فترات زيادة وتناقص وظيفة على الانترنت. وظيفة البحث

وظائف المتطرفة

التعريف 2

تسمى النقطة $ x_0 $ أقصى نقطة للوظيفة $ f (x) $ إذا كان هناك جوار لهذه النقطة بحيث يكون التباين $ f (x) \\ le f (x_0) $ لكل $ $.

التعريف 3

تسمى النقطة $ x_0 $ أقصى نقطة للدالة $ f (x) $ في حالة وجود حي من هذه النقطة بحيث يكون التباين $ f (x) \\ ge f (x_0) $ لكل $ $.

يرتبط مفهوم الطرف الأقصى للوظيفة ارتباطًا وثيقًا بمفهوم النقطة الحرجة للوظيفة. نقدم تعريفه.

التعريف 4

يطلق على $ x_0 $ النقطة المهمة للدالة $ f (x) $ إذا:

1) $ x_0 $ هي النقطة الداخلية لنطاق التعريف ؛

2) $ f "\\ left (x_0 \\ right) \u003d 0 $ أو غير موجود.

لمفهوم الطرف ، يمكن للمرء صياغة النظريات حول الشروط الكافية والضرورية لوجوده.

نظرية 2

شرط كافي للإكثار

اترك النقطة $ x_0 $ مهمة للدالة $ y \u003d f (x) $ وتكمن في الفاصل $ (a، b) $. افترض أنه على كل فاصل $ \\ left (a ، x_0 \\ right) \\ و \\ (x_0 ، b) $ المشتق $ f "(x) $ موجود ويحتفظ بإشارة ثابتة. ثم:

1) إذا كان الفاصل هو $ f "\\ left (x \\ right)\u003e على الفاصل الزمني $ (a ، x_0) $ ، وعلى 0 $ ، وعلى الفاصل $ (x_0 ، b) $ المشتق هو $ f" \\ left (x \\ right)

2) إذا كان الفاصل هو $ f "\\ left (x \\ right) 0 $ ، عند الفاصل $ (a ، x_0) $ ، فإن النقطة $ x_0 $ هي النقطة الدنيا لهذه الوظيفة.

3) إذا كان على الفاصل الزمني $ (a ، x_0) $ ، وعلى الفاصل $ (x_0 ، b) $ المشتق $ f "\\ left (x \\ right)\u003e 0 $ أو المشتق $ f" \\ left (x \\ right)

هذه النظرية موضحة في الشكل 1.

الشكل 1. حالة كافية لوجود extrema

أمثلة على التطرف (الشكل 2).

الشكل 2. أمثلة على النقاط القصوى

قاعدة البحوث الدالة على التطرف

2) أوجد المشتق $ f "(x) $؛

7) استخلاص استنتاجات حول وجود الحد الأقصى والحد الأدنى في كل فاصل باستخدام نظرية 2.

وظيفة زيادة ونقصان

نقدم ، بالنسبة للمبتدئين ، تعريف وظائف الزيادة والنقصان.

التعريف 5

تسمى الوظيفة $ y \u003d f (x) $ المعرّفة على الفاصل الزمني $ X $ زيادة إذا كانت لأي نقطة $ x_1 ، x_2 \\ في X $ مقابل $ x_1

التعريف 6

تسمى الدالة $ y \u003d f (x) $ المعرّفة في الفاصل الزمني $ X $ بالتناقص إذا كانت لأي نقطة $ x_1 ، x_2 \\ in X $ مقابل $ x_1f (x_2) $.

التحقيق في وظيفة زيادة وتناقص

يمكنك استكشاف وظائف الزيادة والنقصان باستخدام المشتق.

من أجل التحقق من وظيفة فترات الزيادة والنقصان ، من الضروري القيام بما يلي:

1) أوجد مجال الوظيفة $ f (x) $ ؛

2) أوجد المشتق $ f "(x) $؛

3) أوجد النقاط التي تساوي فيها المساواة $ f "\\ left (x \\ right) \u003d 0 $ hold؛

4) أوجد النقاط التي عندها $ f "(x) $ غير موجودة ؛

5) قم بتمييز كل النقاط التي تم العثور عليها ومجال هذه الوظيفة في سطر الإحداثيات

6) تحديد علامة المشتق $ f "(x) $ على كل فاصل زمني ناتج ؛

7) في الختام: عند فواصل زمنية حيث $ f "\\ left (x \\ right) 0 $ تزيد الوظيفة.

