Područje opisanog kruga trougla. Kako pronaći polumjer kruga koji je opisan oko trougla

Polumjer je linija koja povezuje bilo koju točku na krugu sa njenim središtem. Ovo je jedna od najvažnijih karakteristika ove brojke, jer se na temelju nje mogu izračunati svi ostali parametri. Ako znate kako pronaći polumjer kruga, tada možete izračunati njegov promjer, dužinu i površinu. U slučaju kada je ta brojka upisana ili opisana oko druge, tada se može riješiti čitav niz problema. Danas ćemo analizirati osnovne formule i značajke njihove primjene.

Poznate vrijednosti

Ako znate kako pronaći polumjer kruga koji je obično označen slovom R, onda se on može izračunati iz jedne karakteristike. Ove vrijednosti uključuju:

• opseg (C);
• promjer (D) - segment (ili bolje rečeno, akord) koji prolazi kroz središnju točku;
• područje (S) - prostor koji je ograničen ovom slikom.

Kružnica

Ako je vrijednost C poznata u problemu, tada je R \u003d C / (2 * P). Ova formula je derivat. Ako znamo što je obim, onda ga više ne trebamo pamtiti. Pretpostavimo da je u problemu C \u003d 20 m. Kako pronaći polumjer kruga u ovom slučaju? Samo zamijenite poznatu vrijednost u gornjoj formuli. Imajte na umu da se u takvim problemima podrazumijeva znanje broja P. Uvijek se za praktičnost izračuna uzima njegova vrijednost kao 3,14. Rješenje u ovom slučaju je sljedeće: zapišite koje su količine date, izvucite formulu i izvršite proračune. U odgovoru pišemo da je polumjer 20 / (2 * 3,14) \u003d 3,19 m. Važno je ne zaboraviti na ono što smo računali i spomenuti naziv jedinica.

U prečniku

Odmah ističemo da je to najjednostavniji tip problema koji postavlja pitanje kako pronaći polumjer kruga. Ako vam se takav primjer našao u kontroli, onda možete biti mirni. Ne treba vam ni kalkulator! Kao što smo već rekli, promjer je segment ili, tačnije, akord koji prolazi kroz centar. Štaviše, sve tačke kruga su jednake. Stoga se ovaj akord sastoji od dvije polovice. Svaki od njih je radijus, što slijedi iz njegove definicije kao segmenta koji povezuje tačku na krugu i njeno središte. Ako je promjer poznat u problemu, onda da biste pronašli polumjer, samo trebate podijeliti ovu vrijednost na dva. Formula je sljedeća: R \u003d D / 2. Na primjer, ako je promjer problema 10 m, polumjer je 5 metara.

Po površini kruga

Ovakav se zadatak obično naziva najtežim. To je prije svega zbog nepoznavanja formule. Ako znate kako u ovom slučaju pronaći polumjer kruga, onda je ostalo stvar tehnologije. U kalkulatoru trebate samo unaprijed pronaći ikonu za proračun kvadratnog korijena. Područje kruga je proizvod broja P i radijusa pomnoženo sa samim sobom. Formula je sljedeća: S \u003d P * R 2. Izoliranjem polumjera na jednoj strani jednadžbe lako možete riješiti problem. Bit će jednak kvadratnom korijenu kvocijenta dijeljenja područja s brojem P. Ako je S \u003d 10 m, tada je R \u003d 1,78 metara. Kao i u prethodnim zadacima, važno je ne zaboraviti na korištene jedinice.

Kako pronaći polumjer obrisanog kruga

Pretpostavimo da su a, b, c stranice trougla. Ako znate njihove vrijednosti, možete pronaći polumjer kruga koji je okružen oko njega. Da biste to učinili, prvo morate pronaći poluperimetar trougla. Da bismo ga lakše uočili, označavamo ga malim slovom p. To će biti jednaka polovini iznosa stranaka. Njegova formula: p \u003d (a + b + c) / 2.

Računamo i produkt dužina stranica. Radi praktičnosti označavamo je slovom S. Formula za polumjer opisanog kruga izgledat će ovako: R \u003d S / (4 * √ (p * (p - a) * (p - b) * (p - c)).

Razmotrite primjer zadatka. Imamo krug koji je opisan oko trougla. Duljine njegovih strana su 5, 6 i 7 cm. Prvo izračunavamo pola perimetra. U našem zadatku bit će jednak 9 centimetara. Sada izračunavamo proizvod dužina strana - 210. Rezultate intermedijarnih izračuna zamjenjujemo formulom i pronalazimo rezultat. Polumjer opisanog kruga je 3,57 centimetara. Odgovor zapisujemo, ne zaboravljajući merne jedinice.

