العثور على الثغرات وظيفة. "زيادة وانخفاض وظيفة"

وظيفة تسمى زيادة في الفاصل الزمني
إذا لأي نقطة

عدم المساواة يحمل
(قيمة أكبر من الوسيطة يتوافق مع قيمة أكبر للدالة).

وبالمثل ، وظيفة
ودعا انخفاض على الفاصل الزمني
إذا لأي نقطة
من هذا الفاصل الزمني تحت الشرط
عدم المساواة يحمل
(قيمة أكبر من الوسيطة يتوافق مع انخفاض قيمة الوظيفة).

زيادة على الفاصل الزمني
وتناقص في الفاصل
تسمى الوظائف رتابة في الفاصل
.

تتيح لك معرفة مشتق وظيفة قابلة للتمييز العثور على فترات من رتيبها.

نظرية (شرط كاف لزيادة وظيفة).
وظائف
إيجابي على الفاصل الزمني
ثم الوظيفة
يزيد رتابة في هذا الفاصل.

نظرية (شرط كاف لانخفاض وظيفة).  إذا كان المشتق يمكن تمييزه على الفاصل الزمني
وظائف
سلبية على الفاصل
ثم الوظيفة
ينخفض \u200b\u200bرتابة في هذا الفاصل.

المعنى الهندسي   تتمثل هذه النظريات في حقيقة أنه على فواصل التناقص في الدوال ، فإن الظلال الموضحة في الرسم البياني لشكل الوظيفة مع المحور
زوايا منفرجة ، وعلى فترات من الزيادة - حاد (انظر الشكل 1).

نظرية (شرط ضروري لرتابة وظيفة).إذا كانت الوظيفة
التفاضل و
(
) على الفاصل الزمني
، ثم لا ينقص (لا يزيد) في هذا الفاصل الزمني.

خوارزمية لإيجاد فترات من رتابة وظيفة
:

مثال  العثور على فترات من رتابة وظيفة
.

نقطة ودعا وظيفة أقصى نقطة

مثل هذا للجميع تلبية الشرط
، عدم المساواة
.

وظيفة الحد الأقصى   هي قيمة الوظيفة في أقصى نقطة.

يوضح الشكل 2 مثالاً على رسم بياني لوظيفة ذات حد أقصى عند نقاط
.

نقطة ودعا وظيفة الحد الأدنى نقطة
إذا كان هناك عدد
مثل هذا للجميع تلبية الشرط
، عدم المساواة
. منخر. 2 وظيفة لديها الحد الأدنى في نقطة واحدة .

بالنسبة للارتفاعات والقيعان ، هناك اسم شائع - النقاط القصوى . وفقا لذلك ، يتم استدعاء الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط نقاط القصوى .

يمكن أن يكون للوظيفة المعرفة على قطعة الحد الأقصى والحد الأدنى فقط في نقاط داخل هذا الجزء. من المستحيل أيضًا الخلط بين الحد الأقصى والحد الأدنى للوظيفة مع أكبر وأصغر قيمة في مقطع ما - فهذه مفاهيم مختلفة تمامًا.

عند نقاط الحد الأقصى ، للمشتق خصائص خاصة.

نظرية (شرط ضروري لنهاية).  دع عند نقطة وظيفة
لديه أقصى. ثم أيضا
غير موجود أيضا
.

تلك النقاط من مجال الوظيفة التي
غير موجود أو فيه
تسمى وظيفة النقاط الحرجة .

وبالتالي ، فإن النقاط القصوى تقع بين النقاط الحرجة. بشكل عام ، لا يجب أن تكون النقطة الحرجة نقطة متطرفة. إذا كان مشتق الوظيفة في نقطة ما يساوي الصفر ، فإن هذا لا يعني أن الوظيفة لها أقصى في هذه المرحلة.

مثال  نظر
. لدينا
لكن النقطة
ليست نقطة متطرفة (انظر الشكل 3).

النظرية (الشرط الكافي الأول لحد أقصى).  دع عند نقطة وظيفة
مستمر ومشتق
عند عبور نقطة يغير علامة. ثم - نقطة من أقصى الحدود: الحد الأقصى ، إذا تغيرت علامة من "+" إلى "-" ، والحد الأدنى ، إذا كان من "-" إلى "+".

إذا عند عبور نقطة مشتق لا يغير علامة ثم في لا يوجد أقصى.