أمثلة على مهام دراسة وظائف الزيادة والنقصان ووجود النقاط القصوى

مثال 1

تحقق من وظيفة الزيادة والنقصان ، ووجود الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط: $ f (x) \u003d (2x) ^ 3-15x ^ 2 + 36x + 1 $

بما أن النقاط الست الأولى هي نفسها ، فلنبدأ بها.

1) النطاق - جميع الأرقام الحقيقية ؛

2) $ f "\\ left (x \\ right) \u003d 6x ^ 2-30x + 36 $؛

3) $ f "\\ left (x \\ right) \u003d 0 $؛

\ \ \

4) $ f "(x) $ موجود في جميع النقاط في مجال التعريف ؛

5) تنسيق الخط:

الشكل 3

6) حدد علامة المشتق $ f "(x) $ على كل فاصل زمني:

\\ \\ إذا لأي زوج من النقاط س و س ", و in س عدم المساواة و(س) ≤ و (س ") ، وزيادة صارمة - إذا كان عدم المساواة و (س) و(س "). يتم تحديد التناقص والتناقص الصارم للدالة بطريقة مماثلة. على سبيل المثال ، وظيفة في = س 2 (التين. ، أ) يزيد بدقة على الجزء ، و

(التين. ، ب) ينخفض \u200b\u200bبدقة في هذا الجزء. زيادة وظائف يشار إليها و (س) ، وتناقص و (س) ↓. من أجل وظيفة مختلفة و (س) زيادة في المقطع [ و, ب] ، فمن الضروري والكافي أن مشتق لها و"(سكان) غير سالب في [ و, ب].

جنبا إلى جنب مع زيادة ونقصان الوظيفة على القطعة ، تعتبر الزيادة والنقصان في الوظيفة في هذه النقطة. وظيفة في = و (س) يسمى زيادة في هذه النقطة س 0 إذا كان هناك فاصل زمني مثل (α ، β) يحتوي على النقطة س 0 أن لأي نقطة س من (α ، β) ، س\u003e س 0 ، وعدم المساواة و (س 0) ≤ و (س) ، ولأي نقطة س من (α ، β) ، س 0 ، عدم المساواة و (س) ≤ و (س 0). وبالمثل ، زيادة صارمة في وظيفة في هذه المرحلة س 0. إذا و"(س 0) > 0 ، ثم وظيفة و(س) يزيد بدقة في هذه النقطة س 0. إذا و (س) يزيد في كل نقطة من الفاصل الزمني ( ل, ب) ، ثم يزيد في هذا الفاصل.

إس بي ستيتشكين.

الموسوعة السوفيتية الكبرى. - م: الموسوعة السوفيتية. 1969-1978 .

راجع ما "وظيفة الزيادة والنقصان" في القواميس الأخرى:

مفاهيم التحليل الرياضي. وتسمى الوظيفة f (x) نسبة عدد الفئات العمرية المختلفة للسكان الذين يزدادون على شريحة العمر. يعتمد على مستويات الخصوبة والوفيات والعمر المتوقع للناس ... قاموس موسوعي كبير

مفاهيم التحليل الرياضي. تسمى الدالة f (x) زيادة على المقطع إذا ، بالنسبة لأي زوج من النقطتين x1 و x2 ، a≤x1 ... القاموس الموسوعي

مفاهيم الرياضيات. تحليل. تسمى الوظيفة f (x) زيادة على المقطع [أ ، ب] إذا لأي زوج من النقاط x1 و x2 ، و<или=х1 <х<или=b, выполняется неравенство f(x1)التاريخ الطبيعي. القاموس الموسوعي

فرع من الرياضيات يدرس المشتقات وفروق الوظائف وتطبيقها على دراسة الوظائف. تصميم د. في الانضباط الرياضي المستقل المرتبط بأسماء I Newton و G. Leibniz (النصف الثاني من 17 ... الموسوعة السوفيتية الكبرى

قسم الرياضيات ، حيث تتم دراسة مفاهيم المشتق والتفاضلي ، وطرق تطبيقها على دراسة الوظائف. D. التنمية و. ترتبط ارتباطا وثيقا تطوير حساب التفاضل والتكامل لا يتجزأ. بشكل لا ينفصم ومحتواها. معا تشكل الأساس ... الموسوعة الرياضية