Kako pronaći radijus upisanog kruga

Pretpostavimo da su a, b, c dužine stranica trougla. Ako znate njihove vrijednosti, možete pronaći polumjer kruga upisan u njega. Prvo trebate pronaći njegov polumjer. Da bismo olakšali razumijevanje, označavamo ga malim slovom p. Formula za njegovo izračunavanje je sljedeća: p \u003d (a + b + c) / 2. Ova vrsta problema je nešto jednostavnija od prethodne, tako da nisu potrebni nikakvi posredni proračuni.

Polumjer upisanog kruga izračunava se sljedećom formulom: R \u003d √ ((p - a) * (p - b) * (p - c) / p). Razmotrimo to konkretnim primjerom. Pretpostavimo da je u problemu opisan trokut sa stranicama 5, 7 i 10 cm, a u njemu je upisan krug čiji se radijus nalazi. Prvo pronalazimo pola perimetra. U našem problemu on će biti jednak 11 cm. Sada ga zamjenjujemo u glavnoj formuli. Polumjer će biti jednak 1,65 centimetara. Odgovor zapisujemo i ne zaboravimo na ispravne merene jedinice.

Krug i njegova svojstva

Svaka geometrijska figura ima svoje karakteristike. Od njihovog razumijevanja ovisi ispravno rješenje problema. Postoje i krugovi. Često se koriste u rješavanju primjera s opisanim ili upisanim figurama, jer daju jasnu predstavu o takvoj situaciji. Među njima su:

• Ravna linija može imati nulu, jednu ili dvije točke preseka s krugom. U prvom slučaju se ne presijeca s njom, u drugom je tangenta, u trećem je sekantna.
• Ako uzmemo tri točke koje ne leže na jednoj pravoj liniji, tada se kroz njih može provući samo jedan krug.
• Ravna linija može biti dodirna na dvije figure odjednom. U ovom će slučaju proći kroz tačku koja leži na segmentu koji povezuje centre krugova. Njegova dužina jednaka je zbroju poluprečnika ovih figura.
• Beskonačan broj krugova može se provući kroz jednu ili dvije tačke.

Vrlo često se prilikom rješavanja geometrijskih problema mora izvoditi radnja s pomoćnim figurama. Na primjer, pronađite polumjer upisanog ili ograničenog kruga itd. Ovaj članak će pokazati kako pronaći polumjer kruga koji je opisan oko trougla. Ili, drugim riječima, polumjer kruga u koji je upisan trokut.

  Kako pronaći polumjer kruga koji je opisan oko trougla - opća formula

Opća formula je sljedeća: R \u003d abc / 4√p (p - a) (p - b) (p - c), gdje je R polumjer opisanog kruga, p je obod trokuta podijeljen s 2 (pola perimetra). a, b, c su stranice trougla.

Pronađite polumjer opisanog kruga trougla ako je a \u003d 3, b \u003d 6, c \u003d 7.

Dakle, na osnovu gornje formule izračunavamo polovinu perimetra:
p \u003d (a + b + c) / 2 \u003d 3 + 6 + 7 \u003d 16. \u003d\u003e 16/2 \u003d 8.

Zamijenite vrijednosti u formuli i dobijete:
  R \u003d 3 × 6 × 7 / 4√8 (8 - 3) (8 - 6) (8 - 7) \u003d 126 / 4√ (8 × 5 × 2 × 1) \u003d 126 / 4√80 \u003d 126/16 √5.

Odgovor: R \u003d 126 / 16√5

  Kako pronaći polumjer kruga opisanog u blizini jednakostraničnog trougla

Da bismo pronašli polumjer kruga opisanog u blizini jednakostraničnog trokuta, postoji prilično jednostavna formula: R \u003d a / √3, gdje je a veličina njegove strane.

Primjer: Strana jednakostraničnog trougla je 5. Pronađite radijus opisane kružnice.

Budući da su jednakostranični trokut sve strane jednake, za rješenje problema jednostavno morate unijeti njegovu vrijednost u formulu. Dobijamo: R \u003d 5 / √3.

Odgovor: R \u003d 5 / √3.

