Kako pronaći volumen lopte za prijavu. Zapremina kuglice
Kugla i sfera su prije svega geometrijske figure, a ako je lopta geometrijsko tijelo, tada je sfera površina kugle. Ove su brojke još uvijek zanimale mnogo hiljada godina prije nove ere.
Nakon toga, kada je otkriveno da je Zemlja sfera, a nebo nebeska sfera, razvio se novi fascinantni smjer u geometriji - geometrija na sferi ili sferna geometrija. Da biste razgovarali o veličini i obujmu lopte, prvo joj morate dati definiciju.
Lopta
Kugla polumjera R centrirana u točki O u geometriji je tijelo koje stvara sve točke u prostoru koje imaju zajedničko svojstvo. Te se točke nalaze na udaljenosti koja ne prelazi polumjer kuglice, odnosno oni ispunjavaju cijeli prostor manji od polumjera kugle u svim smjerovima od njenog središta. Ako smatramo samo one točke koje su jednake udaljenosti od središta kugle, smatrat ćemo njenu površinu ili ljusku kuglice.
Kako mogu dobiti loptu? Iz papira možemo izrezati krug i započeti ga rotirati oko vlastitog promjera. Odnosno, prečnik kruga će biti os rotacije. Poučena figura - bit će i lopta. Stoga se lopta naziva i tijelom revolucije. Jer se može formirati rotiranjem ravne figure - kruga.
Uzmi neku ravninu i odreži našu loptu. Baš kao što nožem narežemo naranču. Komad koji smo odsjekli od lopte naziva se sferni segment.
U staroj Grčkoj su znali kako ne samo raditi s loptom i kuglom, kao što su, na primjer, geometrijske figure, kako bi ih koristili u gradnji, već su znali izračunati i površinu kuglice i obujam kuglice.
Sfera se inače naziva površina kugle. Sfera nije tijelo - ona je površina tijela revolucije. Međutim, budući da i Zemlja i mnoga tijela imaju sferni oblik, na primjer, kap vode, proučavanje geometrijskih odnosa unutar sfere postalo je rašireno.
Na primjer, ako dvije točke sfere međusobno povežemo ravnom linijom, tada ćemo ovu ravnu liniju nazvati akordom, a ako ta akord prođe kroz sredinu kugle, koja se podudara sa središtem kugle, tada će se akord nazvati promjerom sfere.
Ako povučemo ravnu liniju koja dodiruje sferu u samo jednoj točki, tada ćemo ovu liniju nazvati tangenta. Uz to će ta tangenta na sferu u ovom trenutku biti okomita na polumjer sfere povučenu do tangencije.
Ako akord nastavimo prema pravoj liniji u jednom i drugom pravcu od sfere, tada će se ovaj akord zvati seant. Ili možemo reći drugačije - secant na sferu sadrži svoj akord.
Zapremina kuglice
Formula za izračunavanje volumena lopte je:
gde je R polumjer kuglice.
Ako trebate pronaći volumen sfernog segmenta - koristite formulu:
V seg \u003d πh 2 (R-h / 3), h je visina sfernog segmenta.
Površina kugle ili kugle
Da biste izračunali površinu kugle ili površinu kuglice (to je ista stvar):
gde je R polumjer sfere.
Arhimedes je jako volio loptu i kuglu, čak je zatražio da na grobu ostave crtež na kojem je u cilindru utisnuta lopta. "Arhimed je vjerovao da su volumen kugle i njena površina jednaki dvije trećine volumena i površine cilindra u koji je kugla upisana."
gde je V željeni zapremina kuglice, π - 3,14, R je polumjer.
Dakle, sa polumjerom od 10 centimetara zapremina kuglice je jednako:
| V | 3,14 × 10 3 | = 4186,7 | kubičnih centimetara. |
U geometriji lopta on se definira kao određeno tijelo, što je skup svih točaka prostora koje su udaljene od središta na udaljenosti ne većoj od određene, nazvane radijus kugle. Površina kugle naziva se sfera, a formira se rotiranjem polukruga oko svog promjera, koji ostaje nepokretan.
Ovo geometrijsko tijelo često susreću inženjeri dizajna i arhitekti, koji to često moraju izračunati volumen kuglice. Na primjer, u dizajnu prednjeg ovjesa ogromne većine modernih automobila koriste se takozvani kuglični ležajevi, u kojima su, kao što pretpostavljate iz samog imena, kuglice jedan od glavnih elemenata. Uz njihovu pomoć povezuju su glavčine upravljanih kotača i poluga. Koliko će to biti pravo izračunato njihov obujam, u mnogim aspektima, ovisi ne samo o trajnosti ovih čvorova i ispravnosti njihovog rada, već i o sigurnosti u prometu.