النظرية (الشرط الكافي الثاني لنهاية الجسم).  دع عند نقطة مشتق من وظيفة مختلفة مرتين
يساوي الصفر (
) ، ومشتقه الثاني في هذه المرحلة هو غير صفري (
) ومستمر في بعض الحي من هذه النقطة . ثم - نقطة القصوى
. في
هذه هي النقطة الدنيا ، ومتى
هذه هي النقطة القصوى.

خوارزمية البحث عن extrema للدالة باستخدام الشرط الكافي الأول للنطاق:

أوجد المشتق.

العثور على النقاط الحرجة للدالة.

فحص علامة المشتق إلى اليسار واليمين من كل نقطة حرجة واستنتج أن هناك extrema.

العثور على القيم القصوى للدالة.

خوارزمية البحث عن extrema للدالة باستخدام الشرط الكافي الثاني ل extremum:

مثال  البحث عن وظيفة extrema
.

1. العثور على نطاق الوظيفة

2. أوجد مشتق الوظيفة

3. اضبط المشتق على الصفر وابحث عن النقاط المهمة للوظيفة

4. علامة النقاط الحرجة في مجال التعريف

5. احسب علامة المشتق في كل من الفترات التي تم الحصول عليها

6. معرفة سلوك الوظيفة في كل فاصل.

مثال: ابحث عن الفواصل الزمنية لزيادة وخفض الوظائفو(س) = وعدد الأصفار من هذه الوظيفة في الفاصل الزمني.

الحل:

1. د ( و) \u003d ص

2. و"(س) =

د ( و") \u003d D ( و) \u003d ص

3. ابحث عن النقاط المهمة للدالة عن طريق حل المعادلة و"(س) = 0.

س(س – 10) = 0

النقاط المهمة للوظيفة س  \u003d 0 و س = 10.

4. حدد علامة المشتق.

و"(س) + – +

و(س) 0 10  س

في الفواصل الزمنية (-∞؛ 0) و (10؛ + ∞) ، مشتق الوظيفة موجب في النقاط س  \u003d 0 و x \u003d 10 وظيفة و(س) مستمر ، وبالتالي ، تزداد هذه الوظيفة في الفواصل الزمنية: (-∞ ؛ 0] ؛.

نحدد علامة قيم الوظيفة في نهايات المقطع.

و(0) = 3, و(0) > 0

و(10) = , و(10) < 0.

نظرًا لأن الوظيفة تنقص في الفاصل الزمني وتتغير علامة قيم الوظيفة ، فإن صفرًا من هذه الوظيفة في هذا الفاصل.

الإجابة: الدالة f (x) تزداد في الفواصل الزمنية: (-∞؛ 0] ؛؛

في الفاصل الزمني ، وظيفة لديها وظيفة واحدة صفر.

2. وظيفة نقاط القصوى: الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط. الشروط الضرورية والكافية لوجود حد أقصى لوظيفة. قاعدة البحوث الدالة على التطرف .

التعريف 1:تسمى النقاط التي يساوي المشتق بها الصفر بالحرجة أو الثابتة.

التعريف 2.   تسمى النقطة بـ (الحد الأدنى) من النقطة إذا كانت قيمة الوظيفة في هذه المرحلة أقل من (أكبر من) أقرب دالة.

يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن الحد الأقصى والحد الأدنى في هذه الحالة محلي.

في التين. 1. وتظهر الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى.

يتم دمج الحد الأقصى والحد الأدنى من الوظائف بواسطة اسم شائع: أقصى دالة.

نظرية 1  (علامة ضرورية لوجود أقصى وظيفة). إذا كانت دالة مختلفة في نقطة ما لها حد أقصى أو حد أدنى في هذه المرحلة ، فإن مشتقها يتلاشى عند ،.

نظرية 2  (علامة كافية على وجود الطرف الأقصى للدالة). إذا كانت دالة مستمرة لها مشتق في جميع نقاط فاصل زمني معين يحتوي على نقطة حرجة (باستثناء هذه النقطة نفسها) ، و إذا تغيرت المشتقة من علامة زائد إلى ناقص عند نقل الوسيطة من اليسار إلى اليمين خلال النقطة الحرجة ، عندها يكون الحد الأقصى للدالة في هذه المرحلة ، وعند تمرير العلامة من ناقص إلى زائد ، يكون الحد الأدنى.