هذا المصطلح له معاني أخرى ، انظر الوظيفة. تتم إعادة توجيه الطلب "عرض" هنا ؛ انظر أيضا معاني أخرى ... ويكيبيديا

أرسطو و peripatetics - مسألة أرسطو ولدت أرسطو حياة أرسطو في 384/383. BC. ه. في Stagira ، على الحدود مع مقدونيا. كان والده ، نيكوماتوس ، طبيباً في خدمة الملك المقدوني أمينتوس ، والد فيليب. جنبا إلى جنب مع الأسرة ، أرسطو الشباب ... ... الفلسفة الغربية من أصولها إلى يومنا هذا

- (QCD) ، وهي نظرية مجال الكم للعمل القوي للكواركات والغلونات ، مبنية على صورة الكم. الديناميكا الكهربائية (QED) على أساس التماثل قياس اللون. على عكس QED ، فإن fermions في QCD لها مكمل. درجة من الحرية الكم. رقم ، ... ... الموسوعة المادية

القلب الأول (lat. Cor، cardia اليونانية) هو عضو عضلي ليفي أجوف ، يعمل ، كمضخة ، ويوفر حركة دم في الدورة الدموية. علم التشريح القلب في المنصف الأمامي (المنصف) في التامور بين ... ... الموسوعة الطبية

حياة النبات ، مثل أي كائن حي آخر ، هي مجموعة معقدة من العمليات المترابطة ؛ ومن المعروف أن أهمها هو التمثيل الغذائي مع البيئة. البيئة هي المصدر من أين ... ... الموسوعة البيولوجية

وظائف المتطرفة

التعريف 2

تسمى النقطة $ x_0 $ أقصى نقطة للوظيفة $ f (x) $ إذا كان هناك جوار لهذه النقطة بحيث يكون التباين $ f (x) \\ le f (x_0) $ لكل $ $.

التعريف 3

تسمى النقطة $ x_0 $ أقصى نقطة للدالة $ f (x) $ في حالة وجود حي من هذه النقطة بحيث يكون التباين $ f (x) \\ ge f (x_0) $ لكل $ $.

يرتبط مفهوم الطرف الأقصى للوظيفة ارتباطًا وثيقًا بمفهوم النقطة الحرجة للوظيفة. نقدم تعريفه.

التعريف 4

يطلق على $ x_0 $ النقطة المهمة للدالة $ f (x) $ إذا:

1) $ x_0 $ هي النقطة الداخلية لنطاق التعريف ؛

2) $ f "\\ left (x_0 \\ right) \u003d 0 $ أو غير موجود.

لمفهوم الطرف ، يمكن للمرء صياغة النظريات حول الشروط الكافية والضرورية لوجوده.

نظرية 2

شرط كافي للإكثار

2) إذا كان الفاصل هو $ f "\\ left (x \\ right) 0 $ ، عند الفاصل $ (a ، x_0) $ ، فإن النقطة $ x_0 $ هي النقطة الدنيا لهذه الوظيفة.

3) إذا كان على الفاصل الزمني $ (a ، x_0) $ ، وعلى الفاصل $ (x_0 ، b) $ المشتق $ f "\\ left (x \\ right)\u003e 0 $ أو المشتق $ f" \\ left (x \\ right)

هذه النظرية موضحة في الشكل 1.

الشكل 1. حالة كافية لوجود extrema

أمثلة على التطرف (الشكل 2).

الشكل 2. أمثلة على النقاط القصوى

قاعدة البحوث الدالة على التطرف

2) أوجد المشتق $ f "(x) $؛

7) استخلاص استنتاجات حول وجود الحد الأقصى والحد الأدنى في كل فاصل باستخدام نظرية 2.

وظيفة زيادة ونقصان

نقدم ، بالنسبة للمبتدئين ، تعريف وظائف الزيادة والنقصان.

التعريف 5

تسمى الوظيفة $ y \u003d f (x) $ المعرّفة على الفاصل الزمني $ X $ زيادة إذا كانت لأي نقطة $ x_1 ، x_2 \\ في X $ مقابل $ x_1

التعريف 6

تسمى الدالة $ y \u003d f (x) $ المعرّفة في الفاصل الزمني $ X $ بالتناقص إذا كانت لأي نقطة $ x_1 ، x_2 \\ in X $ مقابل $ x_1f (x_2) $.