U tehnologiji se široko koriste takve komponente kao kuglični ležajevi, uz pomoć kojih se osovine učvršćuju u stacionarnim dijelovima različitih jedinica i sklopova i osigurava se njihova rotacija. Treba napomenuti da kad ih izračunaju, dizajneri trebaju pronađite volumen kuglice (tačnije, kuglice smještene u kavez) s visokim stupnjem tačnosti. Što se tiče izrade metalnih kuglica za ležajeve, izrađene su od metalne žice pomoću složenog postupka, koji uključuje faze oblikovanja, očvršćivanja, grubog brušenja, finog brušenja i brušenja. Usput, one kuglice koje su uključene u dizajn svih kemijskih olovki izrađene su korištenjem potpuno iste tehnologije.
Često se kugle koriste i u arhitekturi, a tamo su najčešće ukrasni elementi zgrada i drugih građevina. U većini slučajeva izrađeni su od granita, što često zahteva mnogo ručnog rada. Naravno, nije potrebno paziti na tako visoku preciznost u izradi ovih kuglica kao što se koriste u raznim jedinicama i mehanizmima.
Bez lopti je nezamisliva takva zanimljiva i popularna igra kao što je bilijar. Za njihovu proizvodnju koriste se razni materijali (kosti, kamen, metal, plastika) i koriste se različiti tehnološki procesi. Jedan od glavnih zahtjeva za bilijar loptice je njihova visoka čvrstoća i sposobnost podnošenja visokih mehaničkih opterećenja (prvenstveno udara). Uz to, njihova površina treba biti tačna sfera kako bi se osiguralo glatko i ravnomjerno kotanje po površini bilijarskih stolova.
Na kraju, niti jedno novogodišnje ili božićno drvce ne može učiniti bez geometrijskih tijela poput kuglica. U većini slučajeva ovi ukrasi izrađeni su od stakla metodom puhanja, a pri njihovoj proizvodnji najveća se pažnja posvećuje ne dimenzijskoj preciznosti, već estetici proizvoda. Tehnološki proces je gotovo u potpunosti automatiziran i ručno se božićne kuglice samo pakuju.
Sferne figure nas okružuju gotovo svugdje, međutim, toliko smo navikli na njih da tome ne pridajemo nikakvu pažnju. U međuvremenu se događa da trebamo znati volumen bilo kojeg od njih. Ali znaju li svi kako se mogu pronaći zapremina kuglice ? Kopati se u školska sjećanja kako bih vratio tijek geometrije u glavi? Ne komplicirajte svoj zadatak. Omogućimo bolje logiku i pozabavimo se tim pitanjem.
Uputstvo:
- Počnimo s primjerom kada nam ne treba formula za volumen lopte - zamislite da imamo priliku za izračun praktičan način . Jedan od najlakših načina za to je slijediti Arhimedove korake, određujući volumen ne same kuglice, već voda ga je istisnula . Da biste to učinili, stavite je u posudu prikladne veličine, nakon što ste primijetili nivo vode. Nakon što cijelu sferu uronite u tekućinu, izvršite ponovljena mjerenja. Sada ostaje da se nađe razlika između rezultirajućih brojeva. Naravno, najbolje je kuglu smjestiti u spremnik s podjelama, na primjer, u mjerna čaša - ako veličina dopušta. Tako ćemo odmah dobiti željenu karakteristiku - obično su podjele prikazane u mililitrima. U suprotnom, jednostavno pretvorite broj u kubične metre.
- Ako ste sigurni od čega se gradi sfera, pokušajte to odrediti gustina - Ove će se informacije vjerojatno naći na širini svjetske mreže. U ovoj situaciji trebate samo izvagati ovu cifru, a zatim koristiti jednostavnu formulu volumena lopte, dijeleći težinu predmeta sa njegovom gustoćom: V \u003d m / p.
- Može se dogoditi da vam prethodne opcije nisu dostupne. Ne očajavajte - ako možete saznati radijus kugle, u pomoć će nam doći prava formula, složenija od prethodne, ali dostupna. Moramo množiti Pi broj sa 4, a zatim množiti dobiveni broj s vrijednošću polumjera u kocki. Kao rezultat, podijelite sve sa 3 i dobijete volumen lopte: V \u003d 4 * π * r³ / 3. Pogledajmo jednostavan primjer: polumjer jedne kugle je 30 cm., tada će količina slike biti: 4 * 3,14 * 30³ / 3 \u003d 11340 cm³ ≈ 0,113 m³.