يتم توفير معلومات مهمة للغاية حول سلوك الوظيفة من خلال فترات الزيادة والنقصان. اكتشافهم هو جزء من عملية البحث عن وظيفة والتخطيط. بالإضافة إلى ذلك ، يتم إيلاء اهتمام خاص للنقاط القصوى التي يحدث فيها التغيير من الزيادة إلى النقص أو من النقص إلى الزيادة عند إيجاد أكبر وأصغر قيم دالة في فاصل زمني معين.

في هذه المقالة ، نقدم التعريفات اللازمة ، ونضع معيارًا كافيًا لوظيفة لزيادة وخفض الفاصل الزمني والظروف الكافية لوجود الطرف المتطرف ، وتطبيق هذه النظرية برمتها على حل الأمثلة والمشاكل.

التنقل في الصفحة.

زيادة ونقصان الوظيفة على الفاصل الزمني.

تعريف زيادة الوظيفة.

الدالة y \u003d f (x) تزيد على الفاصل X إذا ، لأي و   عدم المساواة يحمل. بمعنى آخر ، قيمة أكبر للوسيطة تتوافق مع قيمة أكبر للدالة.

تعريف انخفاض وظيفة.

الدالة y \u003d f (x) تنخفض على الفاصل X إذا ، لأي و   عدم المساواة يحمل . بمعنى آخر ، قيمة أكبر للوسيطة تتوافق مع قيمة أقل للدالة.

ملاحظة: إذا كانت الوظيفة محددة ومستمرة في نهايات الفاصل الزمني المتمثل في الزيادة أو النقصان (أ ؛ ب) ، أي مع x \u003d a و x \u003d b ، عندئذ يتم إدراج هذه النقاط في الفاصل الزمني لزيادة أو نقصان. هذا لا يتعارض مع تعريفات زيادة وخفض الوظائف على الفاصل الزمني X.

على سبيل المثال ، من خصائص الدوال الأولية الأساسية ، نعلم أن y \u003d sinx محددة ومستمرة لجميع القيم الحقيقية للوسيطة. لذلك ، من الزيادة في وظيفة الجيب في الفاصل الزمني ، يمكننا تحديد الزيادة في القطعة.

نقاط من أقصى ، اكتمال الوظيفة.

نقطة تسمى أقصى نقطة  دالة y \u003d f (x) ، إذا كان التباين ثابتًا بالنسبة للجميع x. تسمى قيمة الوظيفة في أقصى نقطة أقصى وظيفة  ويشير.

نقطة تسمى الحد الأدنى نقطة  دالة y \u003d f (x) ، إذا كان التباين ثابتًا بالنسبة للجميع x. تسمى قيمة الوظيفة عند الحد الأدنى للنقطة وظيفة الحد الأدنى  ويشير.

بواسطة الحي ، النقاط تعني الفاصل الزمني حيث هو عدد إيجابي صغير بما فيه الكفاية.

تسمى الحد الأدنى والحد الأقصى للنقاط نقاط القصوىوتسمى قيم الوظيفة المقابلة لنقاط الطرف وظائف اكستريما.

لا تخلط بين القيمة القصوى للوظيفة بأكبر وأصغر قيمة للوظيفة.

في الشكل الأول ، يتم الوصول إلى أكبر قيمة للوظيفة في الفاصل الزمني عند الحد الأقصى للنقطة وتساوي الحد الأقصى للوظيفة ، وفي الشكل الثاني ، يتم الوصول إلى أكبر قيمة للوظيفة عند النقطة x \u003d b ، وهي ليست النقطة القصوى.

ظروف كافية لزيادة وخفض الوظائف.

بناءً على الشروط (العلامات) الكافية لزيادة ونقصان الوظيفة ، تم العثور على فترات الزيادة والنقصان في الوظيفة.

فيما يلي صياغة علامات زيادة وتناقص الوظيفة على الفاصل الزمني:

• إذا كان مشتق الوظيفة y \u003d f (x) موجبًا لأي x من الفاصل X ، فإن الوظيفة تزداد على X ؛
• إذا كان مشتق الدالة y \u003d f (x) سالبًا لأي x من الفاصل X ، فتنخفض الوظيفة في X.

وبالتالي ، لتحديد فترات زيادة ونقصان الوظيفة ، من الضروري:

فكر في مثال لإيجاد الفواصل الزمنية لزيادة وخفض الوظائف لتوضيح الخوارزمية.