التحقيق في وظيفة زيادة وتناقص

يمكنك استكشاف وظائف الزيادة والنقصان باستخدام المشتق.

من أجل التحقق من وظيفة فترات الزيادة والنقصان ، من الضروري القيام بما يلي:

1) أوجد مجال الوظيفة $ f (x) $ ؛

2) أوجد المشتق $ f "(x) $؛

3) أوجد النقاط التي تساوي فيها المساواة $ f "\\ left (x \\ right) \u003d 0 $ hold؛

4) أوجد النقاط التي عندها $ f "(x) $ غير موجودة ؛

5) قم بتمييز كل النقاط التي تم العثور عليها ومجال هذه الوظيفة في سطر الإحداثيات

6) تحديد علامة المشتق $ f "(x) $ على كل فاصل زمني ناتج ؛

7) في الختام: عند فواصل زمنية حيث $ f "\\ left (x \\ right) 0 $ تزيد الوظيفة.

أمثلة على مهام دراسة وظائف الزيادة والنقصان ووجود النقاط القصوى

مثال 1

تحقق من وظيفة الزيادة والنقصان ، ووجود الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط: $ f (x) \u003d (2x) ^ 3-15x ^ 2 + 36x + 1 $

بما أن النقاط الست الأولى هي نفسها ، فلنبدأ بها.

1) النطاق - جميع الأرقام الحقيقية ؛

2) $ f "\\ left (x \\ right) \u003d 6x ^ 2-30x + 36 $؛

3) $ f "\\ left (x \\ right) \u003d 0 $؛

\ \ \

4) $ f "(x) $ موجود في جميع النقاط في مجال التعريف ؛

5) تنسيق الخط:

الشكل 3

6) حدد علامة المشتق $ f "(x) $ على كل فاصل زمني:

\ \.

نطاق القيم الوظيفية هو الفاصل الزمني [1 ؛ 3].

1. بالنسبة إلى x \u003d -3 ، x \u003d - 1 ، x \u003d 1.5 ، x \u003d 4.5 ، قيمة الوظيفة هي صفر.

تدعى قيمة الوسيطة التي تكون عندها قيمة الدالة هي صفر للدالة.

// أي لهذه الوظيفة ، الأرقام -3 ؛ -1 ؛ 1.5 ؛ 4،5 هي الأصفار.

2. على فترات [4،5 ؛ 3) و (1 ؛ 1،5) و (4،5 ؛ 5،5] يقع الرسم البياني للوظيفة f فوق محور الإحداثي ، وعلى فواصل زمنية (-3 ؛ -1) و (1،5 ؛ 4،5) أسفل المحور يمكن تفسير ذلك على النحو التالي: على الفواصل الزمنية [4،5 ؛ 3) و (1 ؛ 1،5) و (4،5 ؛ 5،5] تأخذ الوظيفة قيمًا إيجابية ، وعلى الفواصل الزمنية (-3 ؛ -1) و ( 1،5 ؛ 4،5) سلبي.

تسمى كل من الفواصل الزمنية المشار إليها (حيث تأخذ الدالة قيمًا لنفس العلامة) بفاصل الإشارة الثابت للدالة f.//t.e. على سبيل المثال ، إذا أخذنا الفاصل الزمني (0 ؛ 3) ، فهو ليس فاصل زمني للعلامة الثابتة لهذه الوظيفة.

في الرياضيات ، عند البحث عن فواصل ذات علامة ثابتة للدالة ، من المعتاد الإشارة إلى فواصل زمنية ذات الطول الأقصى. // أي الفجوة (2 ؛ 3) هي علامة ثابتة دالة f ، ولكن يجب أن تتضمن الإجابة الفاصل الزمني [4،5؛ 3) تحتوي على الفجوة (2 ؛ 3).

3. إذا تحركت على طول الحدود بين 4.5 و 2 ، ستلاحظ أن الرسم البياني للوظيفة ينخفض \u200b\u200b، أي تنقص قيم الوظيفة. // في الرياضيات ، من المعتاد أن نقول ذلك في الفترة [4 ، 5 ؛ 2] وظيفة يقلل.