  Kako pronaći polumjer kruga koji je okružen blizu pravog trougla

Formula je sljedeća: R \u003d 1/2 × √ (a² + b²) \u003d c / 2, gdje su a i b noge, a c je hipotenuza. Ako kvadratima nogu dodamo u pravom trokutu, tada dobivamo kvadrat hipotenuze. Kao što se vidi iz formule, ovaj izraz je pod korijenom. Izračunavanjem korijena kvadrata hipotenuze, dobijamo samu dužinu. Pomnožavanje dobivenog izraza sa 1/2 na kraju nas vodi do izraza 1/2 × c \u003d c / 2.

Primjer: Izračunajte polumjer opisanog kruga ako su noge trougla 3 i 4. Zamijenite vrijednosti u formuli. Dobijamo: R \u003d 1/2 × √ (3² + 4²) \u003d 1/2 × √25 \u003d 1/2 × 5 \u003d 2.5.

U ovom izrazu 5 je dužina hipotenuze.

Odgovor: R \u003d 2,5.

  Kako pronaći polumjer kruga koji je opisan oko jednakokračnog trougla

Formula je sljedeća: R \u003d a² / √ (4a² - b²), gdje je a dužina bedra trokuta i b je duljina osnove.

Primjer: Izračunajte polumjer kruga ako je njegov kuk \u003d 7, a baza \u003d 8.

Rješenje: Ove vrijednosti zamjenjujemo formulom i dobivamo: R \u003d 7² / √ (4 × 7² - 8²).

R \u003d 49 / √ (196 - 64) \u003d 49 / √132. Odgovor se može napisati direktno ovako.

Odgovor: R \u003d 49 / √132

  Internetski resursi za izračunavanje radijusa kruga

U sve ove formule možete vrlo lako da se zbunite. Stoga, ako je potrebno, možete koristiti internetske kalkulatore koji će vam pomoći u rješavanju problema pronalaska radijusa. Princip rada takvih mini programa je vrlo jednostavan. Zamijenite vrijednost strane u odgovarajućem polju i dobijete spreman odgovor. Možete odabrati nekoliko opcija zaokruživanja odgovora: na decimalne, stotine, hiljade itd.

U savremenom inženjerstvu koristi se puno elemenata i rezervnih dijelova, koji u svojoj strukturi imaju i vanjski i unutarnji krug. Najupečatljiviji primjeri su kućište ležaja, dijelovi motora, sklopovi glavčine i još mnogo toga. U njihovoj proizvodnji ne koriste se samo visokotehnološki uređaji, već i znanje iz geometrije, posebno informacije o obodima trokuta. Upoznat ćemo se sa sličnim znanjem detaljnije u nastavku.

Vkontakte

Koji je krug upisan i koji je opisan

Prije svega, zapamtite da se krug naziva beskonačno mnogo točaka na istoj udaljenosti od centra. Ako je dozvoljeno graditi krug unutar poligona, koji će sa svakom stranom imati samo jednu zajedničku točku sjecišta, onda će se zvati upisanom. Okruženi krug (ne krug, to su različiti pojmovi) geometrijsko je mesto tačaka na kojima će samo jedna vršina poligona imati zajedničke tačke za izgrađenu figuru s datim mnogokutom. Upoznajmo se s ova dva koncepta na ilustrativnijem primjeru (vidi sliku 1.).

Slika 1. Upisani i obrisani krugovi trougla

Na slici su izgrađene dvije figure velikog i malog promjera, čija su središta G i I. Krug veće vrijednosti naziva se opisano područje Δ ABC, a mali - naprotiv, upisan u AB ABC.

Da bismo opisali okruženje oko trougla,   kroz sredinu svake strane nacrtajte okomitu liniju(tj. pod kutom od 90 °) - ovo je točka sjecišta, ona igra ključnu ulogu. Da će biti središte zaokruženog kruga. Prije nego što nađete krug, njegovo središte u trokutu, morate izgraditi za svaki kut, a zatim odabrati mjesto sjecišta linija. On će zauzvrat biti središte upisane četvrti, a njegov polumjer u bilo kojem stanju bit će okomit na obje strane.

Na pitanje: "Koliko upisanih krugova može biti za poligon sa tri?" Odmah ćemo vam odgovoriti da krug možete unijeti u bilo koji trokut i, osim toga, samo jedan. Jer postoji samo jedna točka sjecišta svih bisektora i jedna točka sjecišta okomica koje dolaze iz srednjih strana strana.