مثال

العثور على فترات من زيادة وتناقص الوظائف.

القرار.

في الخطوة الأولى ، تحتاج إلى العثور على نطاق الوظيفة. في المثال الخاص بنا ، يجب ألا يتلاشى التعبير في المقام.

ننتقل إلى العثور على دالة مشتقة:

لتحديد فترات زيادة وخفض الوظائف وفقًا لمعايير كافية ، نحل أوجه عدم المساواة في مجال التعريف. نستخدم تعميم طريقة الفاصل. الجذر الصحيح الوحيد للبسط هو x \u003d 2 ، والمقام يختفي عند x \u003d 0. تقسم هذه النقاط المجال إلى فواصل يحتفظ فيها مشتق الدالة بعلامة. نحتفل بهذه النقاط على خط الرقم. سوف تشير الإيجابيات والسلبيات بشكل تعسفي إلى الفواصل الزمنية التي يكون فيها المشتق موجبًا أو سالبًا. تُظهر الأسهم أدناه بشكل تخطيطي زيادة أو نقصان الوظيفة في الفاصل الزمني المقابل.

بهذه الطريقة   و .

عند هذه النقطة x \u003d 2 ، الوظيفة محددة ومستمرة ؛ لذلك ، يجب إضافتها إلى كل من الزيادة والنقصان. في النقطة x \u003d 0 ، لم يتم تعريف الوظيفة ؛ لذلك ، لا يتم تضمين هذه النقطة في الفواصل الزمنية المطلوبة.

نعطي الرسم البياني لوظيفة لمقارنة النتائج التي تم الحصول عليها معها.

الجواب هو:

وظيفة يزيد عندما ، النقصان على الفاصل الزمني (0 ؛ 2].

الشروط الكافية لحد أقصى وظيفة.

للعثور على الحد الأقصى والحد الأدنى للدالة ، يمكنك استخدام أيٍّ من العلامات الثلاثة للأطراف ، بالطبع ، إذا كانت الوظيفة تستوفي شروطها. الأكثر شيوعا ومريحة هو الأول منهم.

الشرط الكافي الأول لحد أقصى.

دع الوظيفة y \u003d f (x) يمكن تمييزها في الحي الخاص بالنقطة ، واستمر في النقطة نفسها.

بمعنى آخر:

خوارزمية لإيجاد نقاط أقصى عن طريق العلامة الأولى لنطاق دالة.

• نجد مجال تعريف الوظيفة.
• نجد مشتق الوظيفة على مجال التعريف.
• نحدد أصفار البسط ، أصفار مقام المشتق ، ونقاط المجال التي لا يوجد فيها المشتق (تسمى جميع النقاط المدرجة نقاط المدقع ممكنمروراً بهذه النقاط ، يمكن للمشتق فقط تغيير علامته).
• تقسم هذه النقاط مجال الوظيفة إلى الفواصل الزمنية التي يحتفظ فيها المشتق بالإشارة. نحدد علامات المشتق على كل فترة من الفواصل (على سبيل المثال ، عن طريق حساب قيمة مشتق دالة في أي نقطة في فاصل زمني واحد).
• نختار النقاط التي تكون فيها الوظيفة مستمرة ، ومن خلالها تمر التغييرات المشتقة ، فهي نقاط الطرف.

الكثير من الكلمات ، من الأفضل أن ندرس بعض الأمثلة لإيجاد نقاط للقيمة القصوى والنهاية الوظيفية للوظيفة باستخدام الشرط الأول الكافي لنطاق الوظيفة.

مثال

العثور على extrema للدالة.

القرار.

مجال الوظيفة هو مجموعة كاملة من الأرقام الحقيقية ، باستثناء x \u003d 2.

نجد المشتق:

أصفار البسط هي النقطتان x \u003d -1 و x \u003d 5 ، والمقام يختفي عند x \u003d 2. بمناسبة هذه النقاط على المحور العددي.

نحدد علامات المشتق في كل فاصل ، لذلك نحسب قيمة المشتق في أي من نقاط كل فاصل ، على سبيل المثال ، في النقاط x \u003d -2 ، x \u003d 0 ، x \u003d 3 و x \u003d 6.

لذلك ، يكون المشتق موجبًا على الفاصل الزمني (في الشكل ، نضع علامة زائد على هذا الفاصل). وبالمثل

لذلك ، وضعنا ناقصًا على الفاصل الثاني ، ناقصًا على الثالث ، بالإضافة إلى زائد على الرابع.