مع زيادة x من 2 إلى 0 ، يرتفع الرسم البياني للوظائف ، أي زيادة قيم الوظيفة. // في الرياضيات ، من المعتاد أن نقول ذلك في الفترة الفاصلة [2 ؛ 0] وظيفة يزيد.

تُسمى الدالة f إذا كانت قيمتان للوسيطة x1 و x2 من هذه الفترة الفاصلة ، مثل x2\u003e x1 ، فإن عدم المساواة f (x2)\u003e f (x1). // أو وظيفة تسمى زيادة في بعض الفاصل الزمنيإذا كان ، بالنسبة إلى أي قيم وسيطة من هذا الفاصل الزمني ، فإن القيمة الأكبر للدالة تتوافق مع قيمة أكبر للوسيطة. // أي لمزيد من س ، وأكثر ذ.

تسمى الوظيفة f تناقص في بعض الفاصل الزمنيإذا ، بالنسبة لأي قيمتين للوسيطة x1 و x2 من هذا الفاصل الزمني مثل x2\u003e x1 ، فإن عدم المساواة f (x2) يتناقص في بعض الفاصل الزمني ، وإذا كانت قيم الوسيطة من هذه الفاصل الزمني تتوافق مع قيمة أصغر للوظيفة. // أي لمزيد من س ، وأقل ذ.

إذا زادت الوظيفة على نطاق التعريف بأكمله ، فسيتم استدعاؤها متزايد.

إذا انخفضت الوظيفة على المجال بالكامل ، فسيتم استدعاؤها تقليل.

مثال 1 الرسم البياني لزيادة وخفض وظائف ، على التوالي.

مثال 2

تحديد yavl. هل الدالة الخطية f (x) \u003d 3x + 5 تزداد أو تنقص؟

برهان. نستخدم التعاريف. دع x1 و x2 قيمتين اعتباطيتين للوسيطة ، مع x1< x2., например х1=1, х2=7

بناءً على علامات كافية ، هناك فترات من وظائف الزيادة والنقصان.

فيما يلي صياغة العلامات:

إذا كان مشتق من الوظيفة ص \u003d و (س) إيجابية لأي س من الفاصل X، ثم تزيد الوظيفة X;
إذا كان مشتق من الوظيفة ص \u003d و (س) سلبي لأي س من الفاصل Xثم تنقص الوظيفة X.

وبالتالي ، لتحديد فترات زيادة ونقصان الوظيفة ، من الضروري:

العثور على نطاق وظيفة.

أوجد مشتق الوظيفة ؛

إلى الفواصل التي تم الحصول عليها إضافة نقاط الحدود التي يتم تعريف الوظيفة ومستمرة.

النظر في مثال لشرح الخوارزمية.

مثال

العثور على فترات من زيادة وتناقص الوظائف.

القرار.

الخطوة الأولى هي إيجاد تعريف للنمو للوظيفة. في مثالنا ، يجب ألا يتلاشى التعبير في المقام ، لذلك ، .

ننتقل إلى الدالة المشتقة:

لتحديد فترات زيادة وخفض الوظائف وفقًا لمعايير كافية ، نحل أوجه عدم المساواة و في مجال التعريف. نستخدم تعميم طريقة الفاصل. الجذر البسط الوحيد الصحيح هو س \u003d 2، والقاسم يختفي في س \u003d 0. تقوم هذه النقاط بتقسيم المجال إلى فواصل يحتفظ فيها مشتق الوظيفة بعلامة. نحتفل بهذه النقاط على خط الرقم. سوف تشير الإيجابيات والسلبيات إلى الفواصل الزمنية التي يكون فيها المشتق موجبًا أو سالبًا. تُظهر الأسهم أدناه بشكل تخطيطي زيادة أو نقصان الوظيفة في الفاصل الزمني المقابل.

بهذه الطريقة و .

عند هذه النقطة س \u003d 2 الوظيفة محددة ومستمرة ؛ لذلك ، يجب إضافتها إلى كل من الزيادة والنقصان. عند هذه النقطة س \u003d 0 لم يتم تعريف الوظيفة ، وبالتالي لم يتم تضمين هذه النقطة في الفواصل الزمنية المطلوبة.

نعطي الرسم البياني لوظيفة لمقارنة النتائج التي تم الحصول عليها معها.