Svojstvo kruga kojem pripadaju vrhovi trougla

Opisani krug, koji ovisi o dužini stranica u osnovi, ima svoja svojstva. Označavamo svojstva opisanog kruga:

Da bismo jasnije razumeli princip obrezanog kruga, rešićemo jednostavan problem. Pretpostavimo da je dat trokut Δ ABC, čije su stranice 10, 15 i 8,5 cm, polumjer opisanog kruga oko trokuta (FB) je 7,9 cm. Pronađite mjeru stupnjeva svakog kuta i površinu trokuta kroz njih.

Slika 2. Potražite polumjer kružnice kroz omjer strana i sila kutova

Rješenje: Na osnovu prethodno spomenute teoreme sinusa nalazimo sinusnu vrijednost svakog ugla zasebno. Pod uvjetom je poznato da je strana AB 10 cm. Izračunavamo vrijednost C:

Koristeći vrijednosti Bradisove tablice, saznajemo da je mjera stupnja kuta C 39 °. Istom metodom pronalazimo preostale mjere uglova:

Kako znamo da je CAB \u003d 33 °, a ABC \u003d 108 °. Sada, znajući vrijednosti sinusa svakog od uglova i polumjera, pronalazimo područje, zamjenjujući pronađene vrijednosti:

Odgovor: površina trougla je 40,31 cm², a kutovi 33 °, 108 °, odnosno 39 °.

Važno!Rješavajući probleme takvog plana, vrijedit će uvijek da na pametnom telefonu imaju tablice Bradis ili odgovarajuću aplikaciju, jer se ručno proces može dugo povlačiti. Također, da biste uštedjeli vrijeme, nije potrebno graditi sve tri srednje točke okomice ili tri bisektora. Svaka trećina njih uvijek će se presijecati na raskrižju prve dvije. A za ortodoksnu gradnju se obično završava treća. Možda je to pogrešno u pitanju algoritma, ali na ispitu ili drugim ispitima štedi puno vremena.

Izračun polumjera upisanog kruga

Sve su točke kruga podjednako udaljene od njegovog središta na istoj udaljenosti. Dužina ovog segmenta (od i do) naziva se polumjer. Ovisno o tome kakvo okruženje imamo, razlikuju se dvije vrste - unutarnja i vanjska. Svaki se od njih izračunava prema vlastitoj formuli i izravno je povezan s izračunavanjem parametara:

• područje;
• mjera stupnja svakog ugla;
• bočne dužine i perimetra.

Slika 3. Položaj upisanog kruga unutar trougla

Možete izračunati dužinu udaljenosti od centra do točke kontakta na obje strane na sljedeće načine: h bočne, bočne i uglove  (za jednakokračni trokut).

Korištenjem pola perimetra

Polovični obod naziva se polovinom zbroja dužina svih strana. Ova se metoda smatra najpopularnijom i univerzalnijom, jer bez obzira o tome koji tip trokuta je dan uvjetom, prikladan je za sve. Procedura izračuna je sljedeća:

Ako je dano "tačno"

Jedna od malih prednosti „savršenog“ trougla je ta upisani i okruženi krugovi u jednom trenutku imaju središte. Ovo je korisno za izgradnju oblika. Međutim, u 80% slučajeva odgovor je "ružan". To znači da će vrlo rijetko polumjer upisanog susjedstva biti potpuno, a obrnuto. Za pojednostavljeni račun koristi se formula za polumjer upisanog kruga u trokutu:

Ako su bočni zidovi iste dužine

Jedna od podvrsta zadataka za državu. na ispitima će se naći radijus upisanog kruga trougla, čije su dvije strane jednake jednakoj, a treća nisu. U ovom slučaju preporučujemo korištenje ovog algoritma koji će dati opipljive uštede vremena u pronalaženju promjera upisanog područja. Polumjer upisanog kruga u trokutu s jednakom "stranom" izračunava se formulom:

Pokazaćemo vizualniju primjenu ovih formula u sljedećem problemu. Neka je trokut (Δ HJI), u koji je krug upisan u točki K. Duljina stranice je HJ \u003d 16 cm, JI \u003d 9,5 cm, a stranica HI \u200b\u200bje 19 cm (slika 4). Pronađite radijus upisanog susjedstva, poznavajući strane.