يبقى اختيار النقاط التي تكون فيها الوظيفة مستمرة وتوقع تغييرات مشتقها. هذه هي النقاط القصوى.

عند هذه النقطة x \u003d -1 الوظيفة مستمرة وتغيير علامة المشتق من علامة الجمع إلى علامة الطرح ، وبالتالي ، وفقًا للعلامة الأولى لـ extremum ، x \u003d -1 هي النقطة القصوى ، الحد الأقصى للدالة يتوافق معها .

عند هذه النقطة x \u003d 5 الوظيفة مستمرة وتغيير مشتق علامة من ناقص إلى زائد ، وبالتالي x \u003d -1 هي النقطة الدنيا ، الحد الأدنى من الوظيفة يتوافق معها .

الرسم التوضيحي.

الجواب هو:

يرجى ملاحظة: أول علامة كافية على الطرف لا تتطلب تباين الوظيفة في النقطة نفسها.

مثال

العثور على نقاط القصوى و extrema من الوظيفة .

القرار.

مجال وظيفة هو مجموعة كاملة من الأرقام الحقيقية. يمكن كتابة الوظيفة نفسها على النحو التالي:

أوجد مشتق الوظيفة:

عند هذه النقطة x \u003d 0 ، المشتق غير موجود ، لأن قيم الحدود أحادية الجانب لا تتزامن عندما تميل الوسيطة إلى الصفر:

في الوقت نفسه ، تكون الوظيفة الأصلية مستمرة عند x \u003d 0 (انظر القسم الخاص بفحص وظيفة للاستمرارية):

ابحث عن قيمة الوسيطة التي تختفي بها المشتقة:

نحتفل على جميع النقاط التي تم الحصول عليها على خط الأرقام ونحدد علامة المشتق على كل فترة من الفواصل الزمنية. لهذا ، نحسب قيم المشتق عند نقاط تعسفية لكل فاصل ، على سبيل المثال ، من أجل x \u003d -6 ، x \u003d -4 ، x \u003d -1 ، x \u003d 1 ، x \u003d 4 ، x \u003d 6.

هذا هو ،

وبالتالي ، وفقا لأول علامة من علامات التطرف ، والحد الأدنى من النقاط هي ، والحد الأقصى للنقاط .

نحسب الحد الأدنى وظيفة المقابلة

نحسب وظيفة المقابلة الحد الأقصى

الرسم التوضيحي.

الجواب هو:

.

العلامة الثانية من أقصى وظيفة.

كما ترون ، تتطلب علامة أقصى الدالة هذه وجود مشتق على الأقل حتى المرتبة الثانية عند نقطة معينة.

وظيفة زيادة ونقصان

وظيفة ذ = و(س) يسمى زيادة في المقطع [ ل, ب] إذا لأي زوج من النقاط س  و س ", و in س عدم المساواة و(س) ≤ و (س ") ، وزيادة صارمة - إذا كان عدم المساواة و (س) و(س "). يتم تحديد النقص والتقليل الصارم للدالة بطريقة مماثلة. على سبيل المثال ، وظيفة في = س 2 (التين. ، أ) يزيد بدقة على الجزء ، و

(التين. ، ب) ينخفض \u200b\u200bبدقة في هذا الجزء. زيادة وظائف يشار إليها و (س) ، وتناقص و (س) ↓. من أجل وظيفة مختلفة و (س) زيادة في المقطع [ و, ب] ، فمن الضروري والكافي أن مشتق لها و"(س) كان غير سالب في [ و, ب].

جنبا إلى جنب مع زيادة ونقصان الوظيفة على القطعة ، تعتبر الزيادة والنقصان في الوظيفة في هذه النقطة. وظيفة في = و (س) يسمى زيادة في هذه النقطة س  0 إذا كان هناك فاصل زمني مثل (α ، β) يحتوي على النقطة س  0 أن لأي نقطة س  من (α ، β) ، س\u003e س  0 ، وعدم المساواة و (س 0) ≤ و (س) ، ولأي نقطة س  من (α ، β) ، س 0 ، عدم المساواة و (س) ≤ و (س  0). وبالمثل ، زيادة صارمة في وظيفة في هذه المرحلة س  0. إذا و"(س 0) >   0 ، ثم وظيفة و(س) يزيد بدقة في هذه النقطة س  0. إذا و (س) يزيد في كل نقطة من الفاصل الزمني ( ل, ب) ، ثم يزيد في هذا الفاصل.