الجواب هو: وظيفة يزيد مع يقلل على الفاصل الزمني (0; 2] .

- نقاط Extremum من دالة متغير واحد. الظروف القصوى القصوى

افترض أن دالة f (x) ، محددة ومستمرة في فاصل زمني ، ليست رتيبًا فيها. سيكون هناك مثل هذه الأجزاء [،] من الفاصل الزمني الذي يتم فيه الوصول إلى القيمة الأكبر والأصغر بواسطة الوظيفة في النقطة الداخلية ، أي بين و.

يقال أن الدالة f (x) لها حد أقصى (أو الحد الأدنى) عند نقطة ما إذا كان يمكن إحاطتها بهذه المنطقة المجاورة (x 0 - ، x 0 +) الموجودة في الفاصل الزمني حيث يتم إعطاء الوظيفة التي يحتفظ بها عدم المساواة لجميع نقاطها.

f (x)< f(x 0)(или f(x)>f (× 0))

بمعنى آخر ، توفر النقطة x 0 الحد الأقصى (الحد الأدنى) للدالة f (x) إذا تبين أن القيمة f (x 0) هي أكبر (أصغر) القيم التي تم قبولها بواسطة الدالة في بعض الأحياء (الصغيرة على الأقل) من هذه النقطة. لاحظ أن تعريف الحد الأقصى (الحد الأدنى) يفترض أن الوظيفة مُعطاة على جانبي النقطة x 0.

إذا كان هناك حي داخل (ل x \u003d x 0) عدم المساواة الصارمة

f (x) f (× 0)

يقولون أن الوظيفة عند النقطة x 0 لها حدها الأقصى (الحد الأدنى) ، وإلا فإنها غير مناسبة.

إذا كانت الدالة لها حد أقصى عند النقطتين x 0 و x 1 ، فعند تطبيق نظرية Weierstrass الثانية على الفاصل الزمني ، نرى أن الوظيفة تصل إلى أقل قيمة لها في هذا الفاصل الزمني في بعض النقاط x 2 بين x 0 و x 1 ولديها الحد الأدنى هناك. وبالمثل ، بين الحد الأدنى سيكون هناك بالتأكيد الحد الأقصى. في هذه الحالة الأبسط (وفي الممارسة العملية ، الأهم) ، عندما يكون للوظيفة عادة عدد محدود فقط من الحد الأقصى والحد الأدنى ، فإنها ببساطة تتناوب.

لاحظ أنه للإشارة إلى الحد الأقصى أو الحد الأدنى ، هناك مصطلح يوحدهم - الحد الأقصى.

تعتبر مفهوما الحد الأقصى (بحد أقصى f (x)) والحد الأدنى (دقيقة f (x)) خصائص محلية للدالة وتحدث عند نقطة معينة × 0. تشير مفهومي القيم الأكبر (sup f (x)) والأصغر (inf f (x)) إلى فاصل زمني محدد وهي خصائص عالمية لوظيفة في الفاصل الزمني.

يوضح الشكل 1 أنه في النقطتين x 1 و x 3 توجد الحدود القصوى المحلية ، وعند النقطتين x 2 و x 4 يوجد حد أدنى محلي. ومع ذلك ، تصل الدالة إلى أصغر قيمة في x \u003d a ، والأكبر في x \u003d b.

نحن نطرح مشكلة إيجاد كل قيم الوسيطة التي تقدم وظائف متطرفة. في حلها ، سوف يلعب المشتق دوره الرئيسي.

افترض أولاً أنه بالنسبة للوظيفة f (x) في الفاصل (a ، b) يوجد مشتق محدود. إذا كانت الوظيفة في نقطة x 0 لها أقصى ، فعندئذٍ تنطبق على الفاصل الزمني (x 0 - ، x 0 +) ، الذي تمت مناقشته أعلاه ، نظرية فيرما ، نستنتج أن f (x) \u003d 0 هذا شرط ضروري للنهاية. يجب أن يتم البحث عن الحد الأقصى فقط في تلك النقاط التي يكون فيها المشتق يساوي الصفر.

ومع ذلك ، لا ينبغي التفكير في أن كل نقطة تساوي المشتقة فيها صفر توفر وظائف أقصى: الحالة المشار إليها ليست كافية