Slika 4. Pretražite vrijednost polumjera upisanog kruga

Rješenje: za pronalazak polumjera upisanog područja pronalazimo polovinu:

Odavde, poznavajući mehanizam izračuna, saznajemo sljedeću vrijednost. Da biste to učinili, potrebne su vam duljine svake strane (date uslovom), kao i polovina oboda, ispada:

Iz toga slijedi da je željeni polumjer 3,63 cm. Prema uvjetu, sve strane su jednake, tada je željeni polumjer jednak:

Pod uvjetom da je poligon jednakostraničan (na primjer, i \u003d h \u003d 10 cm, j \u003d 8 cm), promjer unutarnjeg kruga centriranog u točki K bit će:

U stanju problema može se dati trokut pod uglom od 90 °, u kojem slučaju nema potrebe za memoriranjem formule. Hipotenuza trougla bit će jednaka promjeru. Jasnije izgleda ovako:

Važno!Ako je zadatak pronaći unutarnji polumjer, ne preporučujemo izračunavanje vrijednosti sinusa i kosinusa uglova, čija tablična vrijednost nije tačno poznata. Ako je nemoguće drugačije saznati duljinu, nemojte pokušavati da izvučete vrijednost iz korijena. U 40% zadataka rezultirajuća vrijednost bit će transcendentalna (tj. Beskonačna), a komisija možda neće prebrojati odgovor (čak i ako je točan) zbog svoje netačnosti ili netočnog prikaza. Obratite posebnu pažnju na to kako se formula za polumjer opisanog kruga trokuta može mijenjati ovisno o predloženim podacima. Takve „praznine“ omogućuju vam da unaprijed „vidite“ scenarij za rješenje problema i odaberete najekonomičnije rješenje.

Polumjer unutarnjeg kruga i područja

Kako bi se izračunalo samo područje trokuta upisanog u krug polumjer i dužine stranica poligona:

Ako vrijednost polumjera nije izravno dana u uvjetu problema, već samo područje, tada se navedena formula formule transformira u sljedeću:

Razmotrimo djelovanje zadnje formule na određenijem primjeru. Pretpostavimo da je dat trokut u koji je okolina upisana. Površina susjedstva je 4π, a strane su 4, 5, odnosno 6 cm, tako da izračunavamo površinu navedenog poligona izračunavajući pola perimetra.

Korištenjem gornjeg algoritma izračunavamo površinu trokuta kroz polumjer upisanog kruga:

Zbog činjenice da se krug može upisati u bilo koji trokut, broj varijacija u pronalaženju područja značajno se povećava. I.e. pretraživanje područja trougla uključuje obavezno poznavanje duljine svake strane, kao i vrijednost polumjera.

Trokut upisan u krug, geometrija 7. razreda.

Pravokutni trouglovi upisani u krug

Zaključak

Iz gornjih formula može se provjeriti da se složenost bilo kojeg zadatka pomoću upisanih i zaokruženih krugova sastoji samo u dodatnim radnjama za pronalaženje potrebnih vrijednosti. Zadaci ove vrste zahtijevaju samo temeljito razumijevanje suštine formula, kao i racionalnost njihove primjene. Iz prakse rješenja, napominjemo da će se u budućnosti centar opisanog kruga pojaviti i u daljnjim temama geometrije, pa ga stoga ne treba pokretati. U suprotnom, odluka se može odgoditi korištenjem nepotrebnih poteza i logičnih zaključaka.

Ulazni nivo

Opisani krug. Vizualni vodič (2019)

Prvo pitanje koje se može pojaviti: opisano - oko čega?

Pa, zapravo, ponekad se to dogodi oko bilo čega, ali govorit ćemo o krugu koji je okolo (ponekad čak kažu „oko“) trokuta. Šta je ovo?

A sada, zamislite neverovatnu činjenicu:

Zašto je ta činjenica nevjerovatna?

Ali trouglovi su različiti!

A za sve postoji krug koji će proći kroz sva tri vrhatj. krug koji je opisan.

Dokaz ove zadivljujuće činjenice možete pronaći na sljedećim nivoima teorije, ali ovdje primjećujemo samo da ako uzmemo, primjerice, četverokut, onda za nikoga nema kruga koji prolazi kroz četiri vrhova. Ovdje je, recimo, paralelogram odličan četverokut, ali ne postoji nijedan krug koji prolazi kroz sve četiri njegove vrhove!

A postoji samo za pravougaonik:

Pa ovdje a svaki trokut uvijek ima svoj vlastiti ograničeni krug!  Pa čak i uvek je jednostavno jednostavno pronaći centar ovog kruga.

Znate li šta je to srednja okomito?