  إس بي ستيتشكين.

الموسوعة السوفيتية الكبرى. - م: الموسوعة السوفيتية. 1969-1978 .

انظر ما "زيادة وظيفة النقصان" في القواميس الأخرى:

مفاهيم التحليل الرياضي. تُسمى الوظيفة f (x) نسبة عدد الفئات العمرية المختلفة للسكان الذين يزدادون على شريحة بنية العمر. يعتمد على مستويات الخصوبة والوفيات والعمر المتوقع للناس ... قاموس موسوعي كبير

مفاهيم التحليل الرياضي. تسمى الدالة f (x) زيادة على المقطع إذا ، بالنسبة لأي زوج من النقطتين x1 و x2 ، a≤x1 ... القاموس الموسوعي

مفاهيم الرياضيات. تحليل. تسمى الوظيفة f (x) زيادة على المقطع [أ ، ب] إذا كان لأي زوج من النقاط x1 و x2 ، و<или=х1 <х<или=b, выполняется неравенство f(x1)التاريخ الطبيعي. القاموس الموسوعي

فرع من الرياضيات يدرس المشتقات وفروق الوظائف وتطبيقها على دراسة الوظائف. تصميم د. في الانضباط الرياضي المستقل المرتبط بأسماء I. Newton و G. Leibniz (النصف الثاني من 17 ... الموسوعة السوفيتية الكبرى

قسم الرياضيات ، حيث تتم دراسة مفاهيم المشتق والتفاضلي ، وطرق تطبيقها على دراسة الوظائف. D. التنمية و. ترتبط ارتباطا وثيقا تطوير حساب التفاضل والتكامل لا يتجزأ. بشكل لا ينفصم ومحتواها. معا تشكل الأساس ... الموسوعة الرياضية

هناك معاني أخرى لهذا المصطلح ، انظر الوظيفة. تتم إعادة توجيه الطلب "عرض" هنا ؛ انظر أيضا معاني أخرى ... ويكيبيديا

أرسطو و peripatetics  - السؤال أرسطو حياة أرسطو ولد أرسطو في 384/383. BC. ه. في Stagira ، على الحدود مع مقدونيا. كان والده ، نيكوماتوس ، طبيباً في خدمة الملك المقدوني أمينتوس ، والد فيليب. جنبا إلى جنب مع الأسرة ، أرسطو الشباب ... ... الفلسفة الغربية من أصولها إلى يومنا هذا

  - (QCD) ، نظرية المجال الكمي للعمل القوي للكواركات والغلونات ، المبنية على صورة الكوانتا. الديناميكا الكهربائية (QED) على أساس التماثل قياس "اللون". على عكس QED ، فإن fermions في QCD لها مكمل. درجة من الحرية الكم. رقم ، ... ... الموسوعة المادية

القلب الأول (lat. Cor، cardia اليونانية) هو عضو عضلي ليفي أجوف ، يعمل ، كمضخة ، ويضمن حركة الدم في الدورة الدموية. علم التشريح القلب في المنصف الأمامي (المنصف) في التامور بين ... ... الموسوعة الطبية

حياة النبات ، مثل أي كائن حي آخر ، هي مجموعة معقدة من العمليات المترابطة ؛ ومن المعروف أن أهمها هو التمثيل الغذائي مع البيئة. البيئة هي المصدر من أين ... ... الموسوعة البيولوجية

وظائف المتطرفة

التعريف 2

تسمى النقطة $ x_0 $ أقصى نقطة للدالة $ f (x) $ في حالة وجود حي من هذه النقطة ، بحيث يكون التباين $ f (x) \\ le f (x_0) $ لكل $ $.

التعريف 3

تسمى النقطة $ x_0 $ أقصى نقطة للوظيفة $ f (x) $ إذا كان هناك جوار في هذه النقطة بحيث يكون التباين $ f (x) \\ ge f (x_0) $ لكل $ $.

يرتبط مفهوم الطرف الأقصى للوظيفة ارتباطًا وثيقًا بمفهوم النقطة الحرجة للوظيفة. نقدم تعريفه.

