segment ili, tačnije, akord koji prolazi kroz centar. Štaviše, sve tačke kruga su jednake. Stoga se ovaj akord sastoji od dvije polovice. Svaki od njih je radijus, što slijedi iz njegove definicije kao segmenta koji povezuje tačku na krugu i njeno središte. Ako je promjer poznat u problemu, onda da biste pronašli radijus, samo trebate podijeliti ovu vrijednost na dva. Formula je sljedeća: R \u003d D / 2. Na primjer, ako je promjer problema 10 m, polumjer je 5 metara.

Po području kruga

Ovakav se zadatak obično naziva najtežim. To je prije svega zbog nepoznavanja formule. Ako znate kako u ovom slučaju pronaći polumjer kruga, onda je ostalo stvar tehnologije. U kalkulatoru trebate samo unaprijed pronaći ikonu za izračunavanje kvadratnog korijena. Područje kruga je proizvod broja P i radijusa pomnoženo sa samim sobom. Formula je sljedeća: S \u003d P * R 2. Izoliranjem polumjera na jednoj strani jednadžbe lako možete riješiti problem. Bit će jednak kvadratnom korijenu kvocijenta dijeljenja područja s brojem P. Ako je S \u003d 10 m, tada je R \u003d 1,78 metara. Kao i u prethodnim zadacima, važno je ne zaboraviti na korištene jedinice.

Kako pronaći radijus zaprečenog kruga

Pretpostavimo da su a, b, c stranice trougla. Ako znate njihove vrijednosti, možete pronaći polumjer kruga koji je okružen oko njega. Da biste to učinili, prvo morate pronaći poluperimetar trougla. Da bismo ga lakše uočili, označavamo ga malim slovom p. To će biti jednaka polovini iznosa stranaka. Njegova formula: p \u003d (a + b + c) / 2.

Računamo i produkt dužina stranica. Radi praktičnosti označavamo je slovom S. Formula za polumjer opisanog kruga izgledat će ovako: R \u003d S / (4 * √ (p * (p - a) * (p - b) * (p - c)).

Razmotrite primjer zadatka. Imamo krug koji je opisan oko trougla. Duljine njegovih strana su 5, 6 i 7 cm. Prvo izračunavamo polovinu perimetra. U našem zadatku bit će jednak 9 centimetara. Sada izračunavamo proizvod dužina strana - 210. Rezultate intermedijarnih izračuna zamjenjujemo formulom i saznajemo rezultat. Polumjer opisanog kruga je 3,57 centimetara. Odgovor zapisujemo, ne zaboravljajući merne jedinice.

Kako pronaći radijus upisanog kruga

Pretpostavimo da su a, b, c duljine stranica trougla. Ako znate njihove vrijednosti, možete pronaći polumjer kruga upisan u njega. Prvo trebate pronaći njegov polumjer. Da bismo olakšali razumijevanje, označavamo ga malim slovom p. Formula za njegovo izračunavanje je sljedeća: p \u003d (a + b + c) / 2. Ova vrsta zadatka je nešto jednostavnija od prethodne, tako da nisu potrebni nikakvi posredni proračuni.

Polumjer upisanog kruga izračunava se sljedećom formulom: R \u003d √ ((p - a) * (p - b) * (p - c) / p). Razmotrimo to konkretnim primjerom. Pretpostavimo da je u problemu opisan trokut sa stranicama 5, 7 i 10 cm, a u njemu je upisan krug čiji se radijus nalazi. Prvo pronalazimo pola perimetra. U našem problemu on će biti jednak 11 cm. Sada ga zamjenjujemo u glavnoj formuli. Polumjer će biti jednak 1,65 centimetara. Odgovor zapisujemo i ne zaboravimo na ispravne merene jedinice.