A sada da vidimo šta se događa ako pogledamo tri cijela srednja okomita na stranice trougla.

Ispada da (a to tek treba dokazati, iako to nećemo)   sve tri okomice se presijecaju u jednoj točki.  Pogledajte sliku - sve tri srednje okomice se presijecaju u jednoj točki.

Mislite li da središte zašivenog kruga uvijek leži unutar trokuta? Zamislite - ne uvijek!

Ali ako   oštro-ugaono, zatim - iznutra:

Šta učiniti s pravim trokutom?

Da, uz dodatni bonus:

Budući da govorimo o polumjeru nabrojanog kruga: čemu je to jedan proizvoljni trokut? A na ovo pitanje postoji odgovor: tzv.

Naime:

Pa i naravno

1. Postojanje i središte opisanog kruga

Tada se postavlja pitanje: postoji li takav krug za bilo koji trokut? Ispada da da, za sve. I štaviše, sada ćemo formulirati teoremu koja takođe odgovara na pitanje gdje je središte zašiljenog kruga.

Pogledajte ovako:

Skupimo hrabrost i dokažemo ovu teoremu. Ako ste već pročitali temu "" shvatili ste zašto se tri bisektori presijecaju u jednom trenutku, biće vam lakše, ali ako niste pročitali, ne brinite: sada ćemo to shvatiti.

Dokaz će se izvesti pomoću koncepta geometrijskog lokusa točaka (TTT).

Pa, na primer, da li je puno kugli "geometrijsko mesto" za okrugle predmete? Ne, naravno, jer postoje okrugle ... lubenice. Ima li puno ljudi, "geometrijskih mjesta" koji mogu govoriti? Ne previše, jer postoje bebe koje ne mogu govoriti. U životu je, generalno, teško pronaći primer stvarnog „geometrijskog mesta tačaka“. U geometriji je to lakše. Evo, na primjer, upravo ono što nam treba:

Ovdje je skup srednji okomiti, a svojstvo "" je "biti jednako udaljeno (točka) od krajeva segmenta."

Proveri? Dakle, trebate osigurati dvije stvari:

1. Svaka tačka koja je podjednako udaljena od krajeva segmenta smještena je na sredini okomito na nju.

Spojite sa i C. Tada je linija medijan i visina u. Dakle, - isosceles - osigurali su da je bilo koja tačka koja leži na srednjem okomitom jednako udaljena od točaka i.

Uzmi sredinu i poveži i. Rezultat je bio medijan. Ali - prema stanju, izoscelira ne samo srednju, već i visinu, odnosno srednju okomicu. Dakle, poanta - samo leži na srednjem okomitom.

To je sve! Potpuno je provjerio činjenicu da srednja okomita na segment je geometrijsko mjesto točaka podjednako udaljenih od krajeva segmenta.

Ovo je sve dobro, ali da li smo zaboravili na ograničeni krug? Uopšte, samo smo za sebe pripremili "odskočnu dasku za napad".

Razmotrite trokut. Nacrtajte dvije srednje okomice i recimo na segmente i. Oni se presijecaju u nekom trenutku koji ćemo nazvati.

A sada, pažnja!

Točka leži na srednjem okomitom;
  točka leži na srednjem okomitom.
  A to znači, i.

Odavde slijedi nekoliko stvari odjednom:

Prvo, točka mora ležati na trećoj sredini okomito na segment.

Odnosno, srednji perpendikular također je dužan proći kroz točku, a sve tri srednje okomice se sijeku u jednoj točki.

Drugo: ako nacrtamo krug centriran u točki i polumjeru, tada će i ovaj krug proći kroz točku i kroz točku, to će biti opkoljeni krug. Dakle, već postoji da je sjecište triju srednjih okomica središte opisanog kruga za bilo koji trokut.

I posljednje: o jedinstvenosti. Jasno je (skoro) da se točka može dobiti na jedinstven način, pa je i krug jedinstven. Pa, ali „skoro“ - ostavimo to na vama da mislite. To je dokazalo teoremu. Možete vikati "Ura!".

A ako je problem "pronaći polumjer opisanog kruga"? Ili obratno, dat je polumjer, ali je li potrebno pronaći nešto drugo? Postoji li formula koja povezuje polumjer opisanog kruga s drugim elementima trougla?

Obratite pažnju: sinusna teorema kaže da biste pronašli polumjer opisanog kruga, potrebna vam je jedna strana (bilo koja!) i suprotni kut. I to je to!