- Takođe se događa da je mnogo lakše pronaći prečnik figure od njegovog radijusa. Ova je opcija još bolja - ne možete napraviti tako složene proračune, formula postaje mnogo jednostavnija. Trebamo samo pomnožiti promjer u kocki s brojem Pi, a zatim podijeliti dobiveni broj sa šest: V \u003d π * d³ / 6. Na primjer, naučili ste da je promjer vaše sfere 25 cm. Tada će mu zapremina biti jednaka: 3,14 * 25³ / 6 \u003d 8177.08333cm³ ≈ 0.818m³.
Prije nego što započnete s proučavanjem koncepta lopte, koliki je volumen lopte, kako biste razmotrili formulu za izračunavanje njenih parametara, morate se sjetiti koncepta kruga, proučenog ranije tijekom geometrije. Uostalom, većina radnji u trodimenzionalnom prostoru slična je ili slijedi iz dvodimenzionalne geometrije, podešene za izgled treće koordinate i trećeg stepena.
Šta je krug?
Krug je figura na kartezijanskoj ravnini (prikazano na slici 1); Najčešće, definicija zvuči kao „geometrijska lokacija svih točaka na ravnini, udaljenost od koje do određene tačke (centra) ne prelazi određeni negativni broj koji se naziva radijus“.
Kao što možete vidjeti sa slike, točka O je sredina figure, a skup apsolutno svih točaka koje ispunjavaju krug, na primjer, A, B, C, K, E, nisu smještene dalje od navedenog polumjera (ne nadilazeći krug prikazan na Sl. 2).
Ako je polumjer nula, tada se krug pretvara u tačku.
Razumevanje problema
Studenti često pomiješaju te koncepte. Lako se upamtiti crtajući analogiju. Obruč kojim se djeca uvijaju na satima fizičkog vaspitanja je krug. Shvatajući to ili se sećajući da su prva slova obe reči „O“, deca će mnemološki razumeti razliku.
Uvođenje koncepta "lopta"
Kugla je tijelo (sl. 3) omeđeno određenom sfernom površinom. Kakva će „sferna površina“ postajati jasno iz njene definicije: ovo je geometrijski položaj svih točaka na površini, udaljenost od koje do određene točke (centra) ne prelazi određeni negativni negativni broj, zvana polumjer. Kao što vidite, pojmovi kruga i sferne površine su slični, samo se prostori u kojima se nalaze razlikuju. Ako kuglu prikažemo u dvodimenzionalnom prostoru, dobićemo krug čija je granica krug (granica kugle je sferna površina). Na slici vidimo sfernu površinu s radijusima OA \u003d OB.
Lopta je zatvorena i otvorena
U vektorskom i metričkom prostoru također se razmatraju dva pojma koja se odnose na sfernu površinu. Ako lopta uključuje ovu sferu u sebi, tada se naziva zatvorena, ali ako ne, onda je u ovom slučaju lopta otvorena. To su više „napredni“ koncepti; oni se proučavaju u institutima kada su uvedeni u analizu. Za jednostavnu, čak i kućnu upotrebu, one formule koje se proučavaju u nastavi stereometrije od 10. do 11. razreda biće dovoljne. Upravo će takvi pojmovi biti dostupni gotovo svakoj prosječno obrazovanoj osobi koji će se razmotriti u nastavku.
Koncepti koje trebate znati za sljedeće proračune
Radijus i prečnik.
Polumjer kuglice i njegov promjer određuju se na isti način kao i krug.
Radijus - segment koji povezuje bilo koju tačku na granici kugle i točku koja je sredina kugle.
Prečnik - segment koji povezuje dve tačke na granici kugle i prolazi kroz njen centar. Slika 5a jasno pokazuje koji su segmenti polumjeri kugle, a slika 5b prikazuje promjere sfere (segmente koji prolaze kroz točku O).
Odjeljak u sferi (sfera)
Bilo koji odjeljak sfere je krug. Ako prolazi kroz sredinu kuglice, onda se naziva velikim krugom (krug s promjerom AB), preostali dijelovi nazivaju se mali krugovi (krug s promjerom istosmjerne struje).