Krug i njegova svojstva

Svaka geometrijska figura ima svoje karakteristike. Od njihovog razumijevanja ovisi ispravno rješenje problema. Postoje i krugovi. Često se koriste u rješavanju primjera s opisanim ili upisanim figurama, jer daju jasnu predstavu o takvoj situaciji. Među njima su:

• Linija može imati nulu, jednu ili dvije točke preseka s krugom. U prvom slučaju se ne presijeca s njom, u drugom je tangenta, u trećem je sekantna.
• Ako uzmemo tri točke koje ne leže na jednoj pravoj liniji, tada se kroz njih može provući samo jedan krug.
• Ravna linija može biti dodirna na dvije figure odjednom. U ovom će slučaju proći kroz tačku koja leži na segmentu koji povezuje centre krugova. Njegova dužina jednaka je zbroju poluprečnika ovih figura.
• Beskonačan broj krugova može se provući kroz jednu ili dvije tačke.

Trebat će vam

• Trougao sa unaprijed postavljenim parametrima
• Kompas
• Vladar
• Kvadrat
• Tabela sinusa i kosinusa
• Matematički pojmovi
• Određivanje visine trougla
• Formule sinusa i kosinusa
• Formula kvadratnog trougla

Uputstvo za upotrebu

Nacrtajte trokut sa željenim parametrima. Trokut je ili sa tri strane, ili sa dvije strane, i ugla između njih, ili sa strane i dva ugla koji se nalaze uz nju. Označite vrhove trougla kao A, B i C, uglove kao α, β i γ, a suprotne stranice vrhova sa uglom strane kao a, b i c.

Prijeđite prstom do svih strana trokuta i pronađite točku sjecišta. Označite visine kao h odgovarajućim bočnim indeksima. Pronađite tačku njihovog sjecišta i označite je O. Bit će to središte kruga. Dakle, poluprečnici ovog kruga će biti segmenti OA, OB i OS.

Polumjer se nalazi u dvije formule. Za jedan morate prvo izračunati. Svim je stranama trougla jednak sinusu bilo kojeg od uglova podijeljenih s 2.

U ovom se slučaju radijus opisanog kruga izračunava formulom

Za ostale su dovoljne dužina jedne strane i sinus suprotnog ugla.

Izračunajte polumjer i opišite kružnicu trokuta.

Korisni savjeti

Sjetite se koja je visina trougla. Ovo je okomica povučena iz ugla u suprotnu stranu.

Područje trokuta također se može predstaviti kao proizvod kvadrata jedne od strana i sinusa dvaju susjednih uglova, podijeljenih udvojenim sinusom zbroja ovih uglova.
S \u003d a2 * sinβ * sinγ / 2sinγ

Izvori:

• tablica s radijusima opisanog kruga
• Polumjer kruga opisan blizu jednakostraničnog

Smatra se da je opkoljen oko poligona ako dodiruje sve njegove vrhove. Ono što je važno je centar sličnog krugove   podudara se s točkom sjecišta okomica izvučenih iz srednjih strana strana poligona. Radijus   opisano krugove   potpuno zavisi od poligona oko kojeg je opisan.

Trebat će vam

• Znajte strane poligona, njegovo područje / obod.

Uputstvo za upotrebu

Obratite pažnju

Krug oko poligona može se opisati samo ako je pravilan, tj. sve su mu stranice jednake i svi su mu uglovi jednaki.
Teza da je središte kruga zaokruženo oko poligona sjecište njegovih srednjih perpendikulara vrijedi za sve pravilne poligone.

Izvori:

• kako pronaći polumjer poligona

Ako je moguće konstruirati krug koji je opisan za poligon, tada je površina ovog poligona manja od područja opisanog kruga, ali veća od površine upisanog kruga. Za neke poligone formule za pronalaženje radijus   upisani i okruženi krugovi.

Uputstvo za upotrebu

Krug uklesan u poligon koji dodiruje sve strane poligona. Za trougao radijus   krugovi: r \u003d ((p-a) (p-b) (p-c) / p) ^ 1/2, gdje je p polovica; a, b, c su stranice trougla. Za formulu je pojednostavljena: r \u003d a / (2 * 3 ^ 1/2), i - strana trougla.

Krug koji je opisan oko poligona naziva se krug na kojem leže sve vrhovi poligona. Za trokut, polumjer se nalazi formulom: R \u003d abc / (4 (p (p-a) (p-b) (p-c)) ^ 1/2), gdje je p polovica; a, b, c su stranice trougla. Za ispravnu je jednostavnija: R \u003d a / 3 ^ 1/2.

Za poligone nije uvijek moguće saznati omjer radijusa upisanih i dužina njegovih strana. Češće se ograničava na izgradnju takvih krugova oko poligona, a zatim i fizičkih radijus   krugovi s mjernim instrumentima ili vektorskim prostorom.
Da bi se konstruirao kružni krug konveksnog poligona, grade se bisektori njegovih dvaju uglova, središte opisanog kruga nalazi se na njihovom sjecištu. Polumjer će biti udaljenost od točke sjecišta bisektora do vrha bilo kojeg ugla poligona. Središte natpisa na sjecištu perpendikulara ugrađenih unutar poligona sa središta bočnih stranica (ove okomice su srednje). Dovoljno je izgraditi dvije takve okomice. Polumjer upisanog kruga je udaljenost od točke sjecišta srednjih okomica na stranu poligona.

Srodni videozapisi

Obratite pažnju

Krug se ne može upisati u proizvoljno dani poligon i krug oko njega se može opisati.

Korisni savjeti

Krug se može upisati u četverokut ako je a + c \u003d b + d, a a, b, c, d su stranice četverokuta po redu. Krug se može opisati oko četverokuta ako se njegovi suprotni uglovi dodaju do 180 stepeni;

Za trougao takvi krugovi uvijek postoje.

Savjet 4: Pronađite područje trokuta na tri strane

Pronalaženje područja trokuta jedan je od najčešćih zadataka školskog planimetrije. Poznavanje triju strana trougla je dovoljno da se odredi područje bilo kojeg trougla. U posebnim slučajevima i jednakostraničnim trokutima dovoljno je znati duljine dva, odnosno jedna strana.

Trebat će vam

• dužine stranica trouglova, Heronova formula, kosinutna teorema

Uputstvo za upotrebu

Heronova formula za područje trougla je sljedeća: S \u003d sqrt (p (p-a) (p-b) (p-c)). Ako slikamo polu-obod p, dobit ćemo: S \u003d sqrt (((a + b + c) / 2) ((b + ca) / 2) ((a + cb) / 2) ((a + bc) / 2) ) \u003d (sqrt ((a + b + c) (a + bc) (a + cb) (b + ca))) / 4.

Formulu za područje trokuta možemo izvesti iz, primjerice, primjene kosinaste teoreme.

Prema kosinaskoj teoremi AC ^ 2 \u003d (AB ^ 2) + (BC ^ 2) -2 * AB * BC * cos (ABC). Koristeći unesenu notaciju, oni mogu biti u obliku: b ^ 2 \u003d (a ^ 2) + (c ^ 2) -2a * c * cos (ABC). Dakle, cos (ABC) \u003d ((a ^ 2) + (c ^ 2) - (b ^ 2)) / (2 * a * c)

Područje trokuta nalazi se i formulom S \u003d a * c * sin (ABC) / 2 kroz dvije strane i ugao između njih. Sineus kuta ABC kroz njega se može izraziti pomoću osnovnog trigonometrijskog identiteta: sin (ABC) \u003d sqrt (1 - ((cos (ABC)) ^ 2). Zamijenivši sinus u formulu za područje i slikajući ga, možemo doći do formule za područje trokuta ABC.

Srodni videozapisi

Tri točke koje jedinstveno definiraju trokut u kartezijanskom koordinatnom sustavu su njegove vrhove. Znajući njihov položaj u odnosu na svaku od koordinatnih osi, možete izračunati bilo koje parametre ove ravne figure, uključujući ograničene njenim perimetrom područje. Postoji nekoliko načina da se to postigne.

Uputstvo za upotrebu

Za izračunavanje površine koristite Heronovu formulu trougao. Dimenzije tri strane slike su uključene u nju, pa počnite s izračunom. Duljina svake strane treba biti jednaka korijenu zbroja kvadrata duljina njegovih projekcija na koordinatnim osovinama. Ako označimo koordinate A (X₁, Y₁, Z₁), B (X₂, Y₂, Z₂) i C (X₃, Y₃, Z₃), duljine njihovih strana mogu se izraziti na sljedeći način: AB \u003d √ ((X₁-X₂) ² + (Y₁ -Y₂) ² + (Z₁-Z₂) ²), BC \u003d √ ((X₂-X₃) ² + (Y₂-Y₃) ² + (Z₂-Z₃) ²), AC \u003d √ ((X₁-X₃) ² + (Y₁-Y₃) ² + (Z₁-Z₃) ²).

Za pojednostavljenje izračuna unesite pomoćnu varijablu - pola perimetra (P). Od toga je upola zbroj dužina svih strana: P \u003d ½ * (AB + BC + AC) \u003d ½ * (√ ((X₁-X₂) ² + (Y₁-Y₂) ² + (Z₁-Z₂) ²) + √ ((X₂-X₃) ² + (Y₂-Y₃) ² + (Z₂-Z₃) ²) + √ ((X₁-X₃) ² + (Y₁-Y₃) ² + (Z₁-Z₃) ²).

Izračunajte područje   (S) prema Heronovoj formuli - uzmite koren iz produkta polovine perimetra prema razlici između njega i dužine svake strane. Općenito se može napisati na sljedeći način: S \u003d √ (P * (P-AB) * (P-BC) * (P-AC)) \u003d √ (P * (P-√ ((X₁-X₂) ² + ( Y₁-Y₂) ² + (Z₁-Z₂) ²)) * (P-√ ((X₂-X₃) ² + (Y₂-Y₃) ² + (Z₂-Z₃) ²)) * (P-√ ((X₁ -X₃) ² + (Y₁-Y₃) ² + (Z₁-Z₃) ²)).

Za praktične proračune prikladno je koristiti specijalizirane kalkulatore. Ovo su skripte koje se nalaze na poslužiteljima nekih web lokacija koje će na osnovu koordinata koje ste unijeli u odgovarajući obrazac izvršiti sve potrebne proračune. Jedina takva usluga je da ne daje objašnjenja i opravdanja za svaki korak izračuna. Stoga, ako vas zanima samo krajnji rezultat, a ne općeniti proračuni, idite na primjer na stranicu http://planetcalc.ru/218/.

U polja obrasca unesite koordinat svakog vrha trougao - oni su ovde kao Axe, Ay, Az, itd. Ako je trokut određen dvodimenzionalnim koordinatama, u poljima - Az, Bz i Cz - piše nula. U polju "Točnost izračuna" postavite željeni broj decimalnih mjesta klikom miša plus ili minus. Nije potrebno kliknuti narančasto dugme „Izračunaj“ smješteno ispod obrasca, proračuni će se izvoditi bez njega. Odgovor ćete pronaći pored „Trga trougao"- nalazi se odmah ispod narančaste tipke.

Izvori:

• pronađite područje trokuta s vrhovima u točkama

Ponekad se oko konveksnog poligona može nacrtati na takav način da na njemu leže vrhovi svih uglova. Takav se krug u odnosu na poligon mora nazvati opisanim. Njen centar   ne mora biti unutar oboda upisane figure, nego koristeći opisana svojstva krugove, pronalaženje ove točke obično nije vrlo teško.

Trebat će vam

• Linija, olovka, nosač ili kvadrat, kompas.

Uputstvo za upotrebu

Ako je poligon oko kojeg želite opisati krug crta se na papiru da biste ga pronašli centara krug s ravnalom, olovkom i nosačem ili kvadratom dovoljan je. Izmjerite duljinu bilo koje strane figure, odredite njenu sredinu i stavite pomoćnu točku na ovo mjesto crteža. Pomoću kvadrata ili nosača povucite liniju okomitu na ovu stranu poligona dok se ne presiječe sa suprotnom stranom.

Isto radite s bilo kojom drugom stranom poligona. Sjecište dvaju izgrađenih segmenata bit će željena točka. Ovo proizlazi iz opisane glavne osobine krugove   - nju centar   u konveksnom poligonu s bilo koje strane uvijek leži na sjecištu srednjih okomica koje su povučene na njih

Ulazni nivo

Opisani krug. Vizualni vodič (2019)

Prvo pitanje koje se može pojaviti: opisano - oko čega?

Pa, zapravo, ponekad se to dogodi oko bilo čega, ali govorit ćemo o krugu koji je okolo (ponekad oni kažu i „oko“) trokuta. Šta je ovo?

A sada, zamislite neverovatnu činjenicu:

Zašto je ta činjenica čudesna?

Ali trouglovi su različiti!

A za sve postoji krug koji će proći kroz sva tri vrhatj. krug koji je opisan.

Dokaz ove zadivljujuće činjenice možete pronaći na sljedećim nivoima teorije, ali ovdje primjećujemo samo da, ako uzmemo, primjerice, četverokutić, tada više ne postoji nijedan krug koji prolazi kroz četiri vrhova. Recimo, paralelogram je odličan četverokut, ali ne postoji nijedan krug koji prolazi kroz sve četiri njegove vrhove!

A postoji samo za pravougaonik:

Pa ovdje a svaki trokut uvijek ima svoj vlastiti ograničeni krug!   Pa čak i uvek je jednostavno jednostavno pronaći centar ovog kruga.

Znate li šta je to srednja okomito?

A sada da vidimo šta se događa ako pogledamo tri cijela srednja okomita na stranice trougla.

Ispada da (a to tek treba dokazati, iako nećemo) to   sve tri okomice se presijecaju u jednoj točki.   Pogledajte sliku - sve tri srednje okomice se presijecaju u jednoj točki.

Mislite li da središte opisanog kruga uvijek leži unutar trougla? Zamislite - ne uvijek!

Ali ako   oštro-ugaono, zatim - iznutra:

Šta učiniti s pravim trokutom?

Da, uz dodatni bonus:

Budući da govorimo o polumjeru nabrojenog kruga: čemu je to jednaki proizvoljnom trokutu? A na ovo pitanje postoji odgovor: tzv.

Naime:

Pa i naravno

1. Postojanje i središte opisanog kruga

Tada se postavlja pitanje: postoji li takav krug za bilo koji trokut? Ispada da da, za sve. I štaviše, sada ćemo formulirati teoremu koja takođe odgovara na pitanje gdje je središte zašiljenog kruga.

Pogledajte ovako:

Skupimo hrabrost i dokažemo ovu teoremu. Ako ste već pročitali temu "", shvatili ste zašto se tri bisektori presijecaju u jednom trenutku, biće vam lakše, ali ako niste pročitali, ne brinite: sada ćemo to shvatiti.

Dokaz će se izvesti pomoću koncepta geometrijskog lokusa točaka (TTT).

Pa, na primer, da li je puno kugli "geometrijsko mesto" za okrugle predmete? Ne, naravno, jer postoje okrugle ... lubenice. Ima li puno ljudi, "geometrijskih mjesta" koji mogu govoriti? Ne, jer postoje bebe koje ne mogu govoriti. U životu je, generalno, teško pronaći primer stvarnog „geometrijskog mesta tačaka“. U geometriji je to lakše. Evo, na primjer, upravo ono što nam treba:

Ovdje je skup srednji okomiti, a svojstvo "" je "biti jednako udaljeno (točka) od krajeva segmenta."

Proveri? Dakle, trebate osigurati dvije stvari:

1. Svaka točka koja je podjednako udaljena od krajeva segmenta smještena je na sredini okomito na nju.

Spojite sa i C. Zatim je linija medijan i visina u. Dakle, - isosceles - osigurali su da je bilo koja tačka koja leži na srednjem okomitom jednako udaljena od točaka i.

Uzmi sredinu i poveži i. Rezultat je bio medijan. Ali - prema stanju, izoscelesira ne samo srednju, već i visinu, odnosno srednju okomicu. Dakle, točka - tačno leži na srednjem okomitom.

To je sve! Potpuno je provjerio činjenicu da srednji okomiti na segment je geometrijski lokus točaka podjednako udaljenih od krajeva segmenta.

Ovo je sve dobro, ali da li smo zaboravili na ograničeni krug? Uopšte, samo smo za sebe pripremili "odskočnu dasku za napad".

Razmotrite trokut. Nacrtajte dvije srednje okomice i recimo na segmente i. Oni se presijecaju u nekom trenutku koji ćemo nazvati.

A sada, pažnja!

Točka leži na srednjem okomitom;
  točka leži na srednjem okomitom.
  A to znači, i.