3. Središte kruga - iznutra ili izvana

A sada je pitanje: može li središte zašivenog kruga ležati izvan trougla.
  Odgovor: čak i kao što možete. Štaviše, ovo se uvijek događa u tupom trokutu.

I uopšte:

OPIS KRUGA. KRATAK O GLAVNOM

1. Krug opisan u blizini trougla

Ovo je krug koji prolazi kroz sve tri vrhove ovog trougla.

2. Postojanje i središte uređenog kruga

Pa, tema je gotova. Ako pročitate ove redove, onda ste veoma cool.

Jer samo 5% ljudi je u stanju savladati nešto sami. A ako pročitate do kraja, onda ste se upustili u ovih 5%!

Sada je najvažnija stvar.

Izmislili ste teoriju o ovoj temi. I opet, ovo ... jednostavno super! Već ste bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što ovo možda nije dovoljno ...

Za šta?

Za uspješno polaganje ispita, za prijem u institut o budžetu i, NAJVAŽNIJE, za život.

Neću vas uvjeriti ni u šta, samo recite jednu stvar ...

Ljudi koji dobiju dobro obrazovanje zarađuju mnogo više od onih koji to nisu. Ovo je statistika.

Ali to nije glavno.

Glavno je da su VIŠE SRETNI (postoje i takve studije). Možda zato što se otvaraju puno više mogućnosti i život postaje svjetliji? Ne znam ...

Ali, razmislite sami ...

Šta je potrebno da se zasigurno bolji od ostalih na USE-u i da u konačnici bude ... sretniji?

BUDITE SVOJOM RUKOM, REŠAVANJE PROBLEMA NA OVOJ TEMI.

Na ispitu se neće tražiti teorija.

Trebat će vam rešite probleme na vreme.

A, ako ih niste riješili (MNOGO!), Sigurno ćete negdje pogriješiti ili jednostavno nemate vremena.

To je kao u sportu - za to sigurno morate ponoviti više puta.

Pronađite gdje želite kolekciju, nužno s rješenjima, detaljnim analizama  i odluči, odluči, odluči!

Možete iskoristiti naše zadatke (nije potrebno) i svakako ih preporučujemo.

Da biste ispunili ruku uz pomoć naših zadataka, trebate pomoći da produžite život YouClever udžbenika koji sada čitate.

Kako? Postoje dve mogućnosti:

1. Otključajte sve skrivene zadatke u ovom članku - 299 rub
2. Otvoreni pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka udžbenika - 999 rub

Da, imamo 99 takvih članaka u udžbeniku i možete odmah otvoriti pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima.

U drugom slučaju mi ćemo vam dati  simulator "6000 zadataka sa rješenjima i odgovorima, za svaku temu, za sve nivoe poteškoće." Definitivno će biti dovoljno da napunite ruku u rješavanju problema na bilo koju temu.

Zapravo, ovo je mnogo više od simulatora - cijeli program treninga. Ako je potrebno, možete ga i BESPLATNO koristiti.

Pristup svim tekstovima i programima omogućen je SVI puta kada stranica postoji.

I u zaključku ...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo se ne zaustavljajte na teoriji.

„Razumijem“ i „Mogu odlučiti“ su potpuno različite vještine. Treba vam oboje.

Nađite zadatke i riješite!

Definicija 2

Poligon koji zadovoljava uvjet Definicije 1 naziva se opisan oko kruga.

Slika 1. Upisani krug

  Teorem 1 (o krugu upisanom u trokut)

Teorem 1

U bilo koji trokut možete unijeti krug i, osim toga, samo jedan.

Dokaz.

Razmotrimo trokut $ ABC $. U njemu crtamo bisektore koji se presijecaju u točki $ O $ i iz njega izvlačimo okomice na stranice trokuta (slika 2)

Slika 2. Ilustracija teorema 1

Postojanje: Nacrtajte krug centriran na $ O $ i radijus $ OK. \\ $ Budući da tačka $ O $ leži na tri bisektora, jednaka je udaljenosti od strana trokuta $ ABC $. To jest, $ OM \u003d OK \u003d OL $. Stoga izgrađeni krug takođe prolazi kroz tačke $ M \\ i \\ L $. Budući da su $ OM, OK \\ i \\ OL $ okomite na stranice trokuta, po tangenti na teoremu kružnice, izgrađeni krug je tangentalan na sve tri strane trougla. Stoga se zbog proizvoljnosti trougla u bilo koji trokut može upisati kružnica.