Površina ovih krugova izračunava se sljedećim formulama:
Ovdje je S oznaka područja, R je polumjer, D je promjer. Takođe postoji konstanta jednaka 3,14. Ali nemojte zbuniti da za izračunavanje područja velikog kruga koristite polumjer ili promjer same kuglice (sfere), a za određivanje područja potrebne su veličine polumjera malog kruga.
Bezbroj presjeka koji prolaze kroz dvije točke istog promjera ležeći na granici kugle. Kao primjer, naša planeta: dvije točke na sjevernom i južnom polu, koje su krajevi zemljine osi, a u geometrijskom smislu su krajevi promjera i meridijani koji prolaze kroz ove dvije točke (slika 7). Odnosno, broj velikih krugova u sferi teži beskonačnoj količini.
Kuglasti dijelovi
Ako se određeni komad odreže iz sfere pomoću određene ravnine (slika 8), tada će se to nazvati sferni ili sferni segment. Imat će visinu - okomicu od sredine sekantne ravnine do sferne površine O 1 K. Točka K na sferičnoj površini na koju dolazi visina naziva se vrhom sfernog segmenta. Mali krug s polumjerom od O 1 T (u ovom slučaju, prema slici, ravnina nije prolazila kroz sredinu sfere, ali ako presjek prođe kroz centar, kružnica presjeka će biti velika), formirana kad je sferični segment presječen, nazvat ćemo bazom našeg komada lopta - sferni segment.
Ako svaku točku baze sfernog segmenta povežemo sa središtem sfere, dobit ćemo lik koji se zove "sferni sektor".
Ako dvije ravnine koje su paralelne jedna s drugom prolaze kroz sferu, tada se dio sfere koji je zatvoren između njih naziva sferni sloj (slika 9, koja prikazuje sferu s dvije ravnine i odvojeno, sferni sloj).
Podloga (istaknuti dio na slici 9 s desne strane) ovog dijela sfere naziva se pojasom (opet, radi boljeg razumijevanja, možete crtati analogiju sa globusom, naime s njegovim klimatskim zonama - arktičkim, tropskim, umjerenim itd.), A kružnice u odjeljku bit će baze sferični sloj. Visina sloja - dio promjera izvučen okomito na sekuntne ravnine iz središta baze. Postoji i pojam sferne sfere. Nastaje u slučaju kada ravnine koje su paralelne jedna s drugom ne sijeku kuglu, već je dodiruju u jednoj tački.
Formule za izračunavanje volumena kugle i njene površine
Kugla se formira rotiranjem oko polukruga ili kruga fiksnog promjera. Za izračunavanje različitih parametara ovog objekta neće biti potrebno toliko podataka.
Volumen kuglice, čija je formula za izračunavanje navedena gore, dobiva se integracijom. Pogledajmo točke.
Krug smatramo u dvodimenzionalnoj ravnini, jer je, kao što je gore spomenuto, krug koji stoji u konstrukciji kugle. Koristimo samo njegov četvrti dio (slika 10).
Uzmemo krug s jedinicom polumjera i središtem na početku. Jednadžba takvog kruga je sljedeća: X 2 + Y 2 \u003d R 2. Odavde izražavamo Y: Y 2 \u003d R 2 - X 2.
Obavezno imajte na umu da je rezultirajuća funkcija negativna, kontinuirana i opada na segmentu X (0; R), jer vrijednost X u slučaju kada smatramo da četvrtina kruga leži od nule do vrijednosti polumjera, tj. Do jedinstva.
Sljedeće što vrtimo u četvrtini kruga oko apscize. Kao rezultat toga dobijamo polutku. Da bismo odredili njegov volumen, pribjeći ćemo metodama integracije.
Budući da je ovaj volumen samo pola lopte, rezultat udvostručujemo, otkud dobijamo da je volumen lopte:
Male nijanse
Ako je potrebno izračunati volumen kuglice kroz njezin promjer, imajte na umu da je polumjer upola manji od promjera i zamijenite ovu vrijednost u gornjoj formuli.
Takođe, formula za volumen kuglice može se dosegnuti kroz područje njene obrubljujuće površine - sfere. Podsjetimo da se površina sfere izračunava formulom S \u003d 4πr 2, integrirajući koji, takođe dolazimo do gornje formule za volumen kuglice. Iz ovih formula može se izraziti polumjer ako stanje problema ima vrijednost volumena.
Kugla je geometrijsko tijelo obrtaja koje nastaje zakretanjem kruga ili polukruga oko njegovog promjera. Takođe, lopta je prostor omeđen sfernom površinom. Postoje mnogi stvarni sferni predmeti i povezani problemi, čije rješavanje zahtijeva utvrđivanje volumena lopte.
Lopta i sfera
Krug je najstarija geometrijska figura, a drevni su učenjaci tome pridavali sveto značenje. Krug je simbol beskonačnog vremena i prostora, simbol univerzuma i bića. Prema Pitagori, krug je najljepša od figura. U trodimenzionalnom prostoru se krug pretvara u sferu savršenu, kosmičku i lijepu kao krug.
Sfera na starogrčkom znači "lopta". Kugla je površina koja je formirana od beskonačnog broja točaka koje su jednake udaljenosti od središta figure. Prostor ograničen sferom je sfera. Kugla je idealna geometrijska figura, čiji oblik poprimaju mnogi stvarni predmeti. Na primer, u stvarnom životu top, kuglica ili ležajevi imaju oblik kuglice, u prirodi - kapi vode, krošnje drveća ili bobica, u svemiru - zvezde, meteori ili planete.
Zapremina kuglice
Određivanje volumena sferne figure je težak zadatak, jer se takvo geometrijsko tijelo ne može podijeliti na kocke ili trokutaste prizme, čije su volumene formule već poznate. Moderna znanost omogućava nam da izračunamo volumen kuglice koristeći određeni integral, ali kako je nastala formula volumena u drevnoj Grčkoj, kad još nitko nije čuo za integrale? Arhimed je izračunao volumen kuglice pomoću konusa i cilindra, s obzirom da je volumenske formule tih brojki već određivao drevni grčki filozof i matematičar Demokrit.
Arhimedes je predstavio polovicu kuglice koristeći isti konus i cilindar, s polumjerom svake figure jednak je njegovoj visini R \u003d h. Drevni je naučnik predstavio konus i cilindar razbijen u beskonačan broj malih cilindara. Arhimed je shvatio da ako oduzmemo volumen konusa Vk od zapremine cilindra Vc, on će dobiti zapreminu jedne hemisfere Vsh:
0,5 Vsh \u003d Vc - Vk
Volumen konusa izračunava se jednostavnom formulom:
Vk \u003d 1/3 × Dakle × h,
ali znajući da je Dakle u ovom slučaju područje kruga, i h \u003d R, formula se transformira u:
Vk \u003d 1/3 × pi × R × R 2 \u003d 1/3 pi × R 3
Zapremina cilindra izračunava se formulom:
Vc \u003d pi × R 2 × h,
ali pod pretpostavkom da je visina cilindra jednaka njegovom polumjeru, dobićemo:
Vc \u003d pi × R 3.
Koristeći ove formule, Arhimed je primio:
0,5 Vsh \u003d pi × R 3 - 1/3 pi × R 3 ili Vsh \u003d 4/3 pi × R 3
Suvremena definicija formule volumena kuglice izvodi se iz integralne površine sferne površine, međutim, rezultat ostaje isti
Vsh \u003d 4/3 pi × R 3
Proračun volumena lopte može biti potreban kako u stvarnom životu tako i u rješavanju apstraktnih problema. Da biste izračunali volumen kuglice pomoću mrežnog kalkulatora, morat ćete pronaći samo jedan parametar koji možete odabrati: promjer ili polumjer kugle. Pogledajmo nekoliko primjera.
Životni primjeri
Cannonballs
Recimo da želite znati koliko je lijevanog željeza potrebno za bacanje topa kalibra šest stopa. Znate da je promjer takve jezgre 9,6 centimetara. Unesite ovaj broj u ćeliju kalkulatora „Prečnik“ i dobit ćete odgovor u obrascu
Dakle, za topljenje topovske kugle određenog kalibra trebat će vam 463 kubna centimetra ili 0,463 litre liva.
Baloni
Neka vas zanima koliko zraka je potrebno za pumpanje savršeno sferičnog balona. Znate da je polumjer odabrane kuglice 10 cm. Ubacite ovu vrijednost u ćeliju kalkulatora Radius i dobit ćete rezultat
To znači da će vam za pumpanje jedne takve kuglice trebati 4188 kubnih centimetara ili 4,18 litara zraka.
Zaključak
Potreba za određivanjem volumena lopte može se pojaviti u različitim situacijama: od apstraktnih školskih zadataka do znanstvenih istraživanja i proizvodnih pitanja. Za rješavanje pitanja bilo koje složenosti koristite naš online kalkulator koji će vam odmah predstaviti tačan rezultat i potrebne matematičke proračune.