Odavde slijedi nekoliko stvari odjednom:

Prvo, točka mora ležati na trećoj sredini okomito na segment.

Odnosno, srednja okomica je također potrebna da bi prošla kroz točku, a sve tri srednje okomice se presijecaju u jednoj točki.

Drugo: ako nacrtamo krug centriran u točki i polumjeru, tada će i ovaj krug proći kroz točku i kroz točku, to će biti presječeni krug. Dakle, već postoji da je sjecište triju srednjih okomica središte opisanog kruga za bilo koji trokut.

I posljednje: o jedinstvenosti. Jasno je (skoro) da se tačka može dobiti na jedinstven način, stoga je i krug jedinstven. Pa, „skoro“ - ostavimo to na vama da mislite. To je dokazalo teoremu. Možete vikati "Ura!".

A ako je problem "pronaći polumjer opisanog kruga"? Ili obratno, dat je polumjer, ali je li potrebno pronaći nešto drugo? Postoji li formula koja povezuje polumjer opisanog kruga s drugim elementima trougla?

Obratite pažnju: teorem sinusa kaže da da biste pronašli polumjer zacrtanog kruga, potrebna vam je jedna strana (bilo koja!) i suprotni ugao. I to je to!

3. Središte kruga - iznutra ili izvana

A sada je pitanje: može li središte zašivenog kruga ležati izvan trougla.
  Odgovor: čak i kao što može. Štaviše, ovo se uvijek događa u tupom trouglu.

I uopšte:

OPIS KRUGA. KRATAK O GLAVU

1. Krug opisan u blizini trougla

Ovo je krug koji prolazi kroz sve tri vrhove ovog trougla.

2. Postojanje i središte opisanog kruga

Pa, tema je gotova. Ako pročitate ove redove, onda ste veoma cool.

Jer samo 5% ljudi je u stanju savladati nešto sami. A ako pročitate do kraja, onda ste se upustili u ovih 5%!

Sada je najvažnija stvar.

Pronašli ste teoriju o ovoj temi. I opet, ovo ... jednostavno super! Već ste bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što ovo možda nije dovoljno ...

Za šta?

Za uspješno polaganje ispita, za prijem u institut o budžetu i, NAJVAŽNIJE, za život.

Neću vas uvjeriti ni u šta, samo recite jednu stvar ...

Ljudi koji dobiju dobro obrazovanje zarađuju mnogo više od onih koji to nisu. Ovo je statistika.

Ali to nije glavno.

Glavno je da su VIŠE SRETNI (postoje i takve studije). Možda zato što se otvaraju puno više mogućnosti i život postaje svjetliji? Ne znam ...

Ali, razmislite sami ...

Šta je potrebno da bi zasigurno bio bolji od ostalih u USE-u i na kraju bio ... sretniji?

BUDITE SVOJOM RUKOM, REŠAVANJE PROBLEMA NA OVOJ TEMI.

Na ispitu se neće tražiti teorija.

Trebat će vam rešite probleme na vreme.

I, ako ih niste riješili (MNOGO!), Sigurno ćete negdje napraviti glupu grešku ili jednostavno nemate vremena.

To je kao u sportu - trebate ponavljati mnogo puta da biste sigurno pobijedili.

Pronađite gdje želite kolekciju, nužno s rješenjima, detaljnim analizama   i odlučite, odlučite, odlučite!

Možete koristiti naše zadatke (nije potrebno) i svakako ih preporučujemo.

Da biste ispunili ruku uz pomoć naših zadataka, trebate pomoći da produžite život YouClever udžbenika koji sada čitate.

Kako? Postoje dve mogućnosti:

1. Otključajte sve skrivene zadatke u ovom članku - 299 rub
2. Otvoreni pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka udžbenika - 499 rub

Da, imamo 99 takvih članaka u udžbeniku i možete odmah otvoriti pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima.

Pristup svim skrivenim zadacima osiguran je ZA SVE postojanje stranice.

I u zaključku ...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo se ne zaustavljajte na teoriji.

„Razumijem“ i „Mogu odlučiti“ su potpuno različite vještine. Treba vam oboje.

Nađite zadatke i riješite!