Jedinstvenost: Pretpostavimo da se u trokutu $ ABC $ još jedan krug može upisati s centrom u točki $ O "$. Njegovo središte je podjednako udaljeno od stranica trokuta, te se prema tome podudara s točkom $ O $ i ima polumjer jednak duljini od $ OK $ Ali tada će se ovaj krug poklopiti s prvim.

Teorema je dokazana.

Ishod 1:   Središte kruga upisanog u trokut nalazi se na sjecištu njegovih bisektora.

Evo još nekoliko činjenica vezanih za koncept upisanog kruga:

Ne može svaki četverokut može da stane u krug.

U bilo kojem opisanom četverostraniku zbrojevi suprotnih strana su jednaki.

Ako su zbrojevi suprotnih strana konveksnog četverokuta jednaki, tada se u njega može upisati krug.

Definicija 3

Ako sve vrhove poligona leže na krugu, tada se krug naziva obrezan oko poligona (Sl. 3).

Definicija 4

Poligon koji zadovoljava uvjet Definicije 2 naziva se upisanim u krug.

Slika 3. Opisani krug

  Teorem 2 (na krugu koji je okružen trokutom)

Teorem 2

U blizini bilo kojeg trokuta možete opisati krug i, osim toga, samo jedan.

Dokaz.

Razmotrimo trokut $ ABC $. Nacrtamo u njemu srednje okomice koje se presijecaju u točki $ O $ i povežemo ga s vrhovima trokuta (slika 4)

Slika 4. Ilustracija teorema 2

Postojanje: Konstruirajte krug centriran na $ O $ i polumjera $ OC $. Točka $ O $ jednaka je udaljenosti od vrhova trougla, to jest, $ OA \u003d OB \u003d OC $. Stoga izgrađeni krug prolazi kroz sve vrhove zadanog trokuta, što znači da je opisan oko tog trougla.

Jedinstvenost: Pretpostavimo da oko trokuta $ ABC $ možemo opisati još jedan krug centriran u točki $ O "$. Njegovo središte je podjednako udaljeno od vrhova trokuta i, prema tome, poklapa se sa tačkom $ O $ i ima polumjer jednak duljini od $ OC. $ Ali tada će se ovaj krug poklopiti s prvim.

Teorema je dokazana.

Ishod 1:   Središte kruga oko trokuta podudara se s točkom sjecišta njegovih srednjih okomica.

Evo još nekoliko činjenica vezanih za koncept opisanog kruga:

Oko četverokuta nije moguće uvijek opisati krug.

U bilo kojem upisanom četverokutu, zbroj suprotnih uglova je $ (180) ^ 0 $.

Ako je zbroj suprotnih uglova četverokuta $ (180) ^ 0 $, tada se oko njega može opisati krug.

  Primjer problema na pojmovima upisanog i upisanog kruga

Primjer 1

U jednakokračnom trokutu osnova je 8 cm, strana 5 cm. Pronađite polumjer upisanog kruga.

Rješenje.

Razmotrimo trokut $ ABC $. Iz slijeda 1 znamo da središte upisanog kruga leži na sjecištu bisektora. Nacrtamo bisektori $ AK $ i $ BM $, koji se presijecaju u točki $ O $. Nacrtajte okomicu $ OH $ iz točke $ O $ na stranu $ BC $. Nacrtajmo sliku:

Slika 5

Budući da je trokut jednakokračan, BM BM $ je i srednja i visina. Po pitagorejskoj teoremi, $ (BM) ^ 2 \u003d (BC) ^ 2- (MC) ^ 2, \\ BM \u003d \\ sqrt ((BC) ^ 2- \\ frac ((AC) ^ 2) (4)) \u003d \\ sqrt (25-16) \u003d \\ sqrt (9) \u003d 3 $. $ OM \u003d OH \u003d r $ je željeni polumjer upisanog kruga. Budući da su $ MC $ i $ CH $ segmenti tangenti koji se presijecaju, po teoremi o presječnim tangentima imamo $ CH \u003d MC \u003d 4 \\ cm $. Stoga je $ BH \u003d 5-4 \u003d 1 \\ cm $. $ BO \u003d 3-r $. Iz trougla $ OHB $, pitagorejskim teoremom, dobijamo:

  \\ [(((3-r)) ^ 2 \u003d r ^ 2 + 1 \\] \\ \\ \\

Odgovor je:  $ \\ frac (4) (3) $.