التعريف 4

تسمى $ x_0 $ النقطة الحرجة للدالة $ f (x) $ إذا:

1) $ x_0 $ - النقطة الداخلية لنطاق التعريف ؛

2) $ f "\\ left (x_0 \\ right) \u003d 0 $ أو غير موجود.

لمفهوم الطرف ، يمكن للمرء صياغة النظريات حول الشروط الكافية والضرورية لوجوده.

نظرية 2

شرط كافي للإكثار

دع النقطة $ x_0 $ مهمة للوظيفة $ y \u003d f (x) $ وتكمن في الفاصل $ (a، b) $. دع كل فاصل $ \\ left (a ، x_0 \\ right) \\ و \\ (x_0 ، b) $ مشتق $ f "(x) $ موجود واحتفظ بإشارة ثابتة. ثم:

1) إذا كان الفاصل هو $ f "\\ left (x \\ right)\u003e على الفاصل الزمني $ (a ، x_0) $ ، وعلى 0 $ ، والفاصل الزمني $ (x_0 ، b) $ هو المشتق $ f" \\ left (x \\ right)

2) إذا كان الفاصل هو $ f "\\ left (x \\ right) 0 $ ، في الفاصل الزمني $ (a ، x_0) $ ، فإن النقطة $ x_0 $ هي النقطة الدنيا لهذه الوظيفة.

3) إذا كان على الفاصل $ (a ، x_0) $ وعلى الفاصل $ (x_0 ، b) $ المشتق $ f "\\ left (x \\ right)\u003e 0 $ أو المشتق $ f" \\ left (x \\ right)

هذه النظرية موضحة في الشكل 1.

الشكل 1. حالة كافية لوجود extrema

أمثلة على التطرف (الشكل 2).

الشكل 2. أمثلة على النقاط القصوى

  قاعدة البحوث الدالة على التطرف

2) أوجد المشتق $ f "(x) $؛

7) استخلاص استنتاجات حول وجود الحد الأقصى والحد الأدنى في كل فاصل باستخدام نظرية 2.

  وظيفة زيادة ونقصان

نقدم ، بالنسبة للمبتدئين ، تعريف وظائف الزيادة والنقصان.

التعريف 5

تسمى الوظيفة $ y \u003d f (x) $ المعرّفة على الفاصل الزمني $ X $ زيادة إذا كانت لأي نقطة $ x_1 ، x_2 \\ في X $ مقابل $ x_1

التعريف 6

تسمى الدالة $ y \u003d f (x) $ المعرّفة في الفاصل $ X $ بالتناقص إذا كانت لأي نقطة $ x_1 ، x_2 \\ in X $ مقابل $ x_1f (x_2) $.

  التحقيق في وظيفة زيادة وتناقص

يمكنك استكشاف وظائف الزيادة والنقصان باستخدام المشتق.

من أجل التحقق من وظيفة فترات الزيادة والنقصان ، من الضروري القيام بما يلي:

1) أوجد مجال الوظيفة $ f (x) $ ؛

2) أوجد المشتق $ f "(x) $؛

3) أوجد النقاط التي تكون عندها المساواة $ f "\\ left (x \\ right) \u003d 0 $ hold؛

4) ابحث عن النقاط التي لا يوجد بها $ f "(x) $ ؛

5) قم بتمييز كل النقاط التي تم العثور عليها ومجال هذه الوظيفة في سطر الإحداثيات ؛

6) تحديد علامة المشتق $ f "(x) $ على كل فاصل ناتج ؛

7) في الختام: عند فواصل زمنية حيث $ f "\\ left (x \\ right) 0 $ تزيد الوظيفة.

  أمثلة على مهام دراسة وظائف الزيادة والنقصان ووجود النقاط القصوى

مثال 1

تحقق من وظيفة الزيادة والنقصان ، ووجود الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط: $ f (x) \u003d (2x) ^ 3-15x ^ 2 + 36x + 1 $

بما أن النقاط الست الأولى هي نفسها ، فلنبدأ بها.

1) النطاق - جميع الأرقام الحقيقية ؛

2) $ f "\\ left (x \\ right) \u003d 6x ^ 2-30x + 36 $؛

3) $ f "\\ left (x \\ right) \u003d 0 $؛

\ \ \

4) $ f "(x) $ موجود في جميع النقاط في مجال التعريف ؛

5) تنسيق الخط:

الشكل 3

6) حدد علامة مشتق $ f "(x) $ على كل فاصل زمني:

\